Teine võimalus mehaanika aluste ümberformuleerimiseks põhineb Fermat’ printsiibi üldistamisel optikast mehaanikasse. 1696. a. formuleeris Johann Bernoulli Fermat’ printsiibi analoogi – mehaanika lühima aja ehk brahhistokrooni (kr. brachistos – lühim, chronos – aeg) ülesande: leida vertikaaltasandil kahte etteantud punkti ühendav joon, mida mööda raskusjõu mõjul hõõrdumisvabalt libisev punktmass jõuab ülemisest punktist alumisse lühima aja jooksul. See mehaanika seisukohalt kitsapiiriline ülesanne, mille lahendusvariante esitasid umbes aastase tähtaja jooksul Leibniz, Newton, l’Hôpital, vennad Jacob ja Johann Bernoulli, andis tõuke variatsioonarvutuse loomiseks. Olulise panuse andsid variatsioonarvutusse L. Euler ja J. Lagrange.
Mehaanika jaoks oli oluline välja selgitada, milline suurus osutub liikumisel minimaalseks. Juba 1669. a. hakkas Leibniz kasutama terminit mõju (actio formalis), mõistes selle all massi, teepikkuse ja kiiruse korrutist. Arvatavasti oli talle küllalt selge, millist osa võiks see suurus mängida mehaanikas. 1707. a. sai nimelt Šveitsi matemaatik Jacob Hermann (1678–1733) kirja, mille saatjaks peetakse Leibnizit ja kus väidetakse, et reaalsete liikumiste korral omandab mõju tavaliselt minimaalse (harvem maksimaalse) väärtuse. Need kaalutlused, mis publitseeriti alles 1860. a., jäid kaasaegsetele tundmatuks.
Mehaanika vähima mõju printsiibi üldise ja väga laia formuleeringu esitas 1746. a. Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759): „Mõju, mis on tarvilik selleks, et teostada mingit muutust looduses, on võimalikest väikseim“. Mõju tähendus oli tal sama mis Leibnizil, seega punktmassi liikumisel minimeerub ∫md. Matemaatiliselt on Maupertuis’ printsiip ebamäärane: pole selge, milliseid tingimusi peavad rahuldama võrdluseks võetavad teised võimalikud liikumised. Ta ise piirdus vaid paari lihtsa näitega (kang, elastne põrge), ent omistas printsiibile universaalse tähenduse, nähes selles kõige looduses toimuva sihipärast otstarbekust, ja seostas seda kõrgema mõistusliku algega – looja lõpmatu tarkusega. Niisugune teleoloogiline lähenemine tekitas tolleaegses Prantsuse ratsionalistlikus teadusavalikkuses teravaid vastuväiteid. Õela pamfletiga reageeris Maupertuis’ ideedele ka Voltaire (1753).
Paar aastat varem (1744) oli L. Euler avaldanud uurimuse „Visatud kehade liikumisest takistuseta keskkonnas maksimumide ja miinimumide meetodil“, kus ta leidis, et punktmassi liikumisel tsentraalses jõuväljas omandab integraal ∫d ekstremaalse väärtuse. Kuid ka tema ei näinud oma tulemuses üldist printsiipi ega formuleerinud korrektselt võrdlusliikumistele seatavaid tingimusi. Hilisemates töödes (1759–63) tunnustas Euler Maupertuis’ prioriteeti ja täpsustas mõneti tema käsitlust.
Lagrange rakendas vähima mõju printsiipi punktmasside süsteemile ja asendas Maupertuis’-Euleri mõju ∫md Leibnizi elavjõu ajalise integraaliga ∫mν2dt. Nii muutus vähima mõju printsiip minimaalse (ekstremaalse) elavjõu printsiibiks: punktmasside süsteemi liikumisel konservatiivsete jõudude mõjul algasendist lõppasendisse on süsteemi elavjõu muutus minimaalne (ekstremaalne). Võrdlusliikumised peavad Lagrange’il ühendama samu alg- ja lõppasendeid ning toimuma sama koguenergiaga (Lagrange’i enese sõnastuses: „konstantse elavjõu ja surnud jõu summaga“). Viimase tingimuse tõttu sõltub ka elavjõud samuti nagu surnud jõud (potentsiaalne energia) asendist ja aeg ei tarvitse olla kõigi võrreldavate liikumiste jaoks ühesugune. Seega on siin üsna keeruline, lisatingimuse ja fikseerimata (ülemise) rajaga variatsioonülesanne. Mehaanika variatsioonprintsiibi üldise ja mugavalt rakendatava formuleeringu andis 1834–35 William Rowan Hamilton (vt. VII § 3.1).
Mehaanika üldised printsiibid (jäävusseadused, d’Alembert’i tasakaalu printsiip, Maupertuis’ vähima mõju printsiip) olid algselt sõnastatud üsna ebamääraselt ning neile omistati sageli sõltumatute ja üldiste loodusseaduste staatus. Alles 18. sajandi lõpuks hakkasid täpsustuma nende printsiipidega seotud mehaanikamõisted ja printsiibid ise taandusid sisult ekvivalentseteks puhtalt mehaanika printsiipideks. Näiteks Lagrange ei omistanud vähima mõju printsiibile sõltumatut rolli, vaid käsitles seda kui dünaamika üldvõrrandi ühte tuletamise võimalust. 20. sajandil omandas vähima mõju printsiip, eelkõige väljateoorias, taas universaalse loodusseaduse tähenduse ja konkreetse teooria loomine taandus mõjufunktsionaali konstrueerimisele. Energia jäävuse seadus omandas termodünaamika I printsiibina üldise tähenduse juba 19. sajandi keskel.