Ring on oma olemuselt üks lihtsamaid ja ilusamaid kujundeid. Nagu nägime kuulsate arvude peatükis, võib teda ka mitmel moel defineerida ning temast mitmel moel mõelda [lk 96]. Siiski, hoolimata sellest, et ring on peale vaadates ilus ja lihtne kujund, peab temaga matemaatiliselt ümber käima teistmoodi ja isegi pisut keerulisemalt kui hulknurkadega.
Ringi ümbermõõduga pole asi siiski liiga hull. Kuna π on juba defineeritud kui ümbermõõdu ja diameetri suhe
siis ümbermõõdu P saabki sealt lihtsalt avaldada:
Traditsiooniliselt kirjutatakse see välja ringi raadiuse abil:
Kuidas aga leida ringi pindala?
Meie seniseid pindalade etalone on siin raskem ära kasutada – kõik nad olid nurgelised, samas kui ringjoon on ju kenasti kaardus. Seega peame olema kavalamad.
Üks võimalus on siiski kasutada juba teadaolevaid etalone, kuid seda koos integraaliga. Tuletame meelde, et integraali abil saame lähendada kujundite pindalasid, jagades kujundi õhukesteks ristkülikukujulisteks juppideks ning liites nad kokku. Piirprotsessis, kus õhukesi tükke on järjest enam, saamegi vastuseks täpse pindala. Sellest on meil natuke pikemalt juttu integraali peatükis [lk 347].
Siin kasutame vägagi sarnast ideed, ainult loobume kujundi ristkülikuteks jagamisest ning jagame ta hoopis väga paljudeks peenikesteks rõngasteks paksusega h, mis on õige sarnased juba ringidele. Nende raadiused muutuvad siis 0-ist kuni r-ini sammuga h.
Iga väike rõngas panustab algringi pindalasse umbkaudu 2πxh, kus x on näiteks rõnga välimise ringi raadius.Tõepoolest, kui paksus h on väga väike, siis ei pea rõnga sise- ja välisraadiust eristama. Pindala leidmiseks peame seejärel liitma kokku kõik need lõpmata paljud ümbermõõdud ja saame
Siin x1, … xn moodustavad aritmeetilise jada vahega h ja seega lähendavad lineaarfunktsiooni. Nüüd peaks meenuma, et see on juba väga sarnane meie määratud integraali kirjeldusele. Tõepoolest, piirprotsessis, kus ketaste paksus h→0, võimegi pindala kirja panna määratud integraali abil [lk 340]:
Edasi jääb vaid integreerida ja leiamegi kuulsa ringi valemi:
Kui tahame lugu veel enam integraali ja tuletise raamistikus näha, võib mõelda, et ringi pindala muutumise kiiruse annab just tema ümbermõõt. See on üsna loomulik, kuna ringi raadiust õige pisut, h võrra suurendades, muutub ringi pindala umbes hP võrra. h oleks selles kontekstis seega „aja parameetriks” ning kiiruse annakski ümbermõõt P.
Võib korraks ka mõtiskleda, kas see valem meile üldse usutav näib. Järgnev joonis, kus on antud neli ruutu küljega 1 ning ring raadiusega 1, võib veenda, et ringi pindala võiks tõesti olla umbes 3 kuni 4 korda (ja seega umbes π korda) suurem ühe ruudu pindalast.
