Ülesanded

Aerosaan veab kahte võrdse massiga kelku (vt. joonis). Kelgu mass võrdub aerosaani massiga. Kelkude ja aerosaani suuskade ehitused ja hõõrdeomadused on ühesugused. Mingil kiirusel $v_{1}$ näitab kahe kelgu vahele rakendatud dünamomeeter jõudu $F$ . Kui suurt veojõudu $T$ peab avaldama aerosaani propeller kiirusel $v_{2} = 2 v_{1}$ , kui $m g = 4000 N$ ( $g$ väärtus on $10 m / s^{2}$ ). Suuruse $χ = \frac{F}{m g}$ sõltuvus kiirusest on esitatud graafikul.

Lahendus

Tuleb taibata, et propelleri tõmme $T$ ei võrdu aerosaani poolt kelkudele avaldatud tõmbega. Tõmme $T$ jaguneb kolme sarnaste hõõrdeomadustega keha vahel, seega alati

F = \frac{T}{3}

Leiame jõu $F$ kiiruse $v_{2}$ jaoks graafikult - see on:

F_{v_{2}} = 0, 35 \cdot 4000 N = 1400 N

Seega propelleri tõmbejõud avaldub:

T = 3 \cdot 1400 N = 4200 N

Kitsa põhjaga anumas on vesi (vt joonis). Anuma külgedest ühekaugusel ujub puidust keha. Kas anum läheb ümber, kui keha sujuvalt nihutada anuma ääre suunas? Vastust põhjendada.

Lahendus

Anum ei lähe ümber. Archimedese seaduse põhjal keha ujumisel on klotsile mõjuvad jõud tasakaalus, ükskõik kas ta asetseb vedeliku keskel või ääres.

Väike Joosep nägi vanas teadusajakirjas juhendit munakoorest aurulaeva ehitamiseks. Munasse tuleb torgata väike auk, sisu välja imeda ja asemele panna veidi vett. Küünla kohal kuumutades läheb vesi keema ning august väljuv aurujuga panebki laeva liikuma.

Joosepi vanem vend Juhan oli aga koolis juba füüsikat õppinud ning otsustas eksperimentaalselt mõõta niisuguse seadme reaktiivjõudu. Muna mudelina kasutas ta õhukeste, kuid tugevate seintega hermeetilist, tundmatu massiga kuubikut, mille vertikaalse külje sisse puuris augu. Kuubiku ühendas ülemistest tippudest $L = 2 m$ pikkuste vertikaalsete nööridega lae külge rippuma (et takistada kuubiku pöörlemahakkamist ning ühtlasi tagada kuubi külgede horisontaalsus/vertikaalsus kõrvalekaldumisel tasakaaluasendist). Kuubikusse pani $m_{v e s i} = 75 g$ vett ning hakkas kuubiku põhja piirituslambi ühtlase leegiga kuumutama (hoides leeki kogu eksperimendi kestel kuubiku põhja all).

Alates vee keema hakkamisest registreeris Juhan ühtlaste intervallidega kuubiku horisontaalsihilise kõrvalekalde $x$ algasendist. Graafiku viimane punkt vastab ligikaudu hetkele, mil kogu vesi oli ära keenud. Leidke reaktiivjõud $F$ , mida avaldab väljuv aurujuga kuubikule.

Lahendus

Joonistame välja kuubile mõjuvad jõud. Võrdelistest täisnurksetest kolmnurkadest saame tingimuse

\frac{F}{M g} = \frac{x}{\sqrt{L^{2} - x^{2}}},

kus liikme

\sqrt{L^{2} - x^{2}}

võime lihtsuse mõttes asendada konstantse väärtusega

L

, kuna eksperimendis registreeritud suurima kõrvalekalde korral oleks sel juhul tehtav suhteline viga vaid

1 - \frac{2000}{\sqrt{2000^{2} - 35^{2}}} \approx 0, 01 %

Niisiis lähtume ülesande lahendamisel seosest

\frac{x}{L} \approx \frac{F}{M g} ⟹ x \approx \frac{F L}{M g}

Ilmselt aja jooksul mass väheneb ning kõrvalekaldenurk suureneb. Graafikult hindame, et keema hakkamise hetkel on nihe

x_{a l g} \approx 8 m m

, millele vastab kogumass

M_{a l g} = m_{k u u p} + m_{v e s i}

. Lõpphetkel aga

x_{l ˜ o p p} \approx 34 m m

ning kuna nüüdseks on kogu vesi aurustunud, tuleb arvesse vaid kuubi enda mass

M_{l ˜ o p p} = m_{k u u p}

. Lugedes jõu

F

protsessi vältel konstantseks, saame võrrandi:

\frac{x_{l ~ o p p}}{x_{a l g}} = \frac{\frac{F L}{g M_{l ~ o p p}}}{\frac{F L}{g M_{a l g}}} = \frac{M_{a l g}}{M_{l ~ o p p}} = \frac{m_{k u u p} + m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = 1 + \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}}; \frac{m_{v e s i}}{m_{k u u p}} = \frac{34}{8} - 1 \approx 3, 2

mistõttu

m_{k u u p} \approx 23 g

ning reaktiivjõuks saame

F = \frac{g x_{l ~ o p p} m_{k u u p}}{L} \approx 3, 9 m N .

Üksteise kohale on seinale liigenditega kinnitatud kaks horisontaalset varrast, mõlemad pikkusega 2 $l$ . Ülemisel on liigend keskel, alumisel aga vasakpoolsest otsast kaugusel $a$ , kusjuures $a > l$ . Varraste kohakuti paiknevaid otsi ühendavad venimatud nöörid. Ülemise varda vasakpoolse otsa peale kinnitatakse raske muna massiga $m$ . Leidke nööride tõmbejõud - vasakpoolsel $T_{1}$ ja parempoolsel $T_{2}$ . Varraste masse mitte arvestada.

Lahendus

Käsitleme vardaid kangidena ja kirjutame neile mõjuvate jõumomentide tasakaalud vastavate liigendite suhtes (ehk kangide harilikud tasakaalutingimused).

(m g + T_{1}) l = T_{2} l \Rightarrow T_{2} = T_{1} + m g = ⇑ m g (\frac{2 l - a}{2 (a - l)} + 1) = \frac{m g a}{2 (a - l)} T_{1} a = T_{2} (2 l - a) \Rightarrow T_{1} ⇓ = \frac{m g}{\frac{a}{2 l - a} - 1} = \frac{m g (2 l - a)}{2 (a - l)}

Joonisel toodud kangi tumedam pool on tehtud materjalist tihedusega $ρ_{2} = 4, 5 g / c m^{3}$ , heledam pool aga materjalist tihedusega $ρ_{1} = 2, 5 g / c m^{3}$ . Alguses on kang tasakaalus. Siis asetatakse punkti $C$ keha massiga $M = 60 g$ . Leidke, millise massiga keha tuleks asetada punkti $A$ , et kang jääks tasakaalu.

Lahendus

Leiame kangi toetuspunkti asukoha. Kuna alguses oli kang tasakaalus, siis asub toetuspunkt seal, kus kangi massikesegi. Olgu kangi pikkus $l$ . Tema poolte massikeskmed asuvad kaugusel $\frac{1}{4} l$ ja $\frac{3}{4} l$ punktist $A$ . Kuna varda mõlemad pooled on sama ruumalaga, siis võime kangi enda massikeskme leidmisel asendada massi tihedusega, kuna ruumalad taanduksid välja. Mass ja tihedus on seotud:

ρ = \frac{m}{V}

Punktist

A

asub siis kangi enda massikese kaugusel

l_{A} = \frac{\frac{l ρ_{1}}{4} + \frac{3 l ρ_{2}}{4}}{ρ_{1} + ρ_{2}} = \frac{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4}

Punktist

C

asub see siis kaugusel

l_{C} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + ρ_{2}} \frac{l}{4} ⟹ \frac{l_{C}}{l_{A}} = \frac{3 ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} + 3 ρ_{2}}

Kui me asetame kaks keha kangi otsadele, siis on nende tekitatud jõumomendid võrdsed. Kuna keha massiga

M

asetati kangi tumedamale otsale, siis kehtib võrdus

m l_{A} = M l_{C}

, kus

m

on teise keha mass. Siit

m = \frac{l_{C}}{l_{A}} M = 45 g

Alumiiniumvarda ühte otsa on riputatud koormis massiga $m_{1} = 100 g$ ja sellest $d = 20 c m$ kaugusele koormis massiga $m_{2} = 200 g$ (vt. joonis). Kust tuleks toetada varrast, et see oleks tasakaalus, kui varda pikkus on $l = 1 m$ , varda ristlõikepindala $S = 1 c m^{2}$ ja alumiiniumi tihedus on $ρ = 2700 \frac{k g}{m^{3}}$ ? Tehke joonis.

Lahendus

Leiame varda massi:

M = V ρ = l \cdot S \cdot ρ = 1 m \cdot 0, 0001 m^{2} \cdot 2700 k g / m^{3} = 0, 27 k g

Me võime lugeda vardale mõjuva raskusjõu koondunuks tema masskeskmesse, mis asub varda koormatud otsast kaugusel

l / 2

. Olgu tasakaalustamiseks vajaliku toetuspunkti kaugus varda koormatud otsast

L

. Summaarne jõumoment, millega varrast sel juhul ümber toetuspunkti pööratakse, peab võrduma nulliga:

m_{1} g (L - 0) + m_{2} g (L - d) + M g (L - l / 2) = 0

Siit saame avaldada

L = \frac{m_{2} d + M l / 2}{m_{1} + m_{2} + M} = 0, 30 m

Ühtlase kangi pikkus $l = 2 m$ ja mass $m = 10 k g$ . Tema parempoolsele otsale mõjub jõud $F_{1} = 50 N$ (vt. joonis). Kui suurt ja mis suunas mõjuvat jõudu $F$ tuleb rakendada kangi vasakpoolsele otsale, et kang oleks tasakaalus?

Lahendus

Kangi $l = 2 m$ parempoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{1} = 1, 2 m

m_{1} = 10 \cdot \frac{1, 2}{2} = 6 k g

Kangi vasakpoolse osa pikkus ja mass avalduvad:

l_{2} = l - l_{1} = 2 - 1, 2 = 0, 8 m

m_{2} = 10 - m_{1} = 4 k g

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvad raskusjõud:

P_{1} = m_{1} g = 6 \cdot 10 = 60 N

P_{2} = m_{2} g = 4 \cdot 10 = 40 N

Raskusjõu rakenduspunkt on massikeskme asukohas, ehk mõlemale kangi poolele mõjuva raskusjõu õlg on pool pikkusest. Kang on tasakaalus kui tema otsdele mõjuvad jõumomendid on võrdsed. Kangi tasakaaluvõrrand avaldub:

F_{1} \cdot l_{1} - P_{1} \cdot \frac{l_{1}}{2} = F \cdot l_{2} - P_{2} \cdot \frac{l_{2}}{2}

50 \cdot 1, 2 - 60 \cdot 0, 6 = F \cdot 0, 8 - 40 \cdot 0, 4 \Rightarrow 60 - 36 = F \cdot 0, 8 - 16

F = \frac{60 - 36 + 16}{0, 8} = 50 N

Kangi paremale ja vasakule osale mõjuvate raskusjõudude

P_{1}

P_{2}

asemel võib võtta kogu kangi raskusjõu

P

, mis mõjub kangi raskuskeskmele kaugusel

l_{k} = 1 m

kangi mõlemast servast. Sel juhul on raskusjõu õlg

l_{P} = 0, 2 m

ja kangi tasakaalu võrrand on selline:

F_{1} \cdot l_{1} - P \cdot l_{P} = F \cdot l_{2}

50 \cdot 1, 2 - 100 \cdot 0, 2 = F \cdot 0, 8 \Rightarrow 60 - 20 = F \cdot 0, 8

F = \frac{60 - 20}{0, 8} = 50 N

Poiss veab enda järel köit, mille pikkus on $L = 8 m$ . Mööda maad lohiseva osa pikkus on $l = 6 m$ , köie kogumass on $m = 2 k g$ . Millise jõuga peab poiss köit tirima? Hõõrdetegur köie ja maapinna vahel $μ = 0, 6$ . Hõõrdeteguriks nimetatakse hõõrdejõu ja raskusjõu suhet.

Lahendus

Kiirenduseta liikumise puhul on jõud tasakaalus ning seetõttu peab poiss tõmbama jõuga $\to F =_{h} + \frac{L - l}{L} m \to g$ , kus maapinna toereaktsioon $\to N = - \frac{m l \to g}{L}$ ja horisontaalse hõõrdejõu $_{h}$ moodul $F_{h} = μ N$ . Kui suunata $x$ -telg poisi liikumise suunas ja $y$ telg üles, siis on $\to F$ projektsioon horisontaalteljele $F_{x} = - \frac{μ m g l}{L}$ ning vertikaalteljele $F_{y} = \frac{m g (L - l)}{L}$ . Mooduli leiame Pythagorase teoreemist:

F = m g \sqrt{{(1 - \frac{l}{L})}^{2} + {(μ \frac{l}{L})}^{2}} \approx 10 N

Milline horisontaalsuunaline jõud

F

on vaja rakendada homogeensele rullile punktis

A

, et veeretada ta üle klotsi kõrgusega

h

? Rulli mass on

m

Sõudja tõmbab aerusid 20 korda minutis. Ühe tõmbe jooksul liigub paat edasi $1, 5 m$ , kusjuures sõudja rakendab kummagi käega jõudu $250 N$ . Aeru pikkus tullidest (aeru kinnituskoht) labani on $1, 5 m$ ja tullidest kinnihoidmiskohani on $0, 5 m$ . Arvuta sõudja keskmine võimsus. Tõmbe ajal on aerulaba vee suhtes paigal.

Lahendus

$n = 20$ - aerutõmmete arv aja $t$ jooksul;

$t = 1 m i n$ - vaatlusalune ajavahemik;

$s_{1}$ = ühe tõmbe jooksul aeru kinnihoidmiskoha poolt läbitud kaugus;

$s_{2} = 1, 5 m$ - ühe tõmbe jooksul aeru laba poolt läbitud kaugus;

$L_{1} = 0, 5 m$ - kaugus aeru kinnihoidmiskohast tullideni;

$L_{2} = 1, 5 m$ - kaugus tullidest labani;

$k = 2$ - aerude arv.

Kaks kolmnurka joonisel on sarnased, järelikult $s_{1} = s_{2} \cdot L_{1} / L_{2}$ . Inimese poolt aja $t$ jooksul tehtav töö on

A = k F s_{1} n = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2}}

Inimese poolt arendatav võimsus on

N = \frac{A}{t} = \frac{k F n s_{2} L_{1}}{L_{2} t} \approx 83 W

Kuidas tuleks joonisel näidatud kolm tellist nihutada, et kõige peal asuva tellise horisontaalne nihe kõige alumise tellise suhtes oleks maksimaalne? Kui suur see nihe on? Põhjendage vastust.

Lahendus

Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskeskme vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva.

Kuna tegemist on ühtlase tihedusega telliskividega, siis ühe telliskivi massikese asub täpselt tellise keskel ehk kõige ülemist kivi saab keskmise suhtes nihutada $\frac{1}{2} l$ võrra. Nüüd tuleb leida kahe ülemise kivi ühine massikese nõnda, et kõige ülemine kivi on keskmise suhtes $\frac{1}{2} l$ võrra nihkunud ehk nende kahe kivi kokkupuutepind on ka $\frac{1}{2} l$ . Nii ülemisel kui ka alumisel telliskivil on kokkupuutepinnast kummalgil pool võrdne osa massi.Seega kahe kivi massikese asub kokkupuutuva pinna keskel ehk keskmise kivi paremast servast kaugusel $\frac{1}{4} l$ .

Homogeenne telliskivi pikkusega $L$ on asetatud horisontaalsele pinnale. Selle telliskivi peale pannakse samasuguseid telliskive nii, et iga järgmise telliskivi serv on nihutatud eelmise suhtes $\frac{L}{4}$ võrra. Mitu telliskivi võib niiviisi paigutada, et konstruktsioon jääks püsivaks?

Lahendus

Olgu alumise telliskivi järjekorranumber 0, järgmise - 1 jne. Vaatleme kõiki alumisele telliskivile asetatud telliskive kui ühte tervikut ning uurime saadud süsteemi masskese vertikaalprojektsiooni horisontaalsele pinnale. Süsteem on tasakaalus kui see projektsioon ei ületa alumise telliskivi serva. Kui me suuname $x$ -telje horisontaalselt ning nullpunktiks valime alumise telliskivi keskpunkti koordninaadi $x_{0}$ , siis peab ülejäänud telliskivide masskeskme projektsioon $x$ -teljele olema väiksem kui $\frac{L}{2}$ . Tehtud eelduste puhul on esimese telliskivi masskeskme koordinat $x_{1} = \frac{L}{4}$ , teise - $x_{2} = 2 \frac{L}{4}$ , kolmanda - $x_{3} = 3 \frac{L}{4}$ , neljanda - $x_{4} = 4 \frac{L}{4}$ jne.
Kahe esimese telliskivi summaarne masskese asub punktis

x_{12} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4}}{2} = 3 \frac{L}{8}

Kuna

3 \frac{L}{8} < \frac{L}{2}

, siis kahest telliskivist koosnev süsteem püsib alumisel telliskivil. Kolmest telliskivist koosneva süsteemi masskeskme koordinaat on

x_{123} = \frac{\frac{L}{4} + 2 \frac{L}{4} + 3 \frac{L}{4}}{3} = 6 \frac{L}{12} = \frac{L}{2}

Näeme, et saadud arv võrdub eelnevalt arvutatud kriitilise väärtusega ja järelikult 3 ongi maksimaalne telliskivide arv, mida saab asetada alumisele telliskivile. Koos alumise telliskiviga annab see kokku

N = 4

$2 m$ kõrge ja $1 m$ lai uks püsib uksehingedel, mis on $10 c m$ kaugusel ukse ülemisest ja alumisest äärest. Ukse mass on $36 k g$ . Kui suure jõuga tõmbab uks ülemist hinge horisontaalsuunas?

Lahendus

Uks on kui kang, mis saab pöörelda ukse tasandis, mille paneb pöörlema jõumoment. Kuna tahame leida ülemisele uksehingele mõjuvat jõudu, siis kujutame ette, et uks tahab hakata pöörlema ümber alumise uksehinge. Kuna uks on stabiilselt paigal ehk ta ei pöörle, siis peab raskusjõu poolt tekitatud jõumoment võrduma ülemise uksehinge poolt tekitatud jõumomendiga. Raskusjõud on rakendatud ukse keskpunkti ja tema jõuõlg on seega $l_{1} = \frac{1}{2} m$ . Ülemine uksehing takistab pöörlemist ja mõjub uksele vastassuunalise jõuga, tema jõuõlg on kaugus alumise kinnituskohani ehk $l_{2} = 2 - 0.2 = 1.8 m$ .

Kangi reeglist
$F_{1} l_{1} = F_{2} l_{2}$ , kus $F_{1} = m g = 360 N$ . Siit $F_{2} = F_{1} \frac{l_{1}}{l_{2}} = 100 N$ .

Sirge ühtlane varras on ühest otsast jäigalt kinnitatud. Kui varda vabale otsale rakendatakse risti vardaga jõud $F_{0}$ , murdub varras kinnituskohast. Nüüd asetatakse kaks korda pikema varda mõlemad otsad tugedele ning varda keskkohale hakatakse risti vardaga jõudu rakendama. Millise jõu $F$ korral ja kustkohast murdub varras seekord?

Lahendus

Paneme tähele, et sümmeetria tõttu on uues olukorras kumbki varda pool eraldi võetuna justkui esimeses situatsioonis: üks ots (varda keskkoht) jäigalt kinnitatud, teisele otsale (varda otspunkt) mõjub jõud $\frac{F}{2}$ . Seega murdub varras seekord keskelt. Murdumiseks vajalik jõud $\frac{F}{2} = F_{0}$ , seega $F = 2 F_{0}$ .