Mõned ruumalad

Laias plaanis võime ruumalade leidmisel käituda üsna analoogiliselt pindalade juhule: alustame kuubi ruumalast, siis leiame risttahuka ruumala, seejärel rööptahuka ruumala ja nii edasi.

Natuke keerulisemaks läheb püramiidide korral, aga siiski aitab natukene kavalust meid hädast välja.

Näiteks toodud jooniselt näeme, kust tuleb vähemalt ruutpüramiidi korral kurikuulus üks kolmandik: nimelt saame täita ühikkuubi kuue võrdse ruumalaga püramiidiga, mille kõrgus on täpselt pool kuubi küljest.

Kõikide võimalike eripüramiidide jaoks samasuguste konstruktsioonide väljanuputamine osutub juba aeganõudvaks, kuigi on ilmselt võimalik nii kaua, kuni aluspinnaks on mõni hulknurk. Jällegi on idee alustada lihtsamatest püramiiditüüpidest ning samm-sammult minna üldise kuju poole – see osutub üsna pikaldaseks, kuna peame sisuliselt iga püramiidi külge ükshaaval lihtsamast keerulisemaks muutma.

Võib siiski kinnitada, et püramiidi ruumala valem jääb samaks:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{p ˜ o h i} \cdot h

kus S_põhi on seekord püramiidi aluse pindala ning h tema vastastipust tõmmatud kõrgus. Seesama valem jääb kehtima ka siis, kui aluseks on hoopis ring.

Toodud valemi sarnasus kolmnurga pindala valemiga võib mõtlema panna, kas neil kahel on mingi seos – räägime mõlemal korral ju alusest ja kõrgusest ning eesolev kordaja paistab täpselt seoses olevat ruumimõõtmete arvuga. See seos põhineb tegelikult väga lihtsal mõttel, mida juba ka mainisime.

Nimelt nägime ringi pindala juures, et ringi raadiust suurendades võime mõelda, et ringi pindala kirjeldava funktsiooni tuletiseks on tema ümbermõõt.

Samamoodi võime mõelda, et mõõtes kolmnurga kõrgust, on kolmnurga pindala muutumise kiiruseks tema alumise külje pikkus. Kui aga leiame püramiidi ruumala kõrgusest sõltuvalt, on muutumise kiiruseks hoopis tema põhja pindala:

Nüüd on lihtne veenduda, et kolmnurga aluse pikkus sõltub tema kõrgusest lineaarselt – ehk seda võib kirjeldada funktsiooni abil. Püramiidi pindala aga muutub kõrguse suhtes nagu ruutfunktsioon ax. Esimese integreerimisel saame ette kordaja ¹⁄₂, sest kui seame integreerimisega kaasaskäiva konstandi nulliks, saame

\int x d x = \frac{x^{2}}{2}

ning teise integreerimisel leiamegi kordaja ¹⁄₃?:

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3}

Täpsemat näidet esimesest viisist nägime ringi pindala leidmisel, teise näite teeme läbi nüüd kera ruumala arvutamiseks.

Kera ruumala

Kera ruumala on jällegi raske leida lihtsalt nurklike etalonide abil. Peame kasutama ringi pindala puhul abiks olnud strateegiat – integreerimist. Teisisõnu lähendame kera paljude õhukeste ketastega, leiame nende ruumalad ning liidame nad kokku. Piirprotsessis saame integraali, mis annabki meile koguruumala [lk 347].

Tähistame tähega x horisontaalset kaugust kera keskpunktist ning tähega y kera pinnal asuva ringjoone raadiust tollel kaugusel. Ketta, mille välimine äär on kaugusel x ning mille paksus on h, ruumala on umbkaudu h · πy² ehk πhy².

Selle ringjoone raadiuse y, mis sõltub x-ist ja kera raadiusest r, saame avaldada Pythagorase teoreemi kaudu: y² = r² – x^2.

Neid kettaid aina väiksema paksuse korral kokku liites saame nagu kera pindala leidmiselgi integraali [lk 340], seejuures vasemalt äärelt paremale välja jõudmiseks muutub horisontaalne kaugus x vahemikus [–r, r]. Seega võime ruumala kirjutada järgmise integraalina:

V = r \int - r 2 π (r^{2} - x^{2}) d x

Seda oskame kooliõpiku abil juba arvutada:

\begin{matrix} V = r \int - r 2 π (r^{2} - x^{2}) d x = π \cdot (r^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}) {∣ ∣ ∣}_{- r}^{r} = π (r^{3} - \frac{1}{3} r^{3}) - π (- r^{3} + \frac{1}{3} r^{3}) = \frac{4}{3} π r^{3} \end{matrix}

Tulemuseks saamegi kera ruumala valemi

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Huvitav on see, et sellest kera ruumala valemist saame tegelikult nüüd tuletada ka kera pindala valemi. Nimelt võiksime ju ka mõelda, et kera koosneb mitte ketastest, vaid hoopis sfäärilistest kihtidest:

Seega saaksime kera ruumala, kui liidaksime kokku nende sfääriliste kihtide ruumalad. Keskpunktist kaugusel x asuva peenikese sfäärilise kihi ruumala oleks nüüd umbes S_xh, kus S_x on raadiusega x kera pindala ning h siis õhukese sfääri paksus. Seega võiksime analoogiliselt eelnevaga kirjutada ruumala integraalina üle nende sfääriliste kihtide:

V = r \int 0 S_{x} d x

See aga tähendab täpselt, et kui vaatame kera ruumala kui funktsiooni raadiusest, siis on kera pindala selle funktsiooni tuletis! Seega kui teame juba kera ruumala, võime leida tema pindala, kasutades integraali ja tuletise vahelist seost.

Tõepoolest, nägime ju tuletise ja integraali vahelise seose peatükis [lk 352], et ühe funktsiooni ƒ(x) integraal annab meile vastuseks ühe niinimetatud algfunktsiooni: funktsiooni, mille tuletis on igas punktis võrdne funktsiooniga ƒ(x).

Nüüd aga, vaadates kera pindala funktsioonina raadiusest, annabki ruumala ühe võimaliku algfunktsiooni. Seega peame pindala leidmiseks ühes punktis lihtsalt leidma ruumala tuletise samas kohas. Valemites:

@{997}@