Paul Diraci relavistlik elektroni kvantteooria

Kvantmehaanika on mitterelativistlik füüsikateooria, ehkki lainemehaanika alusidee formuleeris de Broglie, toetudes relativistlikule mehaanikale. Seni ainus katse võtta kvantmehaanika aluseks relativistliku lainevõrrandi üldistus, Kleini-Gordoni-Focki võrrand $(□ + μ^{2}) Ψ = 0$ (vt. § 2.3), viis vesiniku aatomi korral väära peenstruktuurini, sest kõrvale jäi elektroni spinn. Diraci meelest oli selle võrrandi suurimaks puuduseks asjaolu, et võrrand ei sobinud kokku tema transformatsioonide (esituste) teooria printsiipidega. Esituste teooria aluseks oli Schrödingeri võrrand, mis sisaldas vaid esimest järku ajalisi tuletisi. Viimasest asjaolust järeldus, et pidevuse võrrandit rahuldav tõenäosuse tihedus $| ψ |^{2}$ on positiivselt määratud. Seevastu Kleini-Gordoni-Focki võrrandi korral rahuldab pidevuse võrrandit suurus $Ψ * (/ t Ψ) - (/ t Ψ *) Ψ$ , mis võib olla nii positiivne kui ka negatiivne ja mida ei saa hästi tõlgendada tõenäosuse tihedusena.

Nii pidas Dirac esmaseks ülesandeks lineariseerida relativistlik energiavõrrand

(14)

(- p_{0}^{2} + p^{2} + m_{0}^{2} c^{2}) = 0, kus p_{0} = E / c (E = energia),

mis tuntud asendustega $p_{0} = (i / c) / t$ , $p_{j} = (i) / x_{j}$ viibki Kleini-Gordoni-Focki võrrandini. Lineariseerimiseks oli tarvis sisse tuua neli antikommuteeruvat operaatorit α_λ (λ = 0,1,2,3)

(15)

α_{λ} α_{μ} + α_{μ} α_{λ} = 0, λ \neq μ; α_{0} α_{0} = α_{1} α_{1} = α_{2} α_{2} = α_{3} α_{3} = I

Sel juhul laguneb võrrand (14) kaheks identseks võrrandiks:

(16)

(p_{0} + α_{1} p_{1} + α_{2} p_{2} + α_{3} p_{3} + α_{0} m_{0} c) ψ = 0

Hiljem (1977) meenutas Dirac, et teda stimuleeris Pauli spinniteooria lihtne järeldus $(\to p \to σ)^{2} = (σ_{1} p_{1} + σ_{2} p_{2} + σ_{3} p_{3})^{2}$ $= p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} = p^{2}$ , mis tähendas, et p²-st ruutjuur on parajasti ( $\to p \to σ$ ). Seejärel tuli võrrandi (14) lineariseerimiseks sisse tuua veel neljas antikommuteeruv operaator ja Pauli 2 × 2 maatriksite asemel asutada 4 × 4 maatrikseid. Viimaste ehituskivideks ongi Pauli 2 × 2 maatriksid σ_j, mis koos sama liiki ühik-ja nullmaatriksiga paiknevad plokkidena Diraci maatriksite pea-ja kõrvaldiagonaalil. Lainefunktsioon ψ on nüüd loomulikult 4-komponendiline spiinor (veergmaatriks). Oma teooria alused esitas Dirac 1928. a. artiklites „The quantum theory of the electron“ I, II („Elektroni kvantteooria“, 21 lk.). I osa jõudis ajakirja „Proceedings of the Royal Society“ toimetusse 2. jaanuaril ja II osa 2. veebruaril 1928 ning ilmusid vastavalt veebruari-ja märtsinumbris. Lisaks vaba välja võrrandile (16) on vaadeldud ka elektroni välises elektri-ja magnetväljas ning näidatud, et uus teooria arvestab automaatselt elektroni spinni ja magnetmomenti. Arvutatud on ka elektroni energianivood ja nende Zeemani lõhenemine vesiniku aatomi korral ning peenstruktuuri joonte suhtelised intensiivsused.

Kõige põnevama tulemuse andis aga vaba elektroni võrrandi detailne analüüs. Relativistlikust seosest energia ja impulsi vahel (14) järeldub energia kahemärgilisus etteantud impulsi p korral:

(17)

E_{+} = + (c^{2} p^{2} + m_{0}^{2} c^{4}), E_{-} = - (c^{2} p^{2} + m_{0}^{2} c^{4})^{.}

Klassikalises füüsikas, kus osakese parameetrid, ka energia, muutuvad pidevalt, ei saa osake kuidagi sattuda positiivse energiaga olekust negatiivse energiaga olekusse. Kvantfüüsikas oleks selline kvanthüpe võimalik nullist erineva tõenäosusega ja siin vabaneks vähemalt energia 2m₀c² (elektroni korral vähemalt 10⁶ eV). Selliste spontaansete üleminekute vältimiseks oletas Dirac, et kõik negatiivse energiaga olekud on täidetud ja Pauli keeluprintsiibi tõttu ei saa enam uusi elektrone nendesse olekutesse lisanduda. Nii ilmus teooriasse lõpmatu negatiivse laenguga vaakum. Kui õnnestub sealt elektron välja viia positiivse energiaga olekusse, siis käitub tühimik
vaakumis – auk (hole) – nagu positiivse elementaarlaenguga osake, mille paigalolekumass on sama nagu elektronil. Sellise käsitluse esitas Dirac lühikeses artiklis (4–5 lk.) „A theory of electrons and protons“ („Elektronide ja prootonite teooria“), mis ilmus 1930. a. Siin tekkis Diracil uudne probleem: positiivse elementaarlaengu kandja prootoni mass on ligi paar tuhat korda suurem elektroni massist. Hiljem (1938) Dirac meenutas, et ta lihtsalt kartis postuleerida uue osakese olemasolu, sest sel ajal „valitsenud arvamuskliima oli uute osakeste vastu“. Nii esitas ta oma uurimust kui elektronide ja prootonite teooriat, milles kummitas osakeste masside ülisuure erinevuse pseudoprobleem.

Probleem lahenes, kui Ameerika füüsik Carl David Anderson (1905–91) avastas kosmilistes kiirtes elektronisarnase positiivse laenguga osakese ja avaldas 1932. a. ajakirjas „Science“ artikli „The apparent existence of easily deflectable positives“ („Kergesti kallutatavate positiivsete osakeste eksistents“). Temalt pärineb ka nime-
tus positron. Dirac ise hakkas seda nimetust kasutama paar aastat hiljem (1934). Meenutame, et nimetus prooton (kr. esimene) võeti kasutusele 1908. a. positiivse laenguga elementaarosakese jaoks, mille mass oli umbes 1800 korda suurem elektroni massist, s.t. vesiniku tuuma nimetusena.

Veel samal, 1930. aastal analüüsis Dirac ka elektron-positronpaari (siis veel elektron-prooton paar) tekitamist suure energiaga γ-kvantide poolt ja paari annihileerumist γ-kvantideks. Koos sellega hakkas Diraci teooriast ja kvantelektrodünaamikast kujunema ühtne kvantväljateooria.

Olgu veel märgitud, et 1933. a. sai P. Dirac koos Schrödingeriga Nobeli füüsikaauhinna aatomiteooria uute vormide avastamise eest ja 1936. a. Anderson poole auhinnast positroni avastamise eest (teise poole auhinnast sai Victor Franz Hess kosmilise kiirguse avastamise eest, vt. XI § 2).