Läätse valem

J.4.17 Kujutise tekkimine kumerläätses. AO – esemekaugus a, OA₁ – kujutisekaugus k, OF – fookuskaugus f, AB – eseme pikkus, A₁B₁ – kujutise pikkus.

Leiame kumerläätse jaoks avaldise, mis seob omavahel eseme ja läätse keskpunkti vahelise kauguse ehk esemekauguse $a$ , tekkiva kujutise ja läätse keskpunkti vahelise kauguse ehk kujutisekauguse $k$ ja läätse fookuskauguse $f$ .

Lähtume kolmnurkade AOB ja A₁OB₁ sarnasusest (J.4.17). Need kolmnurgad on sarnased sellepärast, et neil on võrdsed nurgad. Järelikult on võrdsed ka nende vastavate külgede suhted

(4.5)

\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{A O}{A_{1} O} = \frac{a}{k}

Fookuskauguse sissetoomiseks vaatame kolmnurki COF ja B₁A₁F. Ka need on sarnased. Saame

\frac{C O}{A_{1} B_{1}} = \frac{O F}{A_{1} F}

Kuna $A B = O C$ , siis

\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{O F}{A_{1} F}

Valem (4.5) aga andis meile, et

\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{a}{k}

Seega

\frac{O F}{A_{1} F} = \frac{a}{k}

Jooniselt 4.17 on näha, et $O F = f$ ja $A_{1} F = k f$ , siis

\frac{f}{k - f} = \frac{a}{k}

nii et

k f = a k - a f

Jagame võrrandi mõlemaid pooli suurusega $f k a$ ja saame:

(4.6)

\frac{1}{a} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}

Saadud valemit nimetataksegi läätse valemiks. Sellisel kujul on valem õige tõelise kujutise korral.

Näiva kujutise korral on kujutisekaugus $k$ negatiivne ja valemi kuju on

(4.7)

\frac{1}{a} - \frac{1}{k} = \frac{1}{f}

Kui kujutis on näiv ja ka fookuskaugus on näiv, siis on nii $k$ kui $f$ negatiivsed ja valemi kuju on

(4.8)

\frac{1}{a} - \frac{1}{k} = - \frac{1}{f}

Selline on valemi kuju nõgusläätse jaoks.

Läätse valem lubab teha järeldusi kujutise asukoha kohta olenevalt eseme asukohast. Vaatleme kolme juhtu kumerläätse korral.

Asugu ese läätse fookuses, st $a = f$ , siis läätse valem 4.6 omandab kuju
$\frac{1}{f} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}$
Siit saame, et $1 / k = 0$ , st on lõpmatus. Seega juhul, kui ese asub läätse fookuses, tekib kujutis lõpmatuses. See tähendab, et läätsest väljuvad paralleelsed kiired.
Asugu ese lõpmatuses, siis $k = f$ . See järeldus tuleneb eelmisest tulemusest, kui kasutada kiirte pööratavuse printsiipi. Seega juhul, kui läätsele langevad paralleelsed kiired, tekib kujutis läätse fookuses.
Asugu ese läätsele lähemal kui fookuskaugus, st $a < f$ . Kujutisekauguse leidmiseks avaldame selle läätse valemist (4.6)
$\frac{1}{k} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a}$
Siit
$k = \frac{a f}{a - f}$
Kuna nii $a$ kui $f$ on positiivsed ja $a < f$ , siis peab $k < 0$ . Seega juhul, kui ese asub läätse ja selle fookuse vahel, siis on kujutisekaugus $k$ negatiivne, mis tähendab, et tekib näiv kujutis.

Läätse poolt tekitatud kujutis võib olla nii suurendatud kui vähendatud. Selle kirjeldamiseks kasutatakse suurenduse mõistet, täpsemalt joonsuurendust, mis näitab, mitu korda erinevad kujutise mõõtmed eseme vastavatest mõõtmetest.


Läätse poolt on tekitatud suurendatud kujutis.	Läätse poolt on tekitatud vähendatud kujutis.

Näiteks joonisel 4.17 on suurendus $s = A_{1} B_{1} / A B$ . Kuid valemist (4.5) näeme, et $A_{1} B_{1} / A B = k / a$ . Seega suurendus

s = \frac{k}{a}

Siit on näha, et kui $k = a$ , siis $s = 1$ , st kujutis on sama suur kui ese. Läätse valemist on näha, et sel juhul

\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f} \Rightarrow

\frac{2}{a} = \frac{1}{f} \Rightarrow

a = 2 f

See tähendab, et koondava läätse korral on kujutis sama suur kui ese siis, kui esemekaugus on võrdne kahekordse fookuskaugusega.

Läätse fookuskauguse hindamine küünla, ekraani ja joonlauaga.

Teisi järeldusi suurenduse kohta võib teha kas valemeid analüüsides või kujutisi konstrueerides. Toome ära mõned kasutamise seisukohast olulisemad tulemused.

Kui $a > 2 f$ , siis on $s < 1$ , mis tähendab, et kujutis on esemest väiksem.
Kui $f < a < 2 f$ , siis $s > 1$ , mis tähendab, et kujutis on esemest suurem.
Kui $a < f$ , siis tekib suurendatud näiv kujutis ja öeldakse, et lääts töötab siis luubina.
Nõgusläätse korral on alati $s < - 1$ , mis tähendab, et nõguslääts annab alati vähendatud näiva kujutise

Iga lääts võib töötada luubi ehk suurendusklaasina Tavaliselt kasutatakse selleks läätsi, mille optiline tugevus jääb vahemikku 10…40 dptr. See tagab suurenduse 2,5×…10×. Suuremate suurenduste saamiseks kasutatakse mikroskoope.

Koondav lääts töötab luubina, kui ese asub läätsele lähemal kui selle fookuskaugus.

Luup annab esemest päripidise suurendatud näiva kujutise.


J.4.18 Ühe ja sama eseme vaatamine a) palja silmaga parima nägemise kauguselt ja b) läbi luubi, kui ese asub luubi fookuses.	Kui asetame koondava läätse eseme lähedusse nii, et ese asub läätsele lähemal kui selle fookuskaugus, siis töötab lääts luubina.

Tavaliselt asetatakse ese praktiliselt luubi fookusesse. Sel juhul on luubi suurendus $s$ määratud järgmise valemiga:

s = \frac{Δ}{f}

kus $Δ$ on parima nägemise kaugus ja $f$ luubi fookuskaugus. Parima nägemise kauguseks loetakse 25 cm ja sellepärast peame suurenduse valemis kasutama ka läätse fookuskaugust sentimeetrites.

Kasutades joonist 4.18, tuletame luubi suurenduse valemi.

Luubi suurendus näitab, mitu korda on luubiga vaadates kujutis meie silmas suurem kui palja silmaga vaadates,
seega

s = \frac{A_{2} B_{2}}{A_{1} B_{1}}

Kui silma põhja kujutise piirkonnas lugeda tasandiks, siis saame sarnastest kolmnurkadest ABO₁ ja A₁B₁O₁joonise 4.18 a) osas:

A_{1} B_{1} = \frac{A B \cdot A_{1} O_{1}}{25} .

Teistest sarnastest kolmnurkadest ABO ja A₂B₂O₁ joonise b) osas saame:

A_{2} B_{2} = \frac{A B \cdot A_{2} O_{1}}{f}

Silm on mõlemal juhul ühesugune, seega $A_{1} O_{1} = A_{2} O_{1}$ . Nüüd saame

s = \frac{A_{2} B_{2}}{A_{1} B_{1}} = \frac{A B \cdot A_{2} O_{1}}{f} \cdot \frac{25}{A B \cdot A_{1} O_{1}} = \frac{25}{f} .