Üks füüsika ammuseid eesmärke on olnud mõista gravitatsioonijõudu – jõudu, mis hoiab meid maakera pinnal, hoiab Kuud tiirlemas orbiidil ümber Maa ja hoiab Maad tiirlemas orbiidil ümber Päikese. See jõud valitseb kaugemalgi – Linnutee galaktikas hoiab ta liikumas miljardeid tähti ning loendamatut hulka molekule ja tolmuosakesi tähtedevahelises ruumis. Me asume selle kettakujulise tähekogumi äärealal, umbes $2,6\times {10}^4$ valgusaasta ($2,5\times {10}^{20}m$) kaugusel Galaktika keskpunktist, mille ümber me aeglaselt tiirleme.

Gravitatsioonijõud ulatub ka läbi galaktikatevahelise ruumi, hoides koos kohalikku galaktikaparve (nn Kohalikku Gruppi), millesse kuuluvad peale Linnutee veel ka Andromeeda galaktika (joonis 13-1), mis asub $2,3\times {10}^6$ valgusaasta kaugusel Maast, ja mitmed lähemad kääbusgalaktikad nagu Suur Magalhãesi Pilv. Kohalik Grupp on osa Kohalikust Superparvest, mida gravitatsiooniliselt tõmbab erakordselt massiivne, Suureks Atraktoriks nimetatud ruumipiirkond. See piirkond paistab olevat Linnutee vastaspoolel umbes $3,0\times {10}^8$ valgusaasta kaugusel Maast. Kuid gravitatsioonijõud ulatub veelgi kaugemale, hoides koos kogu paisuvat Universumit.

Gravitatsioonijõududega on seotud ka ühed väga salapärased struktuurid Universumis, nimelt mustad augud. Kui Päikesest märgatavalt massiivsem täht põletab lõpuni ära oma tuumakütuse varu, siis võib kõikide tema osakeste vahel mõjuv gravitatsioonijõud viia selleni, et täht variseb täielikult kokku (kollabeerub) ja moodustab seeläbi musta augu. Gravitatsioonijõud on kollabeerunud tähe pinnal niivõrd tugevad, et ei osakesed ega isegi valgus ei suuda lahkuda tähe pinnalt (sellest siis ka nimetus „must auk”). Mustale augule liiga lähedale sattunud tähte ähvardab lõhkikiskumine gravitatsioonijõudude poolt ja tema jäänuste langemine musta auku. Piisav hulk sellist saaki viib ülimassiivse musta augu moodustumiseni. Taolised salapärased koletised paistavad olevat Universumis üsna tavalised.

Hoolimata sellest, et gravitatsioonijõu olemus ei ole seni veel lõpuni selge, on lähtekohaks selle jõu mõistmisel Isaac Newtoni formuleeritud gravitatsiooniseadus.

Füüsikutele meeldib uurida pealtnäha seosetuid nähtusi ja näidata, et nende vahel on võimalik leida seos, kui vaid uurida piisava põhjalikkusega. Selliste ühendteooriate otsimine on kestnud nüüdseks juba sajandeid. Aastal 1665 andis 23-aastane Isaac Newton olulise panuse füüsika arengusse, kui näitas, et jõud, mis hoiab Kuud tema orbiidil, on seesama jõud, mille tõttu õun kukub maapinnale. Tänapäeval peame me seda teadmist nii enesestmõistetavaks, et meil ei ole lihtne aru saada muistsest usust, et maiste ja taevaste kehade liikumised on erinevat liiki ja et neid valitsevad ka erinevad seadused.

Newton järeldas, et mitte ainult Maa ei tõmba nii õuna kui ka Kuud enda poole, vaid et iga keha Universumis tõmbab iga teist keha enda poole. Seda kehade omadust tõmbuda üksteise poole nimetatakse gravitatsiooniks. Newtoni järeldusega harjumine võtab natuke aega, sest maiste kehade puhul ületab harjumuspärane Maa külgetõmme oluliselt kehade omavahelist külgetõmmet. Näiteks tõmbab Maa õuna jõuga, mille tugevus on umbes $0,8\text{N}$. Inimene tõmbab lähedalasuvat õuna (ja see õun tõmbab inimest), aga selle tõmbejõu tugevus on väiksem kui tolmukübemekese kaal.

Newton esitas jõu arvutamise seaduse, mida me tunneme Newtoni gravitatsiooniseadusena: iga osake (punktmass) tõmbab iga teist osakest (punktmassi) gravitatsioonijõuga, mille tugevus on

Siin on $m_1$ ja $m_2$ osakeste massid, $r$ nendevaheline kaugus ja $G$ on gravitatsioonikonstant, mille väärtus praeguste teadmiste kohaselt on

Joonisel 13-2a on kujutatud gravitatsioonijõud $\overrightarrow{F}$, millega osake 2 (massiga $m_2$) mõjub osakesele 1 (massiga $m_1$). See jõud on suunatud osakese 2 poole ja ta on tõmbejõud, sest osakest 1 tõmmatakse osakese 2 poole. Jõu tugevus on antud valemiga 13-1.

Me võime jõu $\overrightarrow{F}$ esitada vektorina, mis on suunatud osakesest 1 kuni osakeseni 2 ulatuva r-telje positiivses suunas (joonis 13-2b). Samuti võime jõu $\overrightarrow{F}$ esitamiseks kasutada radiaalset ühikvektorit TeX parse error: Missing argument for \mathrm (dimensioonitut ühikulise pikkusega vektorit), mis on suunatud osakesest 1 eemale mööda r-telge (joon 13-2c). Kasutades valemit 13-1 on osakesele 1 mõjuv jõud nüüd esitatav kujul

Osakesele 2 mõjuv gravitatsioonijõud, mille tekitab osake 1, on niisama tugev kui osakesele 1 mõjuv jõud, aga ta on vastassuunaline. Need kaks jõudu moodustavad Newtoni kolmanda seaduse jõupaari ja me saame rääkida gravitatsioonijõust, mis mõjub kahe osakese vahel valemist 13-1 arvutatud tugevusega. See kahe osakese vahel mõjuv jõud ei muutu teiste kehade olemasolul isegi siis mitte, kui need kehad asuvad kahe osakese vahel. Ehk teisiti öeldes, ükski keha ei saa varjestada osakest teise osakese tekitatud gravitatsioonijõu eest.

Gravitatsioonijõu tugevus – see, kui tugevalt teineteisest teataval kaugusel asuvad teatavate massidega osakesed teineteist tõmbavad – sõltub gravitatsioonikonstandi $G$ väärtusest. Kui gravitatsioonikonstandi $G$ väärtus äkki imekombel suureneks 10 korda, siis oleks Maa gravitatsioonijõud nii tugev, et Maa külgetõmme suruks inimesed vastu põrandat lapikuks. Kui aga gravitatsioonikonstandi $G$ väärtus väheneks sama arv korda, siis oleks Maa külgetõmme nii nõrk, et inimene suudaks hüpata üle hoonete.

Rangelt võttes kehtib Newtoni gravitatsiooniseadus üksnes punktisarnaste objektide jaoks, aga me saame seda kasutada ka reaalsete kehade korral, kui nende mõõtmed on väikesed, võrreldes kaugusega kehade vahel. Näiteks Maa ja Kuu on teineteisest piisavalt kaugel, et neid heas lähenduses käsitleda punktosakestena. Aga kuidas on olukord Maa ja õuna korral? Õuna seisukohast vaadatuna ei ole tema all silmapiirini tasaselt laiuv maapind küll vähimalgi määral punktosakese sarnane.

Newton lahendas õuna–Maa probleemi sellega, et tõestas olulise teoreemi, mida tuntakse kihiteoreemina:

Me võime kujutleda Maad selliste üksteise sees asuvate kerakihtide kogumina, kusjuures iga kiht tõmbab Maa pinna kohal asuvat punktosakest nii, nagu oleks kihi kogu mass koondunud kihi keskpunkti. Seega, õuna vaatepunktist käitub Maa ikkagi nagu punktmass, mis asub Maa keskpunktis ja mille mass võrdub Maa massiga.

Oletame, et Maa tõmbab õuna enda poole jõuga, mille tugevus on $0,8\text{N}$, nagu on kujutatud joonisel 13-3. Seega peab ka õun tõmbama Maad enda poole jõuga, mille tugevus on $0,8\text{N}$, kusjuures see jõud on rakendatud Maa keskpunkti. Hoolimata sellest, et nii õunale kui ka Maale mõjub võrdse tugevusega jõud, on nende kiirendused pärast õuna lahtilaskmist erinevad. Õuna kiirendus on umbes $9,8m/s^2$, mis on harilik vaba langemise kiirendus maapinna lähedal. Seevastu Maa kiirendus, mõõdetuna süsteemi õun–Maa massikeskmega seotud taustsüsteemis, on vaid umbes $1\times {10}^{-25}m/s^2$.

Punktosakeste süsteemi poolt tekitatud gravitatsioonilise resultantjõu leidmiseks, mis mõjub ühele neist punktosakestest, kasutame superpositsiooniprintsiipi. See on üldine printsiip, mis väidab, et kogumõju on üksikute mõjude summa. Siin tähendab see seda, et kõigepealt peame arvutama üksikute süsteemi kuuluvate punktosakeste tekitatud gravitatsioonijõud, mis mõjuvad meie poolt välja valitud punktosakesele, ja seejärel leiame resultantjõu kui kõigi nende jõudude vektorsumma.

Vastavalt superpositsiooniprintsiibile saame $n$ osakesest koosneva süsteemi korral kirjutada osakesele 1 mõjuva gravitatsioonijõu avaldise kujul

Siin on ${\overrightarrow{F}}_{1,\text{res}}$ osakesele 1 mõjuv resultantjõud ja näiteks ${\overrightarrow{F}}_{13}$ on jõud, millega osake $3$ mõjub osakesele $1$. Selle seose saame esitada kompaktsemalt vektorsummana:

Kuidas aga arvutada gravitatsioonijõudu, millega reaalne (ruumiline) keha mõjub punktosakesele? Selle jõu saame leida, kui jagame keha piisavalt väikesteks osadeks nii, et saame neid osasid samuti vaadelda punktosakestena, ning seejärel kasutame valemit 13-5, leidmaks punktosakesele mõjuvate jõudude vektorsumma. Piirjuhul saame keha jagada lõpmata väikesteks osadeks massiga $dm$, millest igaüks mõjub uuritavale punktosakesele lõpmata väikese jõuga $d\overrightarrow{F}$. Sellisel juhul saame valemis 13-5 esineva summa asendada integraaliga

kusjuures integraal arvutatakse üle kogu ruumilise keha ja võime alaindeksi „res” ära jätta. Juhul kui ruumiline keha on kas ühtlane kera või kerakiht (seest tühi kera), siis pole valemi 13-6 integraali tarvis arvutada, sest võime eeldada, et ruumilise keha mass on koondatud tema keskmesse, ja kasutada valemit 13-1.

KONTROLLKÜSIMUS 2

Joonisel on kujutatud kolme identse osakese nelja asetust üksteise suhtes. (a) Järjestage asetused vastavalt osakesele $m$ mõjuva gravitatsioonilise resultantjõu tugevusele, alustades tugevaimast. (b) Kas asetuses 2 on resultantjõu suund lähemal joonele pikkusega $d$ või joonele pikkusega $D$?

Näidisülesanne 13-1

Joonisel on kujutatud kolme osakese asetus, kus osake $1$ on massiga $m_1=6,0kg$, osakesed $2$ ja $3$ on massiga $m_2=m_3=4,0kg$ ning kaugus $a=2,0\text{cm}$. Milline on teiste osakeste poolt tekitatud gravitatsiooniline resultantjõud ${\overrightarrow{F}}_{1,\text{res}}$, mis mõjub osakesele $1$?

Lahendus

​​​​​​​​​​​​​​JUHTMÕTTED (1) Kuna meil on tegemist punktosakestega, siis saab osakesele $1$ mõjuva jõu tugevuse arvutada valemist 13-1 ($F=G{m}_1{m}_2/r^2$). (2) Osakesele $1$ mõjuv gravitatsioonijõud on suunatud seda jõudu tekitava osakese suunas. (3) Kuna mõjuvad jõud ei ole suunatud piki sama telge, siis me ei saa lihtsalt liita ega lahutada nende arvulisi väärtusi või nende komponente, selleks et leida resultantjõudu. Me peame jõuvektorid liitma vektorsummaks.

Arvutused: Kasutades valemit 13-1, saame arvutada osakesele $1$ mõjuva jõu tugevuse ${\overrightarrow{F}}_{12}$, mille tekitab osake $2$:

$\begin{array}{cc}{F}_{\text{12}}& =\frac{G{m}_1{m}_2}{(2a{)}^2}\\ & =\frac{(6,67\times {10}^{-11}{m}^3/kg\cdot s^2)(6,0kg)(4,0kg)}{(0,040m{)}^2}\\ & =4,00\times {10}^{-6}N\end{array}$

Sarnaselt saame arvutada osakesele $1$ mõjuva jõu tugevuse ${\overrightarrow{F}}_{13}$, mille tekitab osake $3$:

$\begin{array}{cc}{F}_{13}& =\frac{G{m}_1{m}_2}{a^2}\\ & =\frac{(6,67\times {10}^{-11}{m}^3/kg\cdot s^2)(6,0kg)(4,0kg)}{(0,020m{)}^2}\\ & =1,00\times {10}^{-6}N\end{array}$

Jõud ${\overrightarrow{F}}_{12}$ on suunatud $y$-telje positiivses suunas (joonis 13-4b) ja sellel jõul on seega ainult y-komponent suurusega $F_{12}$. Analoogiliselt saame, et ${\overrightarrow{F}}_{13}$ on suunatud $x$-telje negatiivses suunas ja tal on ainult $x$-komponent suurusega $-F_{13}$.

Et leida osakesele $1$ mõjuvat resultantjõudu ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$, peame need kaks jõuvektorit liitma vektorsummaks. Seda võime teha vastavat funktsiooni omaval kalkulaatoril. Siiski, paneme tähele, et $-F_{13}$ ja $F_{12}$ on tegelikult vektori ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$ $x$- ja $y$-telje suunalised komponendid. Seega saame kasutada valemit 3-6, et leida kõigepealt jõu $F_{1,res}$ suurus ning seejärel ka suund. Jõu suurus on

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{F}}_{1,res}& =\sqrt{(F_{12}{)}^2+(-F_{13}{)}^2}\\ & =\sqrt{(4,00\times {10}^{-6}N{)}^2+(-1,00\times {10}^{-6}N{)}^2}\\ & =\underset{–}{4,1\times {10}^{-6}N}\end{array}$

Valemi 3-6 abil saame arvutada ka ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$ nurga $x$-telje positiivse suuna suhtes:

$\theta =ta{n}^{-1}\frac{F_{12}}{-F_{13}}=ta{n}^{-1}\frac{4,00\times {10}^{-6}N}{-1,00\times {10}^{-6}N}={76}^{\circ }$

Kas see on mõistlik tulemus? Ei ole, sest vektori ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$ suund peab olema vektorite ${\overrightarrow{F}}_{12}$ ja ${\overrightarrow{F}}_{13}$ poolt määratud suundade vahel. Meenutame 3. peatükist (ülesannete lahendamise juhised, juhis 3), et kalkulaator annab vastusena ainult ühe võimaliku $ta{n}^{-1}$ väärtuse kahest. Teise võimaliku väärtuse leiame, kui liidame ${180}^{\circ }$:

$-{76}^{\circ }+{180}^{\circ }=\underset{–}{{104}^{\circ }}$

mis on vektori ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$ jaoks mõistlik suund.

Näidisülesanne 13-2 Arenda oma oskusi

Joonisel 13-5a on kujutatud viie punktosakese asetus. Osakeste massid on vastavalt $m_1=8,0\text{kg}$ ja $m_2=m_3=m_4=m_5=2,0\text{kg}$ ning $a=2\text{cm}$ ja $\theta ={30}^{\circ }$. Kui tugev on osakesele $1$ mõjuv gravitatsiooniline resultantjõud ${\overrightarrow{F}}_{1,\text{res}}$ ,mis on tekitatud kõigi teiste osakeste poolt?

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Kuna meil on tegemist punktosakestega, siis on osakesele $1$ mõjuva jõu suurus arvutatav valemiga 13-1 ($F=G{m}_1{m}_2/r^2$). (2) Osakesele $1$ mõjuv gravitatsioonijõud on suunatud seda jõudu tekitava osakese poole. (3) Me võime kasutada süsteemi sümmeetriat selleks, et arvutusi lihtsustada.

Arvutused: Arvutades osakesele $1$ mõjuvate jõudude tugevusi, paneme esmalt tähele, et osakesed $2$ ja $4$ on võrdse massiga ja asuvad osakesest $1$ võrdsetel kaugustel $r=2a$. Valemist 13-1 leiame

(13-7)

$F_{12}=F_{14}=\frac{G{m}_1{m}_2}{(2a{)}^2}$

Kuna osakesed $3$ ja $5$ on võrdse massiga ja asuvad mõlemad osakesest $1$ kaugusel $r=a$, leiame analoogiliselt, et

(13-8)

$F_{13}=F_{15}=\frac{G{m}_1{m}_3}{a^2}$

Me võime neisse kahte valemisse asetada teadaolevad arvulised väärtused ja arvutada vastavate jõudude tugevused. Seejärel võime kujutada jõudude suunad osakesele mõjuvate jõudude vektordiagrammil, nagu on tehtud joonisel 13-5b, ja siis leida resultantjõu, mida saab teha kahel viisil: (1) jagades vektorid $x$- ja $y$-komponentideks, leides vastavalt resultantjõu $x$- ja $y$-komponendid ning ühendades need vastavalt vektoralgebra reeglitele või (2) liites vektorid vastavat funktsiooni omaval kalkulaatoril.

Selle kõige asemel aga võime veel kasutada ülesande sümmeetriat. Esmalt paneme tähele, et vektorid ${\overrightarrow{F}}_{12}$ ja ${\overrightarrow{F}}_{14}$ on võrdsete pikkuste ja vastupidiste suundadega ning seega nad kompenseerivad teineteist. Arvestades valemit 13-8, paneme joonist 13-5b kasutades tähele, et ka jõudude ${\overrightarrow{F}}_{13}$ ja $F_{15}$ $x$-telje sihilised komponendid kompenseerivad teineteist. Nende jõudude $y$-komponendid on võrdsete pikkustega ning mõlemad on suunatud $y$-telje positiivses suunas. Seega resultantjõud ${\overrightarrow{F}}_{1,res}$ mõjub $y$-telje positiivses suunas ja tema suurus on kaks korda suurem vektori ${\overrightarrow{F}}_{13}$ y-komponendi väärtusest:

$\begin{array}{ccc}{F}_{1,res}=2F_{13}\cos \theta & =2\frac{G{m}_1{m}_3}{a^2}\cos \theta & \\ =\frac{2(6,67\times {10}^{-11}{m}^3/kg\cdot s^2)(8,0kg)(2,0kg)}{(0,020m{)}^2}\cos {30}^{\circ }& & \\ =4,6\times {10}^{-6}N& & \end{array}$

Paneme tähele, et osake $5$, mis asub osakeste $1$ ja $4$ vahel, ei muuda gravitatsioonijõudu, millega osake $4$ mõjub osakesele $1$.

Eeldame, et Maa on ühtlane kera massiga $M$. Kui punktosake massiga m asub Maa pinna kohal kaugusel $r$ Maa keskpunktist, siis on temale mõjuva Maa gravitatsioonijõu tugevus vastavalt valemile 13-1

Kui osake lahti lasta, siis hakkab ta gravitatsioonijõu $\overrightarrow{F}$ mõjul langema Maa keskpunkti suunas kiirendusega, mida nimetatakse gravitatsioonikiirenduseks ehk raskuskiirenduseks ${\overrightarrow{a}}_g$. Newtoni teise seaduse kohaselt on suurused $F$ ja $a_g$ omavahel seotud,

Asendades suuruse $F$ valemist 13-9 valemisse 13-10 ja lahendades selle $a_g$ suhtes, saame

Tabelis 13-1 on toodud ag väärtused, mis on arvutatud eri kõrgustel Maa pinnast. Paneme tähele, et $a_g$ on märkimisväärne isegi $400\text{km}$ kõrgusel.

Alates punktist 5-4 oleme eeldanud, et Maa on inertsiaalsüsteem ja pole arvestanud Maa pöörlemist. See lihtsustus lubas meil eeldada, et osakese vaba langemise kiirendus $g$ on identne osakese raskuskiirendusega, mida me tähistame $a_g$. Veelgi enam, me eeldasime, et $g$ on ühesuguse väärtusega $9,8m/s^2$ Maa pinna igas punktis. Tegelikult erineb konkreetses asukohas mõõdetud $g$ väärtus sama asukoha jaoks valemist 13-11 arvutatud ag väärtusest. See erinevus tuleneb kolmest asjaolust: (1) Maa mass ei ole jaotunud ühtlaselt, (2) Maa ei ole ideaalne kera ja (3) Maa pöörleb. Veelgi enam, kuna $g$ erineb $a_g$‑st, siis neil kolmel loetletud põhjusel erineb ka osakese mõõdetud kaal $mg$ osakesele mõjuva gravitatsioonijõu tugevusest, mis on antud valemiga 13-9. Järgnevalt vaatame neid põhjuseid lähemalt.

1. Maa mass ei ole jaotunud ühtlaselt. Maa tihedus (mass ruumalaühiku kohta) muutub radiaalsuunaliselt (joonis 13-6) ja lisaks on maakoore (Maa välimise osa) tihedus piirkonniti erinev. Seega muutub $g$ väärtus piirkonniti, sõltuvalt asukohast Maakera pinnal.
2. Maa ei ole ideaalne kera. Maa on ligikaudu ellipsoid, mis on poolustelt kokku surutud ja ekvaatori kohal välja venitatud. Maa ekvatoriaalne raadius on $21km$ suurem kui polaarraadius. Seega on poolusel asuv punkt Maa tihedale tuumale lähemal kui ekvaatoril asuv punkt. See on üks põhjustest, miks vaba langemise kiirendus $g$ suureneb, kui liikuda merepinna tasemel ekvaatorilt ükskõik kumma pooluse poole.
3. Maa pöörleb. Maa pöörlemistelg läbib Maa põhja- ja lõunapoolust. Maa pinnal asuv keha, kui ta ei ole täpselt poolusel, liigub mööda ringjoont ümber pöörlemistelje ja seega on sel kehal ka tsentripetaalkiirendus, mis on suunatud ringjoone keskpunkti poole. Sellele tsentripetaalkiirendusele vastab tsentripetaaljõud, mis on samuti suunatud ringjoone keskpunkti poole.

Selleks et mõista, kuidas Maa pöörlemine põhjustab $g$ ja $a_g$ erinevuse, vaatame lihtsat näidet. Paiknegu kast massiga m kaalul, mis asub ekvaatoril. Joonisel 13‑7a on kujutatud seda olukorda nii, nagu see paistaks vaadatuna kosmosest põhjapooluse kohalt.

Kastile mõjuvate jõudude vektordiagramm on kujutatud joonisel 13-7b. Jooniselt on näha, et kastile mõjub kaks jõudu, mis on suunatud mööda radiaalsuunalist r-telge alguspunktiga Maa keskpunktis. Kastile mõjuv kaalu normaaljõud ${\overrightarrow{F}}_N$ on suunatud r-telje positiivses suunas (väljapoole). Gravitatsioonijõud, esitatuna kujul $m{\overrightarrow{a}}_g$, on suunatud Maa keskpunkti poole. Et Maa pööreldes liigub kast ligikaudu mööda ringjoont, siis on kastil ka tsentripetaalkiirendus $\overrightarrow{a}$, mis on suunatud Maa keskpunkti suunas. Valemist 10-23 ($a_r={\omega }^{2}r$) teame, et tsentripetaalkiirendus on arvutatav kui ${\omega }^R$, kus $\omega$ on Maa nurkkiirus ja $R$ on selle ringjoone raadius, mida mööda liikumine toimub (käesoleval juhul ligikaudu Maa raadius). Nüüd saame kirjutada Newtoni teise seaduse r-telje sihiliste jõukomponentide jaoks ($F_{\text{res},r}=m{a}_r$) kujul

Normaaljõu $F_N$ tugevus on võrdne kasti mõõdetud kaaluga $mg$. Asendades valemis 13-12 normaaljõu $F_N$ suurusega $mg$ saame

mis ütleb meile, et

Seega on kasti mõõdetud kaal väiksem kui kastile mõjuv gravitatsioonijõud, sest nüüd oleme arvestanud ka Maa pöörlemisega. Jagades valemi 13-13 läbi massiga m saame seose $g$ ja $a_g$ vahel,

mis ütleb meile, et

Seega on Maa pöörlemise tõttu vaba langemise kiirendus väiksem kui raskuskiirendus.

Vaba langemise kiirenduse $g$ ja raskuskiirenduse $a_g$ vahe on võrdne suurusega ${\omega }^{2}R$ ning see vahe on suurim ekvaatoril (üheks põhjuseks see, et ringjoone raadius, mida mööda kast liigub, on suurim ekvaatoril). Selle vahe leidmiseks saame kasutada valemit 10-5 ($\omega =\Delta \theta /\Delta t$) ja Maa raadiuse arvulist väärtust $R=6,37\times {10}^6\text{m}$. Ühele täispöördele vastav nurk $\theta$ on võrdne $2\pi$ radiaaniga ja üheks täispöördeks kuluv ajavahemik $\Delta t$ on ligikaudu 24 tundi. Kasutades suuruste teadaolevaid väärtusi (ja teisendades tunnid sekunditeks) leiame, et vaba langemise kiirendus $g$ on raskuskiirendusest ag väiksem suuruse $0,034m/s^2$ võrra, mis on väike võrreldes tema väärtusega $9,8m/s^2$. Seetõttu on $g$ ja $a_g$ erinevuse mittearvestamine enamasti põhjendatud. Samuti on põhjendatud ka kaalu ja raskusjõu erinevuse mittearvestamine.

Newtoni kihiteoreemi saab rakendada ka olukorras, kus punktosake paikneb seespool ühtlast ainekihti, ja tulemuse võib sõnastada järgmiselt:

Hoiatus: See ei tähenda, et kihi elementide poolt osakesele mõjuvad gravitatsioonijõud kaovad müstilisel viisil. See tähendab hoopiski seda, et osakesele kihi kõigi elementide poolt mõjuvate jõuvektorite summa on null.

Kui Maa mass oleks jaotunud ühtlaselt, siis oleks osakesele mõjuv gravitatsioonijõud maksimaalne Maa pinnal ja kahaneks, kui osake liiguks planeedist eemale. Kui osake liiguks planeedi sisemuse poole, näiteks sügava kaevanduse šahti, siis gravitatsioonijõud muutuks kahel põhjusel. (1) Jõud kasvaks, sest osake liigub lähemale Maa keskpunktile. (2) Jõud kahaneks, sest järjest paksenev ainekiht, mis jääb väljapoole osakese radiaalsuunalist asukohta, ei osale osakesele mõjuvas resultantjõus.

Kui Maa oleks ühtlane kera, siis teine efekt domineeriks – osakesele mõjuv jõud kahaneks pidevalt ning saaks nulliks, kui osake jõuab Maa keskpunkti. Kuna aga Maa ei ole ühtlane, siis tegelikul liikumisel Maa keskpunkti poole osakesele mõjuv jõud algul kasvab, saavutab maksimumi teatud sügavusel ja hakkab seejärel kahanema.

Näidisülesanne 13-4

George Griffithi vanas ulmeloos „Pooluselt poolusele” püüavad kolm uurijat reisida mööda looduslikult tekkinud (ja loomulikult väljamõeldud) tunnelit lõunapooluselt põhjapoolusele (joonis 13-8). Selle jutu kohaselt kogevad uurijad Maa keskpunkti poole liikumisel ebamugavusega järjest tugevnevat gravitatsioonijõudu. Kui kapsel uurijatega jõuab täpselt Maa keskpunkti, kaob gravitatsioonijõud ootamatult, kuid üksnes hetkeks. Seejärel läbib uurijatega kapsel teise poole teekonnast, kuni jõuab põhjapoolusele. Kontrollige Griffithi kirjeldust. Selleks tuleb leida gravitatsioonijõud, mis mõjub kapslile massiga m, juhul kui kapsel jõuab kaugusele $r$ Maa keskpunktist. Eeldame, et Maa on ühtlase tihedusega $\rho$ kera (tihedus on mass ruumalaühiku kohta).

Lahendus

JUHTMÕTTED Newtoni kihiteoreem annab meile kolm ideed:

1. Kaugusel $r$ Maa keskpunktist on teatav hulk massist väljaspool selle raadiusega kerapinda ja seega ei osale kapslile mõjuvas gravitatsioonijõus.
2. Üksnes see osa Maa massist, mis jääb sissepoole kerapinda raadiusega $r$, osaleb kapslile mõjuvas gravitatsioonijõus.
3. Maa massi seda osa $M_{\text{sees}}$, mis jääb sissepoole kapsli asukohta, võime vaadelda kui Maa keskpunktis asuvat punktosakest massiga $M_{\text{sees}}$.

Arvutused: Toodud kolm juhtmõtet lubavad kapslile mõjuva jõu tugevuse arvutamiseks kasutada valemit 13-1,

(13-17)

$F=\frac{G{M}_{\text{sees}}}{r^2}$

Selleks et esitada mass $M_{\text{sees}}$ raadiuse $r$ kaudu, arvestame, et raadiusega $r$ kerapinna sisse jääv ruumala $V_{\text{sees}}$ on $\left(\frac{4}{3}\right)\pi {\rho }^3$. Kuna me eeldasime, et Maa tihedus on ühtlane, siis on ta esitatav valemiga ${\rho }_{\text{sees}}=M_{\text{sees}}/V_{\text{sees}}$ ja see on võrdne Maa tihedusega $\rho$. Seega saame $M_{\text{sees}}$ jaoks valemi

(13-18)

$M_{\text{sees}}=\rho M_{\text{sees}}=\rho \frac{4\pi r^3}{3}$

Asetades selle avaldise valemisse 13-17, saame

(13-19)

$F=\frac{4\pi Gm\rho }{3}r$

See seos ütleb meile, et kapslile mõjuv jõud $F$ muutub võrdeliselt kapsli kaugusega $r$ Maa keskpunktist. Seega $r$ kahanedes kahaneb ka jõud $F$, kuni see saab nulliks Maa keskpunktis (vastupidi Griffithi kirjeldusele). Vähemalt see on Griffithi jutus õige, et Maa keskpunktis saab resultantjõud nulliks.

Võrrandi 13-19 võib esitada ka jõuvektori $\overrightarrow{F}$ ja kapsli radiaalse kohavektori $r$ kaudu (radiaaltelg algab Maa keskpunktis). Tähistades üksnes konstante sisaldava liikme $4\pi Gm\rho /3$ tähega $K$, saame valemi 13-19 esitada kujul

(13-20)

$\overrightarrow{F}=-K\overrightarrow{r}$

kus lisatud miinusmärk tähendab seda, et vektorid $\overrightarrow{F}$ ja $\overrightarrow{r}$ on vastassuunalised. Valemil 13-20 on sama kuju kui Hooke’i seadusel (valem 7-20, $\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{d}$). Niisiis, meie ulmelise loo raames hakkaks kapsel Maa keskpunkti ümber võnkuma nagu klots vedru küljes: kukkunud lõunapooluselt Maa keskpunkti, jätkaks ta oma liikumist (nagu Griffith ütles) keskpunktist põhjapooluseni ja siis jälle tagasi, korrates selliseid võnkeid igavesti.

Punktis 8-4 vaatasime gravitatsiooniliselt seotud süsteemi, mis koosnes punktmassist ja Maast, ning leidsime selle süsteemi gravitatsiooni potentsiaalse energia. Selleks et hoida punktosakesele mõjuvat gravitatsioonijõudu konstantsena, tuli eeldada, et osake asub maapinna lähedal. Seejärel valisime mingi selle süsteemi tugioleku, mille gravitatsiooni potentsiaalse energia võtsime võrdseks nulliga. Sageli valitakse nullnivooks olek, kus osake on maapinnal. Sel juhul hakkaks maapinnast kõrgemal olevate osakeste gravitatsiooni potentsiaalne energia vähenema, kui kaugus osakeste ja maapinna vahel väheneks.

Üldistame nüüd seda käsitlust ja vaatame kahest osakesest koosneva süsteemi gravitatsiooni potentsiaalset energiat $U$, kus osakeste massid on vastavalt $m$ ja $M$ ning nendevaheline kaugus on $r$. Edasi valime süsteemi tugioleku, millele vastava potentsiaalse energia $U$ loeme nulliks. Selleks et valemeid lihtsustada, valime tugiolekuks süsteemi sedavõrd suure osakestevahelise kaugusega $r$, et võime seda käsitleda lõpmata suurena. Ka sel juhul gravitatsiooni potentsiaalne energia väheneb, kui osakestevaheline kaugus väheneb. Et $U=0$, kui $r=\infty$, siis on potentsiaalne energia negatiivne suvalise lõpliku osakestevahelise kauguse korral ning muutub järjest negatiivsemaks, kui osakestevaheline kaugus väheneb.

Eespool öeldut arvestades (vt ka tõestust allpool) kirjutame kahest osakesest koosneva süsteemi potentsiaalse energia avaldise kujul

Paneme tähele, et $U\left(r\right)$ läheneb nullile, kui $r$ läheneb lõpmatusele, ja iga lõpliku $r$ korral on $U\left(r\right)$ negatiivne.

Potentsiaalse energia avaldis 13-21 iseloomustab kahest osakesest koosnevat süsteemi ja ei iseloomusta kumbagi osakest eraldi. Seda energiat ei ole võimalik osakeste vahel ära jagada sellisel viisil, et saaksime öelda, et teatav osa kuulub ühele osakesele ja ülejäänud osa teisele osakesele. Siiski, juhul kui $M\gg m$, näiteks kui süsteemiks on Maa massiga $M$ ja pall massiga $m$, öeldakse tihti, et kehal massiga $m$ on potentsiaalne energia. Me võime sellega leppida, sest juhul, kui pall liigub maapinna lähedal, siis süsteemi pall–Maa potentsiaalse energia muutus ilmneb peaaegu täielikult palli kineetilise energia muutusena ja Maa kineetilise energia muutus on täiesti tühine. Punktis 13-8 vaatleme küsimust Maa orbiidil tiirlevast tehiskaaslasest ja ka seal räägime tehiskaaslase potentsiaalsest energiast, sest tema mass on tühine võrreldes Maa massiga. Kui aga süsteemi moodustavate kehade massid on samas suurusjärgus, siis peame potentsiaalset energiat mõistma kui tervet süsteemi iseloomustavat suurust.

Juhul kui vaadeldav süsteem koosneb rohkemast kui kahest osakesest, siis peame vaatlema võimalikke osakesepaare ühekaupa ning arvutama igale osakesepaarile vastava gravitatsiooni potentsiaalse energia valemist 13-21, kusjuures süsteemi ülejäänud osakeste olemasolu pole vaja arvestada. Kogu süsteemi potentsiaalse energia saamiseks tuleb kõikidele osakesepaaridele vastavad potentsiaalsed energiad algebraliselt liita. Näitena vaadelgem joonisel 13-9 kujutatud kolmest osakesest koosnevat süsteemi. Rakendame valemit 13-21 kõigile kolmele paarile, summeerime paaride potentsiaalsed energiad ning saame kogu süsteemi potentsiaalse energia kujul

Valemi 13-21 tõestus

Lööme palli Maast eemale mööda vertikaalset trajektoori, nii nagu on kujutatud joonisel 13-10. Leiame palli gravitatsiooni potentsiaalse energia $U$ avaldise punktis $P$, mis asub kaugusel $R$ Maa keskpunktist. Kõigepealt arvutame töö $W$, mida teeb gravitatsioonijõud selleks, et viia pall punktist $P$ suurele (lõpmatule) kaugusele Maast. Kuna gravitatsioonijõud $\overrightarrow{F}\left(r\right)$ ei ole konstantne (jõu tugevus sõltub kaugusest $r$), siis tuleb töö leidmiseks kasutada punktis 7-8 kirjeldatud protseduuri – integreerimist. Töö avaldis vektorkujul on antav integraaliga

(13-23)

$W={\int }_R^{\infty }\overrightarrow{F}\left(r\right)\cdot d\overrightarrow{r}$

Integraalimärgi all on jõuvektori $\overrightarrow{F}$ ja palli liikumise suunalise lõpmata väikese nihkevektori $d\overrightarrow{r}$ skalaarkorrutis. Seda saab avaldada kujul

(13-24)

$\overrightarrow{F}\left(r\right)\cdot d\overrightarrow{r}=F\left(r\right)dr\cos \varphi$

kus $\varphi$ on nurk vektorite $\overrightarrow{F}$ ja $d\overrightarrow{r}$ vahel. Vektorid $\overrightarrow{F}$ ja $d\overrightarrow{r}$ on vastassuunalised ja seega $\varphi ={180}^{\circ }$. Asendades jõu avaldise valemist 13-1, saame valemi 13-24 kirjutada

$\overrightarrow{F}\left(r\right)\cdot d\overrightarrow{r}=-\frac{GMm}{r^2}dr$

kus $M$ on Maa mass ja $m$ on palli mass.

Asetame selle avaldise valemisse 13-23 ning integreerime, saame

(13-25)

$W=-GMm{\int }_R^{\infty }\frac{1}{r^2}dr=[\frac{GMm}{r}{]}_R^{\infty }=0-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{r}$

kus $W$ on töö, mida tuleb teha selleks, et liigutada palli punktist $P$ (kauguselt $R$) lõpmatusse. Valem 8-1 ($\Delta U=-W$) ütleb meile, et töö on võimalik esitada ka potentsiaalse energia kaudu

$U_{\infty }-U=-W$

Potentsiaalne energia lõpmatuses on null ($U_{\infty }=0$), $U$ on potentsiaalne energia punktis $P$ ja töö $W$ on antud valemiga 13-25, seega saame kirjutada

$U=W=-\frac{GMm}{R}$

Asendades selles valemis tähise $R$ tähisega $r$, saame valemi 13-21, mida oligi tarvis tõestada.

Sõltumatus liikumistee kujust

Joonisel 13-11 kujutatud juhul liigub pall punktist $A$ punkti $G$ mööda teed, mis koosneb kolmest radiaalsest liikumisest ja kolmest liikumisest mööda ringjoone kaart (keskpunktiga Maa tsentris). Meid huvitab Maa gravitatsioonijõu $\overrightarrow{F}$ poolt tehtav summaarne töö $W$, mida on tarvis teha palli liigutamiseks punktist $A$ punkti $G$. Piki ringjoone kaart liikumisel tehtud töö on null, sest kaare igas punktis on jõuvektor $\overrightarrow{F}$ risti nihkevektoriga. Seega on summaarne töö võrdne nende kolme töö summaga, mida jõud $\overrightarrow{F}$ teeb radiaalsuunalistel liikumistel.

Kujutleme nüüd, et ringjoone kaared tõmbuvad kokku lõpmata väikesteks. Sel juhul liiguks pall otse punktist $A$ punkti $G$ mööda ühte radiaalset teed. Kas see muudab tehtud tööd $W$? Ei muuda, sest liikumisel mööda ringjoone kaari tööd ju ei tehtud ja seega nende kõrvaldamine tööd ei muuda. Liikumistee punktist $A$ punkti $G$ on sel juhul küll teistsugune, aga jõu $\overrightarrow{F}$ poolt tehtud töö on sama.

Me vaatlesime töö sõltumatust trajektoori valikust üldiselt punktis 8-3. Praeguse arutelu võime sealtoodu põhjal kokku võtta väitena, et gravitatsioonijõud on konservatiivne jõud. See tähendab, et gravitatsioonijõu poolt tehtud töö osakese liigutamisel mingist algpunktist $i$ mingisse lõpp-punkti $f$ ei sõltu sellest, millist teed mööda osake nende punktide vahel liigub. Valemist 8-1 saame, et gravitatsiooni potentsiaalse energia muut liikudes punktist $i$ punkti $f$ on esitatav valemiga

$\Delta U=U_f-U_i=-W$

Kuna konservatiivse jõu poolt tehtud töö $W$ on liikumisteest sõltumatu, siis on ka potentsiaalse energia muut $\Delta U$ liikumisteest sõltumatu.

Planeetide näiv liikumine tähtede suhtes on olnud mõistatuseks aegade algusest. Marsi liikumine mööda silmuseid (joonis 13-12) oli eriti kummaline. Aastaid kestnud uurimistöö tulemusena sõnastas Johannes Kepler (1571–1630) empiirilised seadused, mis kirjeldavad neid liikumisi. Tycho Brahe (1546–1601) – viimane kuulus astronoom, kes tegi vaatlusi teleskoopi kasutamata – kogus suure hulga andmeid, mille alusel Kepleril õnnestus tuletada kolm seadust planeetide liikumise kohta, mis praegu on tuntud Kepleri seadustena. Hiljem näitas Newton (1642–1727), et Kepleri seadused järelduvad tema sõnastatud gravitatsiooniseadusest.

JOONIS 13-12 Marsi liikumine Kaljukitse tähtkuju suhtes, nähtuna Maalt 1971. aasta jooksul. Planeedi asukoht on märgitud neljal päeval. Nii Marss kui ka Maa tiirlevad orbiidil ümber Päikese ja seega jälgime Marsi asukohta tähistaevas meie suhtes. See suhteline liikumine tekitabki mõnikord näivasse Marsi trajektoori silmuse.

JOONIS 13-13 Planeet massiga m liigub elliptilisel orbiidil ümber Päikese. Päike, mille mass on $M$, asub ellipsi ühes fookuses $F$. Ellipsi teine fookus $F\text{'}$ asub eemal tühjas ruumis. Mõlemad fookused on ellipsi keskpunktist kaugusel $ea$, kus $e$ on ellipsi ekstsentrilisus. Ellipsi suur pooltelg $a$, periheeli (orbiidi lähim punkt Päikesele) kaugus $R_{\rho }$ ja afeeli (orbiidi kaugeim punkt Päikesest) kaugus $R_a$ on samuti näidatud.

Järgnevalt käsitleme ükshaaval kõiki kolme Kepleri seadust. Olgugi et me sõnastame need seadused Päikese ümber tiirlevate planeetide jaoks, kehtivad nad iga massiivse keha ümber tiirlevate kehade, näiteks ümber Maa tiirlevate looduslike ja ka tehislike satelliitide jaoks.

Joonisel 13-13 on kujutatud planeeti massiga $m$ liikumas elliptilisel orbiidil ümber Päikese, mille mass on $M$. Me eeldame, et $M\gg m$, ja see tähendab, et süsteemi planeet–Päike massikese asub ligikaudu Päikese keskpunktis.

Joonisel 13-13 kujutatud orbiiti kirjeldavad täielikult tema suur pooltelg $a$ ja tema ekstsentrilisus $e$, mis on defineeritud nii, et suurus ea oleks võrdne kaugusega ellipsi keskpunktist ükskõik kumma fookuseni, $F$ või $F\text{'}$. Nulliga võrdne ekstsentrilisus vastab ringjoonele, mille korral fookused langevad kokku ja asuvad ringjoone keskpunktis. Planeetide orbiitide ekstsentrilisused ei ole suured ja seetõttu on nad õiges proportsioonis joonistatuna väga lähedased ringjoonele. Näitlikkuse huvides on joonisel 13-13 kujutatud ellipsi ekstsentrilisus liialdatult suur, $0,74$. Maa orbiidi ekstsentrilisus on ainult $0,0167$.

Kvalitatiivselt tähendab Kepleri teine seadus seda, et planeet liigub kõige aeglasemalt, kui ta on Päikesest kõige kaugemal, ja kõige kiiremini, kui ta on Päikesele kõige lähemal. Tuleb välja, et Kepleri teine seadus on täielikult ekvivalentne pöörlemishulga (impulsimomendi) jäävuse seadusega. Tõestame selle.

Joonisel 13-14a kujutatud varjutatud kiilu pindala on ligikaudu võrdne Päikest ja temast kaugusel $r$ olevat planeeti ühendava mõttelise joone poolt ajavahemiku $\Delta t$ jooksul kaetud pindalaga. Varjutatud kiilu pindala $\Delta A$ on ligikaudu võrdne kolmnurga pindalaga, mille alus on $r\Delta \theta$ ja kõrgus on $r$. Kuna kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja kõrguse korrutisest, siis saame $\Delta A\approx \frac{1}{2}{r}^2\Delta \theta$. See avaldis pindala $\Delta A$ jaoks muutub seda täpsemaks, mida enam ajavahemik $\Delta t$ (ja seega ka $\Delta \theta$) läheneb nullile. Varjutatud pindala muutumise hetkkiirus on seega

kus $\omega$ on Päikest ja tema ümber tiirlevat planeeti ühendava mõttelise joone nurkkiirus. Joonisel 13-14b on kujutatud planeedi liikumishulga vektor $\overrightarrow{p}$ ning selle vektori radiaalsuunaline ja sellega risti olev komponent. Valemi 11-20 ($L=r{p}_{\perp }$) kohaselt on Päikese ümber tiirleva planeedi pöörlemishulga vektori $\overrightarrow{L}$ suurus määratud kauguse $r$ ja liikumishulga vektori $\overrightarrow{p}$ radiaalsuunaga $r$ risti oleva komponendi ${\overrightarrow{p}}_{\perp }$ korrutisega. Massiga $m$ planeedi jaoks saame seega

kus me oleme $v_{\perp }$ asendanud suurusega $\omega r$ (valem 10-18). Elimineerides valemitest 13-30 ja 13-31 suuruse $r^2\omega$, saame

Vastavalt Kepleri teisele seadusele on suurus $dA/dt$ konstantne ja seega järeldub valemist 13-32, et ka $L$ peab olema konstantne, mis tähendabki seda, et pöörlemishulk on jääv. Näeme, et Kepleri teine seadus on tõepoolest ekvivalentne pöörlemishulga jäävuse seadusega.

Selles veendumiseks vaatleme ringorbiiti raadiusega $r$ (ringjoone raadiuse võtame võrdseks ellipsi suure poolteljega), mida on kujutatud joonisel 13-15. Rakendame Newtoni teist seadust ($F=ma$) orbiidil liikuvale planeedile, saame

Siin oleme jõu tugevuse $F$ asendanud valemist 13-1 ning tsentripetaalkiirenduse asendanud suurusega ${\omega }^{2}r$, kasutades valemit 10-23. Kui nüüd valemi 10-20 põhjal asendada suurus ω suurusega $2\pi /T$, kus $T$ on tiirlemisperiood, saamegi Kepleri kolmanda seaduse:

Sulgudes olev liige on konstant, mis sõltub ainult tsentraalkeha massist $M$, mille ümber planeet tiirleb.

Valem 13-34 jääb kehtima ka elliptiliste orbiitide korral, kui me asendame ringjoone raadiuse $r$ ellipsi suure poolteljega $a$. Kolmas seadus ennustab, et suhe $T^2/a^3$ on ligikaudu ühesugune kõigi sama tsentraalkeha ümber tiirlevate planeetide jaoks. Tabelis 13-3 esitatud andmed näitavad, kui täpselt see kehtib Päikesesüsteemi planeetide korral.

Näidisülesanne 13-7

Pöördume tagasi peatüki avaloo juurde. Joonisel 13-16 on kujutatud tähe S2 vaadeldud orbiiti ümber saladusliku ja mittevaadeldud objekti, mida nimetatakse Sagittarius A* (loe: „A tärn”) ning mis asub Linnutee keskmes. Tähe $S2$ tiirlemisperiood ümber Sagittarius A* on $15,2$ aastat ja orbiidi suur pooltelg on $a=5,50$ valgusaastat ($=1,42\times {10}^{14}\text{m}$). Kui suur on Sagittarius A* mass $M$? Mis objekt on Sagittarius A*?

Lahendus

JUHTMÕTE Tiirlemisperiood $T$ ja orbiidi suur pooltelg a on seotud Sagittarius A* massiga $M$ vastavalt Kepleri perioodide seadusele. Asendades valemis 13-34 ringorbiidi raadiuse $r$ elliptilise orbiidi suure poolteljega $a$, saame

(13-36)

$T^2=\left(\frac{4{\pi }^2}{GM}\right)$

Arvutused: Avaldades seosest 13-36 suuruse $M$ ja asendades teadaolevad andmed, saame kirjutada

$M=\frac{4p{i}^2{a}^3}{G{T}^2}=\frac{4{\pi }^2(1,42\times {10}^{14}m{)}^3}{(6,67\times {10}^{(}-11)N\cdot m^2/k{g}^2\left)\right[(15,2a)(3,16\times {10}^{7}s/a){]}^2}=\underset{–}{\underset{–}{7,35\times {10}^{36}kg}}$

Selleks et saada aimu, mis laadi objekt Sagittarius A* olla võiks, jagame selle massi läbi Päikese massiga ($\text{P}\ddot{\text{a}}\text{ike}=1,99\times {10}^{30}kg$) ja saame, et

 

$M=(3,7\times {10}^6)M_{\text{P}\ddot{\text{a}}\text{ike}}$

Seega on Sagittarius A* mass $3,7$ miljonit korda suurem kui Päikese mass, aga sellest hoolimata on ta nähtamatu! Tegemist on äärmiselt kompaktse massiivse objektiga. Asjaolu, et tohutu mass on koondunud väga väikeste mõõtmetega objektiks, viitab võimalusele, et tegemist on ülimassiivse musta auguga. Järjest rohkem koguneb tõendeid selle kohta, et ülimassiivsed mustad augud asuvad enamiku galaktikate tsentrites. (Tähtede liikumist ümber Sagittarius A* näitavaid videoklippe on võimalik leida ka Internetist, näiteks otsides fraasi „black hole galactic center”).