K342859

Sideeriline kuu on

27, 3

päeva, sünoodiline kuu on

29, 5

päeva. Kasutades Maa ja Kuu orbitaalperioode ja eeldades, et nt sideerilise (või sünoodilise) kuu pikkus on teada, arvutage sünoodilise (või sideerilise) kuu pikkus.

Lahendus

Lähtume, et Kuu tõeline periood on $27, 3$ päeva ja Maa tõeline periood on $365, 3$ päeva (täpsed numbrid on $27, 322$ ja $365, 256$ ). Mõlemad tiirlevad samas suunas.

(a) Lihtne kuid ebatäpne lahendus. $27, 3$ päeva jooksul on Maa liikunud oma orbiidil $27, 3 / 365, 3 = 0, 075$ osa täisringist (ehk $0, 47$ radiaani). Sellesama osa (= nurga) võrra peab Kuu liikuma nüüd rohkem, et sattuda taas Päike − Maa − Kuu ühendussirgele. Kuul võtab see aega $27, 3 \cdot 0, 075 = 2, 04$ päeva. Seega on aeg ühest täiskuust teiseni $27, 3 + 2, 04 = 29, 3$ päeva. See ongi (peaaegu õige) sünoodiline kuu. See on peaaegu korrektne lahendus.

(b) Versiooni (a) täpsustatud lahendus. Me peame arvestama, et kui õigesse kohta jõudmine võtab $27, 3 + 2, 0$ päeva aega, siis selle lisa $2, 0$ päeva jooksul jõuab Maa samuti veidi edasi liikuda. Ehk siis peaksime sama moodi arvutame ka selle parandi. Kui see teha, siis saame tulemuseks $29, 49$ päeva. Siis arvutama kolmanda lähenduse jne. Päris korrektsem on lahendada nii, et tähistame lisaliikme (otsitava parandi) $x$ . Kasutame nüüd elegantsi huvides ka täpseid numbreid. Saame eeltoodut arvestades seose

\frac{27, 322 + x}{365, 256} \cdot 27, 322 = x .

Siit saame

x = \frac{(27, 322)^{2}}{365, 256 - 27, 322} = 2, 209.

Seega on sünoodiline kuu 29,531 päeva, mis on kõikide toodud tüvenumbriteni õige.

(c) Tavapärane lahendus nurkkiiruste alusel. Täisring on $2 p i$ radiaani. Olgu aeg päevades. Kuu nurkkiirus tähtede suhtes on $2 π / 27, 322.$ . Maa nurkkiirus tähtede suhtes on $2 π / 365, 256.$ Kuid nende kahe nurkkiiruse (ehk ööpäeva jooksul liigutud nurga) vahe ongi Kuu nihkumise nurk Päike − Maa joone suhtes ehk $2 π / S,$ kus $S$ on otsitav sünoodiline periood ehk sünaadiline kuu. Suurused $2 π$ taanduvad välja ning saame seose $1 / S = 1 / 27, 322 - 1 / 365, 256,$ millest $S = 29, 531$ päeva.