Massikese ja liikumishulk

Füüsiku pilguga

Lumelammaste (Ovis canadensis) isasloomad võitlevad omavahel, et pälvida emasloomade tähelepanu. Kaks jäära jooksevad täiskiirusel teineteisele vastu nii, et nende hiigelsarved kokku põrkavad. See kordub seni, kuni üks alla annab. Kokkupõrge võib loomale kalliks maksma minna, kuna sarve purunemisel viib järgmine kokkupõrge tõsiste vigastuste või isegi surmani. Aga isegi siis, kui sarved vastu peavad, peaksid nad pärast kokkupõrget ajupõrutuse tõttu teadvusetult maha langema. Kuidas suudavad pusklevad jäärad taluda niivõrd tugevaid kokkupõrkeid?

Kui mehaanikainsener kutsutakse eksperdiks liiklusõnnetuse põhjuste selgitamisel, tuleb tal kasutada füüsikat. Balletikooli treener, kes õpetab hüpete korrektset sooritamist, kasutab füüsikat. Keeruliste liikumiste uurimisel tuleb teha lihtsustusi, mis eeldavad füüsika tundmist. Selles peatükis vaatame, kuidas keeruliste süsteemide nagu auto või baleriini liikumisi saab lihtsustada, määratledes süsteemis erilise punkti, mida nimetatakse selle süsteemi massikeskmeks.

Siin on üks näide. Kui viskate üles palli (joonis 9-1a) seda pöörlema panemata, on liikumine lihtne – pall liigub piki parabooli, nagu me leidsime neljandas peatükis, kus palli käsitleti punktmassina. Kui aga visata üles pesapallikurikas (joonis 9-1b), on selle liikumine keerulisem. Kuna kurika iga osa liigub erinevalt ja piki vägagi erineva kujuga trajektoore, ei saa me teda käsitleda kui punktmassi. Seega on meil tegu punktmasside süsteemiga, kus igaüks neist liigub iseenda teed pidi. Sellel kurikal on aga üks eriline punkt – tema massikese, mis ikkagi liigub lihtsal paraboolsel trajektooril. Kurika ülejäänud punktid liiguvad ümber selle punkti. (Et määrata massikeskme asukoht, pange kurikas väljasirutatud sõrme peal tasakaalu; sõrme kohale jääv kurika sümmeetriateljel asuv punkt ongi tema massikese.)


JOONIS 9-1 a Õhku visatud pall liigub piki paraboolset trajektoori.	JOONIS 9-1 b Pesapallikurika massikese (must punkt) liigub pärast kurika õhkuheitmist piki parabooli, kõigi kurika ülejäänud punktide liikumisteed on keerulisema kõvera kujuga.

Pesapallikurika pildumisega te elus edu ei saavuta. Küll aga võite te olla edukas, kui oskate öelda kaugushüppajale või tantsijale, kuidas end õigesti õhku tõugata, kuidas hoida käsi ja jalgu ning millal ja kuidas pöörata oma keha. Ja lähtepunktiks on alati inimese massikese, kuna selle liikumine on kõige lihtsam.

Massikese

Me defineerime punktmasside süsteemi (näiteks inimese) massikeskme selleks, et saaks ennustada süsteemi liikumist.

Punktmasside süsteemi massikeskmeks on punkt, mis liigub nii, nagu (1) sellesse punkti oleks koondunud kogu süsteemi mass ja (2) sellesse punkti oleks rakendatud kõik süsteemile mõjuvad välisjõud.

Kõigepealt vaatleme, kuidas leida punktmasside süsteemi massikeset. Alustame vähesest arvust punktmassidest koosnevatest süsteemidest ning jõuame väga suurest hulgast punktidest koosnevateni, nagu seda on jäigad kehad (näiteks pesapallikurikas). Seejärel uurime, kuidas liigub massikese süsteemile mõjuvate välisjõudude toimel.

Punktmasside süsteemid

JOONIS 9-2 (a) Kaks punktmassi, $m_{1}$ ja $m_{2}$ , asuvad teineteisest kaugusel d. Punane punkt näitab, kus asub valemi 9-1 abil arvutatud massikese. (b) Sama mis (a), välja arvatud asjaolu, et koordinaatide algus on viidud punktmassidest kaugemale. Massikeskme asukoht on nüüd arvutatud valemiga 9-2. Massikeskme asukoht punktmasside suhtes on mõlemal korral sama.

Joonis 9-2a kujutab kahte punktmassi massidega $m_{1}$ ja $m_{2}$ , mis asuvad teineteisest kaugusel $d$ . Oleme võtnud süsteemi ühe punkti $m_{1}$ asukohaks koordinaatide alguspunkti ja punkte ühendavaks jooneks $x$ -telje. Sellise kahest punktmassist koosneva süsteemi massikeskmeks defineerime punkti

(9-1)

x_{mk} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} d

Oletame näiteks, et $m_{2} = 0$ . Siis jääb süsteemi vaid üks punktmass ja selle asukoht ongi massikese. Seega $x_{mk} = 0$ , nagu see tuleneb valemist 9-1. Kui $m_{1} = 0$ , on süsteemis jällegi üks punktmass ja, nagu võiski arvata, on massikeskmeks $x_{mk} = d$ . Kui $m_{1} = m_{2}$ , asub massikese täpselt punktmasside vahel ja valem 9-1 annab selle asukohaks tõesti $x_{mk} = \frac{1}{2} d$ . Ja lõpuks, juhul kui me ei tea masside $m_{1}$ ja $m_{2}$ väärtusi, võib $x_{mk}$ väärtus olla vahemikus null kuni $d$ , teiste sõnadega peab massikese asuma kusagil nende punktmasside vahel.

Joonisel 9-2b näeme veel üldisemat juhtu, kus koordinaatide alguspunkt on nihutatud vasakule. Nüüd defineerime massikeskme asukoha:

(9-2)

\begin{matrix} x_{mk} & = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} . . . m_{n} x_{n}}{M} = \frac{1}{M} n \sum i = 1 m_{i} x_{i} \end{matrix}

Pange tähele, et kui võtame $x_{1} = 0$ , siis $x_{2}$ saab väärtuseks $d$ ning valem 9-2 taandub valemiks 9-1 nii, nagu see peabki olema; samuti seda, et vaatamata koordinaatide muutumisele jääb massikeskme kaugus mõlemast punktmassist endiseks.

Valemi 9-2 võime kirjutada kujul

(9-3)

x_{mk} = \frac{m_{1} x + m_{2} x_{2}}{M}

kus M on süsteemi kogumass ( $M = m_{1} + m_{2}$ ). Me võime valemi üldistada juhule, kus piki $x$ -telge paikneb $n$ punktmassi. Siis on süsteemi kogumass $M = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ ja massikeskme asukohaks on

(9-4)

\begin{matrix} x_{mk} & = \frac{m_{1} x + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} + . . . + m_{n} x_{n}}{M} = \frac{1}{M} n \sum i = 1 m_{i} x_{i} \end{matrix}

Alumine indeks $i$ võib omada täisarvulisi väärtusi $1$ kuni $n$ .
Kui punktmassid paiknevad kolmemõõtmelises ruumis, saab süsteemi massikeskme asukohta väljendada kolme koordinaadiga. Need koordinaadid leiame, üldistades valemit 9-4:

(9-5)

x_{mk} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}, y_{mk} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}, z_{mk} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i}

Massikeskme asukohta saab määratleda ka vektorite abil. Kõigepealt tuletame meelde, et punktmassi asukohta väljendavaid koordinaate $x_{i}$ , $y_{i}$ ja $z_{i}$ saab esitada kohavektorina

(9-6)

{\to r}_{mk} = x_{i}^i + y_{i}^j z_{i}^k

Siin alumine indeks $i$ on punktmassi number, vektorid $^i$ , $^j$ ja $^k$ aga on vastavalt telgede $x$ , $y$ ja $z$ positiivsesse suunda osutavad ühikvektorid. Punktmasside süsteemi massikeskme kohavektori võime kirjutada samal kombel:

(9-7)

{\to r}_{mk} = x_{mk}^i + y_{mk}^j + z_{mk}^k

Valemi 9-5 kolme skalaarset võrrandit esitab nüüd üksainus vektorvõrrand

(9-8)

{\to r}_{mk} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\to r}_{i}

kus $M$ on jällegi süsteemi kogumass. Te võite seda kontrollida, asendades sellesse valemid 9-6 ja 9-7 ning leides $x$ -, $y$ - ja $z$ -komponendid. Tulemuseks ongi skalaarsed võrrandid 9-5.

Jäigad kehad

Tavalised kehad, nagu näiteks pesapallikurikas, sisaldavad nii palju osakesi (aatomeid), et neid on parem käsitleda kui ühtlase ainejaotusega ruumilisi objekte. Sellisel juhul me vaatleme punktmassina käsitletavaid osakesi kui massielemente $d m$ , valemiga 9-5 esitatud summa läheb üle integraaliks ning massikeskme koordinaadid defineeritakse kui

(9-9)

x_{mk} = \frac{1}{M} \int x d m, y_{mk} = \frac{1}{M} \int y d m, z_{mk} = \frac{1}{M} \int z d m

kus $M$ tähistab nüüd vaadeldava keha massi.

Et enamiku igapäevaelust tuntud kehade (nagu lehm või televiisor) jaoks on sellise integraali leidmine keeruline, räägime siin ainult homogeensetest kehadest. Sellised kehad on ühtlase tihedusega (tihedus väljendab ruumalaühiku massi), see tähendab, nende tihedus $ρ$ (kreeka täht roo) on ühesugune selle keha kõigi ruumielementide jaoks. Valemist 1-8 võime kirjutada

(9-10)

ρ = \frac{d m}{d V} = \frac{M}{V}

kus $d V$ on massielemendile dm vastav ruumala ning $V$ on keha koguruumala. Asendades $d m = (M / V) d V$ valemist 9-10 valemisse 9-9, saame

(9-11)

x_{mk} = \frac{1}{V} \int x d V, y_{mk} = \frac{1}{V} \int y d V, z_{mk} = \frac{1}{V} \int z d V

Te pääsete ühe või enama integraali võtmisest juhul, kui uuritav keha on sümmeetriline mingi punkti, sirge või tasandi suhtes. Sel juhul asub massikese selles punktis, joonel või tasandil. Näiteks ühtlase tihedusega kera (millel on sümmeetriakese) massikese on kera keskpunktis (mis ongi kera sümmeetriakeskmeks). Ühtlase tihedusega koonuse (mille telg on tema sümmeetriateljeks) massikese asub koonuse teljel. Banaan on sümmeetriline tasandi suhtes (see tasand jagab banaani kaheks täpselt ühesuguseks osaks) ja tema massikese asub kusagil sellel tasandil.

Keha massikese ei pea ilmtingimata asuma selle keha sisemuses. Rõngassaia massikeskmes saia ei ole, ei ole ka teragi rauda hobuseraua massikeskmes.

Joonisel on kujutatud ühtlase tihedusega ruudukujuline plaat, mille nurkadest on välja lõigatud neli täpselt ühesugust ruudukujulist tükki. (a) Kus oli plaadi massikese enne lõikamist? Kus on ta siis, kui välja on lõigatud (b) tükk nr

1

; (c) tükid

1

ja

2

; (d) tükid

1

ja

3

; (e) tükid

1

,

2

ja

3

ning (f) kõik neli tükki? Vastamisel kasutage mõisteid nagu kvadrant, telg või punkt (arvutusi pole vaja teha).

Kolm punktmassi

m_{1} = 1, 2 k g

,

m_{2} = 2, 5 k g

ja

m_{3} = 3, 4 k g

moodustavad võrdkülgse kolmnurga küljepikkusega

a = 140 c m

. Kus asub selle süsteemi massikese?

Lahendus

JOONIS 9-3 Kolm punktmassi moodustavad võrdkülgse kolmnurga, mille külje pikkus on $a$ . Süsteemi massikeskme kohavektor on ${\to r}_{m k}$ .

JUHTMÕTE Et tegu on punktmasside, mitte aga ruumilise tahke kehaga, siis tuleb massikeskme asukoha leidmiseks kasutada valemit 9-5. Et kõik punktmassid asuvad kolmnurgaga määratud tasandis, siis on meil vaja ainult kahte esimest võrrandit.

Arvutused: Arvutusi saab lihtsustada, valides $x$ - ja $y$ -teljed nii, et üks punktmassidest asub koordinaatide alguspunktis ning $x$ -telg ühtib kolmnurga ühe küljega (joonis 9-3). Punktmasside koordinaadid on sel juhul

Punktmassi number	Mass ( $k g$ )	$x$ ( $c m$ )	$y$ ( $c m$ )
$1$	$1, 2$	$0$	$0$
$2$	$2, 5$	$140$	$0$
$3$	$3, 4$	$70$	$120$

Süsteemi kogumass $M$ on $7, 1 k g$ .

Valemi 9-5 abil leiame masskeskme koordinaadid

\begin{matrix} x_{mk} & = \frac{1}{M} 3 \sum i = 1 = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}{M} = \frac{(1, 2 k g) (0) + (2, 5 k g) (140 c m) + (3, 4 k g) (70 c m)}{7, 1 k g} = 83 c m \end{matrix}

ja

\begin{matrix} y_{mk} & = \frac{1}{M} 3 \sum i = 1 = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3}}{M} = \frac{(1, 2 k g) (0) + (2, 5 k g) (0) + (3, 4 k g) (120 c m)}{7, 1 k g} = 58 c m \end{matrix}

Joonisel 9-3 osutab massikeskmesse kohavektor $r_{mk}$ komponentidega on $x_{mk}$ ja $y_{mk}$ .

Joonisel 9-4a on kujutatud ühtlase paksusega metallplaat

P

, mille raadius on

2 R

ja millest on välja lõigatud ringikujuline tükk raadiusega

R

. Kasutades joonisel toodud

x y

-koordinaate, leidke plaadi massikeskme

m k_{P}

asukoht.

Lahendus

JOONIS 9-4 (a) Plaat $P$ on ringikujuline metallplaat raadiusega $2 R$ , milles on ringikujuline auk raadiusega $R$ . Selle plaadi massikese asub punktis $m k_{P}$ . (b) Ketas $S$ on pandud tagasi oma kohale nii, et tekiks liitplaat $C$ . Ketta $S$ massikese $m k_{S}$ ja plaadi $C$ massikese $m k_{C}$ on joonisel näidatud. (c) Plaatidest $S$ ja $P$ koosneva liitplaadi massikese $m k_{S + P}$ langeb ühte $m k_{C}$ -ga, mis asub punktis $x = 0$ .

JUHTMÕTTED (1) Püüame kõigepealt hinnata massikeskme $m k_{P}$ ligikaudset asukohta, lähtudes plaadi sümmeetriast. Näeme, et plaat on sümmeetriline $x$ -telje suhtes (kui plaati pöörata ümber $x$ -telje nii, et alumine ja ülemine pool vahetavad kohad, siis pilt ei muutu). Järelikult asub $m k_{P}$ $x$ -teljel. Plaat ei ole aga sümmeetriline $y$ -telje suhtes, kuna vasakust poolest on tükk välja lõigatud. Kuna paremal pool telge on massi rohkem, peab ka $m k_{P}$ olema nihutatud $y$ -teljest paremale. Seega võime $m k_{P}$ umbkaudse asukoha märkida nii, nagu on joonisel 9-4a.

(2) Plaat on ruumiline jäik keha, järelikult tuleb $m k_{P}$ koordinaatide leidmiseks kasutada valemeid 9-11. See arvutus on otse üsna keeruline. On olemas lihtsam tee: lähtuda massikeskme leidmisel toimivast võttest, kus keha mass on koondatakse tema massikeskmesse.

Arvutused: Kõigepealt paneme väljalõigatud tüki (olgu see plaat $S$ ) tagasi oma kohale (joonis 9-4b), saades nii liitketta (olgu see plaat $C$ ). Kuna ketas $S$ on sümmeetriline oma keskpunkti suhtes, asub tema massikese $m k_{S}$ ta keskpunktis asukohaga $x = - R$ (nagu on näidatud joonisel). Samamoodi saame, et liitketta $C$ massikese $m k_{C}$ asub tema keskmes, järelikult koordinaatide alguspunktis. Nii saame, et

Plaat	Massikese	Massikeskme asukoht	Mass
$P$	$m k_{P}$	$x_{P} = ?$	$m_{P}$
$S$	$m k_{S}$	$x_{S} = - R$	$m_{S}$
$C$	$m k_{C}$	$x_{C} = 0$	$m_{C} = m_{S} + m_{P}$

Kujutleme, et ketta $S$ mass $m_{S}$ on koondatud punktmassiks asukohaga $x_{S} = - R$ ja mass $m_{P}$ on koondatud punktmassiks asukohaga $x_{P}$ (joonis 9-4c). Oletame, et need kaks punktmassi moodustavad süsteemi, mille massikeskme asukoht $x_{S + P}$ on leitav valemiga 9-2. Saame:

x_{S + P} = \frac{m_{S} x_{S} + m_{P} x_{P}}{m_{S} + m_{P}}

Plaadi $S$ ja plaadi $P$ kokkupanemisel saame plaadi $C$ . Järelikult peab liitplaadi massikese $m k_{S + P}$ massikeskme asukoht $x_{S + P}$ langema ühte plaadi $C$ massikeskmega $m k_{C}$ , mis aga asub koordinaatide alguspunktis; seega $x_{S + P} = x_{C} = 0$ . Kui paneme selle võrduse valemisse 9-12 ja lahendame saadud võrrandi $x_{P}$ suhtes, saame

x_{P} = - x_{S} \frac{m_{S}}{m_{P}}

Masside suhte saame leida plaatide $S$ ja $P$ pindalade abil, kuna

\begin{matrix} mass & = tihedus \times ruumala = tihedus \times paksus \times pindala \end{matrix}

Seega

\frac{m_{S}}{m_{P}} = \frac{{tihedus}_{S}}{{tihedus}_{P}} \times \frac{{paksus}_{S}}{{paksus}_{P}} \times \frac{{pndala}_{S}}{{pindala}_{P}}

Kuivõrd plaat on ühtlane, siis kõigi osade tihedused ja paksused on ühesugused ja nii jääb meil järgi vaid

\frac{m_{S}}{m_{P}} = \frac{{pindala}_{S}}{{pindala}_{P}} = \frac{{pindala}_{S}}{{pindala}_{C} - {pindala}_{S}} = \frac{π R^{2}}{π (2 R)^{2} - π R^{2}} = \frac{1}{3}

Asendades selle ning $x_{S} = - R$ valemisse 9-13, leiame

x_{P} = \frac{1}{3} R - -- - - -- -

Ülesannete lahendamise juhised

Ülesanded massikeskmega Näidisülesannetes 9-1 ja 9-2 esitasime kolm põhilist massikeskme ülesannete lahendamise võtet. (1) Kasutage maksimaalselt keha sümmeetriaomadusi, olgu see siis sümmeetria punkti, telje või tasandi suhtes. (2) Kui on võimalik keha jagada osadeks, siis käsitlege igaüht neist kui punktmassi asukohaga selle osa massikeskmes. (3) Koordinaate valige targalt: kui süsteem koosneb punktmassidest, pange üks neist koordinaatide alguspunkti. Kui keha on telgsümmeetriaga, pange x- või y-telg piki seda telge. Koordinaatide alguspunkti valik on täiesti meelevaldne, kuna massikeskme asukoht sellest ei sõltu.

Newtoni teine seadus punktmasside süsteemi korral

Nüüd, kus me teame, kuidas määrata punktmasside süsteemi massikeskme asukohta, võime uurida seda, kuidas liigub massikese süsteemile mõjuvate jõudude toimel. Alustame lihtsa süsteemiga, mis koosneb kahest piljardikuulist.

Kui te lööte valge piljardikuuli vastu paigalseisvat kuuli, siis on ju loomulik, et see kahest kuulist koosnev süsteem liigub edasisuunas ka pärast kuulide põrget. Te oleksite väga imestunud, kui mõlemad kuulid hakkaks veerema tagasi teie poole või veereksid koos kas paremale või vasakule poole.

See, mis jätkab liikumist löögi suunas ja mille liikumine põrkegi tõttu üldse ei muutu, on kahest kuulist koosneva süsteemi massikese. Kui te jälgite seda punkti – mis on alati täpselt keskel nende kahe kuuli vahel, kui kuulid on ühesuguste massidega – siis võite selles veenduda piljardilaual toimuvat jälgides. Pole oluline, kas löödud kuul tabab paigalseisvat riivamisi, otse keskele või kuhugi vahepeale, massikese jätkab liikumist otsesuunas nii, nagu poleks põrget olnudki. Uurime seda massikeskme liikumist põhjalikumalt.

Selleks asendame piljardikuulide paari $n$ punktmassist koostatud süsteemiga. (Punktmasside massid ei pruugi olla samad.) Meid ei huvita, kuidas igaüks neist liigub, meid huvitab ainult see, kuidas liigub massikese. Ehkki tegu on vaid mõttelise punktiga, peab see liikuma nii, nagu oleks kogu süsteemi mass koondatud sellesse punkti; me saame igal ajal määrata selle punkti asukohta, kiirust ja kiirendust. Me väidame (ja seejärel tõestame), et sellise punktmasside süsteemi massikeskme liikumise vektorvõrrand on

(punktmasside süsteemi jaoks, 9-14)

{\to F}_{res} = M {\to a}_{mk}

See ongi Newtoni teine seadus punktmasside süsteemi massikeskme liikumise kohta. Märgime, et tema matemaatiline vorm on täpselt sama ( ${\to F}_{res} = m a$ ) kui ühe punktmassi korral. Siiski tuleb selles valemis olevaid kolme suurust väga hoolikalt määratleda.

( ${\to F}_{res}$ on kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude resultant. Jõud, millega üks süsteemi kuuluv punktmass mõjutab teist omasugust (süsteemi sisejõud) siin arvesse ei tule.
$M$ on süsteemi kogumass. Me eeldame, et süsteemist ei lahku ega tule juurde mitte mingit massi, nii et kogumass on konstantne. Sellist süsteemi nimetatakse suletud süsteemiks.
${\to a}_{mk}$ on süsteemi massikeskme kiirendus. Valem 9-14 ei anna meile mitte mingit teavet ükskõik millise sellesse süsteemi kuuluva punktmassi liikumise kohta.

Valem 9-14 on samaväärne kolme võrrandiga, mis seovad vektorite ${\to F}_{res}$ ja ${\to a}_{mk}$ koordinaattelgede suunalisi komponente. Need võrrandid on:

(9-15)

F_{res, x} = M a_{mk, x}, F_{res, y} = M a_{mk, y}, F_{res, z} = M a_{mk, z}

Tuleme nüüd tagasi oma ülesande juurde ja uurime piljardikuulide liikumist. Hetkest, kus kiilöök paneb ühe kuuli liikuma, ei mõju meie (kahest kuulist koosnevale) süsteemile enam ükski välisjõud. Seega, kuna ${\to F}_{res} = 0$ , annab valem 9-14, et ka ${\to a}_{mk} = 0$ . Kuna kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus, võime järeldada, et kahest piljardikuulist koosneva süsteemi massikeskme kiirus ei muutu. Kui kaks kuuli põrkuvad, tulevad mängu sisejõud, millega üks kuul mõjutab teist kuuli. Need jõud ei tule arvesse ${\to F}_{res} = 0$ arvutamisel ja see jääb endiselt nulliks. Seetõttu peab süsteemi massikese, mis liikus otse edasi enne põrget, jätkama samasugust liikumist ka pärast põrget, sama kiirusega ja samas suunas.

Valem 9-14 kehtib mitte üksnes punktmasside süsteemi kohta, vaid ka jäikade kehade korral nagu joonisel 9-1b toodud pesapallikurikas. Valemis 9-14 on siis $M$ kurika mass ja ${\to F}_{res} = 0$ kurikale mõjuv gravitatsioonijõud, mis annab ${\to a}_{mk} = \to g$ . Teiste sõnadega, kurikas liigub nii, nagu oleks ta üksainus punktmass massiga $M$ , millele mõjub jõud ${\to F}_{g}$ .

JOONIS 9-5 Ilutulestikurakett plahvatab lennu ajal. Kui õhutakistus puuduks, jätkaks tekkinud kildude massikese liikumist esialgset paraboolset teed pidi seni, kuni killud hakkavad maapinnale jõudma.

Joonis 9-5 kujutab veel üht huvitavat juhtu. Ilutulestiku ajal lendu saadetud rakett liigub piki parabooli. Selle mingis punktis ta plahvatab. Kui plahvatust poleks olnud, oleks rakett jätkanud oma teed piki joonisel kujutatud trajektoori. Plahvatusel tekkinud jõud on süsteemi suhtes sisejõud (algul oli süsteemiks rakett, pärast moodustavad süsteemi selle killud); see tähendab, et need on jõud, millega süsteemi osad mõjutavad teisi süsteemi osi. Kui õhutakistust mitte arvestada, on ainsaks süsteemile mõjuvaks välisjõuks ${\to F}_{res}$ endiselt gravitatsioonijõud, vaatamata sellele, et rakett on vahepeal purunenud. Seega valemi 9-14 kohaselt jääb süsteemi massikeskme kiirendus ${\to a}_{mk}$ endiselt võrdseks $\to g$ -ga. Järelikult jätkab raketikildude massikese liikumist samal trajektooril, millel oleks liikunud rakett siis, kui plahvatust poleks toimunud.

JOONIS 9-6 Grand jeté. (Kenneth Lawsi raamatust „The Physics of Dance”, Schirmer Books, 1984.)

Kui baleriin sooritab hüpet grand jeté, tõstab ta oma käed ja sirutab jalad välja horisontaalasendisse niipea, kui jalad on põrandalt lahti kerkinud (joonis 9-6). Selle liigutusega nihutab ta oma keha massikeset ülespoole. Kuigi ülesnihutatud massikese jätkab endiselt liikumist paraboolsel trajektooril, vähendab massikeskme liikumine keha suhtes pea ja ülakeha kõrgust tavalise hüppega võrreldes. Tulemuseks on see, et pea ja ülakeha liiguvad peaaegu horisontaaljoont pidi, luues sellega illusiooni, nagu hõljuks baleriin lava kohal.

Valemi 9-14 tõestus

Tõestame nüüd selle tähtsa valemi kehtivuse matemaatiliselt. Valemist 9-8 saame $n$ punktmassist koosneva süsteemi jaoks

(9-16)

M {\to r}_{mk} = m_{1} {\to r}_{1} + m_{2} {\to r}_{2} + m_{3} {\to r}_{3} + . . . + m_{n} {\to r}_{n}

kus $M$ on süsteemi kogumass ja ${\to r}_{mk}$ on selle süsteemi massikeskme kohavektor.

Võttes valemist 9-16 tuletise aja järgi, saame

(9-17)

M {\to v}_{mk} = m_{1} {\to v}_{1} + m_{2} {\to v}_{2} + m_{3} {\to v}_{3} + . . . + m_{n} {\to v}_{n}

Siin ${\to v}_{i}$ ( $= d {\to r}_{i} / d t$ ) on $i$ -nda punktmassi kiirus ja ${\to v}_{mk}$ ( $= d {\to r}_{mk} / d t$ ) on süsteemi massikeskme kiirus.

Võttes valemist 9-17 tuletise aja järgi, saame

(9-18)

M {\to a}_{mk} = m_{1} {\to a}_{1} + m_{2} {\to a}_{2} + m_{3} {\to a}_{3} + . . . + m_{n} {\to a}_{n}

Siin ${\to a}_{i}$ ( $= d {\to v}_{i} / d t$ ) on $i$ -nda punktmassi kiirendus ja ${\to a}_{mk}$ ( $= d {\to v}_{mk} / d t$ ) on massikeskme kiirendus. Kuigi massikese on kõigest geomeetriline punkt, on tal asukoht, kiirus ja kiirendus täpselt nagu punktmassilgi.

Newtoni teise seaduse kohaselt võrdub $m_{i} {\to a}_{i}$ $i$ -ndale punktmassile mõjuva resultantjõuga ${\to F}_{i}$ . Seega võime valemi 9-18 kirjutada kujul

(9-19)

M {\to a}_{mk} = {\to F}_{1} + {\to F}_{2} + {\to F}_{3} + . . . + {\to F}_{n}

Valemi 9-19 parem pool sisaldab nii jõudusid, millega üksteist mõjutavad süsteemi kuuluvad punktmassid (sisejõud), kui ka neid jõudusid, millega süsteemi kuuluvaid punktmasse mõjutavad süsteemivälised kehad (välisjõud). Newtoni kolmanda seaduse kohaselt mõjuvad sisejõud paarikaupa ja kuna nad on võrdsed ja vastassuunalised, siis järelikult summeerimisel taanduvad nad võrrandi 9-19 paremast poolest välja. See, mis järele jääb, on kõigile süsteemi kuuluvatele punktmassidele mõjuvate välisjõudude vektorsumma. Nii taandub võrrand 9-19 võrrandiks 9-14, mida me tahtsimegi tõestada.

Kaks hõõrdevabal jääl seisvat uisutajat hoiavad kinni tühiselt väikese massiga teiba otstest. Paneme koordinaattelje piki teivast nii, et koordinaatide alguspunkt asub kahest uisutajast moodustatud süsteemi massikeskmes. Üks uisutajatest, Fred, kaalub kaks korda rohkem kui teine uisutaja, Ethel. Kus uisutajad kohtuvad, kui üht kätt üle teise tõstes hakkab (a) Fred tõmbama end piki teivast Etheli poole; (b) Ethel tõmbama end piki teivast Fredi poole ja (c) mõlemad uisutajad end tõmbama piki teivast teineteise poole?

Kolm joonisel 9-7a kujutatud punktmassi on paigal. Igaühele neist mõjub välisjõud, mille kutsuvad esile sellesse kolme osakese süsteemi mittekuuluvad kehad. Jõudude suunad on näidatud joonisel ja nende suurused on

F_{1} = 6, 0 N

,

F_{2} = 12 N

ja

F_{3} = 14 N

. Kui suur on süsteemi massikeskme kiirendus ja mis suunas paneb see süsteemi liikuma?

Lahendus

JOONIS 9-7 (a) Kolmele algselt paigalseisvale punktmassile, mille asukohad on kujutatud joonisel, mõjuvad joonisel näidatud välisjõud. Punkt joonisel märgib süsteemi massikeset. (b) Need jõud on üle viidud süsteemi massikeskmesse, mis käitub nagu üksainus punktmass, mille mass $M$ on võrdne süsteemi kogumassiga. Välisjõudude resultant ${\to F}_{r e s}$ ja selle põhjustatud massikeskme kiirendus ${\to a}_{m k}$ on märgitud nooltega.

JUHTMÕTTED Süsteemi massikeskme asukoha saame näidisülesandes 9-1 toodud meetodil ning joonisel on see märgitud punktiga. Me võime seda massikeset vaadelda kui punktmassi, kuhu on koondunud süsteemi kogumass $M = 16 k g$ . Kolme välisjõudu võime vaadelda nii, nagu mõjuksid nad kõik massikeskmele (joonis 9-7b).

Arvutused: Nüüd saame massikeskmele rakendada Newtoni teist seadust, kirjutades

{\to F}_{res} = M {\to a}_{mk}

või

{\to F}_{1} + {\to F}_{2} + {\to F}_{3} = N {\to a}_{mk}

ja seega

{\to a}_{mk} = \frac{{\to F}_{1} + {\to F}_{2} + {\to F}_{3}}{M}

Valemist 9-20 näeme, et massikeskme kiirendus ${\to a}_{mk}$ on samasuunaline süsteemile mõjuvate välisjõudude resultandiga ${\to F}_{res}$ (joonis 9-7b). Kuivõrd punktmassid seisid alghetkel paigal, siis pidi paigal seisma ka massikese. Kui massikese hakkas liikuma jõu ${\to F}_{res}$ mõjul kiirendusega ${\to a}_{mk}$ , siis nende kahe vektori ühises suunas. Võrrandi 9-21 paremat poolt saame arvutada vektorfunktsioonidega kalkulaatoriga, aga võime ka leida võrrandi 9-21 komponentkujust amk komponendid ning siis vektori ${\to a}_{mk}$ . Piki $x$ -telge saame võrrandi

\begin{matrix} a_{mk, x} & = \frac{F_{1 x} + F_{2 x} + F_{3 x}}{M} = \frac{- 0, 6 N + (12 N) cos 45^{\circ} + 14 N}{16 k g} = 1, 03 m / s^{2} \end{matrix}

Piki $y$ -telge saame

\begin{matrix} a_{mk, y} & = \frac{F_{1 y} + F_{2 y} + F_{3 y}}{M} = \frac{0 + (12 N) sin 45^{\circ} + 0}{16 k g} = 0, 530 m / s^{2} \end{matrix}

Nendest komponentidest leiame vektori ${\to a}_{mk}$ pikkuse

a_{m k} = \sqrt{(a_{m k, x})^{2} + (a_{m k, y})^{2}} = 1, 16 m / s^{2} \approx 1, 2 m / s^{2} - -------- - - -------- -

ja nurga ( $x$ -telje positiivse suuna suhtes)

θ = {tan}^{- 1} \frac{a_{mk, y}}{a_{mk, x}} = 27^{\circ} - -- - - -- -

Liikumishulk

Selles punktis vaatleme süsteemi asemel ühtainust punktmassi, et defineerida kaks tähtsat suurust. Järgmises punktis 9-5 üldistame neid definitsioone punktmasside süsteemidele.

Esimene definitsioon: punktmassi liikumishulk ehk impulss on vektor $\to p$ , mis defineeritakse seosega

(punktmassi liikumishulk ehk impulss, 9-22)

\to p = m \to v

kus $m$ on punktmassi mass ja $\to v$ tema kiirus. (Tuleb eristada liikumishulka ehk impulssi $\to p$ ja 11. peatükis sisse toodavat pöörlemishulka ehk pöördeimpulssi.) Kuna $m$ on alati positiivne skalaarne suurus, siis valemi 9-22 kohaselt on vektorid $\to p$ ja $\to v$ samasuunalised. Valemist 9-22 leiame ka liikumishulga ühiku SI süsteemis, milleks on kilogramm-meeter sekundi kohta ( $k g \cdot m / s$ ).

Newton ise formuleeris oma teise seaduse just liikumishulga mõiste abil:

Punktmassi liikumishulga muutumise kiirus on võrdne temale mõjuva kogujõuga ning suunatud selle jõu suunas.

Valemi kujul on see

(9-23)

{\to F}_{res} = \frac{d \to p}{d t}

Valem ütleb, et punktmassile mõjuv välisjõud ${\to F}_{res}$ muudab selle liikumishulka $\to p$ . Kehtib ka vastupidine väide: liikumishulk saab muutuda ainult välisjõu mõjul. Kui välisjõud puuduvad, siis $\to p$ ei muutu. Nagu näeme punktis 9-7, osutub see fakt väga mõjusaks tööriistaks liikumisülesannete lahendamisel.

Asendades valemisse 9-23 $\to p$ avaldise valemist 9-22, saame konstantse massi $m$ korral

{\to F}_{res} = \frac{d \to p}{d t} = \frac{d}{d t} (m \to v) = m \frac{d \to v}{d t} = m \to a

Seega on valemid ${\to F}_{res} = d \to p / d t$ ja ${\to F}_{res} = m \to a$ Newtoni teise seaduse ekvivalentsed formuleeringud punktmassi jaoks.

Joonis kujutab liikumishulga väärtuse p sõltuvust ajast t piki sirgjoont liikuva punktmassi jaoks. Punktmassile mõjub piki sama sirget suunatud jõud. (a) Järjestage joonisel toodud neli piirkonda mõjuva jõu suuruse järgi, alustades suurimast. (b) Millistes piirkondades oli liikumine aeglustuv?

Punktmasside süsteemi liikumishulk

Laiendame liikumishulga definitsiooni punktmasside süsteemile. Vaatleme süsteemi, mis koosneb $n$ punktmassist, milledel kõigil on oma mass, kiirus ja liikumishulk. Need punktmassid võivad üksteist mõjutada, samuti võivad neile mõjuda välisjõud. Süsteemi kui terviku liikumishulga $\to P$ võime defineerida kui kõigi süsteemi kuuluvate punktmasside liikumishulkade vektorsumma. Seega

(9-24)

\to P = {\to p}_{1} + {\to p}_{2} + {\to p}_{3} + . . . + {\to p}_{n} = m_{1} {\to v}_{1} + m_{2} {\to v}_{2} + m_{3} {\to v}_{3} + . . . + m_{n} {\to v}_{n}

Kui võrrelda seda valemiga 9-17, näeme, et

(punktmasside süsteemi liikumishulk ehk koguimpulss, 9-25)

\to P = M {\to v}_{mk}

mis on teine viis süsteemi liikumishulga määratlemiseks.

Punktmasside süsteemi liikumishulk on võrdne selle süsteemi kogumassi $M$ ja tema massikeskme liikumiskiiruse korrutisega.

Kui võtta valemist 9-25 tuletis aja järgi, siis saame

(9-26)

\frac{d \to P}{d t} = M \frac{d {\to v}_{mk}}{d t} = M {\to a}_{mk}

Võrreldes valemeid 9-14 ja 9-26 leiame, et Newtoni teist seadust punktmasside süsteemi jaoks saab kirja panna kujul

(9-27)

{\to F}_{res} = \frac{d \to P}{d t}

kus ${\to F}_{res}$ on süsteemile mõjuvate välisjõudude resultant. See valem üldistab ühe punktmassi kohta käivat seost ${\to F}_{res} = d \to p / d t$ punktmasside süsteemile. Teiste sõnadega, süsteemile mõjuvad välisjõud muudavad süsteemi liikumishulka. Kehtib ka vastupidine väide: süsteemi liikumishulk saab muutuda vaid siis, kui on olemas välised jõud. Kui välisjõud puuduvad, siis $\to P$ ei saa muutuda.

Põrge ja jõuimpulss

Punktmassina käsitletava keha liikumishulk $\to p$ ei saa muutuda seni, kuni ükski välisjõud ei sunni seda muutuma. Te võite mingit keha tõugata ning sel teel muuta tema liikumishulka. Või siis võite sundida keha põrkama vastu pesapallikurikat. Sellise põrke korral on välisjõu mõju lühiajaline, kuid tugev, ja keha liikumishulk muutub äkiliselt. Sellised põrked on igapäevaelus sagedased, aga enne, kui nende juurde asuda, vaatleme lihtsat põrget, mille käigus punktmassina käsitletav liikuv viskekeha põrkub mingi teise kehaga (sihtmärgiga).

Üksikpõrge

JOONIS 9-8 Kui pall ja kurikas kokku põrkavad, mõjub pallile jõud $\to F (t)$ .

Olgu liikuvaks kehaks pall, mida lüüakse pesapallikurikaga. Põrge on lühiajaline ja pallile mõjuv jõud piisav, et seda pidurdada, peatada ning sundida liikuma vastassuunas. Joonis 9-8 kujutab seda põrget mingil ajahetkel. Pallile mõjub jõud $\to F (t)$ , mis põrke ajal muutub ning mille tagajärjel muutub palli liikumishulk $\to p$ . Seda muutust seob jõuga Newtoni teine seadus $\to F = d \to p / d t$ . Palli liikumishulga muutus ajavahemiku dt vältel avaldub valemiga

(9-28)

d \to p = \to F (t) d t

Me saame leida palli liikumishulga muutuse kogu põrke jooksul, kui integreerime valemit 9-28 põrkele eelnenud ajahetkest $t_{i}$ kuni ajahetkeni $t_{f}$ , kus põrge on juba toimunud:

(9-29)

\int_{t_{1}}^{t_{2}} d \to p = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \to F (t) d t

Võrrandi vasak pool annab meile liikumishulga muutuse ${\to p}_{f} - {\to p}_{i} = Δ \to p$ . Paremat poolt, mille määrab nii põrke kestus kui selle ajal mõjunud jõud, nimetatakse jõuimpulsiks $\to J$ :

(9-30)

\to J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \to F (t) d t

Seega on keha liikumishulga muutus võrdne temale mõjunud jõuimpulsiga:

(9-31)

Δ \to p = \to J

Seda võrrandit saab esitada ka vektorkujul

(9-32)

{\to p}_{f} - {\to p}_{i} = \to J

või nende vektorite komponentide kaudu

(9-33)

Δ p_{x} = J_{x}

ning

(9-34)

p_{f x} - p_{i x} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{x} d t

JOONIS 9-9 (a) Graafik näitab joonisel 9-8 toimuva põrke ajal pallile mõjuva ajas muutuva jõu suurust $F (t)$ . Kõvera alla jääv pindala on võrdne pallile põrkel mõjunud jõuimpulsiga $J$ . (b) Ristküliku kõrgus näitab põrkele vastava ajavahemiku $Δ t$ vältel pallile mõjunud keskmist jõudu $F_{k}$ . Selle ristküliku pindala on võrdne kõvera (a) alla jääva kujundi pindalaga ning samuti põrke ajal mõjunud jõuimpulsi $J$ suurusega.

Kui me teame funktsiooni $\to F (t)$ , võime leida $\to J$ (ja koos sellega ka liikumishulga muutuse) selle funktsiooni integreerimise teel. Kui meil on graafik, mis kujutab $\to F$ sõltuvust ajast $t$ , siis saame leida $\to J$ kui jõudu kujutava kõvera ja ajatelje vahele jääva pindala nii, nagu seda on tehtud joonisel 9-9a. Tihtipeale me aga ei tea, kuidas muutub jõud ajas, kuid teame keskmise jõu väärtust $F_{k}$ põrke toimumisaja $Δ t$ ( $= t_{f} - t_{i}$ ) vältel. Sellisel juhul võime jõuimpulsi väärtuse kirjutada kujul

(9-35)

J = F_{k} Δ t

Keskmise jõu ja aja vahekorra graafiline esitus on joonisel 9-9b. Sellel oleva ristküliku pindala peab olema võrdne tegeliku kõvera $F (t)$ alla jääva pindalaga joonisel 9-9a, kuna mõlemad pindalad on võrdsed jõuimpulsiga $J$ .

Palli asemel võime vaatluse alla võtta joonisel 9-8 oleva kurika. Ükskõik millisel ajahetkel nõuab Newtoni kolmas seadus, et kurikale mõjuv jõud on täpselt niisama suur kui pallile mõjuv jõud, ainult et vastassuunaline. Valemi 9-30 kohaselt tähendab see, et ka kurikale mõjunud jõuimpulss on võrdne ja vastassuunaline pallile mõjunud jõuimpulsiga.

Dessantväelane, kelle langevari ei avanenud, kukkus lumme ja sai kergelt vigastada. Kui ta oleks kukkunud maapinnale, oleks tema peatumisaeg kokkupõrkel maaga olnud

10

korda lühem ja ühtlasi surmav. Kuidas mõjus lume olemasolu (a) dessantväelase liikumishulga muutusele, (b) tema peatamiseks kulunud jõuimpulsile ja (c) dessantväelase peatanud jõu suurusele, kas suurendas, vähendas või jättis samaks?

Põrgete seeria

Vaatleme kehale mõjuvat jõudu juhul, kui seda mõjutab terve seeria ühesuguseid ajas korduvaid põrkeid. Näiteks võtame sellise masina, mis suure sagedusega pillub tennisepalle vastu seina. Iga selline põrge mõjutab seina mingi jõuga, aga see pole see jõud, mida me otsime. Me soovime leida seinale sellise pommitamise ajal mõjuvat keskmist jõudu $F_{k}$ , see tähendab paljude põrgete poolt esile kutsutud jõudude keskmist.

JOONIS 9-10 Ühtlane viskekehade voog, milles kõik kehad on ühesuguse liikumishulgaga, põrkab vastu liikumatut sihtmärki. Sihtmärgile mõjuv keskmine jõud $F_{k}$ on suunatud paremale ja selle suurus sõltub viskekehade põrgete sagedusest või, mis on samaväärne, ajaühikus sihtmärki tabanud viskekehade kogumassist.

Joonisel 9-10 liigub rida ühesuguse massiga $m$ ja ühesuguse liikumishulgaga $m \to v$ viskekehasid $x$ -telje suunas ning põrkub paigalseisva kehaga. Olgu ajavahemiku $Δ t$ jooksul vastu seda keha põrganud viskekehade arv $n$ . Et liikumine toimub ühes sihis, võime vektorid asendada nende selle telje suunaliste komponentidega. Sel juhul on iga keha esialgne liikumishulk $m \to v$ ja põrke käigus aset leidnud liikumishulga muutus $Δ p$ . Liikumishulga summaarne muutus kõigi $Δ t$ jooksul vastu paigalseisvat keha põrganud $n$ viskekeha kohta on $n Δ p$ . Sama aja $Δ t$ jooksul seinale x-telje suunas mõjunud summaarne jõuimpulss $\to J$ on samuti suurusega $n Δ p$ , kuid vastassuunaline. Saadud seose võime kirja panna kujul

(9-36)

J = - n Δ p

kus miinusmärk tähendab, et $J$ ja $Δ p$ on vastassuunalised.

Teisendades valemit 9-35 ja asendades sinna valemi 9-36, saame leida vaadeldavale kehale põrgete ajal mõjuva keskmise jõu

(9-37)

F_{k} = \frac{J}{Δ t} = - \frac{n}{Δ t} Δ p = - \frac{n}{Δ t} m Δ v

Selles valemis on keskmine jõud $F_{k}$ avaldatud põrgete sageduse $n / Δ t$ , viskekehade massi $m$ ning kiiruse muutuse $Δ v$ kaudu.

Kui viskekehad jäävad pärast põrget seisma, tuleb valemisse 9-37 panna kiiruse muutus $Δ v$ kujul

(9-38)

Δ v = v_{f} - v_{i} = 0 - v = - v

kus $v_{i}$ ( $= v$ ) ja $v_{f}$ ( $= 0$ ) on vastavalt kiirused enne ja pärast põrget. Kui aga viskekehade kiirus pärast põrget on suuruselt sama mis enne, kuid suunalt vastupidine, siis $v_{f} = - v$ ja me saame

(9-39)

Δ v = v_{f} - v_{i} = - v - v = - 2 v

Ajavahemiku $Δ t$ vältel on põrkuvate viskekehade kogumass $Δ m = n m$ . Seda teades võime valemi 9-37 kirjutada kujul

(9-40)

F_{k} = - \frac{Δ m}{Δ t} Δ v

See valem annab meile keskmise jõu $F_{k}$ suuruse $Δ m / Δ t$ (uuritava kehaga ajaühikus põrkunud massi) kaudu. Ka siia saame $Δ v$ asendada valemist 9-38 või 9-39 sõltuvalt sellest, mis juhtub viskekehadega põrkumise käigus.

Pildil on pealtvaates näha palli tagasipõrge vertikaalselt seinalt nii, et palli kiiruse suurus ei muutu. Olgu palli liikumishulga muutus

Δ \to p

. (a) Kas

Δ {\to p}_{x}

on positiivne, negatiivne või null? (b) Kas

Δ p_{y}

on positiivne, negatiivne või null? (c) Kuhu on suunatud

Δ \to p

?

Liikumishulga jäävuse seadus

Oletame, et punktmasside süsteemile mõjuvate välisjõudude resultant ${\to F}_{res}$ (ja koos sellega ka summaarne jõuimpulss) on null (süsteem on isoleeritud) ning et süsteemi moodustavate osakeste arv ei muutu (süsteem on kinnine). Võttes valemis 9-27 ${\to F}_{res} = 0$ , saame, et $d \to P / d t = 0$ , ehk

\to P = konstant

Sõnades öelduna:

kui punktmasside süsteemile ei mõju välisjõudusid, siis süsteemi liikumishulk $\to P$ ei muutu.

Seda järeldust nimetatakse liikumishulga jäävuse seaduseks. Seda võib kirjutada ka kujul

(suletud, isoleeritud süsteem, 9-42)

{\to P}_{i} = {\to P}_{f}

Sõnades öelduna: suletud ja isoleeritud süsteemi korral

(\begin{matrix} summaarne liikumishulk mingil algmomendil t_{i} \end{matrix}) = (\begin{matrix} summaarne liikumishulk m ˜ o nel hilisemal hetkel t_{f} \end{matrix})

Hoiatus: liikumishulka ei tohi segi ajada energiaga. Järgmistes näidisülesannetes jääb muutumatuks liikumishulk, kuid mitte energia.

Valemid 9-42 ja 9-43 on vektorvõrrandid, järelikult on igaüks neist samaväärne kolme võrrandiga, mis kirjeldavad kolme omavahel risti suunatud liikumishulka – teiste sõnadega, liikumishulga $x$ -, $y$ - ja $z$ -komponenti. Sõltuvalt süsteemile mõjuvate välisjõudude iseloomust võib liikumishulk olla mõnikord muutumatu ühes või kahes suunas, kuid mitte kõigis suundades. Täpsemalt:

kui suletud süsteemile mõjuvate välisjõudude resultant on mingi telje suunas null, siis on süsteemi liikumishulga selle telje suunaline komponent muutumatu.

Oletame näiteks, et te viskate apelsini toa teise seina poole. Lennu ajal on ainus apelsinile (mida me vaatleme kui suletud süsteemi) mõjuv välisjõud gravitatsioonijõud, mis on suunatud otse allapoole. Seega muutub küll apelsini vertikaalsuunaline liikumishulk, kuna aga horisontaalsuunalised välisjõud puuduvad, peab liikumishulga horisontaalsuunaline komponent jääma muutumatuks.

Märgime siin, et me vaatlesime üksnes suletud süsteemile mõjuvaid välisjõude. Ehkki süsteemi sisejõud võivad muuta selle süsteemi osade liikumishulki, ei saa nad mõjutada süsteemi kui terviku liikumishulka.

Järgmistes näidisülesannetes toome sisse plahvatused, mis võivad olla ühemõõtmelised (mis tähendab, et kõik liikumised nii enne kui pärast plahvatust toimuvad piki üht telge) või kahemõõtmelised (mis tähendab, et nad liiguvad piki kaht telge omavat tasandit). Edaspidi käsitleme ka ühe- ja kahemõõtmelisi põrkeid.

Hõõrdevabal põrandal alghetkel paigal seisev seade lõhkeb kaheks tükiks, mis hakkavad libisema piki põrandat. Üks tükkidest libiseb

x

-telje positiivses suunas. (a) Milline on nende kahe tüki summaarne liikumishulk pärast lõhkemist? (b) Kas teine tükk võib libiseda

x

-teljega nurga all? (c) Kuhu on suunatud teise tüki liikumishulga vektor?

Kui isane lumelammas tormab sarvipidi kokku teise isasega, väheneb nende kiirus nullini väga lühikese aja jooksul. Joonisel 9-11 on näidatud kiirenduse

a

sõltuvus ajast

t

sedalaadi põrke jaoks. Kiirendus on siin negatiivne eeldusel, et algkiirus loeti positiivseks. Maksimaalne kiirendus on

34 m / s^{2}

ja põrke kestus

0, 27 s

. Oletame, et ühe jäära mass on

90, 0 k g

. Kui suured olid jõuimpulsid ja põrke ajal mõjuv keskmine jõud?

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Jõuimpulss defineeritakse vastavalt valemile 9-30 kui jõu integraal aja järgi ( $\to J = \int \to F (t) d t$ ). (2) Keskmine jõud on seotud jõuimpulsi ja jõu toimimisajaga vastavalt valemile 9-35 ( $J = F_{k} Δ t$ ).

JOONIS 9-11 Lumelamba kiirenduse funktsionaalne sõltuvus ajast tema kokkupõrkel teise lumelambaga.

Arvutused: Meil ei ole integreerimiseks vajalikku jõu valemit. Kuid meil on olemas graafik, mis näitab kiirenduse sõltuvust ajast ja millest saame kergesti teha jõu sõltuvuse ajast, korrutades kiirenduse jäära massiga $90, 0 k g$ . Nüüd võime integreerida graafiliselt, leides graafiku ja $x$ -telje vahele jääva kujundi pindala. Kuna see kujund on kolmnurk, siis saame jõuimpulsi suuruseks

J = pindala = \frac{1}{2} (0, 27 s) (90, 0 k g) (34, 0 m / s^{2}) = = 4, 13 \times 10^{2} N \cdot s \approx 4, 1 \times 10^{2} N \cdot s - -------------- - - -------------- -

Keskmise jõu väärtuseks saame

\begin{matrix} F_{k} = \frac{J}{Δ t} & = \frac{4, 13 \times 10^{2} N \cdot s}{0, 27 s} = 1, 5 \times 10^{3} N - ----------- - - ----------- - \end{matrix}

Märkus: Jõuimpulss on võrdne jäära liikumishulga muutusega põrke ajal. Seega sõltub jõuimpulsi suurus tema massist ja liikumiskiirusest enne põrget. Et kahevõitlust võita, peab jäär omama võimalikult suurt liikumishulka. Kuid kui jäärade kokkupõrge on kolp vastu kolpa või kolp vastu sarvi, on põrke kestus vaid $1 / 10$ sellest, mida kasutasime oma arvutustes, ja seetõttu on ka keskmine jõud $10$ korda suurem. Nii suur jõud viib teadvuse kaotuseni või isegi surmani; kummalgi juhul pole lootust kahevõitlust jälgiva ute soosingut võita. Jääradel on selle tulemuse vältimiseks painduvad sarved, mis kokkupõrke ajal paindudes pikendavad kokkupõrke kestust ning vähendavad keskmist jõudu umbes $1500$ njuutonini, mida looma pealuu, aju ja lihased suudavad veel välja kannatada. Kui aga sarv peaks kokkupõrkel purunema, siis võib järgmine kokkupõrge olla saatuslik.

Näidisülesanne 9-5

Võidusõiduauto põrkab vastu rajapiiret. Joonisel 9-12a on pealtvaates kujutatud võidusõiduauto juhi teekond auto rajapiirdega põrkamise ajal. Vahetult enne põrget on kiirus $v_{i} = 70 m / s$ suunatud piki piirdega $30^{\circ}$ nurga all olevat sirget. Pärast põrget liigub ta kiirusega $v_{f} = 50 m / s$ piki sirgjoont, mille nurk piirdega on $10^{\circ}$ . Juhi mass $m = 80 k g$ .

JOONIS 9-12 (a) Pealtvaade võidusõiduauto ja selle juhi liikumisteele ajal, kus auto põrkab vastu rajapiiret. (b) Autojuhi esialgne liikumishulk ${\to p}_{i}$ ning liikumishulk pärast põrget ${\to p}_{f}$ . (c) Põrke ajal juhile mõjunud jõuimpulss $\to J$ .

Milline on põrke ajal juhile mõjunud jõuimpulss

\to J

?

Lahendus

JUHTMÕTTED Me võime autojuhti käsitleda punktmassina, kelle kohta kehtivad ülaltoodud valemid. Seejuures ei saa me $\to J$ arvutamisel kasutada valemit 9-30, kuna me ei tea midagi juhile põrke ajal mõjuva jõu $\to F (t)$ kohta. See tähendab, et meil pole ei funktsiooni $\to F (t)$ ega tema graafikut, mida võiks $\to J$ leidmiseks integreerida. Aga me saame arvutada $\to J$ autojuhi liikumishulga $\to p$ muutumise kaudu valemist 9-32 ( $\to J = {\to p}_{f} - \to p - i$ ).

Arvutused: Joonisel 9-12b on näidatud autojuhi liikumishulga vektor enne põrget ${\to p}_{i}$ (mille nurk $x$ -telje positiivse suunaga on $30^{\circ}$ ) ja tema liikumishulga vektor pärast põrget ${\to p}_{f}$ (nurk $- 10^{\circ}$ ). Valemitest 9-32 ja 9-22 ( $\to p = m \to v$ ) saame

\to J = {\to p}_{f} - {\to p}_{i} = m {\to v}_{f} - m {\to v}_{i} = m ({\to v}_{f} - {\to v}_{i})

Kuna me teame, et $m = 80 k g$ , ${\to v}_{f} = 50 m / s$ $10^{\circ}$ nurga all ja ${\to v}_{i} = 70 m / s$ $30^{\circ}$ nurga all, võiksime võrrandi parema poole vektorarvutust võimaldava taskuarvutiga kohe välja arvutada. Alljärgnevas kasutame siiski komponentesitust:

$x$ -komponent: piki $x$ -telge saame

\begin{matrix} J_{x} & = m (v_{f x} - v_{i x}) = (80 k g) [(50 m / s) cos (- 10^{\circ}) - (70 m / s) cos 30^{\circ}] = - 910 k g \cdot m / s \end{matrix}

$y$ -komponent: piki $y$ -telge

\begin{matrix} J_{y} & = m (v_{f y} - v_{i y}) = (80 k g) [(50 m / s) sin (- 10^{\circ}) - (70 m / s) sin 30^{\circ}] = - 3495 k g \cdot m / s \approx - 3000 k g \cdot m / s \end{matrix}

Jõuimpulss: Seega jõuimpulss avaldub

\to J = (- 910^i - 3500^j) k g \cdot m / s - -------------------------- - - -------------------------- -

kust saame, et jõuimpulsi suurus on

J = \sqrt{J_{x}^{2} + J_{y}^{2}} = 3616 k g \cdot m / s \approx 3600 k g \cdot m / s

Vektori $\to J$ nurk $x$ -teljega on

θ = {tan}^{- 1} \frac{J_{y}}{J_{x}} - -------- - - -------- -

mille väärtuseks annab kalkulaator $75, 4^{\circ}$ . Siin tuleb meeles pidada, et sama tangensi annab ka nurk, mis siintoodust $180^{\circ}$ võrra erineb. Et teada saada, milline neist on õige, tuleb meil välja joonistada vektori $\to J$ komponendid (joonis 9-12c). Nagu näeme, on $θ$ õige väärtus $75, 4^{\circ} + 180^{\circ} = 255, 4^{\circ}$ , mida võib kirjutada ka kujul

θ = - 105^{\circ} - ----- - - ----- -

Põrge kestab

14 m s

. Kui suur on autojuhile selle aja jooksul mõjuv keskmine jõud?

Lahendus

JUHTMÕTE Valemi 9-35 ( $J = F_{k} Δ t$ ) kohaselt on keskmine jõud võrdne jõuimpulsi $J$ ja põrke kestuse $Δ t$ suhtega.

Arvutused: Me saame

\begin{matrix} F_{k} = \frac{J}{Δ t} & = \frac{3616 k g \cdot m / s}{0, 014 s} = 2, 583 \times 10^{5} N \approx 2, 6 \times 10^{5} N - ----------- - - ----------- - \end{matrix}

Kasutades valemit $F = m a$ ja pannes sinna $m = 80 k g$ , leiame, et autojuhi keskmine kiirendus põrke ajal oli ligikaudu $3, 22 \times 10^{3} m / s^{2} = 329 g$ . Võib arvata, et selline põrge lõpeb surmaga.

Kuidas ellu jääda: Et suurendada juhi ellujäämise tõenäosust, projekteeritakse võistlusradade piirded pehmemad ja pikendatakse sel teel põrke kestust. Kui ülesandes kirjeldatud põrge kestaks $10$ korda kauem ja muud parameetrid jääksid samaks, oleksid nii keskmine jõud kui keskmine kiirendus $10$ korda väiksemad ning juhi ellujäämine võrdlemisi tõenäoline.

Ühemõõtmeline plahvatus. Valimiskast massiga

m = 6, 0 k g

libiseb mööda hõõrdevaba põrandat

x

-telje sihis kiirusega

4, 0 m / s

. Kast lõhkeb kaheks tükiks. Üks neist (massiga

m_{1} = 2, 0 k g

) jätkab liikumist

x

-telje sihis kiirusega

v_{1} = 8, 0 m / s

. Milline kiirus on teisel tükil, mille mass on

m_{2}

?

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Me saame leida teise tüki kiiruse tema liikumishulgast, kuna teame, et tema mass $m_{2} = m - m_{1} = 4, 0 k g$ . (2) Me teame, et kahe tüki liikumishulgad on seotud kasti liikumishulgaga, mis võib olla jääv suurus.

Arvutused: Olgu meie ülesandes taustsüsteemiks põrand. Süsteem, mis koosneb algul ühest kastist ja hiljem kahest tükist, on suletud, aga mitte isoleeritud, kuivõrd nii kastile kui selle tükkidele mõjuvad gravitatsioonijõud ja põranda normaaljõud. Et need jõud mõjuvad vertikaalsihis, ei saa nad muuta süsteemi liikumishulga horisontaalkomponente. Sedasama ei saa teha ka plahvatuse põhjustanud jõud, kuna need on süsteemi sisejõud. Seetõttu on süsteemi liikumishulga horisontaalkomponent jääv ja me saame $x$ -telje suunaliste liikumiste puhul kasutada valemit 9-43.

Süsteemi liikumishulk alghetkel on sama mis kastil, Kirjutame samal moel välja tükkide liikumishulgad pärast plahvatust:

{\to P}_{f 1} = m_{1} {\to v}_{1}, ja {\to P}_{f 2} = m_{2} {\to v}_{2}

Süsteemi lõpp-liikumishulk ${\to P}_{f}$ on tükkide liikumishulkade vektorsumma:

{\to P}_{f} = {\to P}_{f 1} + {\to P}_{f 2} = m_{1} {\to v}_{1} + m_{2} {\to v}_{2}

Kuna kõik kiirused ja liikumishulgad on $x$ -telje sihis, kirjutame nad $x$ -komponentidena ning rakendame neile valemit 9-43, saades

P_{i} = P_{f}

ehk

m v = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

Pannes siia algandmed, leiame

(6, 0 k g) (4, 0 m / s) = (2, 0 k g) (8, 0 m / s) + (4, 0 k g) v_{2}

ja seega

v_{2} = 2, 0 m / s - ------- - - ------- -

Kuna tulemus on plussmärgiga, liigub ka teine tükk $x$ -telje positiivses sihis.

Ühemõõtmeline plahvatus. Joonisel 9-13a on kujutatud vedukrakett koos kaubakonteineriga, kogumassiga

M

, mis liigub avakosmoses piki

x

-telge. Nende algkiirus Päikese suhtes on

2100 k m / h

. Veduk vabastab konteineri, mille mass on

0, 20 M

, väikese plahvatuse abil (joonis 9-13b). Pärast konteineri eraldumist liigub rakett konteineri suhtes kiirusega

v_{rel} = 500 k m / h

endiselt piki

x

-telge. Kui suur on vedukraketi kiirus

{\to v}_{R P}

Päikese suhtes?

JOONIS 9-13 (a) Kaubakonteineriga vedukrakett, mis liigub algse kiirusega ${\to v}_{i}$ . (b) Kaubakonteiner on vedukist eraldatud. Konteineri ja veduki kiirused Päikese suhtes on nüüd vastavalt ${\to v}_{K P}$ ja ${\to v}_{V P}$ .

Lahendus

JUHTMÕTE Kuna raketist ja konteinerist koosnev süsteem on suletud ja isoleeritud, on tema liikumishulk jääv, seega

{\to P}_{i} = {\to P}_{f}

kus indeksid $i$ ja $f$ viitavad süsteemi olekule enne ja pärast lahtihaakimist.

Arvutused: Kuna liikumised toimuvad piki üht telge, võime nii liikumishulgad kui kiirused kirja panna kui $x$ -komponendid ning kasutada suuna määrajana miinusmärki. Enne lahtihaakimist on

P_{i} = M v_{i}

Olgu $v_{K P}$ lahtihaagitud konteineri kiirus Päikese suhtes. Siis on kogu süsteemi liikumishulk pärast lahtihaakimist

P_{f} = (0, 20 M) v_{K P} + (0, 80 M) v_{R P}

kus parema poole esimene liige on konteineri liikumishulk ja teine liige käib raketi kohta.

Me ei tea, kui suur on konteineri kiirus Päikese suhtes, aga me saame selle avaldada tuntud suuruste kaudu:

⎛ ⎝ \begin{matrix} Raketi kiirus P ¨ a ikese suhtes \end{matrix} ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ \begin{matrix} raketi kiirus konteineri suhtes \end{matrix} ⎞ ⎠ + ⎛ ⎝ \begin{matrix} konteineri kiirus P ¨ a ikese suhtes \end{matrix} ⎞ ⎠

Sümbolite keeles on see

v_{R P} = v_{rel} + v_{K P}

ehk siis

v_{K P} = v_{R P} - v_{rel}

Pannes siia $v_{K P}$ valemist 9-46 ja asetades seejärel valemid 9-45 ning 9-46 valemisse 9-44, saame

M v_{i} = 0, 20 M (v_{R P} - v_{rel}) + 0, 80 M v_{R P}

mis annab meile

v_{R P} = v_{i} + 0, 20 v_{rel}

ehk

v_{R P} = 2100 k m / h + (0, 20) (500 k m / h) = 2200 k m / h - ---------- - - ---------- -

Näidisülesanne 9-8

Kahemõõtmeline plahvatus. Kookospähklisse, mille mass on $M$ ja mis algselt seisab paigal hõõrdevabal põrandal, on pandud paukhernes. Plahvatades rebib see pähkli kolmeks tükiks, mis libisevad mööda põrandat laiali. Selle sündmuse pealtvaade on joonisel 9-14a. Pärast pauku liigub tükk $C$ massiga $0, 30 M$ kiirusega $v_{f C} = 5, 0 m / s$ .

JOONIS 9-14 Puruks lastud kookospähkli kolm tükki liiguvad mööda hõõrdevaba põrandat eri suundades laiali. (a) Kirjeldatud sündmus pealtvaates. (b) Sama, koos kahemõõtmelise teljestikuga.

Kui suure kiirusega hakkab liikuma tükk

B

, mille mass on

0, 20 M

?

Lahendus

JUHTMÕTE Kõigepealt teeme kindlaks, kas liikumishulk on jääv. Me teame, et (1) pähkel ja selle tükid moodustavad suletud süsteemi, (2) plahvatuse põhjustavad sisejõud ja (3) süsteemile ei mõju välisjõudusid. Järelikult peab liikumishulk olema jääv suurus.

Arvutused: Alustuseks paneme paika $x y$ -koordinaadistiku nii nagu näidatud joonisel 9-14b, kusjuures $x$ -telje negatiivne suund langeb ühte kiiruse ${\to v}_{f A}$ suunaga. Sel juhul on ${\to v}_{f C}$ nurk $x$ -teljega $80^{\circ}$ ja ${\to v}_{f B}$ nurk sama teljega $50^{\circ}$ .

Teame, et liikumishulk on jääv ka telgedele vastavate komponentide jaoks. Võtame näiteks $y$ -telje ja saame

P_{i y} = P_{f y}

kus indeks $i$ viitab algväärtustele (enne plahvatust) ja indeks $y$ viitab vektorite ${\to P}_{i}$ ja ${\to P}_{f}$ $y$ -komponentidele.

Esialgse liikumishulga komponent $P_{i y}$ on null, kuna kookospähkel oli sel ajal paigal. Et saada $P_{f y}$ avaldist, tuleb leida kõigi tükkide liikumishulkade $y$ -komponendid. Kasutame valemit 9-22 $y$ -komponendi jaoks ( $p_{y} = m v_{y}$ ):

\begin{matrix} p_{f A, y} & = 0, p_{f B, y} & = - 0, 20 M v_{f B, y} = - 0, 20 M v_{f B} sin 50^{\circ}, p_{f C, y} & = 0, 30 M v_{f C, y} = 0, 20 M v_{f C} sin 80^{\circ} \end{matrix}

(Et $p_{f A, y}$ on null, on määratud meie telgede valikuga.) Valem 9-48 saab nüüd kuju

P_{i y} = P_{f y} = P_{f A, y} + P_{f B, y} + P_{f C, y}

Edasi, teades et $v_{f C} = 5, 0 m / s$ , saame

0 = 0 - 0, 20 M v_{f B} sin 50^{\circ} + (0, 30 M) (5, 0 m / s) sin 80^{\circ}

kust leiame, et

v_{f B} = 9, 64 m / s \approx 9, 6 m / s - ------- - - ------- -

Milline on tüki

A

kiirus?

Lahendus

Arvutused: Kuna liikumishulga jäävus kehtib ka $x$ -teljel, siis

P_{i x} = P_{f x}

kus $P_{i x} = 0$ , kuna kookospähkel seisis alguses paigal. Et saada $P_{f x}$ , peame leidma kõigi tükkide impulsside $x$ -komponendid pärast plahvatust. Teades, et tüki a mass on $0, 50 M$ ( $= M - 0, 20 M - 0, 30 M$ ), saame:

\begin{matrix} p_{f A, x} & = - 0, 50 M v_{f A}, p_{f B, x} & = 0, 20 M v_{f B, x} = 0, 20 M v_{f B} cos 50^{\circ}, p_{f C, x} & = 0, 30 M v_{f C, y} = 0, 30 M v_{f C} cos 80^{\circ} \end{matrix}

Valemi 9-49 võime nüüd kirjutada kujul

P_{i x} = P_{f x} = P_{f A, x} + P_{f B, x} + P_{f C, x}

Seejärel, võttes $v_{f C} = 5, 0 m / s$ ja $v_{f B} = 9, 64 m / s$ , saame

0 = - 0, 50 M v_{f A} + 0, 20 M (9, 64 m / s) cos 50^{\circ} + 0, 30 M (5, 0 m / s) cos 80^{\circ}

millest leiame, et

v_{f A} = 3, 0 m / s - ------- - - ------- -

Ülesannete lahendamise juhised

Kui soovime ülesande lahendamisel kasutada liikumishulga jäävuse seadust, peame kõigepealt olema kindlad, et süsteem on suletud ja isoleeritud. Suletud tähendab, et ükski keha (punktmass) ei ületa süsteemi piire mitte kummaski suunas. Isoleeritud tähendab seda, et süsteemile mõjuvate välisjõudude resultant on null. Kui süsteem ei ole isoleeritud, siis pidage meeles, et liikumishulga jäävus kehtib iga komponendi korral eraldi, kui vastav välisjõu komponent on null. Võib juhtuda, et mõne komponendi jaoks liikumishulga jäävus kehtib ja mõne teise jaoks ei kehti.

Järgnevalt valige süsteemi kaks olekut (mida võib nimetada algolekuks ja lõpp–olekuks) ja pange kirja süsteemi liikumishulga avaldised mõlema oleku kohta. Neid valemeid kirjutades jälgige, millist taustsüsteemi te kasutate, samuti tehke kindlaks, et valemid sisaldaksid kõiki süsteemi kuuluvaid kehi ega sisaldaks ühtki süsteemi mittekuuluvat keha.

Lõpuks pange ${\to P}_{i}$ ja ${\to P}_{f}$ avaldised omavahel võrduma ning leidke saadud võrrandist see, mida oli vaja leida.

Liikumishulk ja kineetiline energia põrgete ajal

Punktis 9-6 vaatlesime kahe punktmassina käsitletava keha põrget, uurides ainult ühe kehaga juhtuvat. Edasi võtsime vaatluse alla kogu süsteemi eeldusel, et see on suletud ja isoleeritud. Punktis 9-7 vaatlesime selliste süsteemide kohta käivat reeglit: süsteemi summaarne liikumishulk $\to P$ ei saa muutuda, kuna pole välisjõude, mis seda muudaksid. See on väga oluline reegel, kuna võimaldab määrata põrke tagajärgi ilma põrke kohta käivaid üksikasju (näiteks põrkel tekkivaid vigastusi) teadmata.

Me võime uurida ka kahest põrkuvast kehast koosneva süsteemi kineetilist energiat. Kui see põrke käigus ei muutu, räägime kineetilise energia jäävusest (energia pärast põrget on niisama suur, kui oli enne põrget). Selliseid põrkeid nimetatakse elastseteks põrgeteks. Igapäevaelus aset leidvad põrked nagu kahe auto põrge või siis palli ja kurika põrge toovad alati kaasa mingi energiahulga muutumise kineetilisest energiast mõneks teiseks energialiigiks nagu soojusenergia või hääle energia. Sel juhul süsteemi kineetiline energia ei ole jääv. Selliseid põrkeid nimetatakse mitteelastseteks põrgeteks.

Siiski esineb olukordi, kus me võime lugeda tavaliste kehade põrke ligikaudu elastseks. Oletame, et te lasete põrkepalli kukkuda kõvale põrandale. Kui palli ja põranda (või maapinna) vaheline põrge oleks elastne, siis ei kaotaks pall oma kineetilist energiat ja kerkiks pärast põrget endisele kõrgusele. Tavaliselt on see kõrgus siiski mõnevõrra väiksem kui langemiskõrgus, mis näitab kineetilise energia kaotsiminekut põrkeprotsessi käigus; seega on ka see põrge teatud ulatuses mitteelastne. Sellele vaatamata võime otsustada selle väikese muutuse jätta tähelepanuta ning võtta palli liikumise kirjeldamisel aluseks elastse põrke.

Kahe keha mitteelastsel põrkel kaotab süsteem alati kineetilist energiat. See energiakadu on suurim juhul, kui põrkunud kehad kleepuvad kokku, ja siis on meil tegu täielikult mitteelastse põrkega. Pesapalli ja kurika põrge on mitteelastne. Kui aga pall on märjast kitist ja kleepub kurika külge, siis on põrge täielikult mitteelastne.

Ühemõõtmeline mitteelastne põrge

JOONIS 9-15 Kehad 1 ja 2 liiguvad piki x-telge nii enne kui pärast mitteelastset põrget.

Joonis 9-15 kujutab kahte keha enne ja pärast ühemõõtmelist põrget. Näidatud on kehade kiirused enne (indeks $i$ ) ja pärast (indeks $f$ ) põrget. Need kaks keha moodustavad süsteemi, mis on suletud ja isoleeritud. Sellise süsteemi jaoks võime kirja panna liikumishulga jäävuse seaduse

(\begin{matrix} s ¨ u steemi liikumishulk {\to P}_{i} mingil algmomendil \end{matrix}) = (\begin{matrix} s ¨ u steemi liikumishulk {\to P}_{f} p ¨ a rast p ˜ o rget \end{matrix})

Kasutades sümboleid, saame

(9-50)

{\to p}_{1 i} + {\to p}_{2 i} = {\to p}_{1 f} + {\to p}_{2 f}

Kuna liikumine on ühemõõtmeline, võime vektorimärgid ära jätta ja vaadelda ainult teljesihilisi komponente, mille suuna määrab märk. Teades, et $p = m v$ , võime valemi 9-50 kirjutada kujul

(9-51)

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

Kui meile on näiteks teada kehade massid ja algkiirused ning ühe keha lõppkiirus, siis võime teise keha lõppkiiruse avaldada valemist 9-51.

Ühemõõtmeline täielikult mitteelastne põrge

JOONIS 9-16 Kahe keha täielikult mitteelastne põrge. Enne põrget on keha massiga $m_{2}$ paigal ja keha massiga $m_{1}$ liigub täpselt tema poole. Pärast põrget liiguvad kokkukleepunud kehad ühe ja sama kiirusega $\to V$ .

Joonisel 9-16 näeme kahte keha enne ja pärast täielikult mitteelastset põrget (mille käigus nad on kokku kleepunud). Keha massiga $m_{2}$ oli enne põrget paigal ( $v_{2 i} = 0$ ). Seda keha võime nimetada sihtmärgiks ning liikuvat keha viskekehaks. Pärast põrget liiguvad kokkukleepunud kehad kiirusega $V$ . Sellistel tingimustel saab valem 9-51 kuju

(9-52)

m_{1} v_{1 i} = (m_{1} + m_{2}) V

ehk

(9-53)

V = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i}

Kui on teada näiteks kehade massid ja viskekeha algkiirus $v_{1 i}$ , saame valemi 9-53 abil leida lõppkiiruse $V$ . Märgime, et $V$ peab olema väiksem kui $v_{1 i}$ , kuivõrd masside suhe $m_{1} / (m_{1} + m_{2})$ on ühest väiksem.

Massikeskme kiirus

JOONIS 9-17 Joonisel 9-16 toodud süsteemi liikumisest täielikult mitteelastse põrke ajal tehtud stoppkaadrid. Igal kaadril on näidatud süsteemi massikeskme asukoht. Näeme, et põrge ei mõjuta süsteemi massikeskme liikumist. Kuna pärast põrget on kehad kokku kleepunud, on nende ühine liikumiskiirus $\to V$ võrdne massikeskme kiirusega ${\to v}_{mk}$ .

Suletud isoleeritud süsteemi massikeskme kiirus ${\to v}_{m k}$ ei saa põrke käigus muutuda, kuna isoleeritud süsteemi kehadele ei mõju välisjõudusid, mis võiksid seda muuta. Et saada valemit vmk jaoks, vaatame uuesti joonisel 9-15 kujutatud kahe-keha-süsteemi ühemõõtmelist põrget. Valemi 9-25 ( $\to P = M {\to v}_{m k}$ ) abil saame ${\to v}_{m k}$ avaldada selle kahest kehast koosneva süsteemi liikumishulga $\to P$ kaudu, kirjutades

(9-54)

\to P = M {\to v}_{mk} = (m_{1} + m_{2}) {\to v}_{mk}

Süsteemi summaarne liikumishulk $\to P$ on põrke käigus jääv ja see kehtib võrrandi 9-50 mõlema poole kohta. Lähtuvalt vasakust poolest võime kirjutada

(9-55)

\to P = {\to p}_{1 i} + {\to p}_{2 i}

Pannes siit $\to P$ avaldise valemisse 9-54 ja avaldades sellest ${\to v}_{m k}$ , saame

(9-56)

{\to v}_{mk} = \frac{\to P}{m_{1} + m_{2}} = \frac{{\to p}_{1 i} + {\to p}_{2 i}}{m_{1} + m_{2}}

Selle valemi parem pool on konstantne, seega ka ${\to v}_{m k}$ väärtus on enne ja pärast põrget ühesugune.

Joonisel 9-17 on näitena toodud seeria stoppkaadreid massikeskme liikumisest joonisel 9-16 kujutatud täielikult mitteelastse põrke jooksul. Keha $2$ on sihtmärk ja tema esialgne liikumishulk valemis 9-56 on ${\to p}_{2 i} = m_{2} {\to v}_{2 i} = 0$ . Viskekeha $1$ esialgne liikumishulk on ${\to p}_{1 i} = m_{1} {\to v}_{1 i}$ . Märgime, et sellel stoppkaadrite seerial on näha liikumine nii enne kui ka pärast põrget ja massikese liigub kogu aeg ühesuguse kiirusega vasakult paremale. Pärast põrget langeb kokkukleepunud kehade lõppkiirus $\to V$ ühte massikeskme liikumiskiirusega ${\to v}_{m k}$ , kuna siis liigub massikese koos tekkinud liitkehaga.

Keha

1

ja keha

2

põrkusid omavahel nii, et see põrge oli täielikult mitteelastne. Milline on tekkinud liitkeha liikumishulk, kui nende esialgsed liikumishulgad olid vastavalt (a)

10 k g \cdot m / s

ja

0

; (b)

10 k g \cdot m / s

ja

4 k g \cdot m / s

; (c)

10 k g \cdot m / s

ja

- 4 k g \cdot m / s

?

Enne elektrooniliste vahendite leiutamist mõõdeti püssikuuli kiirust ballistilise pendli abil. Selle üks variante on esitatud joonisel 9-18: puuklots massiga

M = 5, 4 k g

ripub kahe pika nööri küljes. Kuul massiga

m = 9, 5 g

tulistatakse paigalseisva klotsi pihta nii, et ta sellesse kinni jääb. Klots koos kuuliga võngub ülespoole ja tema massikese kerkib

h = 6, 3 c m

võrra hetkeks, kus pendel jõuab äärmisse asendisse ning seal korraks peatub. Kui suur oli kuuli kiirus vahetult enne põrget?

Lahendus

JOONIS 9-18 Kuulide liikumiskiiruse määramiseks kasutatav ballistiline pendel.

On selge, et klotsi kerkimise kõrgusele $h$ määrab kuuli kiirus $v$ . Aga me ei saa kasutada nende kahe suuruse vahelise seose leidmiseks energia jäävuse seadust, kuna kuuli puidu sisse tungimise käigus pidi osa tema kineetilisest energiast muutuma teisteks energialiikideks (nagu soojus või puidu lõhkumisel tehtud töö). Me võime selle keerulise liikumise aga jagada kaheks etapiks: (1) kuuli põrge klotsiga ja (2) kuulist ja klotsist koosneva liitkeha võnkumine, mille käigus mehaaniline energia jääb samaks.

Esimene etapp: Kuivõrd kuuli ja klotsi põrge on lühiajaline, võime teha kaks oletust: (1) põrke ajal on klotsile mõjuv gravitatsioonijõud ja nööride pinge tasakaalus. Seetõttu on põrke ajal süsteemile kuul–klots mõjuv väline jõuimpulss null, süsteem on isoleeritud ja tema summaarne liikumishulk jääv. (2) Põrge on ühemõõtmeline selles mõttes, et kuulist ja klotsist koosneva liitkeha liikumissuund vahetult pärast põrget langeb ühte kuuli esialgse liikumissuunaga.

Kuna põrge oli ühemõõtmeline ja klots seisis paigal seni, kuni temasse tungis kuul, siis on liikumishulga jäävuse seadus siin väljendatav valemiga 9-53. Asetades sellesse ülalkasutatud tähised, saame

V = \frac{m}{m + M} v

Teine etapp: Kuivõrd pärast põrget võngub kuul koos klotsiga ülespoole, on süsteemi kuul–klots–Maa mehaaniline energia muutumatu. (Klotsile riputusnööride poolt mõjuv jõud tööd ei tee, kuna ta on kogu aeg risti klotsi liikumissuunaga; järelikult ei muuda ta ka süsteemi mehaanilist energiat.) Võtame klotsi algasendi tugitasandiks, kus loeme gravitatsiooni potentsiaalse energia nulliks. Nüüd tähendab süsteemi mehaanilise energia muutumatus seda, et süsteemi kineetiline energia võnke alguses peab olema võrdne süsteemi potentsiaalse energiaga võnke kõrgeimas punktis. Kuivõrd kuuli ja klotsi kiirus võnke algul on sama mis nende kiirus $V$ vahetult pärast põrget, võime energia jäävuse kirja panna kujul

\frac{1}{2} (m + M) V^{2} = (m + M) g h

Etapid koos võetuna: Pannes saadud valemisse $V$ valemist 9-57 saame

\begin{matrix} v & = \frac{m + M}{m} \sqrt{2 g h} = (\frac{0, 0095 k g + 5, 5 k g}{0, 0095 k g}) \sqrt{(2) (9, 8 m / s^{2}) (0, 063 m)} = 630 m / s - ------- - - ------- - \end{matrix}

Ballistilise pendli põhimõte on selles, et ta võimaldab teisendada kerge keha (kuuli) suure kiiruse raskema keha (klotsi) väiksemaks ja seetõttu kergemini mõõdetavaks kiiruseks.

Näidisülesanne 9-10

Kõige ohtlikumaks liiklusõnnetuseks loetakse autode laupkokkupõrget. Üllatav on seejuures asjaolu, et statistiliselt on autojuhi risk surma saada väiksem juhul, kui tal on kaassõitja. Püüame selgitada, miks.

Joonis 9-19 kujutab kahe ühesuguse auto laupkokkupõrget kui ühemõõtmelist täielikult mitteelastset põrget piki $x$ -telge. Kogu kokkupõrke vältel moodustavad autod suletud süsteemi. Lähtume suhteliselt tõepärasest eeldusest, et autodele mõjuv põrkest tingitud jõuimpulss on nii suur, et me võime jätta arvestamata väiksemad jõuimpulsid, mis on seotud rehvide hõõrdumisega teekatte vastu. Nii oletame, et kahest autost moodustatud süsteemile ei mõju välisjõud.

Esimese auto algkiiruse $x$ -komponent piki $x$ -telge on $v_{1 i} = + 25 m / s$ ja teisel autol $v_{2 i} = - 25 m / s$ . Põrke ajal autodele mõjuvad jõud (ja nende jõuimpulsid) muudavad autode kiirust $Δ v$ võrra. Juhi hukkumise tõenäosus sõltub tema auto $Δ v$ -st. Me peame välja arvutama kummagi auto kiiruse muutused $Δ v_{1}$ ja $Δ v_{2}$ .

Esiteks oletame, et kummaski autos on ainult autojuht. Esimese auto mass (koos juhiga

1

) on

m_{1} = 1400 k g

ja teise auto oma (koos juhiga

2

)

m_{2} = 1400 k g

. Millised on kummagi auto kiiruste muutused

Δ v_{1}

ja

Δ v_{2}

?

Lahendus

JUHTMÕTE Kuivõrd tegu on suletud ja isoleeritud süsteemiga, siis peab selle summaarne liikumishulk olema jääv.

Arvutused: Valemist 9-51 saame, et

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

Kuna põrge on täielikult mitteelastne, siis autod ühinevad liitkehaks, mille kiirus pärast põrget on $V$ . Asendades valemis 9-58 nii $v_{1 f}$ kui $v_{2 f}$ lõppkiirusega $V$ , saame

V = \frac{m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i}}{m_{1} + m_{2}}

Pannes siia algandmed, saame tulemuseks

V = \frac{(1400 k g) (+ 25 m / s) + (1400 k g) (- 25 m / s)}{1400 k g + 1400 k g} = 0

Seega on esimese auto kiiruse muutus

Δ v_{1} = v_{1 f} - v_{1 i} = V - v_{1 i} = 0 - (+ 25 m / s) = - 25 m / s - ------- - - ------- -

Ja teise auto kiiruse muutus

Δ v_{2} = v_{2 f} - v_{2 i} = V - v_{2 i} = 0 - (- 25 m / s) = + 25 m / s - ------- - - ------- -

Järgnevalt vaatame kokkupõrget, kus esimeses autos on lisaks juhile

80 k g

massiga reisija. Millised on sel juhul

Δ v_{1}

ja

Δ v_{2}

?

Lahendus

Arvutused: Kordame arvutusi, võttes $m_{1} = 1480 k g$ . Saame

V = 0, 694 m / s

mis annab

Δ v_{1} = - 24, 3 m / s

ja

Δ v_{2} = + 25, 7 m / s - ---------- - - ---------- -

Kiiruse muutus

Δ v_{1}

on väiksem autol, milles on reisija. Kuna oht surma saada sõltub

Δ v_{1}

-st, on meil alus oletada, et ka see on esimese auto juhi jaoks väiksem.Autode laupkokkupõrgete statistika ei sisalda andmeid kiiruse muutuse

Δ v

kohta, küll aga on olemas autode massid ja see, kas kokkupõrge oli kellelegi surmav. Nende andmete analüüsist on leitud, et surmariski faktor esimese auto juhi jaoks on

r_{1} = c {(\frac{m_{1}}{m_{2}})}^{1.79}

kus

c

on konstant. Põhjendage, miks sisaldab valem suhet

m_{2} / m_{1}

ning seejärel kasutage seda valemit, et võrrelda esimese autojuhi riski suurust koos reisijaga ja ilma.

Lahendus

Arvutused: Kirjutame kõigepealt valemi 9-58 ümber kujul

m_{1} (v_{1 f} - v_{1 i}) = - m_{2} (v_{2 f} - v_{2 i})

Asendades siia $Δ v_{1} = v_{1 f} - v_{1 i}$ ning $Δ v_{2} = v_{2 f} - v_{2 i}$ , leiame, et

\frac{m_{2}}{m_{1}} = - \frac{Δ v_{1}}{Δ v_{2}}

Autojuhi riskifaktor sõltub tema kiiruse muutusest $Δ v$ . Valemist 9-61 näeme, et $Δ v$ väärtuste suhe on pöördvõrdeline masside suhtega ning see ongi põhjus, miks uurijad on riskifaktori valemis 9-60 seostanud masside suhtega.

Lähtudes osast (a) ja valemist 9-60 ilma kaasreisijata, on esimese autojuhi riskifaktor

r_{1} = c {(\frac{1400 k g}{1400 k g})}^{1, 79} = c

Osast (b) ja valemist 9-60 koos kaasreisijaga on esimese autojuhi riskifaktor

r_{1}^{'} = c {(\frac{1400 k g}{1400 k g + 80 k g})}^{1, 79} = 0, 9053 c

Asendades siin c valemist 9-62, saame

r_{1}^{'} = 0, 9053 r_{1} \approx 0, 91 r_{1} - ----- - - ----- -

Sõnades väljendatuna: autojuhi risk surma saada on $9 %$ võrra väiksem, kui ta autos on kaasreisija.

Ühemõõtmeline elastne põrge

Nagu mainisime punktis 9-8, on tavaolukorras ette tulevad põrked mitteelastsed; siiski võime mõningatel juhtudel lugeda neid ligikaudu elastseteks. Sellistel juhtudel põrkuvate kehade kineetiline energia säilib ega muutu teisteks energialiikideks:

(\begin{matrix} kineetiline koguenergia enne p ˜ o rget \end{matrix}) = (\begin{matrix} kineetiline koguenergia p ¨ a rast p ˜ o rget \end{matrix})

See ei tähenda, et muutumatuks jääb kõigi kehade kineetiline energia. Pigem tähendab see, et

elastsete põrgete käigus võib iga üksiku keha kineetiline energia muutuda, aga süsteemi kineetiline koguenergia jääb samaks.

Näiteks võib kiiga löödud piljardikuuli põrkumist löödava kuuliga vaadelda kui ligikaudu elastset põrget. Kui tegu on otsepõrkega (löödud kuul liigub täpselt löödava kuuli poole), läheb löödud kuuli kineetiline energia peaaegu tervenisti üle löödavale kuulile. (Fakt, et me kuuleme põrke ajal plaksatust, näitab, et vähemalt mingi osa kineetilisest energiast muutub helienergiaks.)

Paigalseisev sihtmärk

JOONIS 9-20 Keha $1$ liigub piki $x$ -telge paigalseisva keha $2$ poole, millega toimub elastne põrge. Ka pärast põrget liiguvad mõlemad kehad piki $x$ -telge.

Joonis 9-20 kujutab kahte keha enne ja pärast ühemõõtmelist otsepõrget, nagu seda oli ülalkirjeldatud piljardikuulide põrge. Liikuva keha mass olgu $m_{1}$ ja tema kiirus $v_{1 i}$ , suunatud otse sihtmärgiks oleva keha poole, mille mass on $m_{2}$ ja mis seisab paigal ( $v_{2 i} = 0$ ). Eeldame, et see kahe keha süsteem on suletud ja isoleeritud. Sellisel juhul süsteemi liikumishulk põrkel ei muutu ja valemi 9-51 alusel võime seda kirjutada kui

(liikumishulk, 9-63)

m_{1} v_{1 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

Kuna põrge on elastne, siis säilib ka summaarne kineetiline energia ja me võime kirjutada

(kineetiline energia, 9-64)

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2}

Kõigis neis valemites viitab indeks $i$ kehade algkiirustele ja indeks $f$ lõppkiirustele. Kui me teame kehade masse ja keha $1$ algkiirust $v_{1}$ , siis jäävad ainsateks tundmatuteks $v_{1 f}$ ja $v_{2 f}$ – kehade lõppkiirused. Kuna meie käsutuses on kaks võrrandit, saame need kaks tundmatut leida.

Et seda teha, kirjutame valemi 9-63 kujul

(9-65)

m_{1} (v_{1 i} - v_{1 f}) = m_{2} v_{2 f}

ja valemi 9-64 kujul*

(9-66)

m_{1} (v_{1 i} - v_{1 f}) (v_{1 i} + v_{1 f}) = m_{2} v_{2 f}^{2}

Jagame need võrrandid omavahel ja pärast algebralisi teisendusi saame

(9-67)

v_{1 f} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i}

ning

(9-68)

v_{2 f} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i}

Märgime, et valemis 9-68 on $v_{2 f}$ alati positiivne (algselt paigal seisnud keha massiga $m_{2}$ hakkab alati liikuma ettepoole). Valemist 9-67 näeme, et kiirus $v_{1 f}$ võib olla mõlema märgiga (keha massiga m1 hakkab liikuma ettepoole juhul, kui $m_{1} > m_{2}$ , ja põrkub tagasi juhul, kui $m_{1} < m_{2}$ ).

Vaatleme mõningaid erijuhte.

Massid on võrdsed. Kui $m_{1} = m_{2}$ , siis viivad võrrandid 9-67 ja 9-68 tulemusele
$v_{1 f} = 0, ja v_{2 f} = v_{1 i}$
mida võib nimetada ka piljardisituatsiooniks. See ennustab, et pärast võrdsete massidega kehade otsepõrget keha $1$ (mis algselt liikus) jääb paigale ning keha $2$ (mis algselt seisis paigal) hakkab liikuma keha $1$ algkiirusega. Otsepõrkel vahetavad võrdse massiga kehad oma kiirused. See on õige ka siis, kui keha $2$ ei ole enne põrget paigal.
Massiivne sihtmärk. Joonisel 9-20 tähendab massiivne sihtmärk fakti, et $m_{2} ≫ m_{1}$ . Näiteks võime lüüa golfipalli vastu paigalseisvat suurtükikuuli. Valemid 9-67 ja 9-68 annavad sel juhul
(9-69)
$v_{1 f} \approx - v_{1 i}, ja v_{2 f} \approx (\frac{2 m_{1}}{m_{2}}) v_{1 i}$
See tähendab, et keha 1 (golfipall) põrkub tagasi, tema kiirus jääb seejuures peaaegu endiseks. Algselt paigal seisnud keha 2 (suurtükikuul) hakkab edasi liikuma, aga väga väikese kiirusega, kuna valemi 9-69 sulgudes olev liige on väga palju väiksem kui üks. See kõik on ootuspärane.
Massiivne viskekeha. See on eelmise vastandjuht: $m 1 ≫ m_{2}$ . Nüüd lööme suurtükikuuliga paigalseisvat golfipalli. Valemid 9-67 ja 9-68 annavad
(9-70)
$v_{1 f} \approx v_{1 i}, ja v_{2 f} \approx 2 v_{1 i}$
Valem 9-70 ütleb, et keha $1$ (suurtükikuul) jätkab pärast põrget liikumist esialgsest vaid pisut väiksema kiirusega. Keha $2$ (golfipall) aga sööstab ettepoole suurtükikuulist kaks korda suurema kiirusega.

Te võite imestada: miks kiirus kahekordistus? Asja üle järele mõtlemist alustades tuletame meelde valemiga 9-69 kirjeldatud juhtu, kus väikese massiga keha (golfipalli) kiirus muutus vahemikus $+ v$ kuni $- v$ , seega oli muutuse väärtuseks $2 v$ . Täpselt niisama suur kiiruse muutus (aga nüüd nullist kuni $2 v$ ) toimus ka viimases näites.

Liikuv sihtmärk

Seni oleme uurinud viskekeha elastset põrget paigalseisva sihtmärgiga, nüüd asume vaatlema juhtu, kus mõlemad kehad enne põrkumist liiguvad.

JOONIS 9-21 Kahe keha ühemõõtmeline elastne otsepõrge.

Joonisel 9-21 kujutatud olukorras tuleks liikumishulga jäävuse seadus kirjutada kujul

(9-71)

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f}

ja kineetilise energia jäävus kujul

(9-72)

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2}

Selleks et leida neist võrranditest $v_{1 f}$ ja $v_{2 f}$ , teisendame kõigepealt valemit 9-71,

(9-73)

m_{1} (v_{1 i} - v_{1 f}) = - m_{2} (v_{2 i} - v_{2 f})

ja seejärel valemit 9-72:

(9-74)

m_{1} (v_{1 i} - v_{1 f}) (v_{1 i} + v_{1 f}) = - m_{2} (v_{2 i} - v_{2 f}) (v_{2 i} + v_{2 f})

Jagades saadud võrrandid omavahel, saame pärast mõningaid algebralisi teisendusi:

(9-75)

v_{1 f} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

ja

(9-76)

v_{2 f} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

Märgime, et sel korral on indeksite omistamine vaadeldavatele kehadele meelevaldne. Kui vahetaksime joonisel 9-20 ning valemites 9-75 ja 9-76 kehade indeksid, jõuaksime ikkagi samasugusele tulemusele. Veel märgime, et kui võtta $v_{2 i} = 0$ , siis muutub keha 2 paigalseisvaks sihtmärgiks, nagu on kujutatud joonisel 9-20; valemid 9-75 ja 9-76 aga taanduvad valemiteks 9-67 ja 9-68.

Kui suur on joonisel 9-20 kujutatud sihtmärgi liikumishulk pärast põrget, kui viskekeha esialgne liikumishulk oli

6 k g \cdot m / s

ja tema liikumishulk pärast põrget on (a)

2 k g \cdot m / s

ja (b)

- 2 k g \cdot m / s

? (c) Kui suur on sihtmärgi kineetiline energia pärast põrget juhul, kui viskekeha kineetiline energia oli enne põrget

5 J

ja pärast põrget

2 J

?

Kaks metallkera ripuvad püstloodis nööride otsas nii, et nende pinnad puutuvad parasjagu kokku (joonis 9-22). Kera

1

mass

m_{1}

on

30 g

, ta tõmmatakse vasakule kuni kõrguseni

h_{1} = 8, 0 c m

ning lastakse paigalseisust lahti. Alla liikudes põrkub ta elastselt keraga

2

, mille mass

m_{2} = 75 g

. Kui suur on kera

1

kiirus

v_{1 f}

vahetult pärast põrget?

Lahendus

JOONIS 9-22 Kaks metallkera on riputatud nööri otsa nii, et nad paigalseisus puudutavad teineteist. Kera $1$ , mille mass on $m_{1}$ , tõmmatakse vasakule kõrguseni $h_{1}$ ja lastakse lahti.

JUHTMÕTE Me jagame selle keerulise liikumise kaheks etapiks ja analüüsime neid eraldi: (1) kera $1$ laskumine, (mille käigus säilib mehaaniline energia) ja (2) kerade põrge (mille käigus säilib liikumishulk).

1. etapp: Kui kera $1$ liigub allapoole, peab süsteemi kera–Maa mehaaniline energia säilima. (Nööri poolt kerale mõjuv jõud ei saa mehaanilist energiat muuta, kuivõrd ta mõjub risti kera liikumissuunaga ning tema töö on null.)

Arvutused: Võtame süsteemi tugiolekuks kera nr $1$ madalaima asendi ja loeme tema gravitatsiooni potentsiaalse energia nulliks. Sellisel juhul peab selle kera kineetiline energia madalaimas asendis olema võrdne süsteemi gravitatsiooni potentsiaalse energiaga hetkel, kui kera $1$ on oma kõrgeimas asendis $h_{1}$ . Seega

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} = m_{1} g h_{1}

mida lahendades leiame kera $1$ kiiruse $v_{1 i}$ vahetult enne põrget,

\begin{matrix} v_{1 i} & = \sqrt{2 g h_{1}} = \sqrt{(2) (9, 8 m / s^{2}) (0080 m)} = 1, 252 m / s \end{matrix}

2. etapp: Lisaks oletusele, et põrge on elastne, peame siin tegema veel kaks oletust. Esiteks peame oletama, et põrge on ühemõõtmeline, kuna kerade liikumine on ligikaudu horisontaalne nii vahetult enne kui vahetult pärast põrget. Teiseks, kuna põrge kestab väga lühikest aega, oletame, et süsteem on suletud ja isoleeritud. Seetõttu peab süsteemi kogu liikumishulk olema jääv suurus.

Arvutused: Arvestades eelöeldut, võime kera $2$ kiiruse leidmiseks vahetult pärast põrget kasutada valemit 9-67:

\begin{matrix} v_{f i} & = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} = = \frac{0, 030 k g - 0, 075 k g}{0, 030 k g + 0, 075 k g} (1, 252 m / s) = - 0, 537 m / s \approx - 0, 54 m / s - ---------- - - ---------- - \end{matrix}

Miinusmärk tähendab, et kera $1$ liigub vahetult pärast põrget vasakule poole.

Kahemõõtmeline põrge

Kui kaks keha põrkuvad, määrab nende vaheline jõuimpulss ka selle, mis suunas kehad pärast põrget liikuma hakkavad. Juhul kui tegu ei ole otsepõrkega, ei jätka kehad liikumist samas sihis, mis enne põrget. Kui niisugune põrge toimub suletud ja isoleeritud süsteemis, peab aga summaarne liikumishulk jääma endiseks:

(9-77)

{\to P}_{1 i} + {\to P}_{2 i} = {\to P}_{1 f} + {\to P}_{2 f}

Erijuhul, kui on tegu elastse põrkega, jääb muutumatuks ka süsteemi kineetiline energia:

(9-78)

K_{1 i} + K_{2 i} = K_{1 f} + K_{2 f}

JOONIS 9-23 Kahe keha elastne põrge juhul, kus tegu ei ole otsepõrkega. Keha massiga $m_{2}$ (sihtmärk) oli esialgu paigal.

Valemit 9-77 on kahemõõtmelise põrke uurimisel kergem kasutada, kui me kirjutame ta lahti $x y$ -komponentidena. Joonisel 9-23 on näitena toodud nn riivav põrge (see tähendab, et tegu ei ole otsepõrkega), kus viskekeha tabab paigalseisvat sihtmärki. Põrkel jaguneb liikumishulk nii, et kehad paisatakse laiali suundades, mis moodustavad esialgse liikumissuuna ehk $x$ -teljega nurgad $θ_{1}$ ja $θ_{2}$ . Sellisel juhul võime kirjutada valemi 9-77 liikumishulga $x$ -telje suunaliste komponentide jaoks kujul

(9-79)

m_{1} v_{1 i} = m_{1} v_{1 f} cos θ_{1} + m_{2} v_{2 f} cos θ_{2}

ja $y$ -komponentide jaoks

(9-80)

0 = - m_{1} v_{1 f} sin θ_{1} + m_{2} v_{2 f} sin θ_{2}

Samuti võime (erijuhul, kui põrge on elastne) kirjutada valemi 9-78 ümber kiiruste kaudu:

(kineetiline energia, 9-81)

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2}

Kolm võrrandit 9-79 kuni 9-81 sisaldavad seitset muutujat: masse $m_{1}$ ja $m_{2}$ ; kolme kiirust $v_{1 i}$ , $v_{1 f}$ ja $v_{2 f}$ ning kaht nurka $θ_{1}$ ja $θ_{2}$ . Kui neist neli on teada, saame leida kolm ülejäänut, lahendades viimasest kolmest võrrandist koosneva süsteemi.

Oletame, et joonisel 9-23 kujutatud viskekeha esialgne liikumishulk oli

6 k g \cdot m / s

, tema liikumishulga

x

-komponent pärast põrget

4 k g \cdot m / s

ning

y

-komponent pärast põrget

- 3 k g \cdot m / s

. Kui suur on sihtmärgi liikumishulga (a)

x

-komponent ja (b)

y

-komponent pärast põrget?

Muutuva massiga süsteem: rakett

Siiani on meil tegu olnud süsteemidega, mille kogumass on jäänud muutumatuks. Mõningatel juhtudel, nagu näiteks raketi korral, ei ole see õige. Stardiseadmel seisva raketi massist moodustab suure osa kütus, mis kõik ära põletatakse ja rakettmootori düüsidest välja paisatakse.

Me käsitleme raketi massi muutumist kiirendamise käigus, rakendades Newtoni teist seadust mitte ainult raketile, vaid raketile koos düüsist välja paisatud põlemisgaasidega. Sellise süsteemi mass ei muutu raketi kiirendamise käigus.

Kiirenduse leidmine

JOONIS 9-24 (a) Kiirendusega liikuv rakett massiga $M$ ajahetkel $t$ , nii nagu ta paistab mingist inertsiaalsüsteemist vaadatuna. (b) Seesama, hetkel $t + d t$ . Kujutatud on ka ajavahemiku $d t$ vältel mootorist välja paisatud põlemisproduktid.

Oletame, et jälgime raketi kiirendamist avakosmoses, kus talle ei mõju ei gravitatsioonijõud ega õhutakistus, sellisest inertsiaalsüsteemist, mille suhtes me ise oleme paigal. Liikumine olgu ühemõõtmeline ning mingil suvalisel ajahetkel $t$ olgu raketi mass $M$ ja tema kiirus $v$ (joonis 9-24a).

Joonis 9-24b kujutab asjade seisu pärast ajavahemiku $d t$ möödumist. Raketi kiirus on nüüd $v + d v$ ja tema mass $M + d M$ , kus massi muutus $d M$ on negatiivne suurus. Olgu raketist ajavahemiku $d t$ jooksul väljapaisatud gaaside mass $- d M$ ja nende kiirus meie inertsiaalsüsteemi suhtes $U$ .

Süsteem, mida uurime, koosneb raketist ja ajavahemiku $d t$ jooksul välja paisatud gaasidest. Süsteem on suletud ja isoleeritud, seega ei saa tema summaarne liikumishulk selle ajavahemiku jooksul muutuda; niisiis

(9-82)

P_{i} = P_{f}

kus indeksid $i$ ja $f$ viitavad muutuja väärtustele ajavahemiku $d t$ algul ja lõpus. Kirjutame valemi 9-82 ümber kujul

(9-83)

M v = - d M U + (M + d M) (v + d v)

kus parema poole esimene liige on aja $d t$ jooksul väljapaisatud põlemisgaaside liikumishulk ja teine liige raketi liikumishulk pärast ajavahemiku $d t$ möödumist.

Valemit 9-83 saab lihtsustada, kasutades väljalaskegaaside ja raketi suhtelist kiirust $v_{r e l}$ , mida saab arvutada taustsüsteemi suhtes mõõdetud kiiruste kaudu:

(\begin{matrix} raketi kiirus tausts ¨ u steemi suhtes \end{matrix}) = (\begin{matrix} raketi kiirus v ¨ a ljalaskegaaside suhtes \end{matrix}) + (\begin{matrix} v ¨ a ljalaskegaaside kiirus tausts ¨ u steemi suhtes \end{matrix})

Sümbolites kirjapanduna on see

(v + d v) = v_{rel} + U

ehk

(9-84)

U = v + d v - v_{rel}

Pannes siit leitud $U$ avaldise valemisse 9-83 ning tehes mõned algebralised teisendused, saame

(9-85)

- d M v_{rel} = M d v

Jagame mõlemat poolt $d t$ -ga:

(9-86)

- \frac{d M}{d t} v_{rel} = M \frac{d v}{d t}

Asendame nüüd $d M / d t$ (raketi massi vähenemise kiirus) suurusega $- R$ , kus $R$ on (positiivne) raketi kütusetarve (väljapaisatud gaasihulga massi kasvukiirus), ja tõdeme, et $d v / d t$ ongi raketi kiirendus. Pärast neid asendusi saame:

(9-87)

R v_{rel} = M a

Valem 9-87 kehtib igal suvalisel ajahetkel, kusjuures mass $M$ , kütuse põlemiskiirus $R$ ja kiirendus $a$ on vastavate suuruste väärtused sellel ajahetkel.

Märgime, et valemi 9-87 vasakul poolel oleva suuruse mõõtühikuks on jõuühik ( $k g / s \cdot m / s = k g \cdot m / s^{2} = N$ ) ja see sõltub üksnes raketi mootori omadustest – nimelt gaaside väljavoolukiirusest $R$ ning nende liikumiskiirusest raketi suhtes $v_{rel}$ . Korrutist $R v_{rel}$ nimetatakse rakettmootori veojõuks ja tähistatakse tähega $T$ . Kui kirjutame $T = M a$ , siis näeme selgesti, et tegu on Newtoni teise seadusega, kus $a$ on raketi kiirendus hetkel, kui tema mass on $M$ .

Kiiruse leidmine

Kuidas siis leida raketi kiirust sõltuvalt kütuse hulga kahanemisest? Valemist 9-85 saame

d v = - v_{rel} \frac{d M}{M}

Integreerime seda avaldist:

\int_{v_{i}}^{v_{f}} d v = - v_{rel} \int_{M_{i}}^{M_{f}} \frac{d M}{M}

kus $M_{i}$ on raketi algmass ja $M_{f}$ tema lõppmass. Integreerimise tulemusena saame

(raketi teine võrrand, 9-88)

v_{f} - v_{i} = v_{rel} ln \frac{M_{i}}{M_{f}}

mis annab raketi kiiruse suurenemise selle aja jooksul, kus tema mass muutub väärtusest $M_{i}$ väärtuseni $M_{f}$ . (Sümbol „ $ln$ ” valemis 9-88 tähendab naturaallogaritmi.) Me võime seda edasi arendada mitmeastmelistele liitrakettidele, kus $M_{f}$ vähendatakse raketi astmete äraviskamise teel pärast seda, kui nende kütus on lõppenud. Ideaalsel juhul viib rakett sihtkohta üksnes kasuliku koorma.

Näidisülesanne 9-12

Rakett algmassiga $M_{i} = 850 k g$ kulutab kütust kiirusega $R = 2, 3 k g / s$ . Mootori väljalaskegaaside kiirus raketi suhtes, $v_{r e l}$ , on $2800 m / s$ .

Kui suur on raketi mootori veojõud?

Lahendus

JUHTMÕTE Valemi 9-87 järgi on veojõud $T$ võrdne kütusekulu $R$ ja põlemisgaaside väljavoolukiirusega raketi suhtes $v_{r e l}$ .

Arvutused: Pannes valemisse algandmed, saame

T = R v_{r e l} = (2, 3 k g / s) (2800 m / s) = 6440 N \approx 6400 N - ------ - - ------ -

Kui suur on raketi algkiirendus?

Lahendus

JUHTMÕTE Me saame siduda rakettmootori veojõu $T$ tema poolt raketile antava kiirendusega $a$ ja raketi massiga $M$ valemi $T = M a$ abil. Kütuse kulutamise käigus raketi mass väheneb ja vastavalt suureneb kiirendus. Kuna meil on vaja leida algkiirendus, peame raketi massi võtma võrdseks algmassiga $M_{i}$ .

Arvutused: Näeme, et

a = \frac{T}{M_{i}} = \frac{6440 N}{850 k g} = 7, 6 m / s^{2} - -------- - - -------- -

Kui rakett stardib maapinnalt, peab tema algkiirendus olema suurem kui $g = 9, 8 m / s^{2}$ . Teiste sõnadega peab tema mootori veojõud olema suurem raketile mõjuvast gravitatsioonijõust, mille suuruseks on $M_{i} g$ , mis käesoleval juhul teeb $(850 k g) (9, 8 m / s^{2})$ , ehk $8330 N$ . Kuivõrd ei kiirenduse ega veojõu nõue pole siin täidetud ( $T = 6400 N$ ), siis ei saa meie rakett maapinnalt iseseisvalt startida. Selleks vajaksime teist, võimsamat raketti.

Summary

$n$ punktmassist koosneva süsteemi massikese defineeritakse kui punkt koordinaatidega

x_{m k} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}, y_{m k} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}, z_{m k} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i}

ehk

{\to r}_{m k} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\to r}_{i}

kus $M$ on süsteemi kogumass.

Suvalise punktmasside süsteemi massikeskme liikumist saab arvutada Newtoni teisest seadusest punktmasside süsteemi kohta, mis on antud valemiga

{\to F}_{res} = M {\to a}_{mk}

Siin ${\to F}_{res}$ on kõigi süsteemile mõjuvate välisjõu

Üksiku punktmassi jaoks defineeritakse liikumishulk $\to p$ valemiga

\to p = m \to v

Selle suuruse abil väljendatuna saab Newtoni teine seadus kuju

{\to F}_{res} = \frac{d \to p}{d t}

Punktmasside süsteemi korral saavad need valemid kuju

@{2091

Kui rakendame punktmassina käsitletavate kehade põrke uurimisel liikumishulga kaudu antud Newtoni teist seadust, saame liikumishulga ja jõuimpulsi teoreemi

{\to p}_{f} - {\to p}_{i} = Δ \to p = \to J

kus ${\to p}_{f} - {\to p}_{i} = Δ \to p$ on keha liikumishulga muutus ja

Kui süsteem on isoleeritud, nii et temale mõjuvate välisjõudude resultant on null (välisjõudude mõju puudub), siis jääb süsteemi summaarne liikumishulk $\to P$ muutumatuks:

\to P = konstant

mida võib kirjutada ka kuju

Kui toimub kahe keha mitteelastne põrge, siis sellise kahest kehast koosneva süsteemi kineetiline energia ei säili. Kui süsteem on suletud ja isoleeritud, siis peab süsteemi liikumishulk säilima ja seda saab vektorkujul kirjutada järgnevalt:<

Kahest kehast koosneva suletud ja isoleeritud süsteemi massikeskme liikumist nende kehade põrge ei mõjuta. Seega ei muutu põrke tagajärjel ka massikeskme kiirusvektor ${\to v}_{m k}$ .

Elastseks põrkeks nimetatakse selliseid põrkeid, mille käigus põrkuvatest kehadest moodustatud süsteemi kineetiline energia säilib. Kui see süsteem on suletud ja isoleeritud, siis säilib ka süsteemi liikumishulk. Ühemõõ

Kui põrkuvad kaks keha, mis ei liigu piki üht telge (s.t tegemist ei ole otsepõrkega), on põrge (vähemalt) kahemõõtmeline. Kui see kahest põrkuvast kehast moodustatud süsteem on suletud ja isoleeritud, saab liikumishulga jäävuse s

Kui kiirendatavale raketile ei mõju väliseid jõudusid, kehtib hetkkiirenduse jaoks valem

R v_{rel} = M a

kus $M$ on raketi mass sel hetkel (koos veel kasutamata kütusega), $R$ kütusekulu ja $v_{rel}$ põlemisgaaside väljavoolukiirus ra

Küsimused

Joonisel 9-25 on pealtvaates kujutatud kolmest punktmassist koosnev süsteem, millele mõjuvad välisjõud. Kahe välisjõu suurused ja suunad on joonisele märgitud. Milline peab olema kolmanda jõu suurus ja suund, kui süsteemi masskese (a) on paigal; (b) liigub konstantse kiirusega paremale poole ja (c) liigub kiirenevalt paremale poole?

Joonisel 9-26 on pealtvaade neljale ühesuguse massiga punktmassile, mis libisevad konstantse kiirusega mööda hõõrdevaba põrandat. Kiiruste suunad on joonisel näidatud, nende suurused on võrdsed. Vaatleme nüüd punktmasse paarikaupa. Missugustest kahest punktmassist koosneva süsteemi massikese (a) on paigal; (b) püsib paigal koordinaatide alguspunktis ja (c) liigub läbi koordinaatide alguspunkti?

Joonisel 9-27 on pealtvaates kujutatud kolmele šokolaadikastile mõjuvate jõudude vektordiagrammid. Kastid libisevad mööda hõõrdevaba poeletti ja neile mõjuvad horisontaalsuunalised jõud. Vastake iga kasti kohta, kas tema liikumishulga x-telje suunaline ning y-telje suunaline komponent on muutumatu või mitte.

Joonisel 9-28 on näidatud neli kolmest või neljast ühesugusest punktmassist koosnevat süsteemi, kus punktmassid liiguvad ühesuguste kiirustega kas piki x- või y-telge. Järjestage süsteemid nende massikeskmete kiiruste järgi, alustades suurimast.

Kujutlege, et näidisülesandes 9-6 kirjeldatud kast, mis liigub konstantse positiivse kiirusega piki

x

-telge, lõhkeb kaheks tükiks. Kui üks tükkidest massiga

m_{1}

saab positiivse kiiruse

v_{1}

, siis võib teine tükk saada (a) positiivse kiiruse

v_{2}

(joonis 9-29a), (b) negatiivse kiiruse

v_{2}

(joonis 9-29b) või (c) jääda paigale (joonis 9-29c). Järjestage need teise tüki kolm võimalikku liikumist vastavalt

v_{1}

suurusele, alustades suurimast.

Joonisel 9-30 on graafikud, mis kujutavad kehale põrke ajal mõjuvat jõudu funktsioonina ajast. Järjestage need graafikud vastavalt kehale üle kantud jõuimpulsile, alustades suurimast.

Kahe keha vahel leiab aset ühemõõtmeline elastne põrge piki x-telge. Joonisel 9-31 olevatel graafikutel on kujutatud nende kehade asukohtade ja neist moodustuva süsteemi massikeskme asukoha sõltuvus ajast. (a) Kas enne põrget liikusid mõlemad kehad ja või oli üks neist paigal? Milline lõik vastab massikeskme liikumisele (b) enne põrget ja (c) pärast põrget? (d) Kas sellel kehal, mis liikus enne põrget kiiremini, on mass suurem, võrdne või väiksem teise keha massiga võrreldes?

Horisontaalsel põrandal olev klots kas seisab paigal, liigub x-telje positiivses suunas või liigub x-telje negatiivses suunas. Seejärel lõhkeb klots kaheks tükiks, mis samuti hakkavad liikuma piki x-telge. Oletame, et klots ja temast tekkinud kaks tükki moodustavad suletud isoleeritud süsteemi. Joonisel 9-32 on kujutatud kuus graafikut, mis kujutavad klotsi ja selle tükkide liikumishulka funktsioonina ajast

t

. Tehke kindlaks, millised neist graafikutest on füüsika seisukohalt võimatud, ja seletage, mispärast.

Klots 1 massiga

m_{1}

libiseb piki x-telge üle hõõrdevaba põranda ja põrkub elastselt klotsiga 2, mille mass on m2. Joonisel 9-33 toodud graafik kujutab klotsi 1 asukohta funktsioonina ajast kuni põrkeni punktis

x_{c}

, mis toimus hetkel

t_{c}

. Mis tähega tähistatud sektorisse liigub klots pärast põrget, kui (a)

m_{1} < m_{2}

ja (b)

m_{1} > m_{2}

? (c) Mis numbriga märgitud kriipsjoon kujutab klotsi liikumist pärast põrget juhul, kui

m_{1} = m_{2}

?

Joonisel 9-34 toodud neli graafikut kujutavad kahe keha asukohtade ning neist moodustuva süsteemi massikeskme asukoha sõltuvust ajast. Need kaks keha moodustavad suletud ja isoleeritud süsteemi, milles toimub ühemõõtmeline täielikult mitteelastne põrge. Kas graafikul 1 liiguvad (a) mõlemad kehad ja (b) nende massikese x-telje positiivses või negatiivses suunas? (c) Millised graafikud kujutavad füüsikaliselt võimatut olukorda? Selgitage, miks.

Klots libiseb hõõrdevabal põrandal vastu samasuguse massiga paigalseisvat klotsi. Joonisel 9-35 olevad neli graafikut kujutavad klotside kineetilist energiat funktsioonina ajast. (a) Määrake, millistel graafikutel on kujutatud füüsikaliselt võimatu olukord. Ülejäänute kohta vastake, milline neist esitab kõige paremini (b) elastset põrget ja (c) mitteelastset põrget.

Joonisel 9-36 näete momentvõtet klotsist 1, mis libiseb piki hõõrdevaba põrandat, kuni põrkub elastselt paigalseisva klotsiga 2. Joonisel on näidatud nendest kahest klotsist koosneva süsteemi massikeskme (mk) kolm võimalikku asukohta pildi tegemise hetkel. (Punkt

B

asub täpselt kahe klotsi keskpunktide vahel keskel.) Kas klots 1 seisab pärast põrget paigal, liigub edasi või liigub tagasi, kui massikese asub punktis (a)

A

, (b)

B

ja (c)

C

?

Ülesanded

KONTROLLKÜSIMUS 1

Näidisülesanne 9-1

Näidisülesanne 9-2 Arenda oma oskusi

Juhis 1: Ülesanded massikeskmega

KONTROLLKÜSIMUS 2

Näidisülesanne 9-3

KONTROLLKÜSIMUS 3

KONTROLLKÜSIMUS 4

KONTROLLKÜSIMUS 5

KONTROLLKÜSIMUS 6

Näidisülesanne 9-4

(a)

(b)

Näidisülesanne 9-6

Näidisülesanne 9-7

(a)

(b)

Juhis 2: Liikumishulga jäävuse seadus

KONTROLLKÜSIMUS 7

Näidisülesanne 9-9 Arenda oma oskusi

(a)

(b)

(c)

KONTROLLKÜSIMUS 8

Näidisülesanne 9-11

KONTROLLKÜSIMUS 9

(a)

(b)

Massikese

Newtoni teine seadus punktmasside süsteemi kohta

Liikumishulk ja Newtoni teine seadus

Põrge ja jõuimpulss

Liikumishulga jäävuse seadus

Ühemõõtmeline mitteelastne põrge

Massikeskme liikumine

Ühemõõtmeline elastne põrge

Kahemõõtmelised põrked

Muutuva massiga süsteemid