Elekter, võimsus

Juku tahab endale ehitada võimalikult võimsat veekeetjat. Selleks on tal küttekeha alusplaat, millele saab ühendada takisteid nagu näidatud joonisel, ja 4 takistit, mille takistused on $30 Ω, 20 Ω, 15 Ω$ ja $10 Ω$ . Kuidas peaks ta takistid plaadil olevatesse pesadesse paigutama, et saavutada maksimaalne võimsus, kui seadet toidetakse pingega $230 V$ , ja pinge rakendatakse kontaktide $A$ ja $B$ vahele? Kui suur on see maksimaalne võimsus?

Lahendus

Võimsus konstantse pingeallika korral on $P = U I = \frac{U^{2}}{R}$ . Seega tuleb maksimaalse võimsuse jaoks takistus minimeerida. Ahela takistus on leitav kui:

R = R_{1} + \frac{1}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3} + R_{4}}}

Parim kombinatsioon on: $R_{1} = 10 Ω, R_{2} = 15 Ω, R_{3} = 20 Ω$ ja $R_{4} = 30 Ω$ .

Selle korral on takistuseks $R \approx 21, 5 Ω$ ja võimsus $P \approx 2, 46 k W$ .

Urmol oli neli pirni, neist kolm ühesugused. Kui Urmo ühendas pirnid joonisel kujutatud viisil tundmatu pingeallikaga, põlesid nad kõik sama võimsusega. Pirnil 1 oli kirjas “10 W”. Mis oli kirjas pirnidel 2, kui on teada, et kõik pirnid on sama nimipingega? Lambi takistuse sõltuvusega temperatuurist mitte arvestada.

Lahendus

Olgu pirni 1 takistus $R_{1}$ , pirni 2 takistus $R_{2}$ ja pingeallika pinge $U$ . Siis pirni 1 pinge on $U$ ja pirnidel 2 igaühel pinge $\frac{U}{3}$ . Teades, et

P = \frac{U^{2}}{R_{1}} = \frac{{(\frac{U}{3})}^{2}}{R_{2}}

saame, et $R_{1} = 9 R_{2}$ . Võrdse nimipinge korral on nimivõimsused takistusega pöördvõrdelised, järelikult $P_{2} = 9 P_{1} = 90 W$ .

Traadist rõngas on ühendatud vooluringi nii, et ühenduskohad jaotavad rõnga osadeks 1:2. Seejuures eraldub rõngal elektriline võimsus $P = 100 W$ . Kui suur elektriline võimsus eraldub rõngal siis, kui rõngas ühendada vooluringi nii, et ühenduskohad jaotaksid rõnga kaheks võrdseks osaks ja pinge ühenduskohtade vahel oleks sama, mis esimeses katses?

Lahendus

Olgu rõnga pikkus $l$ .
(1) Esimesel juhul jaotavad ühenduskohad rõnga osadeks 1:2, ehk $l_{1} = \frac{l}{3}$ ja $l_{2} = 2 \frac{l}{3}$ . Rõnga osade $l_{1}$ ja $l_{2}$ elektritakistuste arvutamiseks kasutatakse valemit: $R = ρ \frac{l}{S}$ . Siis $R_{1} = ρ \frac{l_{1}}{S} = ρ \frac{l}{3 S}$ ja $R_{2} = ρ \frac{l_{2}}{S} = 2 ρ \frac{l}{3 S}$ . Rõnga osad $l_{1}$ ja $l_{2}$ paiknevad vooluringis rööbiti, seega tuleb rõnga kogutakistus R arvutada valemist:

\frac{1}{R_{(1)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{9 S}{2 ρ l} ⟹ R_{(1)} = \frac{2 ρ l}{9 S}

(2) Arvutame rõnga takistuse teisel juhul, kui ühenduskohad jaotavad rõnga kaheks võrdseks osaks $l_{1} = l_{2} = \frac{l}{2}$ , siis $R_{1} = R_{2} = ρ \frac{l}{2 S}$ . Traatrõnga kogutakistus:

\frac{1}{R_{(2)}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{2}{R_{1}} = \frac{4 S}{ρ l} ⟹ R_{(2)} = \frac{ρ l}{4 S}

Elektriline võimsus: $P = \frac{U^{2}}{R}$ . Kuna on teada, et pinge $U$ rõnga ühenduskohtade vahel on mõlemal juhul samasugune, võib kirjutada: $P_{(1)} R_{(1)} = P_{(2)} R_{(2)}$ . Järelikult

P_{(2)} = \frac{P_{(1)} R_{(1)}}{R_{(2)}} = \frac{100 \cdot 8 ρ l S}{9 ρ l S} = \frac{800}{9} \approx 90 W

Vooluallikaga muutumatu pingega $U$ ühendati kaks takistit. Kui takistid olid ühendatud jadamisi, oli voolu võimsus vooluringis $2 W$ . Kui takistid olid ühendatud rööbiti, oli voolu võimsus vooluringis $9 W$ . Arvuta voolu võimsus nendel kahel juhul, kui sama vooluallikaga on ühendatud ainult üks või teine takisti.

Lahendus

Voolu võimsus $N = \frac{U^{2}}{R}$
Kogutakistus jadaühendusel $R = R_{1} + R_{2}$
Kogutakistus rööpühendusel $R = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$
Võimsus jadaühendusel $N_{j} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = 2 W$
Võimsus rööpühendusel $N_{r} = \frac{U^{2} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} \cdot R_{2}} = 9 W$
Leiame seostest kummagi takistuse väärtused $R_{1} = \frac{U^{2}}{3} Ω$ ja $R_{1} = \frac{U^{2}}{6} Ω$
Siit voolu võimsused, kui on vooluringi ühendatud ainult üks takisti $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} = 3 W$ ja $N_{1} = \frac{U^{2}}{R_{2}} = 6 W$ .

Miku ehtis jõulude ajal kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $20$ lampi nimepingega $12 V$ ja nimivõimsusega $15 W$ . Paari päeva pärast põles üks lampidest läbi. Kuna Mikul samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema ömblusmasina lambiga, mille nimivöimsus oli samuti $15 W$ , kuid nimipinge $220 V$ . Mitu korda muutus lambi vahetuse tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides ning millise eredusega põlesid pärast lambi vahetust teised lambid? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $220 V$ . Eeldada, et lambi takistus ei sõltu temperatuurist ja pingest.

Lahendus

Esialgu on tegelik pinge iga lambi klemmidel $U_{t} = \frac{U}{n} = \frac{220 V}{20} = 11 V$ .
Kuna pinge lambil on väiksem nimipingest, on voolu võimsus lambis väiksem lambi nimivõimsusest. Lähtudes seosest $N = \frac{U^{2}}{R}$ leiame voolu võimsuse töötavates elektriküünalde lampides.

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

Kuna $12 V$ nimipingega lampides vähenes voolu võimsus $315$ korda ja on $15 W$ asemel ainult $0, 04 W$ , siis ilmselt lampide hõõgniidid isegi ei hõõgu ning põleb ainult $220 V$ nimipingega lamp, kuna selles on voolu võimsus.

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

On kaks takistit. Kui ühendada alalispinge-allikaga eraldi esimene takisti, siis sellel eraldub võimsus $P_{1} = 10 W$ . Kui ühendada eraldi teine takisti, siis takistil eraldub võimsus $P_{2} = 15 W$ . Kui suur summaarne võimsus eraldub pingeallikaga ühendatud takistitel, kui nad ühendada omavahel: $a)$ rööbiti; $b)$ jadamisi?

Lahendus

Olgu vooluallika pinge $U$ , takistite takistused $R_{1}$ ja $R_{2}$ . Vastavalt ülesande tingimustele

P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} ja P_{2} = \frac{U^{2}}{R_{2}}

a)

Rööpühenduse korral on mõlemal takistil pinge

U

, seega takistitel eraldub võimsus vastavalt

\frac{U^{2}}{R_{1}} = P_{1} ja \frac{U^{2}}{R_{2}} = P_{2}

kokku saame

P = P_{1} + P_{2} = 25 W

b)

Avaldame takistused võimsuste kaudu

R_{1} = \frac{U^{2}}{P_{1}}, R_{2} = \frac{U^{2}}{P_{2}}

Jadaühenduses on kogutakistus

R = R_{1} + R_{2}

ning koguvõimsus seega

P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{U^{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{U^{2}}{\frac{U^{2}}{P_{1}} + \frac{U^{2}}{P_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{P_{1}} + \frac{1}{P_{2}}} = 6 W

Elektripirn nominaalvõimsusega $N = 3 W$ ühendatakse patareiga, mille pinge on $U_{1} = 1, 5 V$ . On teada, et kui voolutugevus põlevas elektripirnis ületab $I = 5, 8 A$ , siis pirn põleb läbi. Kert tahab lambi põlema panna, kuid paraku on tal olemas ainult patarei pingega $U_{2} = 4, 5 V$ ning peale selle veel vasktraadi tükk ristlõikepindalaga $S = 0, 9 m m^{2}$ . Kui pikk vähemalt peab olema traat, et pirn ei põleks läbi? Kuidas peab ta traaditükki kasutama pirni läbipõlemise vältimiseks? Vase eritakistus on $ρ = 0, 018 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Lähtudes võimsuse valemist

P = \frac{U^{2}}{R}

leiame, et pirni takistus on

R = \frac{U_{1}^{2}}{P} = 0, 75 Ω

Ühendame pirni ja traati jadamisi. Kui nüüd pirni läbib maksimaalne vool

I = 5, 8 A

, siis pirnil tekib pinge

U_{P} = I R = 4, 35 V

. Seega traadil peab tekkima pinge

U_{T} = U_{2} - U_{P} = 0, 15 V

See vastab takistusele

R_{T} = \frac{U T}{I} = 0, 026 Ω

Valemist $R = ρ \frac{l}{S}$ leiame, et

l = \frac{S R}{ρ} = 1, 3 m

Elektrikamin võimsusega $6 k W$ hoidis toas temperatuuri $16^{\circ} C$ . Kui pandi tööle ka radiaator võimsusega $1 k W$ , tõusis temperatuur $22^{\circ} C$ -ni. Milline on õhutemperatuur õues? Eeldada, et ajaühikus ülekantav soojushulk on võrdeline temperatuuride vahega.

Lahendus

$N_{1} = k (t_{1} - t_{˜ o}$ ), kus $k$ on tundmatu võrdetegur, $N_{1}$ on kaminalt eralduv soojus, $N_{2}$ on radiaatorilt eralduv soojus.

N_{1} + N_{2} = k (t_{2} - t_{˜ o})

Idee võrdetegurist

k

vabanemiseks:

\frac{N_{1}}{N_{1} + N_{2}} = \frac{t_{1} - t_{˜ o}}{t_{2} - t_{˜ o}}

Võrrandist

t_{˜ o}

avaldamine:

t_{˜ o} = - 20^{\circ} C

Maamaja on elektrijaotuspunktiga ühendatud $2$ kilomeetri pikkuse alumiiniumtraadist elektriliiniga. Traadi ristlõikepindala on $S = 20 m m^{2}$ . Pinge elektrijaotuspunktis elektriliini otstes on $U = 220 V$ . Majas lülitati tööle elektripliidi küttekeha, mille võimsus $220 V$ pinge korral on $P = 1000 W$ . Pliit töötas $t = 45 m i n$ . Kui palju tuleb maksta elektrienergia kasutamise eest, kui elektrienergia tariif on $γ = 1, 05 \frac{E E K}{k W h}$ ? Küttekeha takistuse sõltuvust temperatuurist pole vaja arvestada. Alumiiniumi eritakistus on $ρ = 0, 028 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Pliidi küttekeha takistus

R_{1} = \frac{U^{2}}{P} = 48, 4 Ω

Elektriliini traadi kogupikkus on

l = 2 \cdot 2000 m = 4000 m

ja kogutakistus

R_{2} = ρ \frac{l}{S} = 5, 6 Ω

Voolutugevus

I = \frac{U}{R_{1} + R_{2}} = 4, 1 A

Küttekehal soojusena eralduv elektriline võimsus

P_{1} = I^{2} R_{1} = 814 W

Tarbitud elektrienergia kogus on

0, 814 k W \cdot 0, 75 h = 0, 611 k W h

mille eest tuleb maksta

0, 611 k W h \cdot 1, 05 \frac{E E K}{k W h} = 64 senti

Elektripirn võimsusega $N = 100 W$ on valmistatud $U_{1} = 110 V$ pinge jaoks. Kui suure takistusega takisti ja kuidas peab lülitama vooluringi, et see pirn töötaks $U = 220 V$ vooluvõrgus sama heledusega?

Lahendus

Takisti võib lambiga lülitada jadamisi või rööbiti. Kui lülitame takisti rööbiti, siis saavad nii lamp kui takisti võrdse pinge $U = 220 V$ , mis on lambi puhul lubamatu. Järelikult võib lisatakisti ühendada lambiga ainult jadamisi.

Selleks, et elektripirn põleks sama heledusega, peab lambis eralduv võimsus jääma samaks. Üks valemitest, millega avaldub võimsus, on

N = \frac{U^{2}}{R}

kus

U

on pinge lambil ja

R

- lambi takistus. Järelikult on sama võimsuse säilitamine võimalik ainult juhul, kui pinge lambil jääb endiseks ehk siis meie juhul

U_{1} = 110 V

(me eeldame, et lambi takistus ei sõltu pinge suurusest). See tähendab, et pinge lisatakistil peab olema

U - U_{1} = 220 - 110 = 110 V

ehk teiste sõnadega peab pinge jaotuma võrdselt takisti ja lambi vahel. Kuna ka voolutugevused lambis ja takistis on võrdsed (jadaühendus), siis on võrdsed ka võimsused, mis eralduvad takistis ja lambis(kuna

N = U I

). Siit saame lisatakisti takistuse suuruse:

R = \frac{U_{1}^{2}}{N} = \frac{110^{2}}{100} = 121 Ω

Patarei pinge on $4, 5 V$ ja lühiühenduse korral suudab ta välja anda voolu $0, 5 A$ . Milline peab olema lühistatud patarei jahutusvõimsus, et patarei temperatuur ei muutuks?

Lahendus

Lühise korral välisahelas energiat ei eraldu. Patareilt tuleb võtta ajaühikus samapalju soojust, kui ta eraldab, siis patarei temperatuur ei muutu. Seega on jahutusvõimsus võrdne tööga, mida teeb patarei (kogu patarei töö läheb enese soojendamiseks).

P = U I = 4, 5 V \cdot 0, 5 A = 2, 25 W

On antud kaks lampi, mille võimsused pingel $127 V$ on vastavalt $60 W$ ja $80 W$ . Lambid ühendatakse jadamisi elektrivõrku pingega $220 V$ . Kumb lamp põleb heledamini ja miks? Võrrelda lampide heledusi omavahel ja iseendaga mõlemas olukorras.

Lahendus

Kuna $R = \frac{U^{2}}{N}$ , siis pingel $127 V$ võimsusega $60 W$ põleva lambi takistus on $R_{1} = \frac{127^{2}}{60} = 269 Ω$ , võimsusega $80 W$ põleva lambi takistus aga $R_{2} = \frac{127^{2}}{80} = 202 Ω$ .
Jadaühendamisel on neil kogutakistus

R_{k} = R_{1} + R_{2} = 471 Ω

Ahelat läbib vool tugevusega

I = \frac{U}{R_{k}} = \frac{220}{471} = 0, 47 A

Kuna võimsus jadaühendusel on $N = I^{2} R$ , siis esimese lambi võimsus jadaühendusel on on $N_{1} = I^{2} R_{1} \approx 59 W$ ja teisel lambil

N_{2} = I^{2} R_{2} \approx 44 W

Teise lambi võimsus väheneb tööolukorra muutumisel tunduvalt, esimesel väga vähe.

Andrus ehtis jõulude ajal õues kasvava kuuse elektriküünaldega, milles jadamisi oli ühendatud $N = 20 lampi$ nimipingega $U_{1} = 12 V$ ja nimivõimsusega $P = 15 W$ . Üks lampidest põles läbi. Kuna Andrusel samasugust lampi ei olnud, asendas ta läbipõlenud lambi ema õmblusmasina lambiga, mille nimivõimsus oli samuti $P = 15 W$ , kuid nimipinge $U_{2} = 220 V$ . Kirjeldada, millise eredusega põlesid seejärel elektriküünalde lambid ja mitu korda muutus lambi vahetamise tõttu elektrivoolu võimsus teistes lampides? Pinge elektriküünalde pistiku otstel oli $U_{0} = 220 V$

Lahendus

\frac{N_{t 1}}{N_{1}} = \frac{U_{t 1}^{2} R}{R U_{1}^{2}} \Rightarrow N_{t 1} = \frac{N_{1} U_{t 1}^{2}}{U_{1}^{2}} = 12, 6 W

.
Leiame

12 V

220 V

lampide takistused:

R = \frac{U^{2}}{N}; R_{1} = \frac{12^{2} V^{2}}{15 W} = 9, 6 Ω R_{2} = \frac{220^{2} V^{2}}{15 W} = 3227 Ω

Pärast ühe lambi vahetust on jadamisi ühendatud lampide kogutakistus

R = n R_{1} + R_{2}, R = 19 \cdot 9, 6 Ω + 3227 Ω = 3410 Ω

Voolutugevus lampides on

I = \frac{U}{R} = \frac{220 V}{3410 Ω} = 0, 065 Ω

Voolu võimsus $12 V$ nimipingega lambis on sel juhul $N_{t 1} = I^{2} R_{1}, N_{t 2} = (0, 065 A)^{2} \cdot 9, 6 Ω = 0, 04 W$ .
Voolu võimsus lampides vähenes seega

\frac{N_{t 1}}{N_{t 2}} = \frac{12, 6 W}{0, 04 W} = 315 korda .

N^{'} = 0, 065^{2} \cdot 3227 = 13, 6 W

1. Küttekeha

2. Pirnid

3. Traadist rõngas

4. Takistite võimsused

5. Elektriküünlad

6. Takistid

7. Elektripirn

8. Elektrikamin

9. Maamaja

10. Elektripirn

11. Patarei

12. Lambid

13. Elektriküünlad