373. Kui palju tööd peab tegema, et venitada vedru, mille jäikus on 40 kN/m, 0,5 cm võrra?
Andrei Rõmkevitš, Füüsika ülesannete kogu VIII-XI klassile. Tallinn „Valgus”1988
[Aegumatu klassika! Kõigepealt peame eeldama, et küsimus on esitatud nn ideaalvedru ehk Hooke'i vedru kohta. Väga paljud (kuigi mitte kõik) vedrud käituvad mõistliku deformeerimise korral vastavalt Hooke'i seadusele: Fe=-k Δx. Siit saab edasi minna mudelite paratamatu piiratuse ja üle kriitilise piiri deformeerimise teemaga.
Võtame teadmiseks, et vedru venitav jõud ja elastsusjõud, millega vedru deformeerimisele vastab, on samasihilised, kuigi vastassuunalised. Sellega saab illustreerida Newtoni III seaduse jõudude paari, täpsemalt seda, et kõik jõud, mis on võrdsed ja vastasuunalised, ei ole seda mitte Newtoni III seaduse mõttes.
Jõu ja deformatsiooni samasihilisus tähendab aga seda, et mehaanilise töö valem A=F s cos α, lihtsustub A=F s, sest tingimusel α=0 on cos α=1 ja α=180° on cos α=-1. Mis selle miinusega peale hakata?]
I Keskmine jõud
|
|
|---|---|
| vedru1 | vedru2 |
Jõud, mille me saame ülesande andmetest arvutada, ei sobi pikemalt mõtlemata lihtsustatud mehaanilise töö valemisse panna. Venitamisel pole esimese millimeetrise (ülesande väga jäiga vedru korral pigem mikromeetrise) deformatsiooni tekitamiseks peaaegu üldse jõudu vaja. Kui vedru on juba venitatud (või kokku surutud), läheb iga järgmise millimeetri jaoks vaja üha suuremat jõudu. On hea, et see nii käib, meenutagem kasvõi terve sajandi heaolu ja edukust sümboliseerinud vedruvankrit ja vedrumadratsit.
Muutuv jõud on tähtis ja huvitav teema. Näiteks raketiteaduses on raskusjõud muutuv. Jõud, mille vastu rakettmootorid töötavad, väheneb Maast kaugenemisel vastavalt pöördruudu seadusele. Õhutakistus, mille ületamisele transpordivahendid kulutavad lõviosa kütusest, suureneb kiiruse kasvuga ja ruutvõrdelisus tuleb teatud tingimustel jälle mängu. Ideaalvedru juhtumil kasvab jõud ühtlaselt, mis võimaldab lihtsalt välja arvutada keskmise jõu ja see sobib töö valemisse.
II Töö graafikul
|
|
|---|---|
| graafik2 | graafik1+ |
Graafilise esitusviisi korral on lihtne märgata, et ühtlase jõu korral jääb graafiku alla ristkülik, mille üks külg on jõud, teine teepikkus. Ristküliku pindala on töö. Kui graafikualune pindala ei ole jõu muutumise tõttu ristkülik, vaid näiteks kolmnurk, on pindala ikkagi töö. Kolmnurga pindala valemist tuleb murrujoone alla jälle seesama kaks, mis eelmises arvutuses tuli keskmistamisest. Asja ilu on tegelikult selles, et nimetet pindala on alati töö. Keerukalt muutuva jõu korral ei pruugi olla võimalust pindala lihtsa valemiga arvutada, aga see polegi oluline. Kõlbab ükskõik milline pindala leidmise viis ja töö saab ikkagi mõõdetud.
III Üldisemalt
Kui õnnestub muutuvat jõudu matemaatiliselt (valemiga, funktsiooniga) kirjeldada, võib pindaladega jahmerdamisest loobuda ja tehtava töö (muudetava energia) leida integreerimisega. Vedru venitamiseks tehtav töö on nii lihtne nähtus, et tegelikult pole vaja matemaatilist kahurväge välja veeretada. Samas, just lihtsuse pärast kõlbab see meetodi tutvustamiseks päris hästi. Hooke'i vedrus tekkiv elastsusjõud on deformatsiooni lineaarfunktsioon. Töö on selle integraal nullist poole sentimeetrini.
Lisaülesanded
Arvatavasti on pea igaüks kunagi vedru üle kriitilise piiri venitanud, näiteks pastakavedru. Teatud (st vedru ise teab seda) deformatsioonist alates lõpetab Hooke'i seadus toimimise ja vedru venib pikemaks, aga venitamiseks vajalik jõud enam ei kasva.
1) Valmista ise pehmest traadist vedru ja määra selle deformatsiooni kriitiline piir. Kui palju tööd tegid vedru venitamisel kuni kriitilise piirini? Kui palju tööd tegid pärast kriitlise piiri ületamist?
2) Hooke'i vedru salvestab deformeerimisel tehtud töö ja võib pärast ise tööd teha (üleskeeratavad kellad ja mänguasjad). Mis juhtub, kui üle kriitilise piiri venitatud vedru pingest vabastada? Kui palju selline rikutud vedru on energiat salvestanud?