Elektroni lainepikkus

Laineid iseloomustab lainepikkus $λ$ . Kuidas määrata elektroni leiulaine pikkust?

Optikas arvutasime footoni massi, rakendades relatiivsusteooriast tulenevat üldkehtivat seost energia $E$ ja massi $m$ vahel:

E = m c^{2}

Teiselt poolt, footoni energia $E = h f$ , kus h on Plancki konstant ja $f$ valguse võnkesagedus. Seega

m c^{2} = h f

ehk

m = \frac{h f}{c^{2}}

Kuna $f = c / λ$ , siis

m = \frac{h c}{c^{2} λ} = \frac{h}{c λ}

Siit

λ = \frac{h}{m c}

Footoni massi ja kiiruse korrutis $m c$ on tema impulss $p$ . Niisiis

λ = \frac{h}{p}

Oletame, et sama seos kehtib ka seisumassiga osakeste, sh. elektroni kohta. Siis on impulss $p = m v$ , kus $v$ on osakese kiirus, ja

(4.1)

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

See de Broglie’ tuletatud valem on üks olulisemaid mikrofüüsikas. Valemist (4.1 ) määratud lainepikkust nimetatakse ka de Broglie’ lainepikkuseks ning vabalt liikuvate osakeste leiulaineid – de Broglie’ laineteks.

Leida elektrivälja potentsiaalide vahet $100 V$ läbinud elektroni leiulaine pikkus.

Lahendus

Andmed

$U = 100 V$
$m = 9, 1 \cdot 10^{- 31} kg$
$h = 6, 6 \cdot 10^{- 34} J \cdot s - ------------------- -$
$λ - ?$

Arvutused

Lainepikkuse leiame de Broglie’ valemist

λ = \frac{h}{p}

Elektroni impulsi $p$ arvutame tema kineetilise energia $E_{k}$ kaudu. Et

E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{p^{2}}{2 m}

siis

p = \sqrt{2 m E_{k}}

λ = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}}

Läbinud väljapinge $U$ volti, saab elektron kineetilise energia $U$ elektronvolti, kusjuures teame, et $1 e V = 1, 60 \cdot 10^{- 19} J$ , seega

E_{k} = 100 e V = 1, 6 \cdot 10^{- 17} J

Nii et

λ = \frac{6, 6 \cdot 10^{- 34} J \cdot s}{\sqrt{2 \cdot 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 17} J}} = 1, 22 \cdot 10^{- 10} m \sim 0, 12 n m - ------- - - ------- -

Vastus. $100$ -voldise pingega kiirendatud elektronide lainepikkus $λ = 1, 2 \cdot 10^{- 10} m = 0, 12 n m$ . Tegemist on röntgenkiirgusega. Õppuri kontrollida jäägu, et

\frac{J \cdot s}{\sqrt{k g \cdot J}} = m

Millise lainepikkusega ( $λ_{e}$ ) elektronid tekitavad röntgenkiirguse, mille lühim lainepikkus $λ_{r}$ on $0, 05 nm$ ?

Lahendus

Andmed

$λ_{r} = 0, 05 μ m = 5 \cdot 10^{- 11} m$
$h = 6, 6 \cdot 10^{- 34} J \cdot s$
$m = 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g$
$c = 3 \cdot 10^{8} m / s - -------------- -$
$λ_{e} - ?$

Arvutused

Röntgentorus kiirendatakse hõõgkatoodist kiirguvaid elektrone kõrgpingeväljas. Põrkudes vastu anoodi, elektronid aeglustuvad järsult ja nende kineetiline energia muundub röntgenkiirguse footonite energiaks: laengute kiirendatud liikumisel (aeglustus on negatiivne kiirendus!) tekib alati elektromagnetkiirgus, röntgenkiirgus ongi väga lühilaineline elektromagnetkiirgus.

Energia jäävuse tõttu ei saa suurima energiaga (kõige lühilainelisemate) röntgenkiirguse footonite energia $E_{max}^{f}$ ületada neid tekitanud elektronide energiat $E_{max}^{e}$ (NB: $e$ , $f$ pole siin astmenäitajad, vaid ülaindeksid):

E_{max}^{f} = E_{max}^{e}

Footoni maksimaalne energia avaldub kui

E_{max}^{f} = h f = h \cdot \frac{c}{λ_{r}}

Elektroni maksimaalne energia avaldub kui

E_{max}^{e} = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{p^{2}}{2 m}

Nii et

p = \sqrt{2 m E_{max}}

Maksimaalse energiaga elektroni energia avaldub seega kujul

λ_{e} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{max}}} = \frac{h}{\sqrt{2 m \frac{h c}{λ_{r}}}} = \sqrt{\frac{h λ_{r}}{2 m c}}

Arvutades saame

λ_{e} = \sqrt{\frac{6, 6 \cdot 10^{- 34} J \cdot s \cdot 5 \cdot 10^{- 11}}{2 \cdot 9, 1 \cdot 10^{- 31} k g \cdot 3 \cdot 10^{8} m / s}} = 6 \cdot 10^{- 12} m = 0, 006 n m - -------- - - -------- -

Vastus. Et tekitada röntgenkiirgust minimaalse lainepikkusega $0, 05 n m$ , peab elektronide lainepikkus olema $0, 006 n m$ e. $λ_{e} \approx 0, 1 λ_{r}$ .

Üldiselt võime kasutada lihtsat ligikaudset seost: kui elektron on kiirendatud pingega $U$ volti, on tema lainepikkus

λ = \frac{1, 2 \cdot 10^{- 9}}{\sqrt{U}} m

ehk

λ = \frac{1, 2}{\sqrt{U}} n m

Kuidas kontrollida valemi (4.1 ) kehtivust ja tehtud arvutuste õigsust katsetega? Selleks tuleb mõõta erinevate kiirustega ja massidega mikroosakeste lainete pikkust. Optikast saime teada, et valguse lainepikkust mõõdetakse difraktsioonivõre abil. Võre kallutab teda läbinud kiirt algsuunast kõrvale nurga $α$ võrra, kusjuures $sin α \sim λ / d$ , $d$ on võrekonstant. Seejuures kehtib väiksuse nõue: kaldunud kiiri saab eristada ainult siis, kui võrekonstant ei ületa liialt lainepikkust. Õnneks pakub loodus ise sobivaid võresid ülilühikeste leiulainete mõõtmiseks: need on aatomite korrapärased mikrovõrestikud – kristallid. Kõik erineva kiiruse ja erineva massiga osakeste difraktsiooni uuringud kristallivõrede abil on kinnitanud seose $λ = h / m v$ kehtivust. (Täpsustame: kui $v$ läheneb valguse kiirusele – muidugi selleni eales jõudmata – tuleb kasutada keerukamaid valemeid.)

Valemi (4.1 ) saime esialgu footoni jaoks, samastades $λ$ footonile vastava valguslaine pikkusega. Kuna selgus, et see valem määrab mistahes osakeste leiulaine pikkuse, võime järeldada, et footoni leiulaineks ongi valguslaine, elektromagnetlaine.

Näidisülesanne 1-1

Näidisülesanne 1-2