Ratsionaalarvudega saame loendada, liita ja lahutada, korrutada ning jagada. Tundub, et seda on juba päris palju. Üllatuslikult võime aga endiselt välja tulla geomeetrilise konstruktsiooniga, mille kirjeldamiseks ratsionaalarvudest ei piisa.
Ühikruudu diagonaali pikkus ei ole ratsionaalarv!
Joonistame ilusa ühikruudu ja leiame selle ühikruudu diagonaali pikkuse.
Tähistades seda diagonaali d-ga, teame näiteks Pythagorase teoreemist, et d2 = 2. Loomulik küsimus on: kas d on ikka ratsionaalarv?
Oletame, et d on tõesti ratsionaalarv: sel juhul võime d kirjutada taandatud kujus p⁄q , kus p ja q on täisarvud ning neil ei ole ühiseid tegureid. Saame, et p2 = 2q2.
Aga nüüd on ju võrdusmärgist paremal pool paarisarv, seega peab ka vasemal olema paarisarv. Kui p2 on paarisarv, siis ei saa p paaritu olla, sest paaritu arv ruudus annab paaritu arvu. Järelikult ka p on paarisarv ja võime p kirjutada kujul p = 2a.
Seega võime p2 kirjutada kui (2a)2 = 4a2. Asendades selle esialgsesse valemisse saame 4a2 = 2q2. Jagades kahega läbi, jääb alles 2a2 = q2.
Nüüd on aga vasem pool paaris ning seega peab ka q jaguma kahega. See on aga vastuolus meie eeldusega, et p⁄q oli taandatud murd. Seega ei saa d kuidagi olla ratsionaalarv, sest muidu jõuame loogilise vastuoluni. Seega on ta hoopis niinimetatud irratsionaalarv!
Irratsionaalarvud
Oh seda häda, kui Antiik-Kreekas sellele riukale jälile saadi. Nende jaoks olid proportsioonid ehk täisarvude suhted looduse üheks aluseks ning nii ei tahtnud nad sugugi leppida sellega, et leidub geomeetrilisi objekte, mille pikkust ei õnnestugi proportsioonide ehk täisarvude suhete abil kirjeldada. Räägitakse, et mõni matemaatik pidi selle avastuse tõttu lausa elust ilma jääma. Siiski jäädi matemaatikale truuks ja tänaseks ei nähta sellistes irratsionaalarvudes enam suurt ohtu ei tervisele ega ühiskonnale. Tegelikult lepiti nendega hoopis enne kui negatiivsete arvudega – nad tundusid küll kummalised, aga neile oli ometi võimalik looduses ja geomeetrilises ettekujutuses vastet leida.
Irratsionaalarvudeks nimetataksegi kõiki arve arvteljel, millel ei ole esitust kujus p⁄q. Paljud neist on esitatavad täis- või ratsionaalarvude juurtena [lk 111], näiteks
ja ka
on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks π ja e. Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks teadmata, kas πe on ratsionaalarv või irratsionaalarv.
Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõpmatult pikk. Näiteks arvu π esimesed 20 kohta on 3,14159265358979323846…, aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem – neid tuleb lõpmatult palju.
Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud kokku moodustavad reaalarvude hulga, mida tähistatakse arvuga R.
Kui ratsionaalarvud saime üles ehitada täisarvudest, siis kõikide irratsionaalarvude täpne matemaatiline konstrueerimine on juba veidi keerulisem. Võime küll irratsionaalarvudest mõelda kui arvudest, mida saame kirjutada lõpmatu ja mitteperioodilise kümnendesituse abil, aga kuidas neid liita või korrutada? Õigupoolest jõudsid matemaatikuid rahuldava range kirjelduseni alles 19. sajandil ning selle jaoks võib kasutada piirväärtuseid [lk 319].
Praeguseks on aga tore irratsionaalarvude sissetoomisest mõeldagi geomeetriliselt: irratsionaalarvud täidavad ratsionaalarvudest arvteljele jäänud auke, nende liitmine tähendab – nagu ratsionaalarvude liitminegi – lihtsalt arvtelje nihutamist.