Elektrodünaamikas tuleb lisaks Maxwelli võrranditele postuleerida eraldi laengute liikumise seadused, pidades küll silmas väljavõrranditest järelduvat pidevuse võrrandit – laengu jäävuse seadust. Midagi muud väljavõrrandid laengute liikumise kohta ei ütle. Selle põhjuseks on võrrandite lineaarsus. Tõepoolest, kui on kaks Maxwelli võrrandite lahendit, millest kumbki kirjeldab ühe (üldiselt liikuva) laengu välja, siis on lahendiks ka nende summa, kuid selles ei kajastu kuidagi nende laengute vaheline vastasmõju. Üldrelatiivsusteoorias seevastu sisalduvad kehade liikumise võrrandid gravitatsioonivälja võrrandites. Selle põhjuseks on väljavõrrandite mittelineaarsus, mistõttu kahe lahendi summa ei ole enam võrrandite lahendiks. Oma osa liikumisvõrrandite saamises on ka Bianchi identsustel, mis kindlustavad energia ja impulsi jäävuse kehade liikumise seadustes.

Esimestes töödes postuleeris Einstein prooviosakeste (planeedi, valguskvandi) liikumise mööda geodeetilist joont. See oli erirelatiivsusteooria vaba osakese inertsiaalse liikumise loomulik üldistus gravitatsioonivälja juhule, kuid selline üldistus oli lisatud gravitatsioonivälja võrranditele, tegelikult küll selle lihtsamale lahendile – Schwarzschildi meetrikale. Peamiselt Weyli ja Levi-Civita tööde mõjul tekkis veendumus, et liikumisvõrrandid peaksid järelduma juba väljavõrranditest. 1926. a. näitaski Théophile Ernest de Donder (1872–1957), et tolmaine osakesed liiguvad mööda geodeetilist joont. Tõestus toetus mateeriatensori Tµν tolmainet kirjeldavale spetsiaalkujule, milles rõhk on null. Seetõttu pidas Einstein niisugust geodeetilise joone printsiibi tuletamist ebarahuldavaks. Järgmise, 1927. a. jaanuaris ilmus artikkel „Allgemeine Relativitätstheorie und Bewegungsgesetz“ („Üldrelatiivsusteooria ja liikumisseadus“), autoriteks Einstein ja Jakob Grommer (Яков Пинхусович Гром-мер, 1879–1933), kus vaadeldi prooviosakesi gravitatsioonivälja isoleeritud singulaarsustena ja tuletati nõrga gravitatsioonivälja lähenduses nende liikumise võrranditena geodeetilise joone võrrandid. Paar kuud hiljem üldistas Einstein sama pealkirjaga artiklis selle tulemuse laenguga proovipartikli juhule. Sellega sai selge lahenduse ühe keha probleem – osakese liikumine etteantud gravitatsiooni- ja elektromagnetväljas.

Aastatel 1928–40 asuti lahendama keerukamat ülesannet: tuletada relativistlikud liikumisvõrrandid võrreldavate massidega n-kehast koosneva süsteemi jaoks. Esialgu piirduti kahe keha probleemiga. Esimesed tulemused olid vastuolulised ja füüsikaliselt arusaamatud. Nii leidis Levi-Civita aastatel 1935–37, et kaksiktähe massikese peaks liikuma kiirendusega. Veidi varem oli saadud koguni kaks korda suurem ja vastupidiselt suunatud kiirendus. Einstein töötas oma kaastööliste B. Hoffmanni ja L. Infeldiga (vt. § 2.1) välja sobiva lähendusmeetodi ja tuletas kahe keha liikumise võrrandid, mis arvestavad juba esimesi parandusliikmeid Newtoni teooriale – nn. postnjuutonilisi parandeid. Mahukas (36 lk.) artikkel „The gravitational equations and problems of motion“ („Gravitatsioonivälja võrrandid ja liikumise probleemid“) ilmus 1938. a. Kõiki arvutusi sisaldav täielik käsikiri (üle 200 lk.) jäi hoiule Princetoni fundamentaaluuringute instituuti. Käsitluse aluseks olid tühja ruumi võrrandid ja kasutati koordinaaditingimusi, mis eraldasid välja Minkowski meetrikaga koordinaadisüsteemid. Kehi vaadeldi taas gravitatsioonivälja kerasümmeetriliste singulaarsustena, kusjuures Einstein lootis nii käsitleda ka elementaarosakesi. Howard Percy Robertson (1903–61) integreeris saadud liikumisvõrrandid veel samal aastal ja näitas, et kaksiksüsteemi suhtelise liikumise orbiidi periaster liigub samuti nagu kergema keha – planeedi – periheel, kui tsentraalse keha mass võrdub kaksiksüsteemi masside summaga. Selle tulemuse oli 1937. a. saanud ka Levi-Civita, kuid nüüd saadud võrrandite kohaselt liikus massikese kiirenduseta.

Umbes samal ajal arendas Vladimir Fock (Владимир Александ-рович Фок, 1898–1974) Leningradis (nüüdne Peterburi) välja teistlaadse lähendusmeetodi liikumisvõrrandite tuletamiseks ja avaldas selle 1939. a. Tema lähtus mittehomogeensest võrrandist (7), kus mateeriatensor Tµν kirjeldab lõplike mõõtmetega kehade süsteemi. Sellega avanes täiendav võimalus analüüsida ka kehade struktuuri mõju liikumisele. Uuritava süsteemi kohta on tehtud astronoomiliselt mõistlikud eeldused: kehadevahelised kaugused on palju suuremad nende lineaarmõõtmetest ja need omakorda on palju suuremad kui Schwarzschildi raadius. Einsteini ja Focki käsitluste ühisjooneks on kõigi geomeetriliste ja füüsikaliste suuruste arendamine ritta valguse kiiruse pöördväärtuse c–1 astmete järgi.

Focki meetodis on keskne koht koordinaadisüsteemi valikul, nn. harmoonilised ehk de Donderi (1921) koordinaadid on fikseeritud mittekovariantse tingimusega

Kui ruum on lõpmatuses pseudoeukleidiline, siis on harmoonilised koordinaadid määratud Lorentzi teisenduste täpsusega. Lineariseeritud teoorias langeb Focki harmoonilisuse tingimus kokku koordinaaditingimusega, mida kasutas ka Einstein nii gravitatsioonilainete kui ka liikumisvõrrandite uurimisel. Põhimõtteline erinevus on selles, et Fock käsitles koordinaaditingimust teooria lahutamatu koostisosana, mistõttu teooria tervikuna kaotab üldkovariantsuse. Loomulikult oli Focki arvates väär ka nimetus üldrelatiivsusteooria, vastavat teooriat olnuks õigem nimetada relativistlikuks gravitatsiooniteooriaks. Oma vaadete edasiarendatud käsitluse esitas ta monograafias „Теория пространства, времени и тяготения“ („Ruumi, aja ja gravitatsiooni teooria“, 1955, II tr. 1961), mis ilmus 1959. a. inglis- ja 1960. a. saksakeelses tõlkes. Focki üldrelatiivsust eiravad vaated ei ole leidnud laiemat poolehoidu.

Oma artiklis (1939) tuletas Fock n-keha liikumise võrrandid Newtoni teooria lähenduses. Tema aspirant N. M. Petrova arvutas 1940. a. postnjuutonilised parandid liikumisvõrranditele, mis langesid loomulikult kokku Einsteini rühma tulemustega. Petrova artikkel ilmus 1949. a.

Ka Einstein jätkas koos Infeldiga tööd oma lahendusmeetodi täiustamisel: 1940. a. ilmunud käsitluses ei olnud tarvis enam koordinaaditingimust fikseerida, 1949. a. õnnestus tõestada, et arendatud meetodil on väljavõrrandid lahendatavad suvalises lähenduses. Achilles Papapetrou (1907–97) lihtsustas 1951. a. oluliselt Focki meetodit. Mõlema meetodi vormilise sünteesini jõudis 1954–57 Infeld, kes hakkas kasutama osakesi kui välja singulaarsusi kirjeldavat ja Diraci δ-funktsiooni abil moodustatud mateeriatensorit.