Kineetiline energia ja töö

Füüsiku pilguga

Selle kentsakavõitu auto juht valmistub paigaltstardiga sõiduks veerandmiilisel distantsil. Et suurendada veojõudu, laseb ta ratastel koha peal pöörelda, kuna see parandab rehvide haakumist teepinnaga. Seejärel ootab juht stardijoonel, kuni sekundeid loendavate fooride jõulupuu annab rohelise värvi; auto sööst on stardihetkel nii võimas, et ta meenutab horisontaalsuunas välja lastud raketti. Praeguseks on teadlaste ja inseneride pingutused viinud need kummalised autod sellisele tasemele, kus võidu ja kaotuse määrab sageli vaid üksainus millisekund. Milline auto omadus määrab võitja tulemuse?

Füüsika üks põhieesmärke on selle uurimine, millest igal pool nii palju räägitakse: energia. Selle tähtsus on ilmselge – võiks öelda, et meie tsivilisatsiooni aluseks on energia saamine ja efektiivne kasutamine.

On ju näiteks teada, et ükskõik milliseks liikumiseks on vaja energiat. Seda on vaja lennuks üle Vaikse ookeani ja selleks, et viia midagi hoone ülemisele korrusele või orbiidil tiirlevasse kosmosejaama. Energiat on vaja palliviskeks. Et energiat toota ja kasutada, kulutame me tohutul hulgal raha. Energiaressursside pärast on alustatud sõdu ja paljud sõjad on lõppenud siis, kui vajadus energia järele on ületanud sõdivate riikide võimalused. Igaüks võib tuua näiteid energia ja selle kasutamise kohta, aga mida siis ikkagi tähendab sõna energia?

Mis on energia?

Energia mõiste on nii lai, et selget definitsiooni on raske anda. Tehnikas on energia skalaarne suurus, mis on seotud ühe või mitme objekti olekuga (või tingimustega). Paraku on see määratlus liiga ähmane, et temast võiks praegu abi olla.

Siiski annab see umbkaudne definitsioon võimaluse edasi minna. Energia on järelikult arv, mida saab seostada ühest või mitmest objektist koosneva süsteemiga. Kui jõud muudab üht objekti, pannes selle näiteks liikuma, muutub ka energiat väljendav arv. Pärast loendamatuid katseid jõudsid teadlased ja insenerid järeldusele, et kui eeskirjad, mille järgi neid arve määratakse, on piisavalt hästi kavandatud, saab neid arve kasutada katsetulemuste ennustamiseks. Ja mis veel tähtsam – see aitab kavandada masinaid, lennumasinateni välja. Kõige selle edu aluseks on meie universumi imepärane omadus: energia võib muunduda ühest liigist teise ja kanduda ühelt objektilt teisele, aga tema koguhulk jääb alati samaks (energia on jääv ehk konservatiivne suurus). Mitte kunagi pole leitud ühtki kõrvalekaldumist sellest printsiibist, mida nimetame energia jäävuse seaduseks.

Energia liike võime võrrelda pangaarvel oleva raha liikidega. Kehtivad ju kindlad reeglid selle kohta, mida need rahanumbrid tähendavad ja kuidas neid muudetakse. Te võite raha üle kanda ühelt arvelt teisele või ühest valuutast teiseks, teha seda isegi elektrooniliselt, ilma materiaalseid esemeid liigutamata. Aga võib täiesti kindel olla, et raha koguhulk (kõigi rahanumbrite kogusumma, arvutatuna ühtedes kindlates rahaühikutes) jääb alati samaks.

Selles peatükis vaatleme ainult üht energia liiki – kineetilist energiat – ja ainult üht energia ülekandumise viisi – tööd. Järgmistes peatükkides käsitleme ka mõningaid teisi energia liike ja seda, kuidas energia jäävuse seadusest tuletada võrrandeid, mida saab lahendada.

Kinetic energy

Kineetiliseks energiaks $K$ nimetame energiat, mis on seotud keha liikumisolekuga. Mida kiiremini keha liigub, seda suurem on kineetiline energia. Kui keha püsib paigal, on kineetiline energia null. Liikugu keha massiga $m$ kiirusega $v$ , mis on oluliselt väiksem valguse kiirusest. Sel juhul võime kirjutada

(kineetiline energia 7-1)

K = \frac{1}{2} m v^{2}

Näiteks kui part massiga $3, 0 kg$ lendab meist mööda kiirusega $2, 0 m/s$ , on tema kineetiline energia $6, 0 k g \cdot m^{2} / s^{2}$ ; see tähendab, me seostame just selle arvu pardi liikumisega.

Energia ühikuks SI-s on nii kineetilise energia kui ka kõigi teiste energia liikide jaoks džaul (J), nimetatud 19. sajandi inglise teadlase James Prescott Joule’i järgi. Lähtudes võrrandist 7‑1, võime selle avaldada massi ja kiiruse ühikute kaudu:

(7-2)

1 džaul = 1 J = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}

Järelikult on lendava pardi kineetiline energia $6, 0 J$ .

1896. aastal paigutas William Crush Texase linnas Wacos kaks vedurit

6, 4 k m

pikkuse raudtee otstesse, küttis katlad üles, sidus aurusiibrid avatud asendisse ja laskis vedureil

30000

pealtvaataja ees täiskiirusel kokku põrgata (joonis 7-1). Õhkupaiskunud killud vigastasid sadu inimesi, kellest mõned said ka surma. Võttes vedurite kaaluks

1, 2 \times 10^{6} N

ja kiirenduseks püsivalt

0, 26 m / s^{2}

, leidke, mis oli vedurite summaarne kineetiline energia vahetult enne kokkupõrget.

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Me peame leidma mõlema veduri kineetilise energia, kasutades valemit 7-1; selleks peame aga teadma vedurite massi ja kiirust enne kokkupõrget. (2) Kuna me oletasime, et mõlemad vedurid liikusid konstantse kiirendusega, saame kasutada tabelis 2-1 toodud valemeid ning arvutadagi neist kiirused $v$ vahetult enne kokkupõrget.

JOONIS 7-1 Vedurite kokkupõrke tagajärg 1896. a. (Avaldatud Ameerika Ühendriikide Kongressi Raamatukogu loal)

Arvutused: Lahendamiseks valime valemi 2-16, kuna teame kõigi selles olevate muutujate, välja arvatud $v$ , väärtusi:

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})

Võttes $v_{0} = 0$ ja $x - x_{0} = 3, 2 \cdot 10^{3} m$ (pool nende esialgsest vahemaast), saame

v^{2} = 0 + 2 (0, 26 m / s^{2}) (3, 2 \cdot 10^{3} m)

ehk

v = 40, 8 m / s \approx 150 k m / h

Veduri massi leidmiseks peame jagama tema kaalu raskuskiirendusega $g$ ,

m = \frac{1, 2 \times 10^{6} N}{9, 8 m / s^{2}} = 1, 22 \times 10^{5} k g

Nüüd saame valemit 7-1 kasutades arvutada kahe veduri summaarse kineetilise energia kokkupõrkemomendil

K = 2 (\frac{1}{2} m v^{2}) = (1, 22 \times 10^{5} k g) (40, 8 m / s)^{2} = 2, 0 \times 10^{8} J - ---------- - - ---------- -

Selline kokkupõrge on võrreldav pommiplahvatusega.

Töö

Kui te rakendate liikuvale kehale jõudu, et selle kiirust suurendada, suurendate ka keha kineetilist energiat $K (= \frac{1}{2} m v^{2})$ . Kui te aga rakendate jõudu keha liikumise aeglustamiseks, s.t kiiruse vähendamiseks, vähendate tema kineetilist energiat. Me ütleme, et kineetilise energia muutumisel teie poolt rakendatud jõud kannab teie energiat üle kõnealusele kehale või, teisel juhul, kannab energiat liikuvalt kehalt teile. Sellist energia ülekandmist jõu abil kirjeldatakse kehale mõjuva jõu poolt tehtud töö $W$ abil. Töö täpsem definitsioon on selline:

Töö W on energia, mida kantakse kehale üle või viiakse sellelt ära temale mõjuva jõu abil. Kehale energia juurde andmisega seostuv töö loetakse positiivseks, energia äravõtmisega seostuv töö aga negatiivseks.

Seega on „töö” üleviidud energia; „töö tegemine” aga energia ülekanne. Töö ühikud on samad kui energia ühikud ja töö on samuti skalaarne suurus.

Mõiste „ülekanne” võib siin olla eksitav. See ei tähenda millegi materiaalse ülekandumist ühelt kehalt teisele, teda ei saa võrrelda vee valamisega ühest anumast teise. Pigem on see nagu raha elektrooniline kandmine ühelt arvelt teisele: raha hulk ühel arvel lihtsalt suureneb ja teisel arvel väheneb, ilma et midagi reaalset oleks ühest pangast teise viidud.

Märgime, et me ei mõtle siin sõna „töö” all seda, mida tavaelus tööks nimetame ja mis tähendab igasugust füüsilist või vaimset töötamist. Kui näiteks suruda jõuga vastu liikumatut seina, peame oma lihaseid pingutama ja seega teeme üsnagi väsitavat „tööd”. Sellele vaatamata ei põhjusta meie pingutus energia üle kandumist seinale või sealt ära – järelikult ei tee me tööd ülaltoodud definitsiooni mõttes.

Segaduse vältimiseks kasutame selles peatükis tähist $W$ üksnes töö tarbeks ning tähistame kaalu ekvivalendiga $m g$ .

Töö ja kineetiline energia

Otsime töö avaldist

Vaatleme piki pingutatud traati libisevat kuulikest ning püüame leida avaldist selle liikumise käigus tehtava töö tarvis. Traat asetseb horisontaalselt piki $x$ -telge, hõõrdumine puudub ning kuulile mõjub konstantne jõud $\to F$ , mis on suunatud traadi suhtes nurga $ϕ$ all (joonis 7-2).

JOONIS 7-2 Nihke $\to d$ suhtes nurga $ϕ$ all piki traati liikuvale kuulikesele mõjuv konstantne jõud $\to F$ muudab kuulikese kiirust väärtuselt ${\to v}_{0}$ kuni väärtuseni $\to v$ . Tulpdiagramm joonise all näitab, et kuulikese kineetiline energia muutub seejuures algväärtuselt $K_{i}$ kuni väärtuseni $K_{f}$ .

Kuulike hakkab liikuma kiirenevalt ja kiirenduse saame leida Newtoni teisest seadusest, mis vektorite $x$ -komponentide jaoks annab

(7-3)

F_{x} = m a_{x}

kus $m$ on kuulikese mass. Sel ajal, kui kuulikese asukoht muutub nihke $\to d$ võrra, muudab jõud tema kiirust algväärtuselt ${\to v}_{0}$ mingi teise väärtuseni $\to v$ . Kuna jõud on konstantne, siis on konstantne ka kiirendus. Seetõttu võime vastavalt valemile 2-16 kirjutada $x$ -telje suunalise komponendi jaoks

(7-4)

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a_{x} d

Avaldame siit $a_{x}$ , paneme valemisse 7-3 ja pärast algebralisi teisendusi saame

(7-5)

\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = F_{x} d

Võrrandi vasaku poole esimene liige on kuulikese kineetiline energia $K_{f}$ pärast nihke $d$ läbimist, teine liige, $K_{i}$ , aga esialgne kineetiline energia. Seega väljendab valemi 7-5 vasak pool kuulikese kineetilise energia muutust talle mõjuva jõu toimel, parem pool aga näitab, et see muutus on võrdne korrutisega $F_{x} d$ . Seega on kuulikesele mõjuva jõu poolt tehtud töö $W$ (selle jõu poolt üle kantud energia)

(7-6)

W = F_{x} d

Teades $F_{x}$ ja $d$ väärtusi, saame selle valemi abil arvutada kuulikesele mõjuva jõu poolt tehtava töö $W$ .

Et arvutada kehale mõjuva jõu poolt selle keha liikumisel tehtavat tööd mingi nihke puhul, kasutame ainult jõu nihkesuunalist komponenti. Jõu nihkega risti oleva komponendi töö on võrdne nulliga.

Jooniselt 7-2 on näha, et $F_{x}$ saab avaldada kui $F cos ϕ$ , kus $ϕ$ on nurk nihkevektori $\to d$ ja jõu $\to F$ vahel. Seega

(7-7)

W = F d cos ϕ

Et selle võrrandi parem pool on ekvivalentne skalaarkorrutisega $\to F \cdot \to d$ , võime teda kirjutada kujul

(7-8)

W = \to F \cdot \to d

$F$ on siin $\to F$ arvväärtus. (Kui soovite, võite skalaarkorrutise kohta käivat korrata punktist 3-8.) Valemeid 7-6 kuni 7-8 on töö arvutamisel eriti mugav kasutada juhul, kui $\to F$ ja $\to d$ on esitatud ühikvektorite tähistuses.

JOONIS 7-3 Voodiralli: voodit lükkava tudengi poolt rakendatud jõu töö arvutamisel võime voodi koos selles olijaga lugeda punktmassiks.

Hoiatus: keha liikumisel tehtava töö arvutamisel valemitega 7-6 kuni 7-8 on kaks piirangut. Esiteks peab jõud olema konstantne, st kogu liikumise ajal ei tohi tema suurus ja suund muutuda. (Hiljem vaatleme, mida teha muutuva jõu korral, mille suurus muutub liikumise käigus.) Teiseks, keha peab liikuma punktmassina, st olema kulgevas liikumises ja jäik – kõik tema osad peavad liikuma koos ja samas suunas. Selles peatükis vaatlemegi ainult punktmassina liikuvaid kehi, nagu seda on kujutatud joonisel 7-3.

Töö märk. Kehale mõjuva jõu poolt tehtav töö võib olla kas positiivne või negatiivne. Kui näiteks nurk $ϕ$ valemis 7-7 on väiksem kui $90^{\circ}$ °, siis on tema koosinus $cos ϕ$ positiivne ning koos sellega on positiivne ka töö. Kui nurk $ϕ$ on suurem kui $90^{\circ}$ (aga väiksem kui $180^{\circ}$ ), siis on nii $cos ϕ$ kui ka kogu töö negatiivsed. (Kas mõistate, miks $ϕ = 90^{\circ}$ korral on töö võrdne nulliga?) Siit järeldub lihtne reegel. Et leida jõu poolt tehtava töö märki, tuleb vaadata jõuvektori nihkega paralleelset komponenti:

Jõud teeb positiivset tööd, kui temal kui vektoril on olemas nihke suunaline komponent, ja ta teeb negatiivset tööd, kui tal on nihkele vastassuunaline komponent. Kui kumbagi komponenti ei ole, on jõu poolt tehtav töö null.

Töö ühikud. Töö ühikuks SI-s on džaul, sama mis kineetilisel energial. Valemeist 7-6 ja 7-7 näete, et selle ekvivalendiks on njuuton korda meeter ( $N \cdot m$ ). Vastavaks ühikuks Briti süsteemis on nael korda jalg ( $f t \cdot l b$ ). Asendades need valemisse 7-2, saame

(7-9)

1 J = 1 k g \cdot m^{2} / s^{2} = 1 N \cdot m = 0, 738 f t \cdot l b

Jõudude kogutöö. Kui samale kehale mõjub kaks või rohkem jõudu, siis on nende kogutöö võrdne üksikute jõudude poolt tehtavate tööde summaga. Kogutööd saab arvutada kahel viisil. (1) Leiame üksikute jõudude tehtud tööd ning liidame need kokku. (2) Sama tulemuse saame, kui leiame kõigepealt nende jõudude summa ${\to F}_{res}$ ja seejärel kasutame valemit 7-7, asendades seal $\to F$ arvväärtuse ${\to F}_{res}$ arvväärtusega ning nende vahelise nurga vektorite ${\to F}_{res}$ ja $\to d$ vahelise nurgaga. Ka võime kasutada valemit 7-8, kui paneme $\to F$ asemele ${\to F}_{res}$ .

Teoreem tööst ja kineetilisest energiast

Valem 7-5 seob kuulikese kineetilise energia muutuse (algväärtusest $K_{i} = \frac{1}{2} m v^{2}$ kuni hilisema väärtuseni $K_{f} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ) kuulikese liikumisel tehtud tööga $W$ ( $= F_{x} d$ ). Kulgeva liikumise korral saame seda valemit üldistada. Olgu $Δ K$ keha kineetilise energia muutus ja olgu $W$ temale mõjuvate jõudude kogutöö. Siis

Δ K = K_{f} - K_{i} = W

mis ütleb, et

(keha kineetilise energia muutus) = (kehale m ˜ o juvate j ˜ o udude kogut ¨ o ¨ o)

Võime kirjutada ka teistmoodi:

K_{f} = K_{i} + W

mis ütleb, et

(kineetiline energia p ¨ a rast kogut ¨ o ¨ o d) = (kineetiline energia enne kogut ¨ o ¨ o d) + (tehtud kogut ¨ o ¨ o)

Seda väidet tavatsetakse nimetada teoreemiks tööst ja kineetilisest energiast punktmasside jaoks. Ta hõlmab nii positiivset kui negatiivset tööd: kui tehtud kogutöö on positiivne, siis keha kineetiline energia kasvab tehtud töö väärtuse võrra. Kui tehtud töö on negatiivne, siis keha kineetiline energia väheneb tehtud töö väärtuse võrra.

Kui näiteks keha kineetiline energia enne tööd oli $5 J$ ja temale töö käigus juurde antud koguenergia on $2 J$ (positiivne kogutöö), siis on lõppenergia $7 J$ . Kui aga samalt kehalt võetakse ära koguenergia $2 J$ (kogutöö on negatiivne), siis saame lõppenergiaks $3 J$ .

Keha liigub piki

x

-telge. Kas tema kineetiline energia suureneb, väheneb või jääb samaks, kui tema kiirus muutub (a)

- 3 m / s

kuni

- 2 m / s

; (b)

- 2 m / s

kuni

2 m / s

? (c) Vastake mõlema juhu jaoks, kas liikumisel tehtud töö oli positiivne, negatiivne või null.

Näidisülesanne 7-2

Joonisel 7-4a lohistavad kaks tööstusspiooni $225 k g$ massiga seifi algsest paigalseisust otseteed oma auto poole kogunihke $8, 50 m$ võrra. Spioon 001 lükkab seifi jõuga $12, 0 N$ , mis on suunatud liikumise suhtes $30^{\circ}$ allapoole; spiooni 002 tõmme on $10, 0 N$ , suunatud $40^{\circ}$ rõhtsihist ülespoole. Jõudude suurus ja suund ei muutu seifi liikumise vältel, hõõrdumine seifi ja põranda vahel puudub.

JOONIS 7-4 (a) Kaks spiooni liigutavad seifi nihke $\to d$ võrra. (b) Seifile mõjuvate jõudude vektordiagramm.

Joonisel 7-4a lohistavad kaks tööstusspiooni $225 k g$ massiga seifi algsest paigalseisust otseteed oma auto poole kogunihke $8, 50 m$ võrra. Spioon 001 lükkab seifi jõuga $12, 0 N$ , mis on suunatud liikumise suhtes $30^{\circ}$ allapoole; spiooni 002 tõmme on $10, 0 N$ , suunatud $40^{\circ}$ rõhtsihist ülespoole. Jõudude suurus ja suund ei muutu seifi liikumise vältel, hõõrdumine seifi ja põranda vahel puudub.

Milline on jõudude

{\to F}_{1}

ja

{\to F}_{2}

kogutöö nihke

\to d

vältel?

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Kahe jõu poolt seifi kallal tehtud kogutöö on võrdne mõlema jõu poolt tehtud tööde summaga. (2) Kuna me loeme seifi punktmassiks (tegu on kulgliikumisega) ning jõud on konstantsed nii suuruse kui suuna poolest, saab töö leidmiseks kasutada nii valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ) kui ka valemit 7-8 ( $W = \to F \cdot \to d$ ). Kuna me teame jõudude suurusi ja nende mõjumisnurki, valime valemi 7-7.

Arvutused: Kasutades seifile mõjuvate jõudude vektordiagrammi joonisel 7-4b ning valemit 7-7, saame jõu ${\to F}_{1}$ töö

W 1 = F_{1} d cos ϕ_{1} = (12, 0 N) (8, 50 m) (cos 30^{\circ}) = 88, 33 J

ning jõu ${\to F}_{2}$ töö

W_{2} = F_{2} d cos ϕ_{2} = (10, 0 N) (8, 50 m) (cos 40^{\circ}) = 65, 11 J

Seega on kogutöö

W = W_{1} + W_{2} = 88, 33 J + 65, 11 J = 153, 4 J \approx 153 J - ---- - - ---- -

Järelikult muundasid kaks spiooni $8, 50$ meetrise nihke vältel $153 J$ energiat seifi kineetiliseks energiaks. (b) Kui suur on seifile mõjuva raskusjõu ${\to F}_{g}$ poolt nihke vältel tehtud töö $W_{g}$ ja kui suur on põranda normaaljõu ${\to F}_{N}$ poolt tehtud töö $W_{N}$ ?

Kui suur on seifile mõjuva raskusjõu

{\to F}_{g}

poolt nihke vältel tehtud töö

W_{g}

ja kui suur on põranda normaaljõu

{\to F}_{N}

poolt tehtud töö

W_{N}

?

Lahendus

JUHTMÕTE Kuna ka need jõud on konstantsed nii suuruse kui suuna poolest, võime nendegi töö leida valemist 7-7.

Arvutused: Et raskusjõu väärtus on $m g$ , kirjutame

W_{g} = m g d cos 90^{\circ} = m g d (0) = 0 - -

ja

W_{N} = F_{N} d cos 90^{\circ} = F_{N} d (0) = 0 - -

Me pidanuks seda ette teadma. Kuna need jõud on mõlemad risti seifi nihkega, on nende tehtud töö null ja nendega mingit energia ülekannet seifile või seifilt ei toimu. (c) Esialgu seisis seif paigal. Mis oli tema kiirus $v_{f}$ pärast nihke $8, 50 m$ läbimist?

Esialgu seisis seif paigal. Mis oli tema kiirus

v_{f}

pärast nihke

8, 50 m

läbimist?

Lahendus

JUHTMÕTE Seifi kiirus muutub, sest selle kineetiline energia muutub, kui toimub energia ülekanne seifile jõudude ${\to F}_{1}$ ja ${\to F}_{2}$ mõjul.

Arvutused: Me leiame kiiruse ja töö vahelise seose, kombineerides valemeid 7-10 ja 7-1:

W = K_{f} - K_{i} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Esialgne kiirus $v_{i}$ oli null ja nüüd me teame, et tehtud töö oli $153, 4 J$ . Lahendades saadud võrrandi $v_{f}$ suhtes ja pannes sellesse meile teada olevad andmed, saame

v_{f} = \sqrt{\frac{2 W}{m}} = \sqrt{\frac{2 (153, 4 J)}{225 k g}} = 1, 17 m / s - -------- - - -------- -

Tormi ajal libiseb paberikast piki õlist libedat parkimisplatsi nihke

\to d = (- 3, 0 m)^i

võrra, kusjuures talle puhub vastu ühtlane tuul jõuga

\to F = (2, 0 N)^i + (- 6, 0 N)^j

. Olukorda kujutab joonis 7-5. (a) Kui palju tööd teeb kastile mõjuv jõud selle nihke vältel? (b) Kui kasti kineetiline energia enne nihet

\to d

oli

10 J

, milline on siis kineetiline energia pärast nihet?

Lahendus

JOONIS 7-5 Jõud $\to F$ aeglustab kasti liikumist nihke $\to d$ vältel.

Juhtmõte Kuna me võime kasti lugeda punktmassiks ja kuna tuule jõud on kogu nihkumise ajal konstantne („ühtlane”) nii suuruse kui suuna poolest, võime töö arvutamiseks kasutada nii valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ) kui ka valemit 7-8 ( $W = \to F \cdot \to d$ ). Kuna nüüd me teame vektorite komponente, on otstarbekam valida valem 7-8.

Arvutused Kirjutame

W = \to F \cdot \to d = [(2, 0 N)^i + (- 6, 0 N) j^j] \cdot [(- 3, 0 m)^i]

Ühikvektorite tähistuses on nullist erinevad ainult samasihiliste ühikvektorite skalaarkorrutised $^i \cdot^i$ , $^j \cdot^j$ , $^k \cdot^k$ (vt lisa E). Seepärast

W = (2, 0 N) (- 3, 0 m)^i \cdot^i + (- 6, 0 N) (- 3, 0 m)^j \cdot^i = (- 6, 0 J) (1) + 0 = - 6, 0 J - ------ - - ------ -

Seega teeb kastile mõjuv jõud $6, 0 J$ negatiivset tööd, vähendades selle võrra kasti kineetilist energiat.

Juhtmõte Kuna jõu poolt kasti nihkumisel tehtud töö oli negatiivne, peab kineetiline energia vähenema.

Arvutus Rakendame teoreemi tööst ja kineetilisest energiast valemi 7-11 kujul, saades

W = (2, 0 N) (- 3, 0 m)^i \cdot^i + (- 6, 0 N) (- 3, 0 m)^j \cdot^i = (- 6, 0 J) (1) + 0 = - 6, 0 J - ------ - - ------ -

Vähenenud kineetiline energia tähendab seda, et kasti liikumine aeglustus.

Gravitatsioonijõu poolt tehtav töö

JOONIS 7-6 Kuna ülespoole visatud tomatile (käsitleme punktmassina) massiga $m$ mõjub gravitatsioonijõud ${\to F}_{g}$ , väheneb tema kiirus nihke $\to d$ vältel algväärtuselt ${\to v}_{0}$ väärtuseni $v e c v$ . Kineetilist energiat väljendav tulp kujutab tomati kineetilise energia muutumist väärtuselt $K_{i}$ väärtuseni $K_{f}$ .

Järgnevas vaatleme tööd, mida teeb kehale mõjuv gravitatsioonijõud. Joonisel 7-6 on kujutatud ülespoole visatud tomat, mida käsitleme punktmassina, sest ta on jäik ja kulgliikumises. Algkiiruse $v_{0}$ tõttu on tomati esialgne kineetiline energia $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . Alla suunatud gravitatsioonijõud ${\to F}_{g}$ aeglustab tomati liikumist ja selle kineetiline energia väheneb, kuna jõud ${\to F}_{g}$ teeb tööd. Lugedes tomati punktmassiks, kasutame valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ) nihke $\to d$ vältel tehtud töö arvutamiseks. Jõu $F$ suuruseks võtame $m g$ . Nii saame gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ poolt tehtud töö $W_{g}$ avaldiseks

(7-12)

W_{g} = m g d cos ϕ

Nagu näeme joonisel 7-6, on ülespoole liikuva keha korral jõud ${\to F}_{g}$ suunatud nihkevektorile $\to d$ vastassuunas. Seega nurk $ϕ = 180^{\circ}$ ja

(7-13)

W_{g} = m g d cos 180^{\circ} = m g d (- 1) = - m g d

Miinusmärk tähendab, et kui keha liigub ülespoole, siis temale mõjuv gravitatsioonijõud vähendab keha kineetilist energiat suuruse $m g d$ võrra. See on kooskõlas faktiga, et ülespoole liikumisel keha aeglustub (tema kiirus väheneb).

Kui keha on jõudnud maksimaalsele kõrgusele ja hakkab kukkuma allapoole, on nurk $ϕ$ jõu ${\to F}_{g}$ ja nihke $\to d$ vahel null. Seetõttu

(7-14)

W_{g} = m g d cos 0^{\circ} = m g d (+ 1) = + m g d

Plussmärk tähendab, et nüüd muudab gravitatsioonijõud energiahulga mgd keha kineetiliseks energiaks. See on kooskõlas kukkuva keha kiiruse suurenemisega. (Tegelikult, nagu näeme 8. peatükis, on energiamuutused kehade üles tõstmisel või allapoole laskmisel seotud vaadeldavast kehast ja Maast koosneva süsteemiga.)

Töö, mida tehakse kehade tõstmisel või allapoole laskmisel

Kujutleme nüüd, et tõstame mingit punktmassina käsitletavat keha, mõjudes talle üles suunatud jõuga $\to F$ . Ülespoole liikumise käigus teeb meie poolt rakendatud jõud positiivset tööd $W_{r}$ , samal ajal kehale mõjuv gravitatsioonijõud teeb negatiivset tööd $W_{g}$ . Meie rakendatud jõud seega suurendab keha energiat, gravitatsioonijõu tehtud töö vähendab seda. Valemi 7-10 kohaselt on keha kineetilise energia muutus $Δ K$ nende kahe energia ülekande tulemusena

(7-15)

Δ K = K_{f} - K_{i} = W_{r} + W_{g}

kus $K_{f}$ on kineetiline energia pärast sooritatud nihet ning $K_{i}$ seesama enne nihkumist. Valem on kasutatav ka siis, kui keha laskub, kuid sel juhul püüab gravitatsioonijõud energiat kehale juurde lisada, samas kui vaadeldav jõud püüab energiat kehalt ära viia.

Sageli on keha enne ja pärast tõstmist paigal – näiteks juhul, kui me tõstame raamatu põrandalt riiulile. Siis on nii $K_{f}$ kui $K_{i}$ nullid ja valem 7-15 taandub kujule

W_{r} + W_{g} = 0

ehk

(7-16)

W_{r} = - W_{g}

JOONIS 7-7 (a) Keha tõstetakse jõuga $\to F$ . Keha nihke $\to d$ ja gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ vaheline nurk $ϕ = 180^{\circ}$ . Kehale rakendatud jõu töö on positiivne. (b) Keha lastakse allapoole, hoides teda jõuga $\to F$ . Keha nihke $\to d$ ja gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ vaheline nurk $ϕ = 0^{\circ}$ . Kehale rakendatud jõu töö on negatiivne.

Märgime, et sama tulemuse saame ka siis, kui $K_{f}$ ja $K_{i}$ pole nullid, aga on ikkagi võrdsed. Mõlemal juhul on kehale mõjuva jõu töö alati absoluutväärtuselt võrdne ja vastasmärgiline gravitatsioonijõu tööga; seega kannab rakendatav jõud kehale täpselt niisama palju energiat, kui gravitatsioonijõud temalt ära viib. Kasutades valemit 7-12, saame valemi 7-16 viia kujule

(töö üles tõstmisel või alla laskmisel, kui Kf = Ki, 7-17)

W_{r} = - m g d cos ϕ

kus $ϕ$ on nurk ${\to F}_{g}$ ja $\to d$ vahel. Kui nihkevektor on suunatud vertikaalselt üles (joonis 7-7a), siis $ϕ = 180^{\circ}$ ja kehale mõjuva jõu poolt tehtud töö on $m g d$ . Kui nihe on suunatud vertikaalselt allapoole (joonis 7-7b), siis ϕ $ϕ = 0^{\circ}$ ja tehtav töö on $- m g d$ .

Valemid 7-16 ja 7-17 kehtivad siis, kui keha tõstetakse või langetatakse ühest statsionaarsest seisundist teise. Nad ei sõltu jõust, mida selle juures kasutatakse. Kui te näiteks tõstate kruusi põrandalt enda pea kohale, muutub kruusile mõjuv jõud liikumise käigus. Kuna aga kruus on nii enne kui pärast tõstmist paigal, on teie poolt tõstmisel kasutatud jõu töö sellegipoolest arvutatav valemitega 7-16 ja 7-17, kus $m g$ on kruusi kaal ja $d$ on tõste ulatus.

Näidisülesanne 7-4

JOONIS 7-8 Kasutades selja ümber olevaid rakmeid, tõstab Paul Anderson maast lahti platvormi sellel istuva skaudirühmaga. (©AP/WideWorld Photos)

Ameerika tõstja Paul Andersoni üks 1950. aastatel püstitatud tõstmise rekord on jäänud tänaseni ületamatuks: Anderson kummardus puust platvormi alla, pani käed enda kindlustamiseks tugedele ja surus oma seljaga platvormi ülespoole, kergitades seda $1, 0 c m$ võrra. Platvormile oli pandud seatinaga täidetud seif ning autoosasid kogukaaluga $27900 N$ .

Kui palju tööd tegi gravitatsioonijõud sel ajal, kui Anderson platvormi tõstis?

Lahendus

JUHTMÕTE Kuna platvorm ja sellel asuv koorem liikusid tõste ajal jäiga kehana, võime gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ poolt tõste ajal tehtava töö $W_{g}$ arvutamisel kasutada punktmassi kohta käivat valemit 7-12 ( $W_{g} = m g d cos ϕ$ ).

Arvutused: Nurk allapoole suunatud gravitatsioonijõu ja ülespoole suunatud nihke $ϕ$ vahel oli $180^{\circ}$ . Pannes selle koos ülejäänud andmetega valemisse 7-12, saame

W_{g} = m g d cos ϕ = (27900 N) (0, 010 m) (cos 180^{\circ}) = - 280 J - ----- - - ----- -

Kui palju tööd tegi Andersoni poolt rakendatud jõud tõste käigus?

Lahendus

JUHTMÕTTED Andersoni jõud polnud tegelikult konstantne. Seetõttu me ei tohi kirjutada töö valemisse 7-7 lihtsalt mingi jõu suurust. Aga me teame, et raskus oli nii enne kui peale tõstet statsionaarses seisundis. Järelikult teame, et Andersoni poolt rakendatud jõu töö $W_{A}$ oli gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ tehtud töö suhtes võrdne ja vastasmärgiline.

Arvutused: Valem 7-16 annab

W_{A} = - W g = + 280 J - ------ - - ------ -

Märkus: See on vaid pisut suurem tööst, mida on vaja teha, et tõsta täis koolikott maast õlgadele. Miks oli siis Andersoni tõste nii hämmastav? Töö (energia ülekanne) ja jõud on väga erinevad suurused ja kuigi Andersoni poolt tehtud töö oli suhteliselt väike, oli selle tegemiseks vaja märkimisväärselt suurt jõudu.

Näidisülesanne 7-5

Algselt paigal seisnud $15, 0 k g$ kast juustukeradega tõmmatakse trossi abil üles piki hõõrdevaba kaldpinda vahemaa $d = 5, 70 m$ võrra kõrgusele $2, 50 m$ , kus ta peatub (joonis 7-9a).

JOONIS 7-9 (a) Kasti lohistatakse piki hõõrdevaba kaldpinda üles jõuga $\to T$ , mis on paralleelne kaldpinnaga. (b) Kastile mõjuvate jõudude vektordiagramm, millel on näidatud ka nihkevektor $\to d$ .

Leidke töö $W_{g}$ , mille teeb gravitatsioonijõud ${\to F}_{g}$ tõmbamise vältel.

Lahendus

JUHTMÕTE Me võime vaadelda kasti punktmassina ja kasutada jõu ${\to F}_{g}$ töö $W_{g}$ leidmiseks valemit 7-12 ( $W_{g} = m g d cos ϕ$ ).

Arvutused: Me ei tea nurka $ϕ$ jõuvektori ${\to F}_{g}$ ja nihke $\to d$ vahel. Küll aga saame koostada kehale mõjuvate jõudude vektordiagrammi joonisel 7-9b ning leida, et $ϕ = θ + 90^{\circ}$ , kus $θ$ on (meile teadmata) kaldpinna tõusunurk. Valemist 7-12 saame nüüd

(7-18)

W_{g} = m g d cos (θ + 90^{\circ}) = - m g d sin θ

kus tulemuse lihtsustamiseks on kasutatud trigonomeetriavalemit. Saadu tundub kasutuna, kuna ka nurk $θ$ on teadmata. Kui aga vapralt edasi minna, võime jooniselt 7-9a leida, et $d sin θ = h$ , ja see on juba tuntud suurus. Pannes selle valemisse 7-18, saame

(7-19)

W_{g} = - m g h = - (15, 0 k g) (9, 8 m / s^{2}) (2, 50 m) = - 368 J - ------ - - ------ -

Valem 7-19 näitab, et gravitatsioonijõu poolt tehtav töö $W_{g}$ sõltub üksnes vertikaalsuunalisest nihkest, kuid (üllataval kombel) seda ei mõjuta horisontaalsuunaline liikumine. (Me tuleme uuesti selle juurde 8. peatükis.)

Kui suur on töö

W_{T}

, mille teeb trossi pingutav jõud

T

kasti tõstmise käigus?

Lahendus

JUHTMÕTE Me ei saa panna jõu suurust $T$ valemisse 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ), kuna me ei tea selle arvväärtust. Et asjast üle saada, võime aga käsitleda kasti punktmassina ja kasutada selle jaoks töö ja kineetilise energia teoreemi ( $Δ K = W$ ).

Arvutused: Kuna kast oli paigal nii enne kui pärast tõstet, on kineetilise energia muutus $Δ K$ null. Et saada kogutööd $W$ , peame liitma kõigi kolme kastile mõjuva jõu poolt tehtud tööd. Ülesande (a) lahendusest teame, et gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ tehtud töö $W_{g}$ on $- 386 J$ . Kastile mõjuva normaaljõu ${\to F}_{N}$ poolt tehtud töö $W_{N}$ on null, kuna see jõud on risti nihkega. Meil on vaja leida tõmbejõu $\to T$ tehtud töö $W_{T}$ . Töö ja kineetilise energia teoreemist saame

Δ K = W_{T} + W_{g} + W_{N}

ehk

0 = W_{T} - 368 J + 0

ja seega

W_{T} = 368 J - ---- - - ---- -

Näidisülesanne 7-6 Arenda oma oskusi

JOONIS 7-10 Liftikabiin, mis laskus kiirusega $v_{i}$ , hakkab äkitselt kiirenevalt allapoole liikuma. (a) Lift läbib nihkevektoriga $\to d$ antud vahemaa konstantse kiirendusega ( $\to a = \to g / 5$ ). (b) Liftile mõjuvate jõudude vektordiagramm, kuhu on märgitud ka nihkevektor $\to d$ .

Liftikabiin massiga $m = 500 k g$ laskub kiirusega $v_{i} = 4, 0 m / s$ , kui tema tross hakkab libisema, lastes kabiinil kukkuda konstantse kiirendusega $\to a = \to g / 5$ (joonis 7-10a).

Kui suur on töö

W_{g}

, mille teeb kabiinile mõjuv gravitatsioonijõud

{\to F}_{g}

ajal, mil kukkuv kabiin läbib vahemaa

d = 12 m

?

Lahendus

JUHTMÕTE Loeme kabiini punktmassiks ja kasutame töö $W_{g}$ leidmiseks valemit 7-12 ( $W_{g} = m g d cos ϕ$ )

Arvutused: Jooniselt 7-10b näeme, et nurk jõuvektori ${\to F}_{g}$ ja nihkevektori $\to d$ vahel on $0^{\circ}$ . Seega saame valemist 7-12

W_{g} = m g d cos 0^{\circ} = (500 k g) (9, 8 m / s^{2}) (12 m) (1) = 5, 88 \times 10^{4} J \approx 59 k J - ---- - - ---- -

Kui suur on töö

W_{T}

, mille teeb

12 m

pikkuse laskumise jooksul lifti trossi ülespoole suunatud tõmbejõud

\to T

?

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Tõmbejõu töö $W_{T}$ saame arvutada valemiga 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ), kui oleme eelnevalt leidnud tõmbejõu suuruse $T$ . (2) Et seda teha, paneme kirja Newtoni teise seaduse joonisel 7-10b kujutatud vektorite $y$ -telje suunaliste komponentide tarvis ( $F_{r e s, y} = m a_{y}$ ).

Arvutused: Saame

T - F_{g} = m a

Lahendame selle $T$ suhtes, pannes $F_{g}$ asemele $m g$ , ja asetame tulemuse valemisse 7-7 ning saame

W_{T} = T d cos ϕ = m (a + g) d cos ϕ

Järgnevalt asendame allasuunatud kiirenduse a tema väärtusega $- g / 5$ ja võtame vektorite $\to T$ ning $m \to g$ vahelise nurga $ϕ$ väärtuseks $180^{\circ}$ , saades

W_{T} = m (- \frac{g}{5} + g) d cos ϕ = \frac{4}{5} m g d cos ϕ = \frac{4}{5} (500 k g) (9, 8 m / s^{2}) (12 m) cos 180^{\circ} = - 4, 70 \times 10^{4} J \approx - 47 k J - ------ - - ------ -

Hoiatus: pangem tähele, et $W_{T}$ ei ole siin võrdne ja vastasmärgiline $W_{g}$ ‑ga. See tuleneb asjaolust, et lift liigub langemise ajal kiirenevalt, tema kiirus muutub ning koos sellega ka kineetiline energia. Seetõttu pole siin rakendatav valem 7-16, kus eeldatakse, et keha kineetiline energia liikumise alguses ja lõpus on ühesugune.

Milline on liftikabiini langemise käigus tehtud kogutöö?

Lahendus

Arvutused: Kogutöö on võrdne kõigi kabiinile mõjuvate jõudude poolt tehtud tööde summaga:

W = W_{g} + W_{T} = 5, 88 \times 10^{4} J - 4, 70 \times 10^{4} J = 1, 18 \times 10^{4} J \approx 12 k J - ---- - - ---- -

Kui suur on kabiini kineetiline energia

12

-meetrise laskumise järel?

Lahendus

JUHTMÕTE Kineetilise energia muutuse põhjuseks on kabiinile mõjuvate jõudude kogutöö, mille saame valemist 7-11 ( $K_{f} = K_{i} + W$ ).

Arvutused: Valemist 7-1 leiame kineetilise energia enne kukkumise algust ( $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^{2}$ ). Asendades selle valemisse 7-11, saame:

K_{f} = K_{i} + W = \frac{1}{2} m v_{i}^{2} + W = \frac{1}{2} (500 k g) (4, 0 m / s)^{2} + 1, 18 \times 10^{4} J = 1, 58 \times 10^{4} J \approx 16 k J - ---- - - ---- -

Töö, mida teeb vedru elastsusjõud

Järgnevas uurime tööd, mida teeb punktmassina käsitletavale kehale üht kindlat tüüpi muutuva suurusega jõud – nimelt elastse vedru poolt esile kutsutav jõud. Looduses on palju jõudusid, mida saab kirjeldada samasuguste matemaatiliste valemitega nagu vedru elastsusjõudu. Nii saame seda üht jõudu uurides mõista ka paljusid teisi jõude.

Vedru elastsusjõud

JOONIS 7-11 (a) Vedru on tasakaaluolekus; x-telje algus on viidud vedru sellesse otsa, kuhu on kinnitatud klots. (b) Klotsi on liigutatud nihke $\to d$ võrra, vedru on pikkuse $x$ võrra välja venitatud. Pöörake tähelepanu väljavenitatud vedru poolt klotsile mõjuvale taastavale jõule ${\to F}_{s}$ . (c) Vedru on kokku surutud vastassuunalise (negatiivse) nihke $x$ võrra. Vaadake, kuhu on suunatud taastav jõud.

Joonisel 7-11a näete nn vaba vedru, mida pole ei kokku surutud ega välja venitatud. Vedru üks ots on liikumatu, teise, vaba otsa külge on aga kinnitatud punktmassina käsitletav keha – näiteks puuklots. Kui me tõmbame klotsi nii, nagu on näha joonisel 7-11b, venib vedru välja ja hakkab klotsi tõmbama tagasi vasakule poole. (Seda sellepärast, et vedru elastsus püüab taastada esialgset, vaba vedru asendit; mõnikord nimetataksegi seda jõudu taastavaks jõuks.) Kui tõukame klotsi vasakule, nagu on näha joonisel 7-11c, surume me vedru kokku ja see tõukab nüüd klotsi paremale poole.

Paljude vedrude korral on nende elastsusjõud ${\to F}_{e}$ võrdeline vedru vaba otsa nihkega $\to d$ tasakaaluasendi suhtes. Sellist elastsusjõudu väljendab valem

(Hooke’i seadus, 7-20)

{\to F}_{e} = - k \to d

mis kannab nimetust Hooke’i seadus, seda 17. sajandi lõpu inglise füüsiku Robert Hooke’i järgi. Miinusmärk valemis 7-20 näitab, et selle jõu suund on alati vastupidine vedru vaba otsa nihkumise suunale. Kordajat $k$ nimetatakse vedru elastsusteguriks (ehk jõuteguriks) ja ta näitab vedru jäikust. Mida suurem on $k$ , seda jäigem on vedru; see tähendab, et mida suurem on $k$ , seda suurem peab olema sama nihke esile kutsumiseks vajalik vabale otsale mõjuv tõmbe- või tõukejõud. Jäikuse $k$ SI-ühikuks on njuuton meetri kohta.

Joonisel 7-11 on $x$ -telg paigutatud paralleelselt vedruga ning selle algus ( $x = 0$ ) vastab vedru vaba otsa tasakaaluasendile. Sellise tavapärase kokkuleppe korral saab valem 7-20 kuju

(Hooke’i seadus, 7-21)

F_{x} = - k x

(siin oleme muutnud alaindeksit). Kui $x$ on positiivne (vedru on välja venitatud piki $x$ -telge paremale), siis on $F_{x}$ negatiivne (klotsi tõmmatakse vasakule). Kui $x$ on negatiivne (vedru on kokku surutud nii, et vaba ots on nihkunud vasakule), siis on $F_{x}$ positiivne (klotsi tõugatakse paremale poole). Pange tähele, et vedru elastsusjõud on muutuva suurusega, kuna ta sõltub vedru vaba otsa asukohast, olles seega $x$ funktsioon. Nii võime $F_{x}$ asemel kirjutada $F (x)$ . Veel peame meeles, et Hooke’i seaduse järgi on $F_{x}$ ja $x$ seotud lineaarselt.

Vedru elastsusjõu poolt tehtav töö

Enne kui leida tööd, mida teeb vedru elastsusjõud joonisel 7-11 kujutatud klotsi liikumisel, tuleb vedru kohta teha kaks eeldust, mis lihtsustavad arvutusi. (1) Tema mass on null, see tähendab, oluliselt väiksem klotsi massist. (2) Tegemist on ideaalse vedruga, mis käitub täpselt Hooke’i seaduse kohaselt. Veel oletame, et klots liigub hõõrdumiseta ja et liikumisel võib teda käsitleda punktmassina.

Anname klotsile paremale poole suunatud tõuke ja jätame ta seejärel rahule. Kuna klots liigub paremale poole, vähendab elastsusjõu töö tema kineetilist energiat ning klotsi liikumine aeglustub. Sellegipoolest ei saa me kasutada valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ), kuna see eeldab, et jõud on konstantne. Vedru elastsusjõud aga muutub liikumise käigus.

Et tööd leida, tuleb kasutada diferentsiaalarvutust. Olgu klotsi algasukoht $x_{i}$ ja lõppasukoht $x_{f}$ . Jagame nende kahe asukoha vahemaa väikesteks juppideks pikkusega $Δ x$ . Tähistame nende juppide otspunktid indeksitega $1$ , $2$ jne. Ühe lõigu läbimisel muutub elastsusjõud väga vähe, kuna pikenemine on väga väike. Seetõttu võime sel lõigul lugeda elastsusjõu ligikaudu konstantseks. Märgime selle jõu vastavalt lõigu numbrile, s.t esimesel lõigul $F_{x 1}$ , teisel $F_{x 2}$ jne.

Kuna jõud on nüüd igal lõigul konstantne, saame sellel lõigul tehtud töö jaoks kasutada valemit 7‑7. Kuna $ϕ = 180^{\circ}$ , siis $cos ϕ = - 1$ . Seega on esimesel lõigul tehtud töö $- F_{x 1} Δ x$ , teisel $- F_{x 2} Δ x$ jne. Kogutöö $W_{e}$ , mida teeb elastsusjõud klotsi liikumisel punktist $x_{i}$ punkti $x_{f}$ , on võrdne kõigi nende tööde summaga:

(7-22)

W_{e} = \sum - F_{x j} Δ x

kus indeks $j$ märgib lõikude numbreid. Piirjuhul, kui $Δ x$ läheneb nullile, saab valem 7-22 kuju

(7-23)

W_{e} = \int_{x_{i}}^{x_{f}} - F_{x} d x

Valemi 7-21 kohaselt on jõu $F_{x}$ suuruseks $k x$ . Selle arvestamine annab

(7-24)

W_{e} = \int_{x_{i}}^{x_{f}} - k x d x = - k \int_{x_{i}}^{x_{f}} x d x = (- \frac{1}{2} k) [x^{2}]_{x_{i}}^{x_{f}} = (- \frac{1}{2} k) (x_{f}^{2} - x_{i}^{2})

Kui avame sulud, saame

(7-25)

W_{e} = \frac{1}{2} k x_{i}^{2} - \frac{1}{2} k x_{f}^{2}

Töö $W_{e}$ , mida teeb vedru elastsusjõud, võib olla nii positiivne kui negatiivne sõltuvalt sellest, milline on summaarne energia ülekanne klotsile või klotsilt tema liikumise käigus. Hoiatus: klotsi lõpp-asukoht $x_{f}$ peab alati olema valemi 7-25 parema poole teises liikmes. Seega ütleb valem 7-25, et

Vedru elastsusjõu poolt tehtav töö on positiivne siis, kui klots on liikumise lõpul tasakaaluasendile lähemal, kui oli liikumise alguses. Kui lõpp-punkt on lähtepunktiga võrreldes tasakaaluasendist kaugemal, on töö negatiivne. Kui klots on liikumise lõpul tasakaaluasendist niisama kaugel kui alguses, on tehtud töö null.

Kui $x_{i} = 0$ ja lõpp-asukohaks on $x$ , saab valem 7-25 kuju

(7-26)

W_{e} = - \frac{1}{2} k x^{2}

Töö, mida teeb väline jõud

Oletame, et nihutame klotsi piki $x$ -telge ja kogu selle aja on talle rakendatud väline jõud ${\to F}_{r}$ . Klotsi liikumisel teeb see jõud töö $W_{r}$ , samas kui vedru elastsusjõud teeb töö $W_{e}$ . Valemi 7-10 kohaselt on klotsi kineetilise energia muutus $Δ K$ võrdne nende kahe energiaülekande summaga:

(7-27)

Δ K = K_{f} - K_{i} = W_{r} + W_{e}

kus $K_{f}$ on kineetiline energia pärast nihutamist ja $K_{i}$ kineetiline energia enne nihet. Kui klots on nii enne kui pärast nihkumist paigal, on nii $K_{f}$ kui $K_{i}$ nullid ja valem 7-27 taandub kujule

(7-28)

W_{r} = - W_{e}

Kui vedru külge kinnitatud klots oli paigal nii enne kui pärast nihutamist, siis on temale rakendatud välise jõu töö võrdne ja vastasmärgiline vedru elastsusjõu tööga.

Hoiatus: Kui klots ei olnud paigal enne ja pärast liigutamist, siis see väide ei kehti.

Olgu joonisel 7-11 kujutatud kolme klotsi alg- ja lõppasukohad

x

-teljel, vastavalt (a)

- 3 c m

,

2 c m

; (b)

2 c m

,

3 c m

ja (c)

- 2 c m

,

2 c m

. Kas klotsile mõjuva vedru elastsusjõu töö oli neil juhtudel vastavalt positiivne, negatiivne või null?

Näidisülesanne 7-7

Pakk piprapähkleid asub hõõrdevabal põrandal, kinnitatuna vedru vaba otsa külge nii, nagu on kujutatud joonisel 7-11a. Et hoida pakki tasakaaluasendist kaugusel $x_{1} = 12 m m$ , on vaja paremale poole suunatud jõudu $F_{r} = 4, 9 N$ .

Kui palju tööd teeb vedru elastsusjõud, kui pakki tõmmatakse paremale algasukohast

x_{0} = 0

kuni

x_{2} = 17 m m

?

Lahendus

JUHTMÕTE Kui pakk liigub ühest asukohast teise, võib vedru elastsusjõu poolt tehtud tööd arvutada kas valemiga 7-25 või 7-26.

Arvutused: Me teame, et algasukoht $x_{i}$ on $0$ ja lõppasukoht $x_{f}$ on $17 m m$ , kuid me ei tea vedru elastsustegurit $k$ . Me võime k leida valemist 7-21 (Hooke’i seadusest), aga selleks peame teadma, et kui pakk on paigal kaugusel $x_{1} = 12 m m$ , peab vedru elastsusjõud olema tasakaalus pakile rakendatud välise jõuga (vastavalt Newtoni teisele seadusele). Seega peab vedru elastsusjõud $F_{x}$ olema $- 4, 9 N$ (joonisel 7-11b on ta suunatud vasakule) ja nii annab valem 7-21 meile

k = - \frac{F_{x}}{x_{1}} = - \frac{- 4, 9 N}{12 \times 10^{- 3} m} = 408 N / m

Kui pakk viiakse kaugusele $x_{2} = 17 m m$ , annab valem 7-26

W_{e} = - \frac{1}{2} k x_{2}^{2} = - \frac{1}{2} (408 N / m) (17 \times 10^{- 3} m)^{2} = - 0, 059 J - -------- - - -------- -

Järgnevalt nihutatakse pakki vasakule kauguseni

x_{3} = - 12 m m

. Kui palju tööd teeb vedru elastsusjõud selle liikumise vältel? Põhjendage vastuse märki.

Lahendus

Arvutused: Nüüd on meil $x_{i} = 17 m m$ ja $x_{f} = - 12 m m$ ning valem 7-25 annab

W_{e} = \frac{1}{2} k x_{i}^{2} - \frac{1}{2} k x_{f}^{2} = \frac{1}{2} k (x_{i}^{2} - x_{f}^{2}) = \frac{1}{2} (408 N / m) [(17 \times 10^{- 3} m)^{2} - (- 12 \times 10^{- 3} m)^{2}] = 0, 030 J = 30 m J - ----- - - ----- -

Töö, mida teeb paki nihutamise käigus vedru elastsusjõud, on positiivne sellepärast, et paki liikumisel kauguselt $x_{i} = + 17 m m$ kuni tasakaaluasendini on vedru elastsusjõud poolt tehtav positiivne töö suurem kui liikumisel tasakaaluasendist kauguseni $x_{f} = - 12 m m$ tehtav negatiivne töö.

Joonisel 7-12 libiseb köömnetoos massiga

m = 0, 40 k g

hõõrdevabalt piki horisontaalset poeletti kiirusega

v = 0, 5 m / s

. Libisedes põrkab ta vastu vedru, mille elastsustegur

k = 750 N / m

, ja surub selle kokku. Kui palju on vedru kokku surutud sel hetkel, kui toos korraks peatub (olgu vastus

d

)?

JOONIS 7-12 Toos massiga $m$ liigub kiirusega $\to v$ vedru poole, mille elastsustegur on $k$ .

Lahendus

JUHTMÕTTED

Töö, mida teeb vedru elastsusjõud toosi nihkumisel otsitava $d$ võrra, saame valemist 7-26 ( $W_{e} = - \frac{1}{2} k x^{2}$ ), kui paneme sinna $x$ asemel $d$ .
Sama töö $W_{e}$ on valemi 7-10 ( $K_{f} - K_{i} = W$ ) kohaselt sõltuvuses toosi kineetilisest energiast.
Toosi kineetilise energia algväärtuseks on $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ja lõppväärtuseks on null, kui toos on hetkeks peatunud.

Arvutused: Ühendades kaks esimest punkti, võime toosi jaoks kirja panna töö sõltuvuse kineetilisest energiast kujul

K_{f} - K_{i} = - \frac{1}{2} k d^{2}

Asendades kineetilise energia väärtused vastavalt punktile 3, saame

0 - \frac{1}{2} m v^{2} = - \frac{1}{2} k d^{2}

Lihtsustame saadud avaldist, avaldame sellest $d$ ning paneme sisse algandmed:

d = v \sqrt{\frac{m}{k}} = (0, 50 m / s) \sqrt{\frac{0, 40 k g}{750 N / m}} = 1, 2 \times 10^{- 2} m = 1, 2 c m - ----- - - ----- -

Muutuva töö poolt tehtav töö - üldine juht

Ühemõõtmeline analüüs

Tuleme tagasi joonisel 7-2 toodud olukorra juurde, aga oletame nüüd, et $x$ -telje positiivses suunas mõjuv jõud muutub vastavalt asukoha $x$ muutumisele. Kui nüüd kuulike (punktmass) liigub, siis muutub tööd tegeva jõu $F (x)$ suurus. Seejuures muutub vaid jõu suurus, suund aga jääb endiseks, kusjuures jõu suurus mistahes kindlas punktis on ajas muutumatu.

JOONIS 7-13 (a) Ühemõõtmeline jõud $\to F (x)$ on kantud graafikule vastavalt tema poolt mõjutatava punktmassi asukohale $x$ . Punktmass liigub punktist $x_{i}$ punkti $x_{f}$ . (b) Sama mis (a), kuid joone alla jääv ala on jagatud kitsasteks ribadeks. (c) Sama mis (b), kuid ribad on siin kitsamad. (d) Piirjuht. Jõu poolt tehtav töö on määratud valemiga 7-32, joonisel kujutab seda kõvera ja x-telje vahele jääv viirutatud ala vahemikus $x_{i}$ kuni $x_{f}$ .

Joonisel 7-13a on toodud sellise ühemõõtmelise muutliku jõu graafik. Meil on tarvis leida valem selle jõu poolt kuulikese liikumisel punktist $x_{i}$ kuni punktini $x_{f}$ tehtud töö arvutamiseks, kuid me ei saa kasutada valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ), kuna see kehtib ainult muutumatu jõu $\to F$ korral. Tuleb jällegi kasutada diferentsiaalarvutust. Jagame joonisel 7-13a oleva kõvera alla jääva pindala ribadeks laiusega $Δ x$ (joonis 7-13b). Valime $Δ x$ piisavalt väikese, et võiksime jõu $F (x)$ lugeda igal lõigul konstantseks. Võtame jõu suuruseks lõigul indeksiga $j$ tema keskväärtuse sellel lõigul, $F_{j, k}$ . Sel juhul on riba $j$ kõrguseks joonisel 7-13b seesama $F_{j, k}$ .

Kui $F_{j, k}$ loetakse konstantseks, on selle jõu poolt tehtava töö (väike) juurdekasv $Δ W_{j}$ lõigul $j$ valemi 7-7 kohaselt

(7-29)

Δ W_{j} = F_{j, k} Δ x

Seega on $Δ W_{j}$ võrdne ristkülikukujulise viirutatud riba $j$ pindalaga joonisel 13b.

Et saada ligikaudset avaldist kuulikese liikumisel $x_{i}$ kuni $x_{f}$ talle mõjuva jõu poolt tehtud kogutöö jaoks, peame kokku liitma kõigi joonisel 7-13b $x_{i}$ ja $x_{f}$ vahele jäävate ribade pindalad:

(7-30)

W = \sum Δ W_{j} = \sum F_{j, k} Δ x

Valem 7-30 on ligikaudne sellepärast, et ristkülikukujuliste ribade ülemiste lõikude moodustatud murdjoon joonisel 7-13b vastab ainult ligikaudselt tegelikule kõverale $F (x)$ .

Me saame lähendvalemi täpsust suurendada, vähendades ribade laiust $Δ x$ ja suurendades ribade arvu nii, nagu näha joonisel 7-13c. Piirjuhul, kui ribade laius läheneb nullile, saab ribade arv lõpmata suureks ning me jõuame täpse tulemuseni

(7-31)

W = {l i m}_{Δ x \to 0} \sum F_{j, k} Δ x

Saadud piirväärtus on just seesama, mida me nimetame funktsiooni $F (x)$ määratud integraaliks vahemikus $x_{i}$ ja $x_{f}$ . Valem 7-31 saab seega kuju

(7-32)

W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F (x) d x

Kui funktsioon $F (x)$ on teada, võime ta panna valemisse 7-32, lisada rajad, integreerida ning leida niiviisi töö. (Sagedamini esinevate integraalide tabel on antud lisas E.) Geomeetrilises esituses on töö võrdne kõvera $F (x)$ , $x$ -telje ja $x_{i}$ ning $x_{f}$ vahele jääva kujundi (kõverjoonelise trapetsi) pindalaga (viirutatud ala joonisel 7-13d).

Kolmemõõtmeline analüüs

Vaatleme nüüd punktmassi, millele mõjub kolmemõõtmeline jõud

(7-33)

\to F = F_{x}^i + F_{y}^j + F_{z}^k

kus komponendid $F_{x}$ , $F_{y}$ ja $F_{z}$ võivad olla sõltuvad punktmassi asukohast, olles seega asukoha funktsioonid. Me teeme siin kolm lihtsustust: $F_{x}$ sõltub ainult $x$ -koordinaadist, aga ei sõltu $y$ ‑st ega $z$ -st; $F_{y}$ võib sõltuda $y$ -st, mitte aga $x$ -st ega $z$ -st ning $F_{z}$ võib sõltuda $z$ -st, mitte aga $x$ -st ega $y$ -st. Liikugu meie punktmass väikese nihke võrra:

(7-34)

d \to r = d x^i + d y^j + d z^k

Töö $d W$ , mida teeb jõud $\to F$ nihke $d \to r$ jooksul, on leitav valemi 7-8 abil:

(7-35)

d W = \to F \cdot d \to r = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z

Töö $W$ , mida teeb jõud $\to F$ punktmassi liikumisel algasukohast ${\to r}_{i}$ koordinaatidega ( $x_{i}$ , $y_{i}$ , $z_{i}$ ) lõpp-punkti $r_{f}$ koordinaatidega ( $x_{f}$ , $y_{f}$ , $z_{f}$ ), on siis

(7-36)

W = \int_{r_{i}}^{r_{f}} d W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F_{x} d x + \int_{y_{i}}^{y_{f}} F_{y} d y + \int_{z_{i}}^{z_{f}} F_{z} d z

Kui vektoril $\to F$ on ainult $x$ -komponent, siis on valemi 7-36 $y$ - ja $z$ -liikmed nullid ning valem taandub kujule 7-32.

Teoreem tööst ja kineetilisest energiast muutuva jõu korral

Valem 7-32 määrab töö, mida teeb punktmassile mõjuv muutuv jõud ühemõõtmelisel juhul. Püüame järgnevalt kindlaks teha, kas nii arvutatud töö on tõesti võrdne kineetilise energia muutusega, nagu nõuab teoreem tööst ja kineetilisest energiast.

Kujutleme punktmassi massiga $m$ , mis liigub piki $x$ -telge ja millele mõjub piki sama telge suunatud jõud $F (x)$ . Töö, mida teeb see jõud punktmassi liikumisel asukohast $x_{i}$ asukohta $x_{f}$ , on määratud valemiga 7-32:

(7-37)

W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F (x) d x = \int_{x_{i}}^{x_{f}} m a d x

kus me asendasime jõu $F (x)$ Newtoni teise seaduse kohaselt suurusega $m a$ . Suuruse $m a d x$ valemis 7-37 võime aga kirjutada kujul

(7-38)

m a d x = m \frac{d v}{d t} d x

Liitfunktsiooni tuletise reegel annab

(7-39)

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v

ja valem 7-38 saab nüüd kuju

(7-40)

m a d x = m \frac{d v}{d x} v d x = m v d v

Asetades valemi 7-40 valemisse 7-37, saame

(7-41)

W = \int_{v_{f}}^{v_{i}} m v d v = m \int_{v_{f}}^{v_{i}} v d v = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Märgime, et vahetades integraali all muutuja $x$ muutuja $v$ vastu, peame muutma ka integraali rajasid vastavalt uuele muutujale. Veel märgime, et kuna mass $m$ on konstantne, võime ta tuua integraali märgi ette.

Et valemi 7-41 paremas pooles olevad liikmed vastavad punktmassi kineetilisele energiale, võime selle valemi kirjutada kujul

W = K_{f} - K_{i} = Δ K

mis ongi teoreem tööst ja kineetilisest energiast.

Sünnituse valutustamiseks kasutatava epiduraalanesteesia tegemisel peab kirurg või anestesioloog viima kanüüli (süstlanõela) läbi patsiendi naha ja erinevate kudede kitsasse piirkonda seljaaju ümbritsevas selgrookanalis. Läbi nõela manustatakse valuvaigistit. See keeruline protseduur vajab harjutamist, kuna arst peab teadma, millal nõel on jõudnud kanalisse, kuid mitte sellest läbi – viga võib kaasa tuua tõsiseid komplikatsioone.Operatsiooni läbi viiv arst peab tunnetama kudede vastupanu nõela liikumisele nõela sisseviimiseks vajaliku jõu muutumise järgi. Joonisel 7-14a on kujutatud selle jõu

F

sõltuvus nõela otsa nihkumisest

x

tüüpilise epiduraalprotseduuri käigus. (Kõvera lõigud on joonistatud sirgetena, mis mõnevõrra erineb tegelikkusest.) Kui

x

hakkab suurenema nullist alates, avaldab nahk vastupanu, kuni

x = 8, 0 m m

juures on jõud piisavalt suur, et nahk läbistada, misjärel nõela edasi viimiseks vajalik jõud väheneb. Sama juhtub, kui nõel läbib selgroolülide vahelise sideme

x = 1 m m

juures ja võrdlemisi tugeva ligamentum flavum’i

x = 30 m m

juures. Seejärel siseneb nõel kanalisse (kuhu tulebki viia tuimesti), mille juures vajalik jõud järsult väheneb. Praktiseerimist alustav arst peab õppima tunnetama jõu sõltuvust nihkest, et ära tabada õige moment nõela peatamiseks. (Siin toodud sõltuvus on pärit epiduraalanesteesia õppimiseks koostatud arvutisimulatsioonist.) Kui palju tööd

W

teeb nõelale mõjuv jõud nõela viimisel seljaaju kanalisse sügavusel

x = 30 m m

?

JOONIS 7-14 (a) Nõelale mõjuva jõu $F$ sõltuvus nihkest $x$ epiduraalanesteesia läbiviimisel. (b) Jõu suurust väljendava kõvera ja nõela nihkumisele vastava telje vahele jääva pindala jagamine arvutuste hõlbustamiseks.

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Muutuva jõu $F (x)$ tööd $W$ saab arvutada, integreerides jõudu kui asukoha $x$ funktsiooni. Valem 7-32 annab

W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F (x) d x

Me otsime tööd, mida teeb jõud nihkel $x_{i} = 0$ kuni $x_{f} = 0, 030 m$ . (2) Integraali väärtuse saame, kui arvutame joonisel 7-14a oleva graafiku joone alla jääva pindala:

W = (j ˜ o u graafiku ja x-telje vahele j ¨ a ¨ a v pindala vahemikus x_{i} kuni x_{f})

Arvutused: Kuna meie kõver koosneb sirglõikudest, on otstarbekas jagada kogu pindala ristküliku- või kolmnurgakujulisteks tükkideks, nagu näha joonisel 7-14b. Näiteks kolmnurkse osa $A$ pindala on

{pindala}_{A} = \frac{1}{2} (0, 0080 m) (12 N) = 0, 048 N \cdot m = 0, 048 J

Olles arvutanud kõigi joonisel 7-14b märgitud osade pindalad, leiame, et kogu töö

W = (osade A kuni K pindalade summa) = 0, 048 + 0, 024 + 0, 012 + 0, 036 + 0, 009 + 0, 001 + 0, 016 + 0, 048 + 0, 016 + 0, 004 + 0, 024 = 0, 238 J - ------ - - ------ -

Jõud

\to F = (3 x^{2} N)^i + (4 N)^j

, kus

x

on meetrites, mõjub punktmassile, muutes üksnes selle kineetilist energiat. Kui suur on töö punktmassi liikumisel punktist (

2 m

,

3 m

) kuni punktini (

3 m

,

0 m

)? Kas selle kiirus kasvab, kahaneb või jääb samaks?

Lahendus

JUHTMÕTE Jõud on muutuv, kuna selle $x$ -komponent sõltub $x$ väärtusest. Seega ei saa me kasutada töö leidmiseks valemeid 7-7 ja 7-8. Selle asemel tuleb meil võtta integraal jõust vastavalt valemile 7-36.

Arvutused: Paneme kirja kaks integraali, kummagi telje jaoks ühe:

W = \int_{2}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{3}^{0} 4 d y = 3 \int_{2}^{3} x^{2} d x + 4 \int_{3}^{0} d y = 3 [\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 4 [y]_{3}^{0} = [3^{3} + 2^{3}] + 4 [0 - 3] = 7, 0 J - ---- - - ---- -

Positiivne tulemus tähendab, et jõud $\to F$ kannab energiat üle vaadeldavale punktmassile. Seega kasvab punktmassi kineetiline energia ja kuna $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ , siis peab kasvama ka tema kiirus.

Power

Mingi jõu poolt tehtava töö ja selle tegemiseks kulunud aja suhet nimetatakse selle jõu võimsuseks. Kui jõud teeb ajavahemiku $Δ t$ jooksul töö $W$ , on selle jõu keskmine võimsus selle ajavahemiku vältel

(keskmine võimsus, 7-42)

P_{k} = \frac{W}{Δ t}

Hetkvõimsus $P$ on lõpmata väikese ajavahemiku vältel tehtud töö suhe sellesse ajavahemikku ja selle võime kirja panna kujul

(hetkvõimsus, 7-43)

P = \frac{d W}{d t}

JOONIS 7-15 Koormusele rakendatud jõu poolt arendatav võimsus on selle jõu poolt ajaühikus tehtud töö.

Oletame, et me teame tööd $W (t)$ kui aja funktsiooni. Selleks et leida hetkvõimsust $P$ näiteks momendil $t = 3, 0 s$ , peame kõigepealt võtma funktsioonist $W (t)$ tuletise aja järgi ja seejärel panema saadud avaldisse $t = 3, 0 s$ .

Võimsuse ühikuks SI-süsteemis on džaul sekundi kohta. Et seda ühikut kasutatakse tihti, on talle antud eraldi nimetus vatt ( $W$ ) James Watti järgi, kes leiutas viisi aurumasina töövõime oluliseks tõstmiseks. Briti süsteemis on võimsuse ühikuks jalg-nael sekundi kohta; tihti kasutatakse ühikuna ka hobujõudu. Nende vahelised seosed on

(7-44)

1 v a t t = 1 W = 1 J / s = 0, 738 j a l g \cdot n a e l / s

ja

(7-45)

1 h o b u j ~ o u d = 1 h j = 550 j a l g \cdot n a e l / s = 746 W

Valem 7-42 näitab, et töö on väljendatav võimsuse ja aja korrutisega, nagu ütleb ka tuttav energiaühik kilovatt-tund. Seega

(7-46)

1 k i l o v a t t - t u n d = 1 k W \cdot h = (10^{3} W) (3600 s) = 3, 60 \times 10^{6} J = 3, 60 M J

Kuna vatt ja kilovatt-tund on kõige sagedamini seotud elektririistade ja ‑arvetega, on hakatud neid pidama elektriühikuteks. Sama hästi kõlbavad nad aga ka kõigi teiste töö ja võimsusega seotud nähtuste käsitlemisel. Nii võite pärast raamatu põrandalt võtmist ja lauale asetamist öelda, et olete teinud $4 \times 10^{- 6} k W \cdot h$ (ehk, märksa sobivamalt, $4 m W \cdot h$ ) tööd.

Kehale mõjuva jõu töötegemise tempot (hetkvõimsust) saame väljendada ka jõu ning kiiruse abil. Kui punktmass liigub sirgjooneliselt (näiteks piki $x$ -telge) ja talle mõjub konstantne jõud $\to F$ , suunatuna selle joone suhtes nurga $ϕ$ all, saame valemist 7-43

P = \frac{d W}{d t} = \frac{F cos ϕ d x}{d t} = F cos ϕ (\frac{d x}{d t})

ehk

(7-47)

P = F v cos ϕ

Valemi 7-47 parema poole võime asendada skalaarkorrutisega

(hetkvõimsus, 7-48)

P = \to F \cdot \to v

Vaatleme näiteks joonisel 7-15 olevat autot, mis tõmbab koormat jõuga $\to F$ ja liigub mingil hetkel kiirusega $\to v$ . Jõu $\to F$ poolt arendatav hetkvõimsus on siis selle jõu töötegemise tempo ja antud valemitega 7-47 ja 7-48. Ütlus, et nii on saadud „auto võimsus”, on enamasti õige, kuid tasub meeles pidada, et võimsus väljendab ikkagi rakendatud jõu poolt tehtava töö hulka ajaühikus.

Klots liigub ühtlaselt ringjooneliselt, sest ta on seotud ringjoone keskpunkti kinnitatud nööri külge. Kas nöörilt klotsile mõjuva jõu poolt arendatav võimsus on positiivne, negatiivne või null?

Joonisel 7-16 mõjub piki hõõrdevaba põrandat sirgjooneliselt libisevale kastile kaks konstantset jõudu

{\to F}_{1}

ja

{\to F}_{2}

. Horisontaalse jõu

{\to F}_{1}

suurus on

2, 0 N

; jõud

{\to F}_{2}

on aga suunatud üles

60^{\circ}

nurga all põrandaga ja tema suurus on

4, 0 N

. Mingil hetkel on kasti kiirus

v = 3, 0 m / s

. Milline on kummagi jõu arendatav võimsus sel hetkel ja kui suur on koguvõimsus? Kas koguvõimsus sel hetkel muutub?

JOONIS 7-16 Kaks jõudu ${\to F}_{1}$ ja ${\to F}_{2}$ mõjuvad mööda hõõrdevaba põrandat libisevale kastile. Kasti kiirus on $\to v$ .

Lahendus

JUHTMÕTE Me otsime hetkvõimsust, mitte aga keskmist võimsust teatud ajavahemikul. Ka teame me kasti kiirust (mitte aga selle liigutamiseks tehtavat tööd).

Arvutused: Kasutame kummagi jõu jaoks valemit 7-47.

Jõu ${\to F}_{1}$ nurk kiirusega $\to v$ on $ϕ_{1} = 180^{\circ}$ ja me saame

P_{1} = F_{1} v cos ϕ_{1} = (2, 0 N) (3, 0 m / s) cos 180^{\circ} = - 6, 0 W - ------- - - ------- -

Leitud negatiivne võimsus tähendab, et jõud ${\to F}_{1}$ viib kastilt energiat ära kiirusega $6, 0 J / s$ .

Jõu ${\to F}_{2}$ nurk kiirusega $\to v$ on $ϕ_{2} = 60^{\circ}$ ja me saame

P_{2} = F_{2} v cos ϕ_{2} = (4, 0 N) (3, 0 m / s) cos 60^{\circ} = 6, 0 W - ----- - - ----- -

Positiivne võimsus tähendab, et jõud ${\to F}_{2}$ annab kastile energiat juurde kiirusega $6, 0 J / s$ .

Koguvõimsus on võrdne nende võimsuste summaga

P_{r e s} = P_{1} + P_{2} = - 6, 0 W + 6, 0 W = 0 - -

mis ütleb, et kastile energia ülekandumise kiirus on null. Seega kasti kineetiline energia ( $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ) ei muutu ning kasti kiirus on ka edaspidi $3, 0 m / s$ . Kuna nii jõud ${\to F}_{1}$ ja ${\to F}_{2}$ kui ka kiirus v on muutumatud, siis valemi 7-48 kohaselt on $P_{1}$ ja $P_{2}$ konstantsed, ja sama kehtib $P_{r e s}$ kohta.

Kui oletada, et peatüki alguses kirjeldatud kentsaka auto veojõud ei kahane, siis on aeg, mis tal kulub paigalstardist distantsi $D$ läbimiseks, määratud peamiselt mootori võimsusega $P$ . Avaldage see aeg distantsi pikkuse $D$ ja võimsuse $P$ kaudu eeldusel, et võimsus on konstantne.

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Nagu ütleb valem 7-43 ( $P = d W / d t$ ), on mootori võimsus tema poolt töö tegemise kiirus. (2) Me võime võidusõidu ajal tehtud kogutöö avaldada kineetilise energia kaudu vastavalt teoreemile tööst ja kineetilisest energiast ( $W = K_{f} - K_{i}$ ).

Võimsus ja kineetiline energia: Töö ja kineetilise energia teoreemi kohaselt tekitab väike hulk tööd $d W$ kineetilise energia väikese muutuse $d K$ ja kehtib võrdus $d W = d K$ . Pannes selle valemisse 7-43, saame pärast $d t$ -ga korrutamist

d K = P d t

Integreerime mõlemaid pooli ja arvestame, et stardihetkel $t = 0$ oli kineetiline energia $K = 0$ , saame

\int_{0}^{K} d K = \int_{0}^{t} P d t

ja

K = P t

Paneme $K$ asemele $\frac{1}{2} m v^{2}$ ja lahendame saadud võrrandi $v$ suhtes, saame kiiruse distantsi lõpus:

(7-49)

v = {(\frac{2 P t}{m})}^{\frac{1}{2}}

Tee pikkus ja kiirus: Teises peatükis antud kiiruse definitsioonist teame, et $v = d x / d t$ . Korrutame selle mõlemaid pooli $d t$ -ga ja integreerime tekkinud võrrandi mõlemaid pooli, saame

\int_{0}^{D} d x = \int_{0}^{t} v d t

Asendame siia kiiruse valemist 7-49, saame

\int_{0}^{D} d x = \int_{0}^{t} {(\frac{2 P t}{m})}^{1 / 2} = {(\frac{2 P t}{m})}^{1 / 2} \int_{0}^{t} t^{1 / 2} d t

mille integreerimine annab tulemuseks

D = {(\frac{2 P t}{m})}^{1 / 2} \int_{0}^{t} t^{1 / 2} \frac{2}{3} t^{3 / 2}

Lahendame selle $t$ suhtes ja leiame, et pentsiku auto distantsi läbimiseks kulunud aeg sõltub $D$ ja $P$ väärtustest järgmise valemi kohaselt:

t = {(\frac{3}{2} D)}^{2 / 3} {(\frac{m}{2 P})}^{1 / 3} - ----------------- - - ----------------- -

Märkus Sõnades väljendatuna on kulunud aeg pöördvõrdeline kuupjuurega võimsusest. Kui võistkond on suuteline mootorist rohkem võimsust välja pigistama, siis pöördvõrdelise sõltuvuse tõttu aeg väheneb; kuna aga tegu on sõltuvusega kuupjuurest, siis mitte palju.

Summary

Kineetiline energia $K$ on seotud keha liikumise kiirusega $v$ ja tema massiga $m$ ; kui $v$ on oluliselt väiksem valguse kiirusest, siis

K = \frac{1}{2} m v^{2}

Töö $W$ on energia, mida kantakse kehale üle või viiakse sellelt ära temale mõjuva jõu abil. Kehale energia juurde andmisega seostuv töö loetakse positiivseks, energia äravõtmisega töö aga negatiivseks.

Töö, mille teeb punktmassile mõjuv jõud $\to F$ nihke $\to d$ vältel, on

W = F d cos ϕ = \to F \cdot \to d

kus $ϕ$ on konstantne nurk vektorite $\to F$ ja $\to d$ vahel. Tööd teeb ainuüksi kehale mõjuva jõu $\to F$ nihke $\to d$ suun

Punktmassi kineetilise energia muut $Δ K$ on võrdne temale mõjuvate jõudude kogutööga $W$ :

Δ K = K_{f} - K_{i} = W

kus $K_{i}$ on punkmassi energia enne ja $K_{f}$ pärast töö tegemist. Valemi 7-10 võib esitada kujul

K_{f} = K_{i} + W

Töö $W_{g}$ , mille teeb punktmassi sarnasele kehale massiga $m$ mõjuv gravitatsioonijõud ${\to F}_{g}$ keha nihkel $\to d$ , avaldub kujul

W_{g} = m g d cos ϕ

kus $ϕ$ on nurk ${\to F}_{g}$ ja $\to d$ vahel.

Töö $W_{r}$ , mida teeb punktmassina käsitletavale kehale mõjuv jõud keha tõstmisel või allapoole laskmisel, on seotud gravitatsioonijõu poolt tehtud tööga $W_{g}$ ja kineetilise energia muuduga $Δ K$ :

Δ K = K_{f} - K_{i} = W_{r} + W_{g}

Kui

Elastsusjõud ${\to F}_{e}$ avaldub kujul:

{\to F}_{e} = - k \to d

kus $\to d$ on vedru vaba otsa nihe tasakaaluasendi suhtes (kus vedru pole ei kokku surutud ega välja venitatud) ja $k$ on vedru elastsustegur (vedru jäikust väljendav mõõt). Kui vedru paikn

Kui keha on kinnitatud vedru vaba otsa külge, siis töö $W_{e}$ , mille teeb elastsusjõud keha liikumisel algasendist $x_{i}$ lõppasendisse $x_{f}$ , on

W_{e} = \frac{1}{2} k x_{i}^{2} - \frac{1}{2} k x_{f}^{2}

Kui $x_{i} = 0$ ja $x_{f} = x$ , saab valem 7-25 kuju

W_{e} = - \frac{1}{2} k x^{2}

Kui punktmassi sarnasele kehale mõjuv jõud $\to F$ sõltub keha asukohast, on keha liikumisel algasukohast $r_{i}$ koordinaatidega $(x_{i}, y_{i}, z_{i})$ lõppasukohta $r_{f}$ koordinaatidega $(x_{f}, y_{f}, z_{f})$ jõu $\to F$ poolt tehtav töö arvutatav jõufu

Kehale mõjuva jõu poolt arendatav võimsus näitab töö tegemise kiirust. Kui töö $W$ tehakse ajavahemiku $Δ t$ jooksul, siis selle jõu keskmine võimsus selle aja kohta on

P_{k} = \frac{W}{Δ t}

Hetkv&

Questions

Kas konstantse jõu

\to F

töö sirgjoonelise nihke

\to d

korral on positiivne või negatiivne, kui (a) nurk

\to F

ja

\to d

vahel on

30^{\circ}

; (b) nurk on

100^{\circ}

; (c)

\to F = 2^i - 3^j

ja

d = - 4^i

?

Siin näete kolme juhtu, kus lühiajaline horisontaalne jõud muudab jääl hõõrdumiseta libiseva hokilitri kiirust. Joonisel 7-17 on pealtvaates kõigi kolme juhu jaoks noolega näidatud litri alg- ka lõppkiiruse suurus ning suund. Järjestage kõigil kolmel juhul litrile mõjuva jõu tööd suuruse järgi, kõige suuremast positiivsest kuni kõige negatiivsemani.

Järjestage alltoodud kiirused vastavalt liikuva keha kineetilisele energiale, alates suurimast: (a)

\to v = 4^i + 3^j

, (b)

\to v = - 4^i + 3^j

, (c)

\to v = - 3^i + 4^j

, (d)

\to v = 3^i - 4^j

, (e)

\to v = 5^i

ja (f)

\to v = 5 m / s

30^{\circ}

nurga all horisontaaliga.

Joonisel 7-18a on kaks horisontaalset jõudu, mis mõjuvad piki põrandat hõõrdumiseta libisevale klotsile. Joonisel 7-18b on kujutatud klotsi kineetilise energia

K

sõltuvus ajast

t

. Milline kolmest graafikust vastab kõige paremini juhule, kus (a)

F_{1} = F_{2}

, (b)

F_{1} > F_{2}

, (c)

F_{1} < F_{2}

?

Joonisel 7-19 peab rasvaga määritud notsu valima kolme hõõrdevaba liumäe vahel, mida mööda alla maapinnale libiseda. Järjestage liurajad töö järgi, mida teeb gravitatsioonijõud notsu laskumisel, alustades suurimale tööle vastavast.

Joonisel 7-20a on kujutatud neli juhtu, kus horisontaalne jõud mõjub ühelesamale algselt paigal seisvale klotsile. Jõudude suurused on

F_{2} = F_{4} = 2 F_{1} = 2 F_{3}

. Klotsi kiiruse horisontaalkomponent vx on kõigi nelja juhu jaoks kujutatud joonisel 7-20b. (a) Milline graafik joonisel 7-20b vastab millisele joonisel 7-20a kujutatud jõule? (b) Milline graafik joonisel 7-20c (kujutab kineetilise energia sõltuvust ajast) sobib kõige paremini millisele graafikule joonisel 7-20b?

Joonisel 7-21 on neli ühesuguses mastaabis joonistatud graafikut, mis kujutavad (x-telje sihis mõjuva) muutuva jõu x-komponenti

F_{x}

sõltuvalt mõjutatava punktmassi asukohast

x

. Järjestage graafikud vastavalt tööle, mida teeb see jõud punktmassi liikumisel

x = 0

kuni

x = x_{1}

, alustades suurimast positiivsest tööst ja lõpetades suurima negatiivsega.

Joonisel 7-22 on esitatud punktmassile mõjuva jõu x-komponendi

F_{x}

sõltuvus x-st. Kui punktmass alustab liikumist paigalseisust punktis

x = 0

, siis millise

x

juures on (a) kineetiline energia kõige suurem, (b) kiirus kõige suurem, (c) kiirus võrdne nulliga? Milline on punktmassi liikumise suund hetkel, kui

x = 6 m

?

Vedru

A

on jäigem kui vedru

B

(

k_{A} > k_{B}

). Kumma vedru elastsusjõud teeb rohkem tööd, kui vedru surutakse kokku (a) sama pikkuseni ja (b) sama suure jõuga?

Mudakamakas visatakse või pillatakse alla vertikaalse kalju servalt. Millised graafikud joonisel 7-23 võiksid kujutada kamaka kineetilise energia muutumist lennu ajal?

Ülesanded

Näidisülesanne 7-1

KONTROLLKÜSIMUS 1

(a)

(b)

(c)

Näidisülesanne 7-3

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(c)

(d)

KONTROLLKÜSIMUS 2

(a)

(b)

Näidisülesanne 7-8

Näidisülesanne 7-9

Näidisülesanne 7-10

KONTROLLKÜSIMUS 3

Näidisülesanne 7-11

Näidisülesanne 7-12

Kineetiline energia

Töö

Konstantse jõu poolt tehtav töö

Töö ja kineetiline energia

Gravitatsioonijõu töö

Kehade tõstmisel ja allapoole laskmisel tehtav töö

Vedru elastsusjõud

Vedru elastsusjõu töö

Muutuva jõu töö

Võimsus