Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse N-iga.

Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad matemaatilised objektid,  lihtsad, aga tähtsad. Kuna nad tulevad esile kohe, kui loendama hakkame, ei saa nendest maailma kirjeldamisel üle ega ümber.

Oma loomulikkuse tõttu on nad ka matemaatikas üheks keskseks objektiks ja nende uurimine pole veel sugugi päris lõppenud!

Naturaalarvude  matemaatiline  kirjeldamine

Naturaalarvud võib üles ehitada ühe arvu – arvu 1 – ning ühe tehte – arvu 1 liitmise baasil. Iga naturaalarvu võime leida, kui ühte piisava arvu kordi iseendaga kokku liidame. Arvu 10 saamiseks peame näiteks arvule 1 veel 9 arvu 1 juurde liitma.

Nii leidub igast naturaalarvust veel ühe võrra suurem naturaalarv. Näiteks isegi kui meil on juba 1000 sõpra, võiksime leida veel ühe sõbraliku selli Tiibeti mägedest ning meil olekski juba  1001 sõpra – ka teda peame oskama arvestada!

Seega kõige suuremat naturaalarvu ei leidugi. See arusaam võib alguses tunduda natuke üllatav, aga teiselt poolt: kas on mingi põhjus, miks peaks leiduma kõige suurem arv? Nii kohtame ka esimest korda lõpmatust – naturaalarve peab kokku olema lõpmatult palju.

Naturaalarve võib kirjeldada ja defineerida ka mitmel muul moel. Näiteks võite hulkade peatükist lugeda, kuidas naturaalarve kirjeldada ainuüksi hulkade abil [lk 61].

Tasub ilmselt veel ära märkida, et mõnikord loetakse ka 0 naturaalarvude hulka, tähistamaks olukorda, kus veel midagi loendatud pole. See on aga rohkem maitse küsimus, nii et lugeja võib täiesti vabalt ise otsustada, kas 0 on naturaalarv või pole. Meie positsioon on aga selge: alustasime ju raamatus esinevate osade loendamist just nullist.

Naturaalarvude tähistamine

Naturaalarvud on väga loomulikud, nad on erinevates kultuuriruumides sõltumatult kasutusele võetud ja välja on arenenud erinevad tähistused. Järgnevalt tutvustame nendest ka mõnda levinumat.

Kümnendsüsteem

Meile on kombeks naturaalarve tähistada kümne numbri abil  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9.

Kuna kasutame täpselt kümmet erinevat sümbolit, siis sellist tähistust nimetataksegi kümnendsüsteemiks. Kümnendsüsteemis ehitame kõik arvud üles ühelistest, kümnelistest, sajalistest (kümme korda kümme), tuhandelistest (kümme korda kümme korda kümme)  ja nii edasi – kümnete meri.

Näiteks arv 128 tähendab lahtikirjutatult 1 · 10 · 10 + 2 · 10 + 8

ning arv 9301 tähendab 9 · 10 · 10 · 10 + 3 · 10 · 10 + 0 · 10 + 1.

Arvu astme peatükis [lk 110] näeme, et võime ühelised, kümnelised, sajalised ja nii edasi kõik kirjutada arvu kümme astmete abil – lisame 10 ülemisse paremasse nurka tema astendaja, mis ütleb, mitu korda arvu 10 kokku korrutame:

Nii võime arvu 9301 kirjutada veelgi kompaktsemalt:

Kahendsüsteem

Arvutitekogus toimub arvutamine aga kahendsüsteemis – kõik arvud kirjutatakse kahe numbri 0 ja 1 abil ja arve loendatakse mitte kümneliste, vaid kaheliste kaupa. Näiteks arvu 3 kuju kahendsüsteemis on 11, kuna 3 = 1 · 2 + 1, arv 5 on kujus 101 kuna 5 = 1 · 2 · 2 + 0 · 2 + 1 ning arv 8 on kujus 1000, kuna 8 = 1 · 2 · 2 · 2. Sarnaselt kümnendsüsteemiga võime seega iga naturaalarvu kirjutada üldkujus arvu 2 astmete abil.

Enne juba käsitletud arvu 9301 võime seega kahendsüsteemis kirja panna pisut pikemalt:

Teisisõnu on kahendsüsteemis arvu 9301 kujuks 10010001010101.

Kindlasti tuleks küsida: miks ikkagi arvutites kõik  kahendsüsteemis toimub? Põhjus on väga proosaline – kahendsüsteemis on meil vähim erinevaid sümboleid, mida kuidagi masinavärgis tähistama peaks. Kõige lihtsam ongi arvutit üles ehitada „lülititest”, millel on täpselt kaks olekut – kas sees või väljas. Need vastavad siis väärtustele 1 ja 0. Nii on kahendsüsteemis lihtsam arve salvestada ja lihtsam ka tehteid teha. Mõelge ise, on ju endalgi kahte ühte ja nulli omavahel lihtsam kokku liita kui näiteks seitset ja viit.

Ainus raskus võrreldes kümnendsüsteemiga on arvude lugemine – arvud lähevad kiiresti maru pikaks. Meil igapäevaelus oleks see probleem, aga arvuti võib ju ekraanile meie jaoks midagi mugavamat kuvada.

Rooma numbrid

Roomlased vedasid aga naturaalarvude tähistamiseks hoopis kummalisi kriipse: näiteks meie ühte tähistati kriipsuga I, meie 12 kriipsudega XII ja meie 49 kriipsudega IL.

Proovige leida reegleid Rooma numbrite liitmiseks või veel hullem, korrutamiseks. Näiteks liidaksid roomlased arve 69 ja 145 kokku järgnevalt.

LXIX + CXLV

1. Tuleb asendada kõik „lahutavad liikmed”:

LXVIIII + CXXXXV

2. Kokku panna:

LXVIIIICXXXXV

3. Sorteerida:

CLXXXXXVVIIII

4. Kombineerida  gruppidesse:

CCXIIII

5. Asendada lahutavad liikmed tagasi:

CCXIV

Veendute ilmselt üsna kiiresti, et sellise arvusüsteemiga on peaaegu võimatu aritmeetikat teha. Ning tõepoolest, roomlased oma matemaatilistelt teadmistelt või tegudelt ajaloos just silma ei paista.

Teisendamine

Oletame, et teie mitte eriti hea sõber on otsustanud põikpäiselt kasutada kahendsüsteemi ja väidab teile, et olete talle võlgu täpselt 101010 eurot. Loetuna kümnendsüsteemis oleks see päris märkimisväärne summa, nii et ilmselt tasub üritada arv kahendsüsteemist kümnendsüsteemi üle viia. Kuidas seda teha?

Kõik on tegelikult juba eelnevalt välja toodud. Kirjutame kõigepealt välja,  mida 101010 kahendsüsteemis tähendab: 101010 = 2⁵ + 2³ + 2. Edasi kirjutame lihtsalt kõik toodud kahe astmed kümnendesitluses: 2⁵ = 32, 2³ = 8, 2 = 2. Lõpetuseks peame saadud arvud (nüüd kümnendesitluses) oma tavaliste liitmisnippidega kokku liitma: saame vastuseks 42.