Elektronide piirkiiruse olemasolu näitas 1964. aastal katseliselt W. Bertozzi, kes kiirendas elektrone mitmesuguste mõõdetud kiirusteni ja – sõltumatu meetodi abil – mõõtis nende kineetilist energiat. Ta leidis, et kui suurendada väga kiiresti liikuvale elektronile rakendatavat jõudu, siis kasvab elektroni mõõdetud kineetiline energia väga suurte väärtusteni, samas kui kiirus märkimisväärselt ei kasva (joonis 37-2). Laborites on elektrone kiirendatud kuni kiiruseni $0,99999999995c$, aga ikka jääb see kiirus väiksemaks piirkiirusest $c$.

Täpselt määratud piirkiiruse väärtus on definitsiooni järgi

Hoiatus: siiani oleme selles raamatus andnud $c$ ligikaudseks väärtuseks $3,0\times {10}^{8}m/s$, kuid käesolevas peatükis kasutame sageli selle täpset väärtust. Võite salvestada täpse väärtuse oma kalkulaatori mälusse (kui seda seal juba pole), et see oleks vajaduse korral käepärast.

Kui valguse kiirus on ühesugune kõigis inertsiaalsüsteemides, siis peab labori suhtes liikuvalt valgusallikalt lähtuv valgus levima niisama suure kiirusega kui laboris seisvalt allikalt lähtuv valgus. Seda väidet on otseselt kontrollitud suure täpsusega katses. „Valgusallikaks” oli neutraalne pii-meson (sümbol ${\pi }^0$) – ebastabiilne lühikese elueaga osake, mis saadi osakeste kiirendis pärast osakeste põrkeid. See laguneb (muundub) kaheks gammakiireks protsessis

Gammakiired on osa elektromagnetilisest spektrist (väga kõrge sagedusega) ja seega alluvad ka need valguse kiiruse postulaadile nagu nähtav valguski. (Käesolevas peatükis nimetame valguseks mistahes elektromagnetlaine tüüpi ja mitte ainult nähtavat valgust.)

Aastal 1964 genereerisid füüsikud CERNis - Euroopa osakestefüüsika laboris Genfi lähedal - pii-mesonite voo, mis liikus labori suhtes kiirusega $0,9975c$. Seejärel mõõtsid nad nende väga kiirelt liikuvate allikate poolt kiiratud gammakiirte kiirust. Nad leidsid, et valgus, mida kiirgasid pii-mesonid, levis just samasuguse kiirusega, nagu oleks levinud labori suhtes paigal olevate pii-mesonite poolt kiiratud gammakiired - nimelt kiirusega $c$.

Selgitame samaaegsuse suhtelisust näite varal, mis põhineb relatiivsuse postulaadil, ilma kellasid ja mõõtevardaid otseselt kaasamata. Joonisel 37-4 on kujutatud kaks pikka kosmoselaeva SS Sally ja SS Sam, mis on taustsüsteemideks vaatlejaile Sally ja Sam. Mõlemad vaatlejad paiknevad oma raketi keskpunktis. Raketid on eraldatud piki ühist $x$-telge ja Sally relatiivne kiirus Sami suhtes on $\overrightarrow{v}$. Joonis 37-4a näitab rakette hetkel, kui kaks vaatlusjaama seisavad kõrvuti.

Rakettidega põrkuvad kaks meteoriiti, üks vallandab punase sähvatuse (punane sündmus) ja teine sinise (sinine sündmus) ning see ei toimu tingimata korraga. Kumbki sündmus jätab raketile jälje, kohtadele $RR\text{'}$ ja $BB\text{'}$.

Oletame nüüd, et mõlema sündmuse poolt tekitatud valguslaine frondid jõuavad Samini samaaegselt, nagu kujutatud joonisel 37-4b. Oletame seejärel, et pärast seda sündmust leiab Sam, olles mõõtnud märke oma raketil, et kui sündmused toimusid, oli ta $B$ ja $R$ vahel täpselt keskel. Tema väidab nii:

Sam: Valgus punaselt sündmuselt ja siniselt sündmuselt jõudis minuni korraga. Oma raketil olevate märkide järgi leidsin ma, et seisin poolel teel kahe allika vahel. Järelikult toimusid punane sündmus ja sinine sündmus üheaegselt.

Joonisel 37-4 näeme, et Sally ja valguslaine front punaselt sündmuselt liiguvad teineteisele vastu, samal ajal kui tema ise ja sinise sündmuse lainefront liiguvad ühes ja samas suunas. Seetõttu jõuab punase sündmuse lainefront Sallyni varem kui sinise sündmuse oma. Tema ütleb nii:

Sally: Valgus punaselt sündmuselt jõudis minuni enne kui valgus siniselt sündmuselt. Oma raketil olevate märkide järgi leidsin ma, et ka mina seisin poolel teel kahe allika vahel. Järelikult polnud sündmused samaaegsed; punane sündmus toimus varem, sellele järgnes sinine sündmus.

Need kaks järeldust ei ole omavahel kooskõlas. Sellele vaatamata on mõlemal vaatlejal õigus.

Pange hoolikalt tähele, et kummagi sündmuse kohalt levib vaid üks lainefront ja et see lainefront levib ühesuguse kiirusega $c$ mõlemas taustsüsteemis, nagu nõuab valguse kiiruse postulaat.

Oleks võinud juhtuda ka nii, et meteoriidid oleksid põrkunud rakettidega Sally mõõtmiste järgi samaaegselt. Kuid sel juhul deklareeriks Sam, et need sündmused polnud samaaegsed.

1. Mikroskoopilised kellad. Subatomaarsed osakesed müüonid ($\mu$-mesonid) on ebastabiilsed, mis tähendab seda, et kui müüon tekib, püsib see vaid lühikest aega ja siis laguneb (muundub teist tüüpi osakesteks). Müüoni eluiga on ajavahemik selle tekkimisest (sündmus $1$) lagunemiseni (sündmus $2$). Kui müüonid on paigal (statsionaarsed) ja nende eluiga mõõdetakse paigalolevate kelladega (näiteks laboris), siis on nende keskmine eluiga $2,200\mu s$. See on omaaeg, sest iga müüoni jaoks toimuvad sündmused $1$ ja $2$ müüoni taustsüsteemis samas kohas – nimelt müüoni enda asukohas. Tähistame seda omaaja vahemikku $\Delta t_0$ ja taustsüsteemi, milles see ajavahemik on mõõdetud, nimetame müüoni seisutaustsüsteemiks. Kui aga müüon liigub läbi labori, siis mõõdavad labori kellad pikemat keskmist eluiga (keskmise eluea dilatatsioon). Selle järelduse kontrollimiseks mõõdeti eluiga müüonitel, mis liikusid labori kellade suhtes kiirusega $0,9994c$. Võttes valemis 37-8 $\beta =0,9994$, saame sellise kiiruse korral Lorentzi teguri suuruseks
   

Valem 37-9 annab keskmise eluea dilatatsiooni

Tegelikult mõõdetud suurus on katsevea piirides selle tulemusega kooskõlas.

2. Makroskoopilised kellad. Oktoobris 1977 viisid Joseph Hafele ja Richard Keating läbi omapärase katse. Nad lennutasid neli kaasaskantavat aatomkella reisilennukitel kaks tiiru ümber maakera, üks kord ühes, teine kord vastupidises suunas. Nende eesmärgiks oli „testida Einsteini relatiivsusteooriat makroskoopiliste kelladega”. Nagu äsja nägime, on Einsteini teoorias ennustatud aja dilatatsioon leidnud kinnitust mikroskoopilises skaalas, aga oleks usaldusväärsem saada kinnitust ka tegelike kelladega mõõtmistest. Taolised makroskoopilised mõõteprotseduurid osutusid võimalikuks ainult tänu aatomkellade väga suurele täpsusele. Hafele ja Keating kinnitasid selle katsega teooria paikapidavust $10\%$ veaga. (Selles katses mängib oma osa ka Einsteini üldrelatiivsusteooria, mille järgi aja kulgemist kellas mõjutab ka gravitatsioonijõud). Mõned aastad hiljem kordasid Marylandi Ülikooli füüsikud sama eksperimenti parema täpsusega. Nad tiirutasid aatomkelli ringiratast Chesapeake’i lahe kohal $15$-tunniste lendudega ning neil õnnestus kontrollida aja dilatatsiooni ennustust alla $1\%$ veaga. Tänapäeval, kui aatomkelli transporditakse ühest kohast teise kas kalibratsiooniks või muudel eesmärkidel, võetakse alati arvesse liikumisest tingitud aja dilatatsiooni.
   

Pikkuse kontraktsioon on aja dilatatsiooni otsene järeldus. Pöördume tagasi kahe vaatleja juurde. Seekord tahab nii Sally, kes on jaama läbivas vagunis, kui ka Sam jaama perroonil mõõta perrooni pikkust. Sam saab mõõdulinti kasutades perrooni pikkuseks $L_0$, see on omapikkus, sest perroon on tema suhtes paigal. Sam märgib ühtlasi, et Sally läbib rongis selle pikkuse ajaga $\Delta t=L_0/v$, kus $v$ on rongi kiirus; niisiis,

Ajavahemik $\Delta t$ ei ole omaaeg, sest kaks sündmust (Sally läbib perrooni lõpu ja Sally läbib perrooni alguse) toimuvad erinevates kohtades, seetõttu peab Sam kasutama ajavahemiku $\Delta t$ mõõtmiseks kahte sünkroonset kella.

Kuid Sally jaoks liigub perroon temast mööda. Tema leiab, et Sami mõõdetud sündmused on tema taustsüsteemis ühes ja samas kohas. Sally võib nende aega määrata üheainsa paigaloleva kellaga, seega on tema mõõdetud ajavahemik $\Delta t_0$ omaaeg. Sally järgi on perrooni pikkus

Kui jagame (37-15) avaldisega (37-14) ja kasutame aja dilatatsiooni valemit (37-9), saame

ehk

mis on pikkuse kontraktsiooni valem 37-13.

Osutudes asuma ootamatult plahvatanud supernoova lähedal, kihutate te oma raketis sellest eemale, lootes edestada teie suunas paisatud suure kiirusega ainet. Teie Lorentzi tegur $\gamma$ ümbritsevate tähtedega määratud inertsiaalse taustsüsteemi suhtes on $22,4$.

Enne Einsteini erirelatiivsusteooriat seostati ülaltoodud neli koordinaati Galilei teisendusvõrranditega:

(Need võrrandid on antud eeldusel, et hetkel $t=t\text{'}=0$ süsteemide $S$ ja $S$ alguspunktid ühtivad.) Esimest võrrandit võite kontrollida joonise 37-9 abil. Teine võrrand kinnitab, et aeg kulgeb mõlema vaatleja jaoks ühtviisi. Einsteini-eelse ajastu teadlasele tundus see nii ilmsena, et seda ei peetud mainimisväärseks. Kui kiirus $v$ on valguse kiirusega $c$ võrreldes väike, siis töötavad võrrandid 37-20 üldiselt hästi.

Meie väidame (ilma tõestuseta), et korrektseid teisendusvõrrandeid, mis jäävad kehtima meelevaldsete kiiruste korral kuni valguse kiiruseni välja, saab tuletada relatiivsuse postulaatidest lähtuvalt. Need nn Lorentzi teisendusvõrrandid (mõnikord ka lihtsalt Lorentzi teisendusteks nimetatud) on järgmised:

(Võrrandid on antud eeldusel, et hetkel $t=t\text{'}=0$ süsteemide $S$ ja $S$ alguspunktid ühtivad.) Pange tähele, et ruumikoordinaat $x$ ja ajakoordinaat $t$ on üksteisega seotud. Aja ja ruumi põimumine oli Einsteini teooria üks esimesi sõnumeid – sõnum, mida mitmed tema kaasaegsed omaks võtta ei tahtnud.

Relativistlike võrrandite kohta kehtib nõue, et need peavad taanduma tuttavale klassikalisele kujule, kui lasta $c$ lõpmatusele läheneda. Teisisõnu, kui valguse kiirus oleks lõpmata suur, oleksid kõik lõplikud kiirused „väikesed” ning klassikalised võrrandid ei kaotaks kehtivust. Kui $c\to \infty$ võrrandites 37-21, siis $\gamma \to 1$ ja võrrandid taanduvad – nagu arvatud – Galilei võrrandeiks 37-20. Kontrollige ise.

Võrrandid 37-21 on esitatud kujul, kus on antud $x$ ja $t$ ning soovime leida $x\text{'}$ ja $t\text{'}$. Kuid kui meil on vastupidine soov, siis lahendame lihtsalt võrrandid 37-21 $x$ ja $t$ suhtes, saades

Võrdlus näitab, et ükskõik kummast võrrandist – 37-21 või 37-22 – alustada, saab teise kohe kätte asendusega $x$, $t\to x\text{'},t\text{'}$, kui ühtlasi muuta suhtelise kiiruse $v$ märki.

Võrrandid 37-21 ja 37-22 seostavad üksiku sündmuse koordinaate nähtuna kahe vaatleja poolt. Mõnikord tahame teada mitte üksiku sündmuse koordinaate, vaid sündmustepaari koordinaatide vahet. S.t tähistades sündmusi $1$ ja $2$ vastavate indeksitega, tahame leida seose süsteemis $S$ mõõdetud suuruste

ning süsteemis $S$ mõõdetud suuruste

vahel.

Tabel 37-2 esitab Lorentzi võrrandid sellise vahe kujul, mis sobib sündmustepaari analüüsiks. Võrrandid on tuletatud võrranditest 37-21 ja 37-22, asendades koordinaadid nende vahedega.

Hoiatus: vahede sissetoomisel jälgige indeksite järjestust. Ja kui näiteks $\Delta x$ on negatiivne, siis ärge unustage asendamisel miinusmärki lisada.

Vaatame võrrandit 2 tabelis 37-2:

Kui kaks sündmust toimuvad taustsüsteemis $S$ (joonis 37-9) erinevates kohtades, siis $\Delta x$ ei ole null. Järelikult, isegi kui sündmused on samaaegsed ($\Delta t\text{'}=0$) süsteemis $S$, ei ole need enam samaaegsed süsteemis $S$. (See on kooskõlas meie järeldusega punktis 37-4.) Ajavahemik sündmuste vahel süsteemis $S$ on siis

(samaaegsed sündmused süsteemis $S$).

Oletame nüüd, et kaks sündmust toimuvad süsteemis $S$ samas kohas ($\Delta x\text{'}=0$) aga erinevatel ajahetkedel ($\Delta t\text{'}\ne 0$). Sel juhul taandub võrrand 37-23 kujule

See kinnitab aja dilatatsiooni süsteemides $S$ ja $S$. Kuna kaks sündmust toimuvad süsteemis $S$ samas kohas, siis saab ajavahemikku $\Delta t$ nende vahel mõõta ühe kellaga sündmuste toimumiskohas. See mõõdab omaaega, mida tähistasime $\Delta t_0$. Võrrand 37-24 saab seega kuju

mis ühtib aja dilatatsiooni võrrandiga 37-9.

Oletame nüüd, et kaks sündmust toimuvad süsteemis $S$ samas kohas ($\Delta x\text{'}=0$) aga erinevatel ajahetkedel ($\Delta t\text{'}\ne 0$). Sel juhul taandub võrrand 37-23 kujule

See kinnitab aja dilatatsiooni süsteemides $S$ ja $S$. Kuna kaks sündmust toimuvad süsteemis $S$ samas kohas, siis saab ajavahemikku $\Delta t$ nende vahel mõõta ühe kellaga sündmuste toimumiskohas. See mõõdab omaaega, mida tähistasime $\Delta t_0$. Võrrand 37-24 saab seega kuju

mis ühtib aja dilatatsiooni võrrandiga 37-9.

Maalt saadetakse kosmoselaev kontrollima kontrollposti $s$ planeedil P1407, mille kaaslasel pesitseb sageli tüli noriv reptuliaanide sõjaväeüksus. Möödudes vastavalt otsekursile esmalt planeedist ja seejärel selle kaaslasest, registreerib laev kõrge energiaga mikrolaine purske reptuliaanide baasis kaaslasel ja seejärel, $1,10s$ hiljem, plahvatuse planeedil asuva kontrollposti juures, mis asub $4,00\times {10}^{8}m$ kaugusel reptuliaanide baasist, mõõdetuna laeva taustsüsteemis. Reptuliaanid on ilmselt rünnanud Maa kontrollposti, niisiis valmistub tähelaev nendega lahinguks.

Väikeste kiiruste korral ($\beta \ll 1$) võime valemi 37-31 arendada $\beta$ astmete järgi ritta ning piirduda lähendusega

Kaks esimest liiget on samad, mis vastavas väikese kiirusega helilainete (või mistahes lainete, välja arvatud valguslained) Doppleri efekti võrrandis, erinev on vaid tegur kolmanda liikme ees. Niisiis ilmutab relativistlik efekt väikese kiirusega valgusallikate ja nende detektorite korral end üksnes selle liikme kaudu, mis on võrdeline väga väikese suurusega ${\beta }^2$.

Politsei radaris rakendatakse mikrolainete Doppleri efekti autode kiiruse $v$ mõõtmiseks. Radari kiirgusallikas suunab mikrolainekimbu kindla (oma)sagedusega $f_0$ piki maanteed. Auto, mis liigub aparaadi suunas, püüab lainekimbu kinni, kuid sagedusega, mis on (auto liikumise tõttu) Doppleri efekti võrra kõrgem. Auto peegeldab signaali tagasi radari suunas. Auto liikumise tõttu radari suunas on detektoris registreeritud signaal omakorda kõrgemale nihutatud sagedusega. Aparaat võrdleb registreeritud sagedust omasagedusega $f_0$ ja arvutab auto kiiruse $v$.

Tähtede, galaktikate ja teiste valgusallikate astronoomilised vaatlused võimaldavad meil määrata, kui kiiresti need allikad kas meist eemale või meie suunas liiguvad, kui me mõõdame meieni jõudnud valguse Doppleri nihet. Kui teatud täht oleks meie suhtes paigal, registreeriksime sellelt tulevat valgust kindlal omasagedusel $f_0$ . Kui aga täht liigub meist otse eemale või lähemale, registreerime valguse sagedusel $f$, mis on $f_0$ suhtes Doppleri efekti tõttu nihutatud. Doppleri nihe on tingitud üksnes tähe radiaalsest liikumisest (liikumisest otse meie suunas või meist eemale), kiirus, mida me Doppleri nihke kaudu määrata saame, on üksnes tähe radiaalkiirus, s.t tähe suhtelise kiiruse radiaalkomponent.

Oletame, et täht (või mistahes valgusallikas) liigub meist eemale radiaalkiirusega $v$ küllalt aeglaselt ($\beta$ on piisavalt väike), nii et võime ära jätta ${\beta }^2$ liikme valemis 37-32. Siis kehtib valem

Kuna valguse astronoomiliste vaatlusriistadega mõõdetakse tavaliselt lainepikkusi, mitte sagedusi, siis kirjutame $f$ asemel $c/\lambda$ ning $f_0$ asemel $c/{\lambda }_0$, kus $\lambda$ on mõõdetud lainepikkus ja ${\lambda }_0$ on omalainepikkus (määratud omasagedusega $f_0$). Siis saame

ehk

Et b on eelduse kohaselt väike, võime $(1–\beta {)}^{–1}$ astmeritta arendada ja piirduda $\beta$
esimese astmega,

ehk

Asendades $\beta =v/c$ ja $\lambda –{\lambda }_0=\left|\Delta \lambda \right|$, saame

Siin $\Delta \lambda$ tähistab valgusallika lainepikkuse Doppleri nihet. Et meil oleks vaid nihke suurus, siis kasutasime absoluutväärtust.

Valem 37-36 on lähend, mida võib kasutada üksnes siis, kui $v\ll c$. Selle tingimuse kehtides on valem 37-36 kasutatav nii valgusallika lähenemise kui ka eemaldumise juhul. Allika eemaldumise korral on $\lambda$ suurem kui ${\lambda }_0$, $\Delta \lambda$ on positiivne ning Doppleri nihet kutsutakse punanihkeks. (Termin punane ei tähenda siin seda, et registreeritud valgus on punane või nähtav, vaid aitab meelde jätta, et punane värvus asub nähtava spektri pikemalainelises otsas ning nähtava valguse värvus muutuks punasemaks. Seega on $\lambda$ pikem kui ${\lambda }_0$.) Valgusallika lähenemise korral on $\lambda$ lühem kui ${\lambda }_0$, $\Delta \lambda$ on negatiivne ning Doppleri nihe kannab sininihke nimetust.

Siiani oleme käsitlenud Doppleri efekti üksnes situatsioonis, milles allikas ja detektor kas lähenevad teineteisele või kaugenevad teineteisest otse piki nende ühendusjoont. Joonisel 37-12 on kujutatud teistsugune juht, milles allikas $S$ möödub detektorist $D$. Kui $S$ jõuab punkti $P$, on $S$ kiirus suunatud risti sirgega $PD$ ning sel hetkel $S$ ei liigu ei $D$ poole ega ka sellest eemale. Kui allikas emiteerib helilaineid sagedusega $f_0$, siis $D$ tuvastab sama sageduse (ilma Doppleri efektita), püüdes kinni punktist $P$ levinud laine. Teistsugune on lugu valgusallika korral, siin on Doppleri efekt olemas transversaalse Doppleri efekti kujul. Selles situatsioonis on mõõdetud valgussagedus (kiiratud punktis $P$)

Väikeste kiiruste korral ($\beta \ll 1$) võib valemi 37-37 arendada ritta $\beta$ astmete järgi ja piirduda lähendusega

Esimene liige on see, mis kehtib helilainete korral, liige ${\beta }^2$ kirjeldab relativistlikku efekti väikese kiirusega valgusallika ja detektori korral.

Põhimõtteliselt saab politsei radar määrata auto kiirust ka siis, kui radarikiir on risti (transversaalne) auto liikumissuunaga. Paraku järeldub valemist 37-38, et kuna $\beta$ on väike isegi kiire auto korral, siis on relativistlik liige $\frac{1}{2}{\beta }^2$ äärmiselt väike. Seega $f\approx f_0$ ja radar arvutab kiiruseks nulli. Seetõttu püüavad politseinikud alati suunata radarikiirt piki auto liikumisteed, et mõõta auto tegelikku kiirust. Mistahes kõrvalekalle sellest joonest töötab sõidukijuhi kasuks, sest vähendab kiiruse mõõdetud suurust.

Transversaalne Doppleri efekt on tegelikult üks aja dilatatsiooni teste. Kui kirjutada valem 37-37 ümber, asendades sageduse valguslaine võnkeperioodiga $T=1/f$, siis

milles $T_0$ ($=1/f_0$) on allika omaperiood. Võrdlus võrrandiga 37-9 näitab, et 37-39 on lihtsalt aja dilatatsiooni valem, kuna periood on ajavahemik.

Iga NAVSTARi satelliit globaalses asukoha määramise süsteemis GPS (Global Positioning System) signaliseerib pidevalt oma asukohast, levitades raadiosignaale kindlal sagedusel, mida kontrollivad täpsed aatomkellad. Kui signaali püüab kinni GPS detektor näiteks reisilennukil, siis satelliidi ja detektori relatiivse liikumise tõttu on sagedusel Doppleri nihe. Registreerides signaale samaaegselt mitmelt NAVSTARi satelliidilt, saab detektor määrata iga satelliidi asukoha suuna ja kiiruse suuna. Signaali Doppleri nihke põhjal määrab detektor siis lennuki kiiruse.

Kuigi relativistlik panus Doppleri nihkesse on äärmiselt väike (erirelatiivsusteooria järgi umbes $4,5\times {10}^{–10}$ osa nihkest), peavad insenerid siiski seda panust arvestama, et NAVSTARi süsteemi täpsena hoida. Ühtlasi tuleb neil arvestada Einsteini üldrelatiivsusteooria efekte, kuna raskuskiirendus satelliidi kõrgusel on erinev sellest, mis see on maapinnal asetseva detektori kõrgusel. Einsteini eri- ja üldrelatiivsusteooriaid peeti pärast nende publitseerimist kaua aega vaid veidrusteks. Nüüd on need aga globaalses asukoha määramise süsteemis ja kaugnavigatsioonis asendamatud.

Joonis 37-13a näitab lainepikkuse funktsioonina valguse intensiivsust, mis saabub galaktika M87 kahel vastasäärel olevast tähtedevaheliselt gaasist (joonis 37-13b). Ühe kõvera maksimum on lainepikkusel $499,8nm$, teise oma aga $501,6nm$ juures. Gaas ümbritseb galaktika tuuma raadiusega $r=100valgusaastat$ ning liigub meie suunas tuumast ühel pool ja eemaldub meist tuumast teisel pool.

Keemiateaduses lähtuti pikka aega eeldusest, et keemilistes reaktsioonides kehtivad eraldi energia jäävus ja massi jäävus. Aastal 1905 näitas Einstein, et erirelatiivsusteooria järeldusena saab massi käsitleda kui energia üht vormi. Seega on energia jäävuse seadus tegelikult massi-energia jäävuse seadus.

Keemilises reaktsioonis (protsessis, milles aatomid või molekulid on vastastikmõjus) muundub osa massist teisteks energiavormideks (või vastupidi), kuid see on imeväike osa kogumassist, nii et ei ole mingit lootust mõõta massi muutust, seda isegi mitte parimate laborikaaludega. Tõepoolest näib, et massi jäävus ja energia jäävus kehtivad eraldi. Kuid tuumareaktsioonis (milles aatomituumad või elementaarosakesed üksteist mõjutavad) vabanenud energia on sageli keemiliste reaktsioonide omast miljoneid kordi suurem ning massi muutust saab kergesti mõõta. Nüüdseks on massi-energia muundumise arvestamine tuumareaktsioonides juba rutiinne tegevus.

Objekti mass $m$ ja sellega ekvivalentne energia $E_0$ on seotud järgmiselt:

ja ilma indeksita $0$ on see arvatavasti tuntuim valem läbi aegade. Energiat, mis seostub objekti massiga, nimetatakse massienergiaks ehk seisuenergiaks. Teine nimetus viitab sellele, et $E_0$ on energia, mis on objektil isegi siis, kui see seisab paigal, lihtsalt seetõttu, et sel on mass. (Kui te jätkate füüsikaõpinguid pärast seda õpikut, saate näha keerulisemaid arutlusi energia ja massi seose teemal. Võite leida isegi vaidlusi selle üle, mida see seos endast kujutab ja mis on selle tähendus.)

Tabelis 37-3 on toodud (ligikaudselt) mõningate objektide seisuenergiad (massienergiad). Nagu näha, on USA pennil hiiglaslik seisuenergia; sellega ekvivalentne elektrienergia hulk maksaks kõvasti üle miljoni dollari. Teisest küljest, USA aastase elektritoodangu koguhulk vastab mõnesaja kilogrammi aine (kivid, pannkoogid või ükskõik mille muu) massile.

Praktikas kasutatakse valemis 37-43 harva SI ühikuid, kuna need on ebamugavalt suured. Massi mõõdetakse tavaliselt aatommassiühikutes, milles

ning energiat elektronvoltides, kus

Valemite 37-44 ja 37-45 ühikutes on võrdeteguril $c^2$ väärtus

Valem 37-43 annab mistahes objekti seisuenergia $E_0$ , mis on määratud objekti massiga, olgu see objekt siis paigal või liikuv. Liikuval objektil on lisaenergia kineetilise energia $K$ kujul. Kui eeldame, et objekti potentsiaalne energia on null, siis on koguenergia seisuenergia ja kineetilise energia summa:

Me ei hakka seda siin tõestama, kuid koguenergiat $E$ saab esitada ka kujul

kus $\gamma$ on liikuva keha Lorentzi tegur.

Alates 7. peatükist oleme käsitlenud arvukaid näiteid osakese või osakeste süsteemi koguenergia muutustest. Kuid me ei toonud sisse seisuenergiat, sest viimase muutus oli kas null või piisavalt väike, et seda võis ignoreerida. Koguenergia jäävuse seadus jääb ka siis kehtima, kui seisuenergia muutused on olulised. Seega, mis ka ei juhtuks seisuenergiaga, jääb kehtima punktis 8-8 esitatud jäävusseadus:

Näiteks kui kahe vastastikmõjus osakese seisuenergiate summa isoleeritud süsteemis väheneb, siis peab süsteemis mingi teist tüüpi energia suurenema, sest koguenergia ei saa muutuda.

Seisuenergia koguhulga muutust süsteemis toimuva keemilise reaktsiooni või tuumareaktsiooni tõttu tähistatakse sageli tähega $Q$. Suuruse $Q$ väärtus reaktsiooni jaoks saadakse seosest

ehk

Kasutades võrrandit 37-43 ($E_0=m{c}^2$), võime selle ümber kirjutada algoleku kogumassi ja lõppoleku kogumassi kaudu

ehk

kus reaktsioonist tingitud massi muutus $\Delta M=M_l–M_{ia}$.

Kui reaktsiooni tulemusena toimub näiteks seisuenergia muundumine reaktsiooni produktide kineetiliseks energiaks, siis süsteemi seisuenergia koguhulk $E_0$ (ja kogumass $M$) väheneb ning $Q$ on positiivne. Kui aga reaktsioon nõuab energia muundumist seisuenergiaks, siis süsteemi seisuenergia koguhulk $E_0$ (ja kogumass $M$) suureneb ning $Q$ on negatiivne.

Näiteks oletame, et kaks vesiniku tuuma ühinevad termotuumareaktsiooni käigus üheks tuumaks ja tekitavad sealjuures kaks osakest. Üheainsa tuuma ja kahe tekkinud osakese seisuenergia (ja kogumass) on väiksem kui esialgsete vesiniku tuumade seisuenergia (ja kogumass). Järelikult on termotuumareaktsiooni $Q$ positiivne - energiat on reaktsioonis vabanenud (üle kantud seisuenergiast). Energia vabanemine on meile oluline, sest vesiniku tuumade liitumine Päikesel on osa protsessist, mis tekitab päikesevalguse Maal ja teeb elu siin võimalikuks.

7. peatükis defineerisime kineetilise energia $K$ keha jaoks massiga $m$ ja kiirusega $v$, mis on palju väiksem valguse kiirusest $c$, valemiga

Paraku on see klassikaline võrrand üksnes lähendus, mis piisav vaid siis, kui kiirus on tõesti valguse kiirusest tunduvalt väiksem.

Leiame nüüd valemi kineetilise energia jaoks, mis kehtib kõikide füüsikaliselt võimalike kiiruste korral, kaasa arvatud valguse kiirusele $c$ lähedaste kiiruste korral.

Avaldame $K$ võrrandist 37-47 ja asendame $E$ võrrandist 37-48, saame

kus $\gamma$ ($=1/\sqrt{1-(vc{)}^2}$) on keha liikumise Lorentzi tegur.

Joonis 37-14 näitab elektroni kineetilise energia kui v/c funktsiooni graafikuid, mis on arvutatud korrektse definitsiooni 37-52 ja klassikalise lähendi 37-51 põhjal. Paneme tähele, et mõlema graafiku vasakud pooled langevad kokku; see on väikeste kiiruste piirkond, milles me selles õpikus siiani oleme kineetilisi energiaid arvutanud. See osa graafikust kinnitab, et klassikalise võrrandi 37-51 kasutamine kineetilise energia arvutamiseks on õigustatud. Paraku erinevad kõverad oluliselt joonise paremal poolel, mil kiirused lähenevad valguse kiirusele $c$. Kui $v/c=1,0$, tõuseb
klassikalise valemi kineetilise energia kõver vaid mõõdukalt, samal ajal kui korrektse definitsiooni kõver sööstab lõpmatusse. Niisiis, kui keha kiirus $v$ on lähedal valguse kiirusele $c$, tuleb kineetilise energia arvutamiseks tingimata kasutada võrrandit 37-52.

Joonis 37-14 ütleb samuti üht-teist töö kohta, mis meil tuleb teha, et suurendada keha kiirust näiteks $1\%$ võrra. Nõutav töö $W$ on võrdne objekti kineetilise energia muutusega $\Delta K$. Kui kiiruse muutus peaks aset leidma väikestel kiirustel (joonise 37-14 vasak pool), on nõutav tööhulk tagasihoidlik. Kui aga muutus toimub suurtel kiirustel (joonise 37-14 parem pool), on nõutav töö hiiglama suur, sest kineetiline energia $K$ kasvab seal kiiruse $v$ kasvades väga kiiresti. Keha kiiruse suurendamine valguse kiiruseni $c$ nõuaks lõpmatut energiahulka - teisisõnu, seda on võimatu teha.

Elektronide, prootonite ja teiste osakeste kineetilise energia mõõtühikuna kasutatakse sageli elektronvolti (või selle kordseid, ka omadussõnana – elektronvoldine). Näiteks elektroni kineetilise energiaga $20MeV$ võib nimetada $20MeV$ (megaelektronvoldiseks) elektroniks.