Sel ajal, kui Born ja Wiener üldistasid Ameerikas Cambridge’is maatriksmehaanikat ja viisid selle operaatorkujule, andis Paul Adrien Maurice Dirac (1902–84) Inglismaal Cambridge’is maatriksmehaanikale algebralise algoritmi vormi. Tema isa Charles Adrien Ladislas Dirac, andekas polüglott, oli pärit Šveitsist. Ta oli tulnud 1888. a. Inglismaale Bristolisse prantsuse keele õppejõuks ja abiellunud seal inglannaga. Paul Dirac oli lõpetanud 1921. a. Bristoli ülikooli elektriinsenerina. Eriala valikul oli ta jälginud vanema venna eeskuju, kuigi P. Diraci lemmikalaks oli matemaatika. Kuid talle näis, et ainsaks võimaluseks matemaatikuna elatist teenida on kooliõpetaja amet, mis teda sugugi ei köitnud. Leidmata nüüd sõjajärgse depressiooni tingimustes õpitud erialal tööd, jätkas ta õppemaksust vabastatuna meelsasti Bristolis matemaatikaõpinguid. 1923. a. sai ta kolmeaastase stipendiumi stažeerimiseks Cambridge’is, kus töötas Cavendishi laboratooriumis, peamiseks juhendajaks füüsikateoreetik Ralf Howard Fowler (1889–1944), kes tol ajal oli tuntud oma töödega termodünaamika ja statistilise mehaanika alalt. Aastatel 1924–25 avaldas Dirac pool tosinat lühemat uurimust, mille temaatika ulatus statistilisest mehaanikast ja relativistlikust dünaamikast Bohri kvantteooriani, ning õppis põhjalikult tundma klassikalise mehaanika Hamiltoni-Jacobi formalismi.

1925. a. septembri alguses sai ta Fowleri käest Heisenbergi artikli separaadi. Nagu ta hiljem (1962) meenutas, „ei leidnud ta selles esialgu midagi kasulikku“, kuid paar päeva hiljem „sai aru, et see annab võtme kvantmehaanika mõistmiseks“. Olles veendunud, et aatomifüüsikas on Hamiltoni mehaanika asendamatu, ei rahuldanud teda Heisenbergi käsitlus ja ta hakkas seda sobitama Hamiltoni formalismiga. Kõigepealt esitas ta Heisenbergi mehaanika alused algebralise algoritmina ja sai sel teel anda kõik kvantseosed ilma Heisenbergi korrutamisreeglit kasutamata. Fowler pidas saadud tulemusi oluliseks ja soovitas need kiiresti trükki saata. Nii alustas Dirac oma 7. novembril 1925 lõpetatud artikliga „The fundamental equations of quantum mechanics“ („Kvantmehaanika põhivõrrandid“) edasist edukat kvantteooriaalast tegevust. Artikkel ilmus Kuningliku Seltsi toimetiste („Proceedings of the Royal Society“) detsembrinumbris.

Kõigepealt on siin vaatluse all „üldine kvantoperatsioon d/dυ“ (tuletis antud suunas). Pidades oluliseks selle algebralisi omadusi (lineaarsust ja korrutise diferentseerimise eeskirja), on Heisenbergi reeglite abil näidatud, et see operatsioon kvantmuutuja x suhtes „seisneb selle (x) ja mõnesuguse teise kvantmuutuja (a) Heisenbergi korrutiste vahe konstrueerimises“, s.t.

Nii sai Diracil esmatähtsaks kvantobjektide, mida ta oma järgmises artiklis hakkas nimetama q-arvudeks (q(uantum) numbers), kommutatsioonieeskiri. Loomulikult rahuldab ka kommutaator (x, a) kummagi kvantmuutuja suhtes tuletise eespool mainitud omadusi. Tavalisi kommuteeruvaid objekte, milleks on ka maatrikselemendid xmn ja üleminekusagedused vmn, nimetab ta edaspidi c-arvudeks (c(lassical) numbers). Esiplaanile tõusid nüüd kommutaatori algebralised omadused: antikommuteeruvus (y, x) = − (x, y) ja Jacobi identsus ((x, y), z) + ((z, x), y) + ((y, z), x) = 0. Samade omadustega on ka klassikalise mehaanika koordinaatide ja impulsside funktsioonide x(q,p) ja y(q,p) Poissoni sulgavaldis

Kasutades nii seda algebralist analoogiat kui ka Bohri vastavuse printsiipi, näitas Dirac, et kehtib üldine vastavus

mis võimaldab kõik klassikalise Hamiltoni mehaanika võrrandid automaatselt kvantteooriasse üle kanda. Seega kehtib suvalise q-arvu f(q,p) korral võrrand

kus H(q, p) on süsteemi hamiltoniaan. Vastavuse (15) erijuhuks on loomulikult ka maatriksmehaanika põhiline kvanttingimus (6), aga ka teised maatriksmehaanika tuntud reeglid: koordinaadid nagu ka impulsid kommuteeruvad omavahel ja iga koordinaat kommuteerub mistahes teisele koordinaadile vastava impulsiga.

Muide, selles artiklis tähistas Dirac kirjapildi lihtsustamiseks tähega h „tavalist Plancki konstanti, mis jagatud suurusega 2π". Hiljem hakati kasutama tähistust ħ = h/2π .

Kaks ja pool kuud hiljem, 22. jaanuaril 1926 avaldamiseks esitatud artiklis „Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom“ („Kvantmehaanika ja vesiniku aatomi esialgne uurimine“) on lisaks pealkirjas märgitud vesiniku aatomi ülesandele visandatud kvantmehaanika postulatiivne skeem. Kõigepealt tuleb formuleerida q-arvudega opereerimise reeglid ja üldised seadused, „ehkki praegusel hetkel ei ole q-arve võimalik näitlikult tõlgendada“. Teooria võrdlemiseks eksperimendiga tuleb q-arvude põhjal määrata vastav kompleks c-arve. Dirac märkis, et tuntud tehnika, mis kasutab Heisenbergi kogumeid (ta ei nimeta neid siin veel maatriksiteks), eeldab vajalike perioodilisuse tingimuste kehtivust. Teiselt poolt on ta veendunud, et „q-arvul on mõte ja rakendus ka siis, kui see ei ole paljuperioodiline, kuigi sel juhul me ei suuda seda praegu esitada c-arvude kaudu“. Nii jõudis Dirac siin sama probleemi juurde, mis oli vaevanud ka Borni ja millele too koos Wieneriga oli lahenduse leidnud.

Tuleb märkida, et vesiniku aatomi maatriksmehaanilist käsitlust ei õnnestunud Bornil esitada, kuid pisut varem Diracist oli seda teinud temast sõltumatult Pauli. Pauli oli lahendanud vesiniku aatomi ülesande ristsihiliste välise elektri- ja magnetvälja korral ning saanud nii energianivoode lõhenemise, mis Bohri teoorias oli kaasa toonud suuri probleeme.