Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu! Tõepoolest, lihtne on võrdselt jagada kuus õuna kolme sõbra vahel – annad kõigile kaks. Ent kuidas võrdselt jagada üht suurt arbuusi kolme sõbra vahel?
Meil on muidugi vastus olemas, igale sõbrale tuleb anda kolmandik arbuusist. Probleem on aga, et kolmandik ei ole täisarv – peame jagamise jaoks arve veel mängu juurde tooma. Piisab sellest, kui võtame appi kõik arvud, mis saame täisarvude jagamisel nullist erinevate täisarvudega.
Selliseid arve nimetatakse ratsionaalarvudeks – nad on kujus p⁄q, kus p ja q on täisarvud. Ratsionaalarvud on näiteks 2⁄3, -1⁄2, 231⁄100, aga ka kõik täisarvud, sest näiteks 2 = 2⁄1.
Murrujoone peal olevat arvu nimetatakse murru lugejaks ja murrujoone all asuvat arvu murru nimetajaks. Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q.
Hakates arvjoonele usinalt ratsionaalarve kirja panema, märkame, et neid on väga palju ja nad asuvad arvteljel ütlemata tihedalt. Tegelikult asub iga kahe ratsionaalarvu vahel alati veel üks ratsionaalarv: näiteks arvude –2 ja –1 vahel asub arv –1,7, arvude 2 ja 2,4 vahel 2,31. Üldisemalt, iga kahe suvalise ratsionaalarvu a ja b vahel asub ju nende aritmeetiline keskmine
Taandatud murrud ja tehted
Ütlesime, et kõik ratsionaalarvud saame, kui jagame täisarve nullist erinevate täisarvudega. Nii saame tegelikult liiga palju arve – paljud neist on omavahel võrdsed. See on küll väga lihtne, aga oluline tähelepanek.
Tõepoolest, kuna kahe arbuusi jagamisel kuueks võrdseks tükiks on tükid sama suured kui ühe arbuusi jagamisel kolmeks võrdseks osaks, ei ole mitte kõik täisarvude omavahelisel jagamisel saadud arvud erinevad, näiteks 2⁄6 = 1⁄3.
Kuna mitmed murrud on omavahel võrdsed, oleks tore leida neile kõigile üks parim esindaja. Selleks on murru taandatud esitus. Murru taandatud esituse saamiseks jagame murru nimetaja ja lugeja kõikide nende ühiste teguritega läbi: nii ongi näiteks ratsionaalarvude 1⁄3 , 2⁄6 ja 4⁄12 kõikide ühiseks taandatud kujuks 1⁄3 .
Ratsionaalarvudega on veelgi ohutum ja sujuvam ringi käia kui täisarvudega. Nimelt võime kõiki ratsionaalarve omavahel lisaks liitmisele-lahutamisele ka korrutada ja jagada (siiski mitte nulliga!) ning saame alati jällegi tulemuseks ratsionaalarvu.
Kümnendesitus
Ratsionaalarvudel leidub ka esitus kümnendsüsteemis, kasutusele tuleb lihtsalt võtta komakohad.
Näiteks ½ = 0,5, 13⁄8 = 1,625 ning 1⁄3 = 0,(3), kus sulgudes olev kolm tähistab, et number 3 jääb lõpmatult korduma.
Selgub, et iga ratsionaalarvu saabki esitada kümnendsüsteemis kas lõpliku arvu komakohtadega nagu 1⁄8 = 0,125 või lõpmatult korduma jäävate komakohtadega: näiteks 1⁄7 = 0,(142857) ja 1⁄12 = 0,08(3). Teisel juhul esile tulevaid kümnendesitusi nimetatakse perioodilisteks.
Järgnevalt selgitame natuke lähemalt, miks ratsionaalarvud on just nimelt kas lõpliku või perioodilise kümnendesitusega. Näitame esmalt, et iga lõpliku või perioodilise kümnendesitusega arv on ratsionaalarv:
Oletame, et meil on lõpliku kümnendesitusega arv.
Sel juhul võime arvu korduvalt 10-ga korrutades komakohtadest lahti saada. Näiteks kui arvul on kaks komakohta nagu arvul 0,25, peame seda täisarvu saamiseks korrutama 10-ga täpselt kaks korda – konkreetsel juhul on saadavaks täisarvuks 25. Ja edasi võime juba lihtsalt avaldada arvu 0,25 kahe täisarvu jagatisena, kui jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga läbi.
Oletame, et meie arv on perioodiline kümnendesitus.
Nüüd võime korduvalt kümnega korrutades komakohta liigutada nii palju, et pärast koma jääks alles ainult perioodiline osa. Kui näiteks periood algab üks koht pärast koma, peame korrutama kümnega. Näiteks arvu 0,8(32) korral saame arvu 8,(32).
Edasi võime aga jätkata kümnega korrutamist nii kaua, kuni algab perioodilise osa teine tsükkel. Kui perioodi pikkus on kaks, peame juba saadud arvu veel 100-ga korrutama. Konkreetsel juhul saaksime siis arvu 832,(32).
Lahutades nüüd teisest arvust esimese, jääb alles täisarv – perioodiline osa pärast komakohta taandub ju täpselt välja. Edasi saame juba lihtsalt avaldada arvu 0,8(32) ratsionaalarvuna.
Miks vastupidi igal ratsionaalarvul peaks just kirjeldatud kümnendesitus leiduma, on juba pisut kavalam ja jääb siinkohal tõestamata.
Oluline on ka ära märkida, et kümnendesitus ei ole alati ühene. Näiteks matemaatilise võrduse peatükis [lk 52] näitame, et 1 = 0,(9).