Doppleri efekt

Politseiauto seisab maantee ääres ja on käivitanud sireeni, mille sagedus on $1000 H z$ . Kui te olete auto samuti parkinud maantee äärde, kuulete te sama sagedusega heli. Kui aga teie auto liigub politseiauto suhtes, kas siis selle poole või sellest eemale, siis kuulete juba teistsuguse sagedusega heli. Kui te näiteks sõidate politseiauto poole kiirusega $120 k m / h$ , kuulete te kõrgemat sagedust, nimelt $1096 H z$ . Helisagedus on suurenenud $96 H z$ võrra. Kui te aga sõidate politseiautost eemale sama kiirusega, siis kuulete te madalamat sagedust, nimelt $904 H z$ . Helisagedus on vähenenud $96 H z$ võrra.

Neid liikumisest sõltuvaid sageduse muutusi nimetatakse Doppleri efektiks. Seda efekti märkas austria füüsik Johann Christian Doppler 1842. aastal, kuid ta ei uurinud seda põhjalikult. Vastavad katsed teostas Buys Ballot Hollandis 1845. aastal, „kasutades vedurit, mis vedas lahtist vagunit hulga trompetimängijatega”.

Doppleri efekt kehtib mitte ainult helide, vaid ka elektromagnetlainete kohta, nagu näiteks mikrolained, raadiolained ja nähtav valgus. Siinkohal käsitleme me ainult helilaineid ja võtame taustsüsteemiks õhukeskkonna, kus need lained levivad. See tähendab, et heliallika $S$ ja helidetektori $D$ kiirust mõõdetakse selle õhukeskkonna suhtes. Kui ei ole kehtestatud teisi tingimusi, on õhukeskkond maapinna suhtes paigalolekus, nii et kiirusi võib mõõta ka maapinna suhtes. Eeldame, et nii $S$ kui ka $D$ liiguvad kas otse teineteise poole või otse teineteisest eemale kiirustega, mis on väiksemad helikiirusest.

Kui liigub kas detektor või allikas või kui nad mõlemad liiguvad, on emiteeritav sagedus $f$ ja detekteeritav sagedus $f^{'}$ omavahel seotud järgmiselt:

(Doppleri efekti üldvalem 17-47)

f^{'} = f \frac{v \pm v_{D}}{v \pm v_{S}}

kus $v$ on heli kiirus õhus, $v_{D}$ on detektori kiirus õhu suhtes ja $v_{S}$ on heliallika kiirus õhu suhtes. Pluss- või miinusmärk valitakse järgmise reegli järgi:

Kui detektor või heliallikas liiguvad teineteise poole, peab märk andma sageduse nihke kõrgema sageduse poole. Kui detektor või heliallikas liiguvad teineteisest eemale, peab märk andma sageduse nihke madalama sageduse poole.

Lühidalt öeldes, liikumine teineteise poole tähendab sageduse suurenemist ja teineteisest eemale tähendab sageduse vähenemist.

Toome selle reegli kohta mõned näited. Kui detektor liigub heliallika poole, tuleb selleks, et sagedus suureneks, kasutada valemi 17-47 lugejas plussmärki; kui ta liigub eemale, tuleb kasutada lugejas miinusmärki, et saada sageduse vähenemine. Kui detektor seisab paigal, asendage $v_{D}$ nulliga. Kui heliallikas liigub detektori poole, tuleb sageduse suurenemise saamiseks kasutada valemi 17-47 nimetajas miinusmärki. Kui ta liigub eemale, kasutage nimetajas plussmärki sageduse vähenemise saamiseks. Kui heliallikas on paigal, asendage $v_{S}$ nulliga.

Järgnevalt tuletame Doppleri efekti valemid kahe allpool toodud erijuhu jaoks ja siis tuletame valemi 17-47 üldjuhul.

Kui detektor liigub õhu suhtes ja heliallikas on õhu suhtes paigal, siis detektori liikumine muudab sagedust, millega detektor kohtab lainefronte, ja sellega muudab ta ka registreeritava heli sagedust.
Kui heliallikas liigub õhu suhtes ja detektor on õhu suhtes paigal, siis heliallika liikumine muudab helilaine lainepikkust ja sellega muudab ta ka registreeritavat sagedust (tuletame meelde, et sagedus on seotud lainepikkusega).

Detektor liigub, heliallikas on paigal

JOONIS 17-19 Paigalseisev heliallikas $S$ emiteerib sfäärilisi lainefronte, mida on kujutatud nii, et nende vahemaa on võrdne lainepikkusega. Lainefrondid liiguvad heliallikast eemale kiirusega $v$ . Helidetektor $D$ , mida on kujutatud kõrvana, liigub kiirusega $v_{D}$ heliallika poole. Oma liikumise tõttu registreerib detektor suuremat sagedust.

Joonisel 17-19 on kõrvana kujutatud detektor $D$ kiirusega $v_{D}$ liikumas paigalseisva heliallika $S$ poole. Allikas $S$ emiteerib sfäärilisi lainefronte lainepikkusega $λ$ ja sagedusega $f$ , mis liiguvad õhus helikiirusega $v$ . Lainefronte on kujutatud nii, et nende vahemaa on võrdne lainepikkusega. Sagedus, mida detektor registreerib, on sisuliselt lainefrontide (või üksikute lainete) detektorisse jõudmise kiirus. Paigalseisva detektori korral oleks see kiirus olnud $f$ , kuid kuna detektor liigub lainefrontidele vastu, on registreeritav sagedus $f^{'}$ suurem kui $f$ .

JOONIS 17-20 Joonise 17-19 lainefrondid, mida on kujutatud tasapinnalistena, (a) jõuavad paigalseisva detektorini ja (b) mööduvad temast. Nad liiguvad aja $t$ jooksul vahemaa $v t$ võrra paremale.

Kujutleme korraks olukorda, kus detektor $D$ on paigal (joonis 17-20). Aja t jooksul liiguvad lainefrondid vahemaa vt võrra paremale. Lõigul $v t$ asuvad kõik need lainefrondid, mis on läbinud detektorit aja $t$ jooksul, ja nende arv on seega $v t / λ$ . Kiirus, millega detektor $D$ registreerib lainefronte, on ühtlasi ka detektori poolt registreeritud sagedus

(17-48)

f = \frac{v t / λ}{t} = \frac{v}{λ}

Seega, kui detektor $D$ on paigal, siis ei ole mingit Doppleri efekti – detektor registreerib sama sagedust, mida emiteerib heliallikas $S$ .

JOONIS 17-21 Lainefrondid liiguvad paremale ja (a) jõuavad detektorini $D$ , mis liigub vastassuunas, ning (b) mööduvad temast. Aja $t$ jooksul liiguvad lainefrondid vahemaa $v t$ võrra paremale ja detektor $D$ liigub vahemaa $v_{D} t$ võrra vasakule.

Nüüd vaatleme taas olukorda, kus detektor $D$ liigub lainefrondi kiirusele vastupidises suunas (joonis 17-21). Aja $t$ jooksul liiguvad lainefrondid vahemaa $v t$ võrra paremale nagu eelmiselgi korral, kuid nüüd liigub detektor $D$ vahemaa $v_{D} t$ võrra vasakule. Seega aja t jooksul on lainefrondid läbinud detektori $D$ suhtes vahemaa $v t + v_{D} t$ . Lainepikkuste arv sellel vahemaal on $(v t + v_{D} t) / λ$ . Kiirus, millega detektor $D$ tabab antud olukorras lainefronte, on võrdne sagedusega $f^{'}$ , mis on avaldatav valemiga

(17-49)

f^{'} = \frac{(v t + v_{D} t) / λ}{t} = \frac{v + v_{D}}{λ}

Valemist 17-48 saame, et $λ = v / f$ . Seega saame valemi 17-19 avaldada kujul

(17-50)

f^{'} = \frac{v + v_{D}}{v / f} = f \frac{v + v_{D}}{v}

Paneme tähele, et valemis 17-50 on $f^{'} > f$ , välja arvatud siis, kui $v_{D} = 0$ (detektor on paigal).

Samal viisil saab leida sageduse, mida registreerib detektor $D$ , kui ta liigub heliallikast eemale. Sel juhul läbivad lainefrondid aja $t$ jooksul detektori $D$ suhtes vahemaa $v t - v_{D} t$ ja $f^{'}$ avaldub kujul

(17-51)

f^{'} = f \frac{v - v_{D}}{v}

Valemis 17-51 on $f^{'} > f$ , välja arvatud siis, kui $v_{D} = 0$ . Valemid 17-50 ja 17-51 saab kokku võtta üheks valemiks:

(detektor liigub, heliallikas on paigal, 17-52)

f^{'} = f \frac{v \pm v_{d}}{v}

Heliallikas liigub, detektor on paigal

JOONIS 17-22 Detektor $D$ on paigal ja heliallikas $S$ liigub tema suhtes kiirusega $v_{S}$ . Lainefront $W_{1}$ emiteeritakse siis, kui heliallikas on asukohas $S_{1}$ , ja lainefront $W_{7}$ emiteeritakse siis, kui heliallikas on asukohas $S_{7}$ . Joonisel kujutatud ajahetkel on heliallikas asukohas $S$ . Detektor registreerib suuremat sagedust, sest liikuv heliallikas, ajades taga juba emiteeritud lainefronte, tekitab oma liikumise suunas lühemaid lainepikkusi $λ^{'}$ .

Olgu nüüd detektor $D$ õhukeskkonna suhtes paigal ja heliallikas liikugu detektori suhtes kiirusega $v_{S}$ (joonis 17-22). Heliallika $S$ liikumine muudab tema poolt emiteeritavate helilainete lainepikkust ja seetõttu ka sagedust, mida registreerib detektor $D$ .

Selle näitamiseks oletame, et $T$ ( $= 1 / f$ ) on ajavahemik kahe teineteisele järgneva lainefrondi $W_{1}$ ja $W_{2}$ emiteerimise vahel. Ajavahemiku $T$ jooksul läbib lainefront $W_{1}$ vahemaa $v T$ ja heliallikas läbib vahemaa $v_{S} T$ . Ajavahemiku $T$ lõpus emiteeritakse lainefront $W_{2}$ . Heliallika $S$ liikumise suunas on vahemaa lainefrontide $W_{1}$ ja $W_{2}$ vahel, mis on sisuliselt lainepikkus $λ^{'}$ , võrdne suurusega $v T - v_{S} T$ . Kui detektor $D$ registreerib neid laineid, registreerib ta sageduse $f^{'}$ , mis on avaldatav valemiga

(17-53)

f^{'} = \frac{v}{λ^{'}} = \frac{v}{v T - v_{S} T} = \frac{v}{v / f - v_{S} / f} = f \frac{v}{v - v_{S}}

Paneme tähele, et $f^{'}$ peab olema suurem kui $f$ , välja arvatud siis, kui $v_{S} = 0$ .

Vastupidises suunas liikumisel on lainepikkus $λ^{'}$ võrdne suurusega $v T + v_{S} T$ . Kui detektor $D$ registreerib neid laineid, registreerib ta sageduse $f^{'}$ , mis on avaldatav valemiga

(17-54)

f^{'} = \frac{v}{v + v_{S}}

Nüüd peab $f^{'}$ olema suurem sagedusest $f$ , välja arvatud siis, kui $v_{S} = 0$ .

Valemid 17-50 ja 17-51 saab kokku võtta üheks valemiks:

(heliallikas liigub, detektor on paigal. 17-55)

f^{'} = f \frac{v}{v \pm v_{S}}

Doppleri efekti üldvalem

Nüüd saame tuletada Doppleri efekti üldvalemi, asendades valemis 17-55 sageduse $f$ (heliallika sagedus) sagedusega $f^{'}$ valemist 17-52 (sagedus, mis on seotud detektori liikumisega). Selle tulemuseks on Doppleri efekti üldvalem 17-47.

See üldvalem kehtib mitte ainult siis, kui liiguvad nii detektor kui ka heliallikas, vaid ka neil kahel erijuhul, mida on käsitletud ülapool. Kui detektor liigub ja heliallikas on paigal, annab asendus $v_{S} = 0$ valemis 17-47 meile ülaltoodud valemi 17-52. Kui heliallikas liigub ja detektor on paigal, annab asendus $v_{D} = 0$ valemis 17-47 meile teise ülaltoodud valemi 17-55. Nii et meelde tuleb jätta valem 17-47.

Joonisel on näidatud heliallika ja detektori liikumise suundade kuus varianti olukorras, kus õhukeskkond on paigal. Kas neis olukordades on registreeritav sagedus suurem või väiksem kui heliallika helisagedus, või selle kohta ei saa öelda midagi, kui ei ole tegelike kiiruste kohta rohkem informatsiooni?

Nahkhiired lendavad ja otsivad saaki kasutades ultrahelilaineid (nende helilainete sagedus on nii kõrge, et inimese kõrv neid ei kuule), mida nad emiteerivad ja seejärel võtavad vastu nende peegeldusi. Oletame, et nahkhiir emiteerib ultraheli sagedusel

f_{n e} = 82, 52 k H z

ja ta lendab kiirusega

{\to v}_{n} = (9, 00 m / s)^i

sel ajal, kui ta jahib ööliblikat, kes lendab kiirusega

{\to v}_{¨ o} = (8, 00 m / s)^i

. Kui suurt sagedust

f_{¨ o d}

registreerib ööliblikas?Kui suur on ööliblikalt peegeldunud kajasignaali sagedus fnd, mida registreerib nahkhiir?

Lahendus

JUHTMÕTTED Sagedus muutub seepärast, et nahkhiir ja ööliblikas liiguvad teineteise suhtes. Kuna nad liiguvad sama telje sihis, on sageduse muutus avaldatav Doppleri efekti üldvalemiga 17-47. Kui nad liiguvad teineteise poole, siis sagedus suureneb, ja kui nad liiguvad teineteisest eemale, siis sagedus väheneb.

Ööliblikas registreerib heli: Doppleri efekti üldvalem on

(17-56)

f^{'} = f \frac{v \pm v_{D}}{v \pm v_{S}}

Meil on registreeritavaks sageduseks $f^{'}$ sagedus $f_{¨ o d}$ , mida registreerib ööliblikas. Valemi paremal pool on emiteeritavaks sageduseks $f$ see sagedus, mida emiteerib nahkhiir, $f_{n e} = 82, 52 k H z$ . Heli kiirus on $v = 343 m / s$ , detektori kiiruseks $v_{D}$ on ööliblika kiirus $v_{¨ o} = 8, 00 m / s$ ja kiiruseks $v_{S}$ on nahkhiire kiirus $v_{n} = 9, 00 m / s$ .

Nende asenduste tegemine valemisse 17-56 on lihtne. Siiski võib osutuda keeruliseks otsustamine, kas tuleb kasutada pluss- või miinusmärki. Siin tuleb vaadata, kas on tegemist liikumisega millegi poole või millestki eemale. Valemi 17-56 paremal poolel on murru lugejas ööliblika (detektori) kiirus. Ööliblikas liigub nahkhiirest eemale, mis viib registreeritava sageduse vähenemisele. Kuna kiirus on murru lugejas, tuleb valida miinusmärk, et säilitada sageduse vähenemise tendentsi (lugeja suurus väheneb). Need loogikasammud on toodud tabelis 17-3.

Valemi 17-56 nimetajas on nahkhiire kiirus. Nahkhiir liigub ööliblika poole, mis viib registreeritava sageduse suurenemisele. Kuna kiirus on lugejas, tuleb valida miinusmärk, et säilitada sageduse suurenemise tendentsi (nimetaja suurus väheneb).

Kui on teostatud need asendused ja otsustused, saame valemi:

f_{¨ o d} = f_{n e} \frac{v - v_{¨ o}}{v - v_{n}} = (82, 52 k H z) \frac{343 m / s - 8, 00 m / s}{343 m / s - 9, 00 m / s} = 82, 767 k H z \approx 82, 8 k H z - -------- - - -------- -

Nahkhiir registreerib kaja: Kui kaja levib tagasi nahkhiire suunas, on ööliblikas heliallika rollis ja ta emiteerib heli sagedusega $f_{¨ o d}$ , mille leidsime just praegu. Nii et ööliblikas on nüüd heliallikas, mis liigub eemale, ja nahkhiir on detektor, mis liigub tema poole. Vastavad loogikasammud on toodud tabelis 17-3. Selleks et leida sagedus $f_{n d}$ , mida registreerib nahkhiir, avaldame valemi 17-56 kujul

f_{n d} = f_{¨ o d} \frac{v + v_{n}}{v + v_{¨ o}} = (82, 767 k H z) \frac{343 m / s - 9, 00 m / s}{343 m / s - 8, 00 m / s} = 83, 00 k H z \approx 83, 0 k H z - -------- - - -------- -

Mõnedel ööliblikatel õnnestub nahkhiirte käest ära lipsata, kui nad „segavad” nende registreerimissüsteemi ultraheliklõpsudega.

Heli levib nahkhiirelt ööliblikale		Kaja levib tagasi nahkhiirele
Detektor	Heliallikas	Detektor	Heliallikas
ööliblikas	nahkhiir	nahkhiir	ööliblikas
kiirus $v_{D} = v_{¨ o}$	kiirus $v_{S} = v_{n}$	kiirus $v_{D} = v_{n}$	kiirus $v_{S} = v_{¨ o}$
temast eemale	tema poole	tema poole	temast eemale
sagedus väheneb	sagedus suureneb	sagedus suureneb	sagedus väheneb
lugeja	nimetaja	lugeja	nimetaja
miinus	miinus	pluss	pluss

KONTROLLKÜSIMUS 4

Näidisülesanne 17-8