Permutatsioon on lihtsalt mingite fikseeritud objektide kindel ülesrivistus. Näiteks on jalgpallimeeskonna täpne reastus hümni laulmise aegu üks võimalik põhikoosseisu permutatsioon. Samuti on permutatsioon nelja tinasõduri ülesrivistus aknalaual ning kõikvõimalikud laused, mida võib moodustada kolme sõnaga – mulle, meeldib, matemaatika.
Põhiliselt huvitab meid siin peatükis permutatsioonide arv, mida n objekti korral tähistatakse Pn. Muidugi ei ole siin objektide enda täpne olemus oluline – meil on sama palju reastusi 10-st tinasõdurist kui 10-st tõsisest kaitseväelasest.
Permutatsioonide arv
Kui palju lauseid võib moodustada kolme sõnaga mulle, meeldib, matemaatika? Rõõmuks ja motivatsiooniks paneme nad esiteks muidugi kirja:
Mulle meeldib matemaatika.
Mulle matemaatika meeldib.
Meeldib mulle matemaatika.
Meeldib matemaatika mulle.
Matemaatika mulle meeldib.
Matemaatika meeldib mulle.
Neid lauseid on seega täpselt kuus. Eesti keel on vahva, kuna paljudes teistes keeltes ei oleks kõik toodud kuus lausest grammatiliselt võimalikud, meil aga teatud mööndustega on.
Siiski oleks olnud ilmselt meeldivam, kui ei oleks pidanud kõiki lauseid loetlema ning oleksime võinud kohe mõne valemi abil öelda, palju erinevaid lauseid leidub.
Kuidas sellist valemit leida?
- Märkame, et esimese sõna valikuks on meil kolm võimalust: mulle, meeldib või matemaatika.
- Kui oleme esimese sõna valinud, jääb täpselt kaks võimalust teise sõna valikuks.
- Kui aga teinegi sõna on valitud, võime kolmanda sinna vaid lõppu visata.
Esimesel sammul oli meil 3 võimalust, teisel 2 ja kolmandal ainult 1 võimalus. Kuna kõik valikud on üksteisest sõltumatud, on võimalusi kokku täpselt 3 · 2 · 1 = 6.
Oleks meil neli sõna, ei oleks kõik moodustatavad laused ilmselt enam grammatiliselt korrektsed, ent sarnase arutelu kaudu näeksime siiski, et moodustada on võimalik 4 · 3 · 2 · 1 = 24 erinevat lauset.
Sama mõttemustrit edasi viies näeme, et sõna n jaoks oleks lausete arv n · (n – 1) · … 3 · 2 · 1 ehk teisisõnu