Muidugi tahaksime, et matemaatikas oleks kõik nii, nagu meie vaist seda õigeks peab. Siiski selgub, et niipea kui mõne definitsiooni rangelt matemaatiliselt kirja paneme, alustab ta justkui oma elu, libiseb meie käe alt välja ja korraldab midagi üllatavat.Tihti peame seejärel matemaatikaga paremaks läbisaamiseks oma intuitsiooni ümber kujundama.
Kirjeldame järgnevalt ühte kujundit, mis näibki algul pigem mõistusevastane: tal on lõplik pindala, aga lõputu ümbermõõt. Seda kujundit kutsutakse Kochi lumehelbeks.
Kochi lumehelbe saamiseks peame läbima järgmise protsessi:
- alustame võrdkülgsest kolmnurgast,
- esimesel sammul jaotame iga külje kolmeks võrdseks osaks ja ehitame iga külje keskmisele kolmandikule väljapoole võrdkülgse kolmnurga, nagu jooniselt näha, võib nüüd eristada kuut väiksemat kolmnurka, millest igal on kaks väljapoole avatud külge,
- edasi konstrueerime analoogselt eelnevaga iga väljapoole avatud külje keskele uuekolmnurga,
- Aina jätkame ja jätkame protsessi uute, väiksemate külgedega...
Nagu jooniselt näeme, tekib nii midagi lumehelbe sarnast. Kui protsessi kangekaelselt jätkata, näeb tekkiva kujundi piirjoon iga suurusega luubi all välja umbes ühesugune (alati paistab, et on üks külg, mille keskele on konstrueeritud kolmnurk, ja siis veel natukene väikest müra):
Mis võiks olla tekkiva kujundi ümbermõõt? Kui alguses on kolmnurga ühe külje pikkus 1, siis pärast esimest etappi oleme külje asendanud 4 lõiguga, millest igaühe pikkus on 1⁄3 ehk kokku on tema pikkus 4⁄3. Igal järgmisel etapil on 4 korda rohkem lõike, kuid iga lõik on 3 korda lühem ehk lõikude kogupikkus suureneb 4⁄3 korda.
Seega pärast sajandat konstruktsiooni on lõikude kogupikkus juba
ning protsessi lõpmatult jätkates muutub ka kujundi ümbermõõt lõpmata suureks:
Lähemalt vaadeldes selgub samas, et pindala ei saa sellel kujundil väga suur olla ja kindlasti peab ta olema lõplik. Nimelt mahub Kochi lumehelves näiteks alati joonisel toodud sinisesse ristkülikusse:
Pärast mõningat arvutustööd selguks, et tema pindala on täpselt
Kui nüüd järele mõtleme, miks meile toodud olukord paradoksaalne tundub, siis ilmselt on põhjus väga lihtne: igapäevaelus me ilmselt sellist kujundit kohanud pole, kus ümbermõõt oleks lõpmatu ning pindala lõplik. Meie masinavärk ei luba lihtsalt selliseid pikkuseid mõõta: päriselus ei ole meil tegelikult ju kasutada lõpmatu suurendusega luupe ning iga lõpliku suurusega luubi korral tunduks ka Kochi lumehelbe ümbermõõt lõplik. Samuti paistab, et tänane füüsika ei tahaks hästi selliseid kujundeid lubada.
Siiski, matemaatikat need kaalutlused ja kitsendused ei sega – võime sama vabalt leida ka näiteks lõpmatu pindala ja lõpliku ruumalaga kujundeid (näiteks niinimetatud Gabrieli pasun) ning teisi sarnaseid veidrikke.