Üritame järgnevalt ka natuke matemaatiliselt motiveerida, miks kõikide arvude nullis aste peaks ikkagi olema ühega võrdne.

Mõtleme korra uuesti korrutamisest – tuletame meelde, et mistahes arvu nulliga korrutamine annab vastuseks nulli. Sellest, miks nulliga korrutamine peaks nulli andma, võib mõelda mitmel moel.

Üks viis on öelda, et meile meeldiks, kui korrutamine ja liitmine saaksid omavahel hästi läbi. Tahaksime, et võiksime näiteks kenasti sulge avada ja kirjutada:

Seda korrutamise ja liitmise kokkusobimist nimetatakse ka uhkelt korrutamise ja jagamise distributiivsuseks. Tegelikult kasutate seda igapäevaselt, näiteks 7 · 5 + 3 · 5 = 10 · 5 = 50.

Kui nüüd võtaksime aga arvu x võrdseks nulliga ja arvu y näiteks kahega, saaksime, et

Nüüd on mõlemal poolel liige 2 · z ja seega peab parema poole üleliigne liige 0 · z olema võrdne nulliga. Arvu kaks valisime aga täiesti suvaliselt, seega tõesti nulliga korrutamisel peaks iga arv andma tulemuseks nulli.

Millist ilusat omadust tahaksime astendamiselt? Me tahaksime, et ta saaks korrutamisega hästi läbi. Kui korrutame sama arvu läbi esmalt n korda ja seejärel m korda, peab tulemus olema võrdne arvuga, mille saame siis, kui korrutame arve kohe kokku m + n korda ehk teisisõnu tahame, et z^m · zⁿ = z^m+n. Aga kui nüüd võtame m-i võrdseks nulliga ja z-i võrdseks 2-ga, saame 2⁰ · 2ⁿ = 2⁰⁺ⁿ = 2ⁿ.

Seega kuna ainult ühega korrutades saame täpselt sama arvu, peab 2⁰ olema võrdne ühega! Ja muidugi jällegi oleksime võinud ju arvu kaks asemel võtta (peaaegu) ükskõik mida muud – seega astendades suvalist arvu nulliga saame vastuseks ühe.

Null astmel null

Eelnev arutelu pole siiski päris korrektne – end eelmises lõigus sulgudes peitev „peaaegu” käib arvu 0 kohta. Nimelt kui võtaksime eelnevas arutelus arvu z võrdseks nulliga, saaksime tehte 0⁰ · 0ⁿ = 0ⁿ. Kuna aga 0ⁿ on võrdne nulliga vähemalt iga n > 0 jaoks (korrutame ju lihtsalt positiivse koguse nulle kokku), ei saa me sellest tehtest midagi öelda 0⁰ väärtuse kohta.

Selgub, et ajalooliselt ongi 0⁰ matemaatikutele suurt peavalu valmistanud, ühel nõul pole olnud ka päris suured matemaatikud. Ka täna leidub veel kaks vastasleeri: ühed ütlevad, et 0⁰ ei olegi defineeritud, ja teised on veendunud, et see peab olema võrdne ühega. Milles on probleem?

Ühelt poolt peaks 0⁰ olema võrdne arvuga, mille saame, kui avaldises 0^x muudame positiivset arvu x järjest väiksemaks. Kuna 0ⁿ on iga positiivse n-i jaoks võrdne nulliga, siis peaks ka 0⁰ olema võrdne nulliga.

Teiselt poolt peaks aga 0⁰ olema võrdne ka arvuga, mille saame, kui avaldises x⁰ muudame positiivset arvu x järjest väiksemaks. Eelneva põhjal teame, et x⁰ on võrdne ühega iga nullist erineva x jaoks. Seega peab ka 0⁰ olema võrdne ühega.

Kuna meil on matemaatiliselt 0⁰ defineerimiseks kaks erinevat võimalust, mis omavahel sugugi kokku ei sobi, ei tundu sugugi ülekohtune teda mittedefineeritavaks pidada. Siiski leidub neid, kes arvavad, et meil on piisavalt põhjuseid arvamaks, et 0⁰ = 1.

Kusjuures kõik on vähemalt selles päri, et kui üldse 0⁰ arvuna defineerida, siis peaks tema väärtuseks saama justnimelt 1 ja mitte näiteks 0 või hoopis mõni muu arv.

Esiteks, nagu juba mainisime, tahaksime kinni hoida juba meile tuntud tehetest ja valemitest. Kui valiksime ükskõik millise teise väärtuse, siis võiksime leida mõne valemi – nagu näiteks ennist kasutatud a^(m+n) = a^m · aⁿ –, mis enam selle valiku korral kahjuks ei kehtiks. Kui võtame juba selles samas valemis a = 0, m = 0, n = 0, näeme, et 0⁰ · 0⁰ = 0⁰ . Seega, kui otsustame defineerida arvu 0⁰, peab selle arvu ruut olema tema endaga võrdne. Ehk ta ei tohiks olla ükski teine arv peale arvude 1 ja 0, mida kohtasime võimalike variantidena juba eelnevas arutelus.

Valides aga järgnevalt valemiks

mis kehtib alati kui a > 0, näeme, et 0⁰ väärtuseks ei tahaks hästi sobida isegi arv 0. Muidu oleks ju üks valemi pool 0, ent teisel pool üritaksime jagada nulliga, ja see meile muidugi ei meeldi. Seega, kui 0⁰ on arv, siis olgu ta arv 1.

Lisaks toetab kokkulepet 0⁰ = 1 pisut ka tõlgenduslik pool. Näiteks meiegi mõtlesime astendajast 0 kui tühjast tehtest ja sel juhul ei tohiks ju vahet olla, mis astme aluseks on – tühi tehe jääb alati tühjaks tehteks ning peaks olema ka sama väärtusega. Kõik teised arvud astmel 0 on aga võrdsed ju täpselt 1-ga.

Kokkuvõttes, ega ei teagi, kuidas on parem – kas jätta segaduse vältimiseks 0⁰ defineerimata või talle siiski anda mugavuse tõttu väärtus 1?