Eksponentsiaalfunktsioonist on kõige õigem mõelda kui teatavat tüüpi väga kiirest kasvamisest või kahanemisest ajas. Nagu nägime, on eksponentsiaalse kasvamise korral kasvamise kiirus igal hetkel proportsionaalne ehk võrdeline koguse või suuruse endaga. Nii nimetatakse eksponentsiaalset kasvamist ka proportsionaalseks kasvamiseks. Just seetõttu kirjeldas ta ka bakterite koloonia laienemist – koloonia kasvu kiirus igal hetkel sõltub ju täpselt sellest, palju baktereid parasjagu pooldumas on, ehk tegelikult koloonia enda suurusest.

Eksponentsiaalne kasvamine on palju kiirem kui polünomiaalne ehk polünoomiga antud kasvamine.

Arvutite kiiruse kasv on eksponentsiaalne

Transistor on hirmutav sõna ja tõepoolest, selle taga peidab end võimas seade. Transistoreid kasutatakse elektrisignaalide tekitamiseks, võimendamiseks, muundamiseks ja lülitamiseks. Transistoritel põhineb kogu elektroonika ning nad on ka arvutite  protsessorite arvutuskomponentideks.

Transistorite arv arvutis väljendab tema kiirust – seda, kui palju operatsioone ta suudab ajahetkes teha. Arvutite võimsus kasvab kiiresti, umbes iga kahe aasta järel kahekordistub transistorite arv protsessoris.

Teisisõnu umbes iga kahe aasta järel saab arvuti kaks korda võimsamaks:

Seda seaduspära märkas esimest korda juba 1965. aastal arvutiprotsessorite tootja Inteli kaasasutaja Gordon E. Moore. Nii kutsutakse seaduspära vahel ka Moore’i seaduseks. Kasvu kiiruse illustreerimiseks kasutas Moore ise järgnevat analoogiat: kui autotööstus areneks sama kiiresti kui elektroonikatööstus, siis tänaseks sõidaks auto liitri bensiiniga miljon kilomeetrit ning odavam oleks auto maha kanda kui teda kesklinnas tunniks ajakski parkida.

Graafikut on natukene keeruline lugeda, sest esimesed punktid tunduvad kõik olevat praktiliselt nullis. See  tuleneb just nimelt väga kiirest, eksponentsiaalsest kasvust. Tuleb välja, et sellisel juhul on mõttekas y-telge kujutada nii-öelda logaritmiliselt, kus ühikud ei muutu liitmise vaid korrutamise teel. Selle võtte kasulikkust näitame järgmises peatükis [lk 299].

Mõni arvutiprogramm jääb aga ikka aeglaseks

Kuna arvuti kiirus kahekordistub iga kahe aastaga, võiks arvata, et ükskõik kui keerulist tööd me ka arvutile ei annaks, varem või hiljem on see vaid minutite küsimus.

Siiski nii lihtne olukord ei ole. Nimelt on paljud ülesanded, mida arvutiga lahendada võiks, lahendatavad ainult eksponentsiaalse ajaga: see tähendab, et iga kord kui arvutiprogrammi sisendit suurendada ühe ühiku võrra, kasvab programmi aeg kindla arvu kordi. Näiteks võiks  programmi aeg iga sisendi jaoks pikeneda kaks korda – sel juhul kirjeldaks aja kulumist funktsioon 2^{sisendi pikkus} ning isegi kui sisend pikkusega 10 võtaks 10 sekundit arvutusaega, siis sisend pikkusega 40 võtaks juba 340 aastat. Eluliste probleemide lahendamiseks on vahel aga vaja sisendeid suurusjärgus tuhat või isegi miljon.

Kuigi Moore’i seadus protsessorite kiirenemisest on üsna hämmastav, siis praeguse murega ta toime ei tule. Nimelt, oletame, et arvutustele kuluva aja kulumist kirjeldab tõesti eksponentsiaalfunktsioon 2^{sisendi pikkus}. Sel juhul, isegi kui kaks korda rohkem transistoreid tähendaks tõesti ka kaks korda rohkem arvutusi ajaühikus, saaksime ühel arvutil arvutades iga kahe aasta järel sisendit vaid ühe ühiku võrra pikendada!

Sellest lähtuvalt ei või endiselt arvutiprogrammidega hooletu olla – tuleb leida häid ja efektiivseid viise arvutite tegemiseks ning selliste heade programmide kirjutamine on üks tänapäevase arvutiteaduse põhilisi eesmärke.

Temperatuuri ühtlustumine

Oled äsja valanud endale tassi kohvi ja kohe jooma hakates põletaksid kindlasti oma keelt ja huuli. Õnneks pole sellest hullu. Selgub, et kohvi jahtumine toimub eksponentsiaalse kiirusega ehk nagu juba nägime – väga kiiresti.

Nimelt märkas juba Newton oma vaatlustest, et kui asetada üks väiksem keha suurde väliskeskkonda, siis sõltub selle väiksema keha temperatuuri muutumise kiirus proportsionaalselt väliskeskkonna ja keha temperatuuride erinevusest. Nagu juba teame, tähendab see aga täpselt, et temperatuuri ühtlustumine on antud eksponentsiaalse funktsiooniga. Seega kui väiksem objekt on alguses väliskeskkonnast soojem, kirjeldab temperatuuride vahe vähenemist hästi eksponentsiaalselt kahanev protsess kujus

kus t tähistab aega ning ΔT₀ on lihtsalt algne vahe temperatuurides.

Kui tahate täpselt ennustama hakata, kui kiiresti kohv ikkagi jahtub, oleks esmalt vaja teha mõned katsed, mille abil määrate konstandi a, mis sõltub kohvi enda omadustest ja näiteks ka tassist.

Edaspidi on – vähemalt sama kohvi ning sama tassi korral – igal hommikul vaja ainult mõõta kohvi ja toa temperatuuri. Seejärel saad täpselt ennustada, kaua aega läheb, kuni kohv joodavaks muutub. Loomulik on küsida: mil määral need ennustused kehtivad ja mil määral nad erinevad rohelise tee, kuumade pirukate ja teistsuguste, näiteks suuremate ja väiksemate tasside jaoks? Aus vastus on, et ega me täpselt ei tea – rohelise tee jaoks ei tohiks suurt midagi muutuda, aga pirukatega on lugu juba kahtlasem.

Edasi võib veel nuputada, kuidas käituda, kui lisad kohvile ka piima. Mis Sa arvad, kas 15 minuti möödudes on külmem kohv, millele on lisatud kohe veidi piima, või kohv, millele lisad piima alles 15 minuti lõppedes? Newtoni seaduse ja mõne lisaeelduse abil saab vastuse välja nuputada, või lihtsalt katsetades.

Muidugi pole ennustused alati sajandiku pealt täpsed – tegelikult on soojusülekande protsess palju keerulisem ning Newtoni seadus on nagu ikka lihtsustatud kirjeldus ja kehtib ainult osaliselt. Siiski on see väga tore, et klassikaline füüsika ja veidi lihtsat matemaatikat aitavad selgitada ja ennustada igapäevaseid olukordi.