Koosinusteoreem

Teine tuntud trigonomeetriline seos iga kolmnurga jaoks on koosinusteoreem.

Koosinusteoreem võimaldab leida kahe küljepikkuse ning nende külgede vahelise nurga abil kolmanda külje pikkust:

Koosinusteoreemist järeldub näiteks kohe ka see, et iga kolmnurga määravad üheselt ära kaks küljepikkust ning nende külgede vaheline nurk. Tõepoolest, lähtudes neist teadmistest võime leida kolmanda külje pikkuse ja seda me juba teame, et kolme küljepikkusega on kolmnurk üheselt määratud.

Koosinusteoreem näeb juba peaaegu välja nagu Pythagorase teoreem. See visuaalne seos pole sugugi petlik. Tuletades meelde, et cos(90°) = 0 näeme, et täisnurkse kolmnurga korral väidabki koosinusteoreem täpselt sedasama, mida Pythagorase teoreemgi.

Oleks tore ka teada, kuidas koosinusteoreemi eelnevatest teadmistest järeldada. Teisisõnu on küsimus: kuidas kahe külje ja nendevahelise nurga abil leida kolmanda külje pikkus?

Konkreetsemalt seame siis eesmärgiks leida külje a pikkus külgede b, c ja nendevahelise nurga α abil.

Üks võimalus on alustada siinusteoreemi puhul kirjeldatud viisil ning tekitada kõrguse abil täisnurkne kolmnurk. Nii seame end toredasse olukorda, kus saame kasutada koosinuse definitsiooni täisnurkses kolmnurgas ning lisaks veel koosinusteoreemi sugulast Pythagorase teoreemi.

Seega saame Pythagorase teoreemi abil kirjutada külje a pikkuse kolmnurga kõrguse h ning abilõigu x toel:

a^{2} = h^{2} + x^{2}

Edasi tahaksime kuidagi kirjutada lahti ka need abiliikmed. Kõrguse võime omakorda avaldada Pythagorase teoreemist, kasutades teist, vasemale tekkinud täisnurkset kolmnurka:

h^{2} = b^{2} - y^{2}

Abilõigu x pikkuse saame aga kirjutada külje c ning sama abilõigu y abil: x = c – y ja seega x² = (c – y)².

Võib küsida, mis sellest ikkagi kasu on, kui kirjutame abilõigu x asemele hoopis abilõigu y. Õnneks on meil ka vastus: uurides veel kord vasemal asuvat täisnurkset kolmnurka, võime välja kirjutada koosinuse definitsiooni:

c o s (α) = \frac{y}{b} \Rightarrow y = b c o s (α)

Seega abilõigu y pikkuse võime esitada meile sobivate elementide abil.

Pannes kõik kokku, saame

a^{2} = b^{2} - y^{2} + (c - y)^{2}

Lihtsustame

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} - y^{2} + c^{2} - 2 c y + y^{2} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 c y \end{matrix}

Asendades nüüd leitud abilõigu y pikkuse y = b cos(α), saamegi koosinusteoreemi nime all välja kuulutatud seose:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c c o s (α)

Nürinurkse nurga puhul on jällegi olukord pisut segasem, aga hoolikalt näpuga jälge ajades võime siiski kasutada peaaegu samasugust arutlust.

Alternatiivne viis oleks kasutada vektoreid ja skalaarkorrutise omadusi. Et midagi sellist võiks toimida, vihjab muidugi juba kahe vektori skalaarkorrutise definitsioon [lk 144]:

\to a \cdot \to b = | \to a | \cdot | \to b | \cdot c o s (∠ \to a, \to b)

Siin on ju olemas täpselt seesama liige, mis koosinusteoreemi Pythagorase teoreemist eristab! Pärast vektoritega seose loomist järeldubki kogu koosinusteoreem tegelikult ainult skalaarkorrutise omadustest.

Sisuliselt on tõestus sama kui see, mille pakkusime lisaloona Pythagorase teoreemi jaoks vektorite peatükis [lk 147], – huvitunud lugejal soovitame detailid siiski ise kokku panna.