Lained I

Füüsiku pilguga

2001. aastal avati üle Thamesi jõe uhke jalakäijate sild, et ühendada Tate´i moodsa kunsti galerii St. Pauli katedraali
ümbrusega ja ühtlasi tähistada uue aastatuhande saabumist. Kuid varsti pärast seda, kui esimesed jalakäijate vood jõudsid sillale, hakkas Millenniumisild, nagu seda nimetatakse, võnkuma nii tugevasti, et paljudel kõndijatel oli raskusi tasakaalu hoidmisega. Samasugused võnkumised võivad tekkida tavalisel puupõrandal, kui rokkmuusika fännid rüselevad ja hüplevad („pogotavad”) raske roki kontserdil ennastunustavalt mosh’ides. Mis põhjustab niisuguseid võnkeid, mis võivad saada ehitusinseneride õudusunenäoks?

Lained on füüsikas üks põhilisi uurimisobjekte. Veendumaks selles, kui tähtsad on lained kaasaegses maailmas, piisab pilgu heitmisest tänapäeva muusikatööstusesse. Iga kuuldud muusikapala, alates retropungist, mida mängib mõni bänd kusagil äärelinna trahteris, kuni kõige väljendusrikkama klassikalise kontserdini, mida edastatakse otseülekandes, vajab nii esitajaid, kes tekitaksid helilaineid, kui ka kuulajaid, kes neid laineid tajuksid. Helide tekitamise ja tajumise vahepeal võib lainete poolt kantud informatsiooni ka salvestada (näiteks CD-l, DVD-l või mõnel muul infokandjal, mida parasjagu töötatakse välja tehnikalaboratooriumides kõikjal maailmas). Muusikalainete valitsemise tähtsus on rahalises mõttes hämmastav ja muusikatehnoloogia arendamisega tegelevatele inseneridele makstakse hästi.

Selles peatükis käsitleme laineid, mis levivad mööda pinguletõmmatud pillikeelt, nagu on näiteks kitarril. Järgmises peatükis käsitleme helilaineid, näiteks neid, mis on tekitatud kitarrikeele poolt. Enne kui asuda seda kõike tegema, tuleb igapäevases elus ette tulevaid lugematuid laineid liigitada.

Lainete liigid

Laineid saab jagada kolme põhilisse liiki.

Mehaanilised lained. Neid laineid tunneme me kõige paremini, sest kohtame neid kogu aeg; levinuimateks näideteks on veelained, helilained ja seismilised lained. Kõigil neil lainetel on kaks iseärasust: neid kirjeldavad Newtoni seadused ja nad saavad eksisteerida ainult materiaalses keskkonnas, nagu nt vesi, õhk või kivim.
Elektromagnetlained. Need lained tunduvad võõramad, kuid sa kasutad neid pidevalt, levinud näideteks on nähtav ja ultravioletne valgus, raadio- ja televisioonilained, mikrolained, röntgenikiired ja radarilained. Need lained saavad levida ka mateeriavabas keskkonnas. Näiteks tähtede valguslained alustavad oma teekonda kaugelt kosmosest ja levivad tühjas kosmilises vaakumis, enne kui jõuavad meieni. Kõik elektromagnetlained levivad vaakumis ühesuguse kiirusega $c = 299792458 m / s$ .
Mateerialained. Kuigi neid laineid kasutatakse laialdaselt tänapäeva tehnikas, ei tunne te neid võib-olla üldse. Need lained on seotud elektronide, prootonite ja teiste alusosakestega ning isegi aatomite ja molekulidega. Kuna neid osakesi peetakse mateeria fundamentaalseteks koostisosadeks, nimetatakse neid laineid mateerialaineteks.

Enamik sellest, mida räägitakse siin peatükis, kehtib kõikide laineliikide jaoks. Konkreetsete näidetena aga kasutame allpool mehaanilisi laineid.

Ristlained ja pikilained

JOONIS 16-1 (a) Mööda pinguletõmmatud nööri saadetakse teele üksikimpulss. Suvaline nöörielement (üks on tähistatud punktiga) liigub impulsi saabumisel ülespoole ja siis, kui impulsi hari on temast möödunud, liigub allapoole. Nöörielement liigub risti laine levimise suunaga, mis tähendab seda, et impulss on ristlaine. (b) Mööda nööri saadetakse teele siinuslaine. Suvaline nöörielement liigub pidevalt üles ja alla, kuni laine temast möödub. See on samuti ristlaine.

Laine, mis levib piki pinguletõmmatud nööri, on kõige lihtsam mehaaniline laine. Kui võtame nööriotsa kätte ja teeme sellega üheainsa jõnksu üles-alla, hakkab mööda nööri levima üksikimpulss, nagu on näidatud joonisel 16-1a. Impulss ja tema liikumine saavad tekkida seetõttu, et nöör on pingutatud olekus. Kui tõmbate oma nööriotsa ülespoole, hakkab ta ülespoole tõmbama tema kõrval asuvat nöörielementi, sest nende vahel mõjub pingejõud. Niipea kui ka see element hakkab liikuma ülespoole, hakkab ta ülespoole tõmbama järgmist nöörielementi ja nii edasi. Vahepeal hakkasite te tõmbama oma nööriotsa allapoole. Kuna kõik nöörielemendid liiguvad ükseise järel ülespoole, hakkavad neid nüüd tõmbama allapoole nende kõrval asuvad elemendid, mis on juba hakanud liikuma allapoole. Lõpptulemuseks on see, et nööri kuju hälve (impulss) liigub mööda nööri edasi teatud kiirusega $\to v$ .

Kui te liigutate oma kätt üles-alla lihtharmoonilises võnkumises, hakkab mööda nööri kiirusega $\to v$ levima pidev laine. Kuna teie käsi liigub ajas sinusoidaalselt, on ka laine kuju igal ajahetkel sinusoidaalne, nagu on näidatud joonisel 16-1b; see tähendab, et mööda nööri leviv laine on siinus- või koosinusjoone kujuga.

Me käsitleme siinkohal vaid ideaalset nööri, kus nöörielementide vahel ei mõju hõõrdejõu tüüpi jõudusid, mis sunniksid lainet tema liikumisel piki nööri sumbuma. Lisaks oletame, et nöör on küllalt pikk, nii et pole tarvis arvestada laine tagasipeegeldumist nööri kaugemas otsas.

Üks võimalus uurida joonisel 16-1 kujutatud laineid on jälgida lainekujusid sedamööda, kuidas nad liiguvad paremale poole. Teine võimalus oleks jälgida mingit elementi, kui see liigub üles ja alla, asudes laine levimise teel. Me tuvastame, et iga võnkuva nöörielemendi hälve on risti laine levimise suunaga, nagu on näidatud joonisel 16-1b. Niisugust liikumist nimetatakse ristliikumiseks ja tekkivat lainet nimetatakse ristlaineks ehk transversaalseks laineks.

JOONIS 16-2 Õhuga täidetud torus tekitatakse helilaine, kui kolbi liigutatakse edasi-tagasi. Kuna õhuosake (mida on kujutatud punktina) võngub paralleelselt laine levimise suunaga, on see laine pikilaine.

Joonisel 16-2 on näha, kuidas saab pikas õhuga täidetud torus tekitada kolvi abil helilainet. Kui te liigutate kolbi järsult paremale ja siis vasakule, saadate mööda toru heliimpulsi. Kolvi järsk lükkamine paremale poole liigutab paremale kolvi juures asuvaid õhuosakesi, muutes selles piirkonnas õhurõhku. Suurenenud õhurõhk avaldab survet sellest piirkonnast omakorda paremal pool asuvatele õhuosakestele. Kolvi järsul tõmbamisel vasakule väheneb õhurõhk tema vahetus läheduses. Selle tulemusel liiguvad kolvi juures ja seejärel ka temast kaugemal asuvad osakesed vasakule poole. Niimoodi liiguvad impulsina paremale õhu liikumine ja õhurõhu muutus.

Kui te liigutate kolbi edasi-tagasi lihtharmoonilises võnkumises, nagu tehakse joonisel 16-2, hakkab mööda toru levima siinuslaine. Kuna osakeste liikumine on samas sihis, milles kulgeb laine, nimetatakse seda pikiliikumiseks ja tekkivat lainet nimetatakse pikilaineks ehk longitudinaalseks laineks. Selles peatükis käsitleme ristlaineid, eriti just piki nööri või pillikeelt levivaid laineid. Järgmises peatükis käsitleme pikilaineid ja eriti just helilaineid.

Nii ristlaineid kui ka pikilaineid nimetatakse kulglaineteks, sest nad kulgevad ühest punktist teise. Nii kulgeb joonisel 16-1 ühest nööri otsast teise ristlaine ja joonisel 16-2 kulgeb ühest toru otsast teise pikilaine. Pange tähele, et ühest otsast teise liigub laine, aga mitte aine (nöörielemendid või õhuosakesed), milles laine kulgeb.

Seismilised lained levivad Maa sisemuses või tema pinnal. Seismoloogiajaamad on üles seatud selleks, et registreerida seismilisi laineid, mida tekitavad maavärinad, kuid nad registreerivad ka neid seismilisi laineid, mida tekitavad igasugused suured energiapursked maapinna lähedal, näiteks plahvatused. Kui seismoloogiajaam jääb seismiliste lainete levimise teele, panevad lained võnkuma meerikusule ja see joonistab graafiku. Joonisel 16-3a on üks seismiliste lainete graafikutest, mida põhjustas Vene allveelaeva Kursk saladuslik uppumine 2000. a augustis. Sule esimesed võnkumised on tähistatud noolega ja nad olid väikese amplituudiga.

134

sekundi pärast algasid palju suuremad võnkumised.Sellest järeldasid seismoloogid, et esimesed seismilised lained tulid laeva pardal toimunud plahvatusest, võimalik et torpeedost, mille väljatulistamine ebaõnnestus. See plahvatus oletatavasti purustas allveelaeva kere, tekkis tulekahju ja allveevaev hakkas uppuma. Hiljem saabunud palju tugevamad seismilised lained tekkisid siis, kui allveelaev oli merepõhjas ja tuli põhjustas paljude pardal olnud suure lõhkelaenguga rakettide üheaegse plahvatuse. Need tugevamad seismilised lained jõudsid seismoloogiajaamadesse impussidena ja ajavahemik nende saabumise vahel (

Δ t

) oli ligikaudu

0, 11 s

. Kui suur oli allveelaeva uppumise sügavus

D

JOONIS 16-3 (a) Graafik, mille on registreerinud seismoloogiajaam, kui temast läksid läbi allveelaevalt Kursk tulnud seismilised lained. Amplituud on graafikul vertikaalsuunas, ajatelg läheb paremale poole. (Jay Pulli/BBN Technologies’i loal). (b) Kui allveelaev oli merepõhjas sügavusel $D$ , saatis temal toimunud tugev plahvatus impulsse nii allapoole merepõhja kui ka ülespoole vette.

Lahendus

JUHTMÕTE Helilaine kiirus on läbitud tee pikkus jagatud läbimiseks kulunud ajaga.

Arvutused: Oletame, et tugevam plahvatus toimus siis, kui Kursk lamas merepõhjas. Selle plahvatuse impulss hakkas levima merepõhjas ja ülespoole läbi vee (joonis 16-3b). Vees leviv impulss peegeldus mitu korda veepinna ja merepõhja vahel. Iga kord, kui ta peegeldus merepõhjalt, saatis ta järjekordse impulsi pinnasesse ja seismoloogid registreerisid neid maapinnas üksteise järel levivaid impulsse. Nii et aeg $Δ t$ iga kahe järjestikuse registreeritud seismilise impulsi vahel oli võrdne ajaga, mis kulus läbi vee kulgeval impulsil jõudmiseks veepinnale ja siis tagasi merepõhja. Valemist 2-2 ( $v_{k} = Δ x / Δ t$ ) saame siduda vees levinud impulsi kiiruse $v$ teepikkusega $2 D$ ja selleks kulunud ajaga $Δ t$ :

(16-1)

v = \frac{2 D}{Δ t} ehk D = \frac{v Δ t}{2}

Lained levivad vees kiirusega ligikaudu $1500 m / s$ . Asendame valemis 16-1 kiiruse selle väärtusega ja $Δ t = 0, 11 s$ ning saame uppunud Kurski sügavuseks seismoloogiliste andmete põhjal

D = \frac{(1500 m) (0, 11 s)}{2} = 82, 5 m \approx 83 m - --- - - --- -

Tegelikult leiti laevavrakk ligikaudu $115 m$ sügavuselt.

Lainepikkus ja sagedus

Et kirjeldada täielikult (pilli)keelel levivat lainet ja keele iga elemendi liikumist, on tarvis funktsiooni, mis kirjeldab laine kuju. See tähendab, et meil on tarvis seost kujul $y = h (x, t)$ , kus $y$ on keele suvalise elemendi ristsuunaline hälve, mis on antud funktsioonina $h$ ajast $t$ ja keele elemendi asukohast $x$ . Üldiselt võib sellist sinusoidaalset kuju, nagu on joonisel 16-1b kujutatud lainel, kirjeldada nii siinus- kui koosinusfunktsiooniga, sest mõlemad annavad sama lainekuju. Selles peatükis kasutatakse siinusfunktsiooni.

Vaatleme siinuslainet, mis on sarnane joonisel 16-1b kujutatuga ja mis levib $x$ -telje positiivses suunas. Kui laine kulgeb üle keele üksteisele järgnevate elementide (s.t väga lühikeste lõikude), võnguvad need elemendid $y$ -telje sihis, mis on risti $x$ -teljega. Ajahetkel $t$ on keele kohal $x$ asetseva elemendi hälve $y$ avaldatav valemiga

(16-2)

y (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t)

Kuna see valem on koostatud suvalise asendi $x$ jaoks, saab seda kasutada keele iga elemendi $x$ hälbe leidmiseks aja funktsioonina. Nii saab see valem määrata lainekuju igal etteantud ajahetkel ja näidata, kuidas lainekuju muutub, kui laine levib mööda keelt.

JOONIS 16-4 Valemis 16-2 esinevate füüsikaliste suuruste nimetused sinusoidaalse ristlaine jaoks.

Valemis 16-2 esinevate füüsikaliste suuruste nimetused on näidatud joonisel 16-4 ja allpool on nad ka defineeritud. Enne aga vaatame joonist 16-5, millel on näidatud viis hetkelist pilti („momentvõtet„) siinuslainest, mis levib $x$ -telje positiivses suunas. Laine liikumist näitab ühte laineharja tähistava lühikese punase noole liikumine. Igal järgmisel pildil on nooleke liikunud edasi paremale koos lainekujuga, kuid keele enda liikumine toimub ainult $y$ -telje sihis. Et selles veenduda, jälgime punaseks värvitud elemendi liikumist kohal $x = 0$ . Esimesel momentvõttel (joonis 16-5a) on see asendis $y = 0$ . Järgmisel momentvõttel on ta äärmises alumises asendis, sest tema kohale on jõudnud lainepõhi ehk laineprofiili kõige madalam koht. Siis liigub ta tagasi ülespoole läbi asendi $y = 0$ . Neljandal momentvõttel on ta äärmises ülemises asendis, sest temani on jõudnud lainehari ehk kõige kõrgem koht. Viiendal momentvõttel on keele punane lõiguke jälle asendis $y = 0$ , olles selleks ajaks sooritanud täisvõnke.

Amplituud ja faas

JOONIS 16-5 Viis hetkelist pilti („momentvõtet„) lainest, mis kulgeb mööda keelt $x$ -telje positiivses suunas. On märgitud amplituud $y_{m}$ ja lainepikkus $λ$ alates asendist $x_{1}$ .

Laine amplituud $y_{m}$ , nagu näidatud joonisel 16-5a, on elementide maksimaalne hälve tasakaaluasendist, kui lainetusprotsess jõuab nendeni. (Alaindeks $m$ tähistab maksimumi). Kuna $y_{m}$ on hälbe suurus, on ta alati positiivne, seda isegi siis, kui teda mõõdetakse allpool $x$ -telge, mitte ülalpool nagu joonisel 16-5a.

Laine faas on siinuse argument $k x - ω t$ valemis 16-2. Kui laine läbib keele elementi konkreetsel kohal $x$ , muutub faas seal lineaarselt ajas $t$ . See tähendab, et muutub ka siinuse väärtus, mis võngub $+ 1$ ja $- 1$ vahel. Tema suurim positiivne väärtus $+ 1$ vastab laineharjale, mis sel hetkel on elemendi $x$ kohal, ja siis $y$ väärtus asendis $x$ on $y_{m}$ . Enim negatiivne väärtus $- 1$ vastab lainepõhjale ja sel hetkel $y$ väärtus asendis $x$ on $- y_{m}$ . Seega siinusfunktsioon ja ajast sõltuv lainefaas vastavad keele elemendi võnkumisele ning laine amplituud määrab elemendi hälbe äärmised väärtused.

Lainepikkus ja lainearv

Laine lainepikkus $λ$ on vahemaa (võetuna laine kulgemise sihis) laineprofiilide ehk lainekujude kordumiste vahel. Tüüpiline lainepikkus on märgitud joonisel 16‑5a, mis on laine momentvõte ajahetkel $t = 0$ . Sel hetkel on lainekuju valemi 16-2 kohaselt

(16-3)

y (x, 0) = y_{m} sin k x

Definitsiooni järgi on lainepikkuse mõlemas otsas elementide hälve ühesugune, see tähendab, et $x = x_{1}$ ja $x = x_{1} + λ$ . Seega valemi 16-3 põhjal

(16-4)

y_{m} sin k x_{1} = y_{m} sin k (x_{1} + λ) = y_{m} sin (k x_{1} + k λ)

Siinusfunktsiooni väärtus hakkab korduma, kui tema nurk ehk argument on suurenenud $2 π r a d$ võrra, see tähendab, et valemis 16-4 peab meil olema $k λ = 2 π$ ehk

(lainearv, 16-5)

k = \frac{2 π}{λ}

Suurust $k$ nimetatakse laine lainearvuks, tema ühikuks SI-süsteemis on radiaan meetri kohta ehk pöördmeeter. (Pange tähele, et siin $k$ ei tähista vedru elastsustegurit nagu eelmistes peatükkides.)
Pange tähele, et joonisel 16-5 kujutatud laine liigub iga momentvõtte vahel paremale poole $\frac{1}{4} λ$ võrra. Seega viiendaks momentvõtteks on ta liikunud paremale $1 λ$ võrra.

Periood, nurksagedus ja sagedus

JOONIS 16-6 Graafik kujutab keele elemendi hälvet kohal $x = 0$ aja funktsioonina, kui joonisel 16-5 kujutatud siinuslaine läheb läbi elemendi. Joonisel on näidatud amplituud $y_{m}$ . Samuti on näidatud lainet iseloomustav periood $T$ , mõõdetuna alates suvalisest ajahetkest $t_{1}$ .

Joonisel 16-6 on näidatud keele mingi elemendi hälbe $y$ graafik sõltuvalt ajast, näiteks kohal $x = 0$ . Kui te jälgiksite keele liikumist, näeksite, et keele element liigub selles kohas üles-alla võnkudes lihtharmooniliselt vastavalt valemile 16-2, kus $x = 0$ :

(16-6)

y (0, t) = y_{m} sin (- ω t) = - y_{m} sin ω t (x = 0)

Siin on kasutatud asjaolu, et $sin (- α) = - sin α$ , kus $α$ on suvaline nurk. Joonisel 16-6 on kujutatud selle valemi graafik, see ei ole laine kuju.

Laine võnkumise perioodi $T$ defineerime kui ajavahemiku, mis kulub keele suvalisel elemendil täisvõnke sooritamiseks. Joonisel 16-6 toodud graafikul on näidatud tüüpiline võnkeperiood. Rakendades valemit 16-6 selle ajavahemiku mõlemale otsale ja võrdsustades tulemused, saame:

(16-7)

- y_{m} sin ω t_{1} = - y_{m} sin ω (t_{1} + T) = - y_{m} sin (ω t_{1} + ω T)

See võrdus saab kehtida vaid juhul, kui $ω T = 2 π$ , ehk kui

(nurksagedus, 16-8)

ω = \frac{2 π}{T}

Suurust $ω$ nimetatakse laine nurksageduseks, tema ühikuks SI-s on radiaan sekundis.

Vaatame veel kord kulglaine viit momentvõtet joonisel 16-5. Momentvõtete vaheline ajavahemik on $\frac{1}{4} T$ . Seega viiendaks momentvõtteks on keele iga element sooritanud ühe täisvõnke.

Laine sagedus on defineeritud võnkeperioodi pöördväärtusena $1 / T$ ja ta on seotud nurksagedusega kui

(sagedus, 16-9)

f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}

Nagu lihtharmoonilise võnkumise sagedus 15. peatükis, näitab ka see sagedus võnkumiste arvu ajaühikus; siinkohal siis seda, mitu täisvõnget on ajaühikuga sooritanud keele element, kui teda läbib kulglaine. Nagu ka 15. peatükis, mõõdetakse sagedust tavaliselt hertsides või selle kordsetes ühikutes, näiteks kilohertsides.

See kujutis on kolme momentvõtte kompositsioon, igaüks on võetud kulglainest, mis liigub mööda omaette keelt. Lainete faasid on (a)

2 x - 4 t

, (b)

4 x - 8 t

ja (c)

8 x - 16 t

. Korraldage vastavus nende faaside ja joonisel kujutatud lainete vahel.

Algfaas

Kui kulgevat siinuslainet kirjeldatakse seosega 16-2, siis hetkel $t = 0$ näeb laine punkti $x = 0$ läheduses välja nagu joonisel 16-7a kujutatu. Pange tähele, et punktis $x = 0$ on hälve $y = 0$ ja laineprofiili tõusunurk on maksimaalväärtusega. Seost 16-2 saab üldistada, lisades lainefunktsioonile konstantse algfaasi $ϕ$ :

(16-10)

y = y_{m} sin (k x - ω t + ϕ)

Algfaasi $ϕ$ väärtuse võib valida nii, et funktsioonil oleks punktis $x = 0$ ajahetkel $t = 0$ mingi teistsugune hälbe ja laineprofiili tõusunurga väärtus. Näiteks kui võtta $ϕ = + π / 5 r a d$ , saame hetkel $t = 0$ niisuguse hälbe ja laineprofiili tõusunurga, nagu on kujutatud joonisel 16-7b. Laine jääb ikka siinuslaineks ja samad on ka $y_{m}$ , $k$ ja $ω$ väärtused, kuid laineprofiil on nüüd nihutatud võrreldes sellega, mida on näha joonisel 16-7a, kus $ϕ = 0$ .

Kulglaine levimiskiirus

JOONIS 16-8 Kaks momentvõtet joonisel 16-5 kujutatud lainest ajahetkel $t = 0$ ja seejärel ajahetkel $t = Δ t$ . Kuna laine liigub paremale kiirusega $\to v$ , nihkub kogu kõver aja $Δ t$ jooksul $Δ x$ võrra. Punkt $A$ liigub lainega kaasa, kuid keele elemendid liiguvad ikka ainult üles-alla.

Joonisel 16-8a on kujutatud kahte momentvõtet lainest, mida kirjeldab valem 16‑2. Momentvõtete ajaline vahe on $Δ t$ . Laine levib x-telje positiivses suunas (joonisel 16-8 paremale poole) ja kogu laineprofiil nihkub aja $Δ t$ jooksul selles suunas vahemaa $Δ x$ võrra. Suhe $Δ x / Δ t$ (või diferentsiaalkujul $d x / d t$ ) on laine levimiskiirus $v$ . Kuidas saame leida tema väärtuse?

Kui joonisel 16-8 kujutatud laine liigub, säilitab iga laineprofiili punkt, sealhulgas see, mida tähistab $A$ , oma hälbe väärtuse $y$ . (Keele punktid ei säilita oma hälvet, kuid laineprofiili punktid säilitavad.) Kui punkt $A$ säilitab laine liikumisel oma hälbe, siis peab jääma samaks laine faas valemis 16-2: faas ju määrab punkti $A$ hälbe:

(16-11)

k x - ω t = konstantne suurus

Pange tähele, et kuigi see lainefunktsiooni argument on konstant, muutuvad nii $x$ kui ka $t$ . Seega kui muutuja $t$ suureneb, peab suurenema ka muutuja $x$ , et argumendi väärtus oleks konstantne. See kinnitab, et laineprofiil liigub $x$ -telje positiivses suunas.

Laine levimiskiiruse $v$ leidmiseks võtame tuletise valemist 16-11 ja saame

k \frac{d x}{d t} - ω = 0

ehk

(16-12)

\frac{d x}{d t} = v = \frac{ω}{k}

Kasutades valemit 16-5 ( $k = 2 π / λ$ ) ja valemit 16-8 ( $ω = 2 π / T$ ), saab kiiruse avaldise ümber kirjutada kujul

(laine levimiskiirus, 16-13)

v = \frac{ω}{k} = \frac{λ}{T} = λ f

Valemist $v = λ / T$ on näha, et laine levimiskiirus on üks lainepikkus võnkeperioodi kohta, mis tähendab seda, et ühe võnkeperioodi jooksul liigub laine ühe lainepikkuse suuruse vahemaa võrra.

Valem 16-2 kirjeldab lainet, mis liigub $x$ -telje positiivses suunas. Vastassuunas liikuva laine valemi saame sel viisil, et asendame valemis 16-2 suuruse $t$ suurusega $- t$ . See vastab tingimusele

(16-14)

k x + ω t = konstantne suurus

mis erinevalt valemist 16-11 nõuab, et muutuja $x$ väheneks ajas. Nii et lainet, mis liigub $x$ -telje negatiivses suunas, kirjeldab valem

(16-15)

y (x, t) = y_{m} sin (k x + ω t)

Kui analüüsida lainet, mida kirjeldab valem 16-15 nii, nagu meie analüüsisme valemit 16-12, saame tema kiiruse jaoks avaldise

(16-16)

\frac{d x}{d t} = - \frac{ω}{k}

Miinusmärk (võrreldes valemiga 16-12) tõendab, et laine liigub tõepoolest $x$ -telje negatiivses suunas, ja see õigustab ajamuutuja märgi muutmist.

Oletame nüüd, et meil on suvalise kujuga laine, mida kirjeldab valem

(16-17)

y (x, t) = h (k x \pm ω t)

kus $h$ on suvaline funktsioon, mis võib erijuhul olla ka siinusfunktsioon. Meie eelnev analüüs näitab, et kõik lained, mida kirjeldavas funktsioonis muutujad $x$ ja $t$ esinevad kombinatsioonis $k x \pm ω t$ , on kulglained. Veelgi enam, kõik kulglained peavad olema avaldatavad valemi 16‑17 kujul. Nii et $y (x, t) = \sqrt{a x + b t}$ kujutab endast mingit, võib-olla füüsikaliselt küll veidi imelikku kulglainet. Funktsioon $y (x, t) = sin (a x^{2} - b t)$ aga ei kujuta kulglainet.

Olgu meil kolme laine valemid: (1)

y (x, t) = 2 sin (4 x - 2 t)

, (2)

y (x, t) = sin (3 x - 4 t)

ja (3)

y (x, t) = 2 sin (3 x - 3 t)

. Seadke need lained järjekorda, alustades suurimast väärtusest: (a) laine levimiskiiruse ja (b) laine liikumise suuna suhtes risti oleva kiiruse (transversaalkiiruse) maksimaalväärtuse järgi.

Näidisülesanne 16-2

Mööda keelt kulgevat lainet kirjeldab valem

(16-18)

y (x, t) = 0, 00325 sin (72, 1 x - 2, 72 t)

mille arvväärtused on antud SI ühikutes ( $0, 00327 m$ , $72, 1 r a d / m$ ja $2, 72 r a d / s$ ).

Kui suur on selle laine amplituud?

Lahendus

JUHTMÕTE Valemil 16-18 on sama kuju nagu valemil 16-2,

(16-19)

y = y_{m} sin (k x - ω t)

nii et meil on tegemist siinuslainega. Kahe valemi võrdlemisel saamegi laine amplituudi.

Arvutus: Näeme, et

y_{m} = 0, 00327 m = 3, 27 m m - -------- - - -------- -

Kui suured on selle laine lainepikkus, periood ja sagedus?

Lahendus

Arvutused: Võrreldes valemeid 16-18 ja 16-19 näeme, et lainearv ja nurksagedus on

k = 72, 1 r a d / m

ω = 2, 72 r a d / s

Seejärel avaldame valemist 16-5 lainepikkuse $λ$ lainearvu $k$ kaudu:

λ = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π r a d}{72, 1 r a d / m} = 0, 0871 m = 8, 71 c m - ------- - - ------- -

Perioodi $T$ avaldame nurksageduse $ω$ kaudu:

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π r a d}{2, 72 r a d / s} = 2, 31 s - ----- - - ----- -

ja valemist 16-9 saame

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2, 31 s} = 0, 433 H z - -------- - - -------- -

Kui suur on selle laine levimiskiirus?

Lahendus

Arvutus: Laine levimiskiirus on antud valemiga 16-13:

v = \frac{ω}{k} = \frac{2, 72 r a d / s}{72, 1 r a d / m} = 0, 0377 m / s = 3, 77 c m / s - --------- - - --------- -

Kuna valemis 16-8 sisaldab faas asukoha koordinaati $x$ , siis liigub laine $x$ -telje sihis. Kuna aga laine võrrand on kirjutatud valemi 16-2 kujul, tähendab miinusmärk liikme $ω t$ ees seda, et laine liigub $x$ -telje positiivses suunas. (Pange tähele, et suurused, mis on arvutatud punktides (b) ja (c), ei sõltu laine amplituudist.)

Kui suur on hälve

y

, kui

x = 22, 5 c m

t = 18, 9 s

Lahendus

Arvutus: Valemis 16-18 on hälve avaldatud asukoha koordinaadi $x$ ja aja $t$ funktsioonina. Asendades valemis need suurused etteantud väärtustega, saame:

y = 0, 00327 sin (72, 1 \times 0, 225 - 2, 72 \times 18, 9) = (0, 00327 m) sin (- 35, 1855 r a d) = (0, 00327 m) (0, 588) = 0, 00192 m = 1, 92 m m - -------- - - -------- -

Niisiis on hälve positiivne. (Veenduge, et teie kalkulaator on siinuse arvutamise ajaks ümber lülitatud radiaanirežiimi.)

Näidisülesanne 16-3

Näidisülesandes 16-2d leidsime, et lainel, mida kirjeldab valem 16-8, on hetkel $t = 18, 9 s$ keeleelemendi hälve $y$ asukohas koordinaadiga $x = 0, 255 m$ võrdne $1, 92 m m$ .

Kui suur on keele selle elemendi ristsuunaline kiirus

u

samal ajahetkel? (See kiirus, mis on seotud keeleelemendi ristsuunalise võnkumisega, on

y

-telje sihis. Ärge segage seda ära konstantse kiirusega

v

, millega laine liigub

x

-telje sihis.)

Lahendus

JUHTMÕTTED Ristsuunaline kiirus on kiirus, millega muutub keele elemendi hälve $y$ -telje sihis. Hälbe üldkuju on antud kui

(16-20)

y (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t)

Mingis asukohas koordinaadiga $x$ paikneva keeleelemendi hälbe $y$ muutumise kiiruse saame siis, kui võtame valemist 16-20 tuletise aja $t$ järgi, jättes muutuja $x$ konstantseks. Tuletist, mis on võetud tingimusel, et üks muutuja (või mitu muutujat) on konstantne, nimetatakse osatuletiseks ja tema tähiseks on $d / d x$ asemel $\partial / \partial x$ .

Arvutused: Vajalik osatuletis on siin

(16-21)

u = \frac{\partial y}{\partial t} = - ω y_{m} cos (k x - ω t)

Nüüd paneme sellesse valemisse arvväärtused näidisülesandest 16-2 ja saame:

u = (- 2, 72 r a d / s) (3, 27 m m) cos (- 35, 1855 r a d) = 7, 20 m m / s - ---------- - - ---------- -

Nii et ajahetkel $t = 18, 9 s$ liigub keeleelement asukohaga $x = 22, 5 c m$ $y$ -telje positiivses suunas kiirusega $7, 20 m m / s$ .

Kui suur on keele selle elemendi kiirendus

a_{y}

samal ajahetkel?

Lahendus

JUHTMÕTE Ristsuunaline kiirendus on keeleelemendi ristsuunalise kiiruse muutumise kiirus.

Arvutused: Võtame valemist 16-21 tuletise muutuja $t$ järgi, jättes $x$ konstantseks, saame

a_{y} = \frac{\partial u}{\partial t} = - ω^{2} y_{m} sin (k x - ω t)

Võrdlus valemiga 16-20 näitab, et seda saab anda kujul

a_{y} = - ω^{2} y

Näeme, et võnkuva keele elemendi ristsuunalise kiirenduse suurus on võrdeline tema ristsuunalise hälbega, kuid suund on vastupidine. See on täielikult kooskõlas keeleelemendi enda käitumisega, sest ta liigub ristsuunas lihtharmooniliselt. Asendades arvväärtused, leiame

a_{y} = - (2, 72 r a d / s)^{2} (1, 92 m m) = - 14, 2 m m / s^{2} - ------------- - - ------------- -

Hetkeks $t = 18, 9 s$ on keele element kohal $x = 22, 5 c m$ niisiis liikunud oma tasakaaluasendist $1, 92 m m$ $y$ -telje positiivses suunas, tema kiirenduse suurus on $14, 2 m m / s^{2}$ ja see on $y$ -telje negatiivses suunas.

Ülesannete lahendamise juhised

Juhis 1: Arvutused suurte faasinurkadega

Mõnikord, nagu näiteks näidisülesannetes 16-2d ja 16-3, tuleb nurk suurem kui $2 π r a d$ (või $360^{\circ}$ ) ja teil tuleb leida selle nurga siinus või koosinus. Kui liita niisugusele nurgale täisarv korda 2p rad või kui see temast lahutada, ei muutu ühegi trigonomeetrilise funktsiooni väärtus. Näiteks kasutasime me näidisülesandes 16-2 nurka $- 35, 1855 r a d$ siinusfunktsiooni argumendina. Liites sellele nurgale $6 (2 π r a d)$ , saame

- 35, 1855 r a d + (6) (2 π r a d) = 2, 51361 r a d

JOONIS 16-9 Need kaks nurka on erinevad, kuid nende trigonomeetrilised funktsioonid on samad.

See nurk on väiksem kui $2 π r a d$ ja tema trigonomeetriliste funktsioonide väärtus on sama mis nurgal $- 35, 1855 r a d$ (joonis 16-9), täpsemalt, nurkade $2, 51361 r a d$ ja $- 35, 1855 r a d$ siinuse väärtuseks on $0, 588$ .

Kalkulaator vähendab taolisi suurte nurkade väärtusi automaatselt. Hoiatus: Ärge ümardage suurte nurkade väärtusi, kui te kavatsete arvutada nende siinuseid või koosinusi. Väga suurte nurkade siinuse arvutamisel jätate te ära suurema osa nurga väärtusest ja arvutate siinuse vaid allesjäänud osast. Näiteks nurga $- 35, 1855 r a d$ ümardamine annab $- 35 r a d$ (muutus on $0, 5 %$ ja see on tavaliselt täiesti rahuldav tulemus), aga nende nurkade siinuste vahe on $27 %$ . Niisamuti, kui te teisendate suurt nurka kraadimõõdust radiaanmõõtu, veenduge, et te kasutate täpset teisendustegurit (nagu näiteks $180^{\circ} = π r a d$ ) ja mitte ümardatud arvu (nagu näiteks $57, 3^{\circ} \approx 1 r a d$ ).

Lainete levimiskiirus pinguletõmmatud keelel

Laine levimiskiirus on seotud lainepikkuse ja sagedusega valemi 16-13 kohaselt, kuid tema suuruse määravad keskkonna omadused. Kui laine levib niisugustes keskkondades nagu vesi, õhk, teras või pinguletõmmatud keel, sunnib ta võnkuma aineosakesi, mis jäävad tema levikuteele. Võnkumiseks on tarvis, et keskkonnal oleks nii mass (et saaks olla kineetiline energia) kui ka elastsus (et saaks olla potentsiaalne energia). Seepärast määravad keskkonna massi ja elastsusega seotud omadused laine võimaliku levimiskiiruse selles keskkonnas. Ehk teisiti, laine kiirust keskkonnas saab arvutada keskkonna nende omaduste kaudu. Me teeme arvutused pinguletõmmatud keele jaoks kahel erineval viisil.

Dimensioonanalüüs

Füüsikalise suuruse dimensiooniks nimetatakse tema mõõtühiku seost baasühikutega. Dimensioonanalüüs lubab asjassepuutuvate füüsikaliste suuruste dimensioone teades leida suurusi, mida nende kaudu saab defineerida. Antud juhul vaatleme massi ja elastsust, et leida kiirus $v$ , mille dimensioon on pikkuse dimensioon $L$ jagatud aja dimensiooniga $T$ ehk $L T^{- 1}$ .

Massi osas on meil keele elemendi mass, mis on keele mass $m$ jagatud keele pikkusega $l$ . Seda suhet nimetatakse keele joontiheduseks $μ$ . Nii $μ = m / l$ ja tema dimensioon on massi dimensioon $M$ jagatud pikkuse dimensiooniga $L$ ehk $M L^{- 1}$ .

Laine saab keelel levida vaid siis, kui keel on pingutatud olekus, see tähendab, et ta on lahti keritud ja jõud tõmbavad teda mõlemast otsast pingule. Keele pingejõud $τ$ on võrdne keele mõlemale otsale rakendatud (ühesuguse) pingutava jõuga. Kui mööda keelt levib laine, nihutab ta keele elemente, põhjustades keele täiendavat pingutamist, ja selle mõjul tekib keele kõrvutiasuvate elementide vahel tõmbejõud. Keeles tekkinud pingejõud tuleneb tema venitamisest, mis on seotud elastsusega. Pingejõud ja selle toimel tekkinud venitusjõud on jõu dimensiooniga, nimelt $M L T^{- 2}$ (valemist $F = m a$ ).

Meil on tarvis panna ühte valemisse kokku $μ$ (dimensiooniga $M L^{- 1}$ ) ja $τ$ (dimensiooniga $M L T^{- 2}$ ), et saada $v$ (dimensiooniga $L T - 1$ ). Erinevate kombinatsioonide järeleproovimise tulemusel saame, et

(16-22)

v = C \sqrt{\frac{τ}{μ}}

kus $C$ on dimensioonitu konstant, mida ei saa kindlaks määrata dimensioonanalüüsiga. Kui arvutame kiiruse $v$ teisel meetodil, siis näeme, et valem on tõesti õige ja et $C = 1$ .

Tuletamine Newtoni teisest seadusest

JOONIS 16-10 Sümmeetriline impulss taustsüsteemis, kus ta on kogu aeg paigal ja keel paistab liikuvat paremalt vasakule kiirusega $v$ . Kiiruse v leidmiseks rakendame Newtoni teist seadust keele elemendile pikkusega $Δ l$ , mis asub impulsi tipus.

Joonisel 16-1b kujutatud siinuslaine asemel vaatleme joonisel 16-10 kujutatud üksikimpulsi liikumist mööda keelt vasakult paremale kiirusega $v$ . Kasutame mugavuse mõttes taustsüsteemi, kus impulss on kogu aeg paigal, s.t me liigume impulsiga kaasa ja ta on kogu aeg meie ees. Sellest taustsüsteemist vaadatuna liigub keel meist mööda paremalt vasakule kiirusega $v$ , nagu on näha joonisel 16-10.

Vaatleme keele väikest elementi pikkusega $Δ l$ , mis asub impulsi piires ning on kaarekujuline, raadiusega $R$ ja sellele vastava kesknurgaga $2 θ$ . Seda elementi tõmbab mõlemalt poolt tangentsiaalne jõud $\to τ$ , mille suurus on võrdne keele pingejõuga. Nende jõudude horisontaalsed komponendid kustutavad teineteist, kuid vertikaalsed komponendid liituvad ja moodustavad radiaalse tagasipöörava jõu $\to F$ , mille suurus on

(jõud, 16-23)

F = 2 (τ sin θ) \approx τ (2 θ) = τ \frac{Δ l}{R}

kus $sin θ$ oleme asendanud tema ligikaudse väärtusega $θ$ , mis on lubatud väikeste nurkade korral nagu joonisel 16-10. Sellel joonisel on ka näha, et $2 θ = Δ l / R$ . Keeleelemendi massi avaldis on

(mass, 16-24)

Δ m = μ Δ l

kus $μ$ on keele joontihedus.

Joonisel 16-10 näidatud ajahetkel liigub keele element pikkusega $Δ l$ mööda ringjoone kaart. See tähendab, et tal on ringjoone keskpunkti suunas kesktõmbekiirendus suurusega

(kiirendus, 16-25)

a = \frac{v^{2}}{R}

Valemeid 16-23, 16-24 ja 16-25 saab kirjutada Newtoni teise seaduse kujul:

j ˜ o ud = mass \times kiirendus \frac{τ Δ l}{R} = (μ Δ l) \frac{v^{2}}{R}

Avaldame sellest võrrandist kiiruse $v$ :

(kiirus, 16-26)

v = \sqrt{\frac{τ}{μ}}

See avaldis ühtib valemiga 16-22, kui seal võtta konstandi $C$ väärtuseks $1$ . Valem 16-26 annab joonisel 16-10 kujutatud impulsi kiiruse ja ka iga teise laine kiiruse, mis levib samal keelel samasuguse pingejõu korral.

Valemist 16-26 järeldub, et

Laine levimiskiirus ideaalsel pinguletõmmatud keelel sõltub ainult keele pingejõust ja tema joontihedusest, mitte aga laine sagedusest.

Laine sagedus sõltub täielikult sellest, mis teda tekitab (näiteks joonisel 16-1b oli selleks inimese käsi). Lainepikkuse aga määrab valem 16-13 kujul $λ = v / f$ .

Te lasete levida kulglainel mingil konkreetsel keelel, pannes tema otsa võnkuma. Kui te suurendate võngete sagedust, kas (a) laine levimiskiirus ja (b) lainepikkus suurenevad, vähenevad või jäävad samaks? Kui te aga selle asemel pingutate keelt tugevamini, kas siis (c) laine levimiskiirus ja (d) lainepikkus suurenevad, vähenevad või jäävad samaks?

Joonisel 16-11 on kaks nööri kokku sõlmitud ja seejärel kahe jäiga toe vahel pingule tõmmatud. Nööride joontihedused on

μ_{1} = 1, 4 \times 10^{- 4} k g / m

μ_{2} = 2, 8 \times 10^{- 4} k g / m

. Nende pikkused on

L_{1} = 3, 0 m

L_{2} = 2, 0 m

ning kogu nööri pingutatakse jõuga

400 N

. Kahele nöörile antakse korraga mõlema toe juurest võnkeimpulss, mis levib nööre ühendava sõlme suunas. Kumb impulss jõuab kohale varem?

JOONIS 16-11 Kaks nööri on sõlmega kokku seotud ja seejärel kahe jäiga toe vahel pingule tõmmatud.

Lahendus

JUHTMÕTTED

Aeg, mille jooksul impulss liigub edasi pikkuse $L$ võrra, on $t = L / v$ , kus $v$ on impulsi konstantne kiirus.
Impulsi kiirus pinguletõmmatud nööris sõltub nööri pingejõust $τ$ ja joontihedusest $μ$ ning teda saab leida valemist 16-26 .
Kuna mõlemat nööri pingutatakse koos, mõjub neile võrdne pingejõud, $τ = 400 N$ .

Arvutused: Pannes need kolm mõtet kokku, saame aja, mille jooksul jõuab sõlmeni nööri $1$ impulss:

t_{1} = \frac{L_{1}}{v_{1}} = L_{1} \sqrt{\frac{μ_{1}}{τ}} = (3, 0 m) \sqrt{\frac{1, 4 \times 10^{- 4} k g / m}{400 N}} = 1, 77 \times 10^{- 3} s

Samasugune arvutus nööri $2$ jaoks annab

t_{2} = L_{2} \sqrt{\frac{μ_{2}}{τ}} = 1, 67 \times 10^{- 3} s

Nii et nööri $2$ impulss jõuab sõlmeni varem.

Vaatame nüüd uuesti teist juhtmõtet. Nööri $2$ joontihedus on suurem kui nööril $1$ . Kas saab ainult selle põhjal järeldada, missugune tuleb vastus? Ei saa, sest esimeses juhtmõttes on öeldud, et vastust mõjutab ka vahemaa, mida impulss peab läbima.

Keelel kulgeva laine energia ja võimsus

Kui me tekitame pinguletõmmatud keelel laine, peame talle andma energiat, et keele elemendid saaksid nihkuda. Kui laine liigub meist eemale, kannab ta seda energiat edasi, nii kineetilist energiat kui ka elastsuse potentsiaalset energiat. Vaatleme neid mõlemat lähemalt.

Kinetic energy

JOONIS 16-12 Keelel liikuva laine momentvõte hetkel $t = 0$ . Keeleelemendi a hälve on $y = y_{m}$ ja keeleelemendi $b$ hälve on $y = 0$ . Keeleelemendi kineetiline energia igas asendis sõltub tema transversaalsest kiirusest. Potentsiaalne energia sõltub sellest, kui palju keeleelementi venitatakse, kui teda läbib laine.

Keele element massiga $d m$ , mis laine läbiminekul sooritab ristsuunalist (transversaalset) lihtharmoonilist võnkliikumist, omandab kineetilise energia, mis on määratud tema transversaalse kiirusega $\to u$ . Kui keeleelement liigub läbi asendi $y = 0$ (element $b$ joonisel 16-12), on tema transversaalne kiirus ja seetõttu ka kineetiline energia maksimaalne. Kui keeleelement on äärmises asendis $y = y_{m}$ (nagu näiteks element $a$ ), on tema transversaalne kiirus ja seetõttu ka kineetiline energia võrdne nulliga.

Elastsuse potentsiaalne energia

Siinuslaine, mis levib mööda algselt sirget keelt, peab paratamatult keelt venitama. Kui keeleelement pikkusega $d x$ võngub ristsuunas, peab tema pikkus perioodiliselt suurenema ja vähenema, et sobituda siinuslaine kujuga. Elastsuse potentsiaalne energia on seotud just nende muutustega keele elemendi pikkuses, nagu see on ka vedru korral.

Kui keeleelement on asendis, kus $y = y_{m}$ (element $a$ joonisel 16-12), on tema pikkuseks tavaline deformeerimata väärtus $d x$ ja tema elastsuse potentsiaalne energia on võrdne nulliga. Kui aga keeleelement läbib asendit, kus $y = 0$ , on tema venitus maksimaalne ja ka tema elastsuse potentsiaalne energia on maksimaalne.

Energiaülekanne

Seega on võnkuva keele elemendil asendis $y = 0$ maksimaalne nii kineetiline energia kui ka elastsuse potentsiaalne energia. Joonisel 16-12 kujutatud momentvõttel ei ole neil keele piirkondadel, mille hälve on maksimaalne, mingit energiat ja neil, mille hälve on null, on maksimaalne energia. Kui laine liigub mööda keelt, teevad keele pingest tekitatud jõud pidevalt tööd, et kanda energiat üle nendest piirkondadest, kus teda on, sinna, kus teda ei ole.

Oletame, et me paneme laine liikuma keelel, mis on pingule tõmmatud horisontaaltelje $x$ sihis nii, et keele nihkumist kirjeldab valem 16-2. Me saame saata laine mööda keelt liikuma, kui sooritame keele otsaga võnkliikumisi nagu joonisel 16-1b. Selle tegevusega lisame me pidevalt keelele energiat, et tema osad saaksid hakata liikuma ja veniksid vajalikul viisil, sest kui keele elemendid võnguvad risti $x$ -teljega, on neil nii kineetiline energia kui ka elastsuse potentsiaalne energia. Kui laine jõuab piirkonda, mis seni oli paigal, saab see piirkond energiat juurde. Sellepärast öeldakse, et laine kannab energiat üle (toimub energiaülekanne).

Energia ülekandumise kiirus

Keeleelemendil, mille mass on $d m$ , on kineetiline energia $d K$ , mis avaldub kujul

(16-27)

d K = \frac{1}{2} d m u^{2}

kus $u$ on võnkuva keeleelemendi ristsuunaline kiirus. Kiiruse $u$ leidmiseks diferentseerime valemit 16-2 aja $t$ järgi, jättes muutuja $x$ konstantseks:

(16-28)

u = \frac{\partial y}{\partial t} = - ω y_{m} cos (k x - ω t)

Kasutades seda seost ja asendades $d m = μ d x$ , kirjutame valemi 16-27 ümber kujul

(16-29)

d K = \frac{1}{2} (μ d x) (- ω y_{m})^{2} {cos}^{2} (k x - ω t)

Valemi 16-29 jagamine liikmega $d t$ annab kiiruse, millega kineetiline energia läheb läbi keele elemendi, ja seega kiiruse, millega laine kineetilist energiat edasi kannab. Suhe $d x / d t$ , mis nüüd tekib valemi 16-19 paremal poolel, on laine levimiskiirus $v$ . Seega saame:

(16-30)

\frac{d K}{d t} = \frac{1}{2} μ v ω^{2} y_{m}^{2} {cos}^{2} (k x - ω t)

Kineetilise energia edasikandumise kiiruse keskväärtus on

(16-31)

(\frac{d K}{d t}) = \frac{1}{2} μ v ω^{2} y_{m}^{2} [{cos}^{2} (k x - ω t)]_{k} = \frac{1}{4} μ v ω^{2} y_{m}^{2}

Siin oleme võtnud keskmise üle täisarvu lainepikkuste ja kasutanud tõsiasja, et koosinusfunktsiooni ruudu keskväärtus üle täisarvu perioodide on $\frac{1}{2}$ .

Lainega kandub edasi ka elastsuse potentsiaalne energia. Tema edasikandumise keskmine kiirus on sama ja sedagi väljendab valem 16-31. Kuigi me ei anna selle väite tõestust, võiks meenutada, et võnkuvas süsteemis, nagu pendel või vedrust ja klotsist koosnev süsteem, on keskmine kineetiline energia ja keskmine potentsiaalne energia võrdsed.

Keskmine võimsus, mis on mõlema energialiigi edasikandumise keskmine kiirus koos, on nüüd

(16-32)

P_{k} = 2 {(\frac{d K}{d t})}_{k}

või valemi 16-31 järgi

(keskmine võimsus, 16-33)

P_{k} = \frac{1}{2} μ v ω^{2} y_{m}^{2}

Selles valemis sõltuvad tegurid $μ$ ja $v$ materjalist ja keele pingejõust. Tegurid $ω$ ja $y_{m}$ sõltuvad laine tekitamise protsessist. Laine võimsuse keskväärtuse võrdelisus tema amplituudi ruudu ja nurksageduse ruuduga on üldine tulemus ja kehtib kõigi laineliikide korral.

Keele joontihedus on

μ = 525 g / m

ja tema pingejõud on

τ = 45 N

. Mööda keelt levib siinuslaine sagedusega

f = 120 H z

ja amplituudiga

y_{m} = 8, 5 m m

. Missuguse keskmise kiirusega kannab laine üle energiat?

Lahendus

JUHTMÕTE Energia ülekande keskmine kiirus on keskmine võimsus $P_{k}$ , mis on esitatud valemiga 16-33.

Arvutused: Valemi 16-33 kasutamiseks tuleb välja arvutada nurksagedus $ω$ ja laine levimiskiirus $v$ . Valemist 16-9 saame

ω = 2 π f = (2 π) (120 H z) = 754 r a d / s

Valemist 16-26 saame

v = \sqrt{\frac{τ}{μ}} = \sqrt{\frac{45 N}{0, 525 k g / m}} = 9, 26 m / s

Seejärel annab valem 16-33 vastuse:

P_{k} = \frac{1}{2} μ v ω^{2} y_{m}^{2} = (\frac{1}{2}) (0, 525 k g / m) (9, 26 m / s) \times (754 r a d / s)^{2} (0, 0085 m)^{2} \approx 100 W - ----- - - ----- -

Lainevõrrand

Kui laine läheb läbi pinguletõmmatud keele mingi elemendi, siis see element võngub risti laine levimise suunaga. Kui rakendada elemendi liikumisele Newtoni teist seadust, saab tuletada üldist laadi diferentsiaalvõrrandi, mida nimetatakse lainevõrrandiks ja mis kirjeldab kõigi laineliikide levimist.

JOONIS 16-13 (a) Keeleelemendi liikumine, kui sinusoidaalne ristlaine levib mööda pinguletõmmatud keelt. Jõud ${\to F}_{1}$ ja ${\to F}_{2}$ mõjuvad elemendi vasakpoolsele ja parempoolsele otsale, tekitades kiirenduse $\to a$ , mille vertikaalsuunaline komponent on $a_{y}$ . (b) Jõud, mis on rakendatud elemendi parempoolsele otsale, on suunatud piki keele puutujat elemendi parempoolses otsas.

Joonisel 16-13a on kujutatud horisontaalse $x$ -telje sihis pingutatud joontihedusega $μ$ keele elementi, mille mass on $d m$ ja pikkus on $l$ , hetkel mil laine levib temast läbi. Oletame, et laine amplituud on väike, nii et laine möödumisel kaldub element $x$ -teljest ainult väikese suuruse võrra kõrvale. Jõu ${\to F}_{2}$ suurus keeleelemendi parempoolses otsas on võrdne keele pingejõuga $τ$ ja on suunatud horisontaalist natuke ülespoole. Jõu ${\to F}_{1}$ suurus keeleelemendi vasakpoolses otsas on samuti võrdne keele pingejõuga \tau, kuid on suunatud natuke allapoole. Kuna keeleelement on pisut kõverdunud, siis need kaks jõudu liituvad resultantjõuks, mis annab elemendile ülespoole suunatud kiirenduse $a_{y}$ . Newtoni teine seadus $y$ -telje sihiliste komponentide jaoks ( $F_{r e s, y} = m a_{y}$ ) on nüüd

(16-34)

F_{2 y} - F_{1 y} = d m a_{y}

Analüüsime seda avaldist liikmeti.

Mass. Keeleelemendi massi võib esitada keeleelemendi joontiheduse $μ$ ja tema pikkuse $l$ kaudu kujul $d m = μ l$ . Kuna element saab olla ainult natuke kaldu, $l \approx d x$ (joonis 16-13a), saab üles kirjutada lähenduse

(16-35)

d m = μ d x

Kiirendus. Kiirendus $a_{y}$ valemis 16-34 on teine tuletis hälbest $y$ aja $t$ järgi:

(16-36)

a_{y} = \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

Jõud. Joonisel 16-13b on näha, et jõud ${\to F}_{2}$ on keele elemendi parempoolses otsas keele puutuja suunas. Seda jõukomponenti saab siduda keele tõusuga $S_{2}$ tema parempoolses otsas:

(16-37)

\frac{F_{2 y}}{F_{2 x}} = S_{2}

Jõukomponente saab siduda samuti jõu $F_{2}$ ( $= τ$ ) suurusega:

F_{2} = \sqrt{F_{2 x}^{2} + F_{2 y}^{2}}

ehk

(16-38)

τ = \sqrt{F_{2 x}^{2} + F_{2 y}^{2}}

Kuid kuna me oletame, et keele elemendi tõus on väike, $F_{2 y} ≫ F_{2 x}$ , siis saab valemi 16-38 ümber kirjutada kujul

(16-39)

τ = F_{2 x}

Asetades selle avaldise valemisse 16-37 ja lahendades ta $F_{2 y}$ suhtes, saame

(16-40)

F_{2 y} = τ S_{2}

Samasugune analüüs vasakpoolse elemendi jaoks annab

(16-41)

F_{1 y} = τ S_{1}

Nüüd saame asetada valemid 16-35, 16-36, 16-40 ja 16-41 valemisse 16-34, saades

τ S_{2} - τ S_{1} = (μ d x) \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

või

(16-42)

\frac{S_{2} - S_{1}}{d x} = \frac{μ}{τ} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

Kuna keeleelement on lühike, erinevad tõusud $S_{1}$ ja $S_{2}$ ainult väikese (diferentsiaalse) suuruse $d S$ võrra, kus $S$ on tõus suvalises kohas:

(16-43)

S = \frac{d y}{d x}

Asendame $S_{2} - S_{1}$ valemis 16-42 diferentsiaaliga $d S$ ja seejärel võtame $S$ asemele $d y / d x$ valemi 16-43 alusel, leiame

\frac{d S}{d x} = \frac{μ}{τ} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

\frac{d (d y / d x)}{d x} = \frac{μ}{τ} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

(16-44)

\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{μ}{τ} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}

Viimasel sammul tõime me sisse osatuletiste tähised, sest vasakul pool võtsime me tuletise ainult muutuja $x$ järgi ja paremal pool ainult muutuja $t$ järgi. Arvestades nüüd valemit 16-26 ( $v = \sqrt{τ / μ}$ ), leiame:

(lainevõrrand, 16-45)

\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}

See ongi see üldine diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab kõigi laineliikide levimist.

Superpositsiooniprintsiip lainete korral

JOONIS 16-14 Hetkeliste piltide jada, mis näitab kahe vastassuunalise impulsi liikumist pinguletõmmatud keelel. Kui impulsid liiguvad teineteisest läbi, kehtib superpositsiooniprintsiip.

Tihti juhtub nii, et piirkonnast läheb ühekorraga läbi kaks või enam lainet. Kui kuulame näiteks kontserti, mõjutavad meie kõrva trummikilet samaaegselt paljude muusikariistade helilained. Raadiote ja televiisorite vastuvõtuseadmete antennide elektronid liiguvad paljudest saatekeskustest tulevate elektomagnetlainete koosmõjul. Järve või sadama vesi võib loksuda paljude laevade kiiluvee lainete toimel.

Oletame, et kaks lainet liiguvad samaaegselt mööda ühte ja sama pinguletõmmatud keelt. Olgu $y_{1} (x, t)$ ja $y_{2} (x, t)$ keele hälbed, kui need kaks lainet liiguvad eraldi. Kui aga need lained liiguvad koos, siis on keele hälve võrdne nende algebralise summaga:

(16-46)

y^{'} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t)

Hälvete liitmine keele kogu ulatuses tähendab, et

Kui lainete levimise piirkonnad kattuvad, siis hälbed liituvad algebraliselt, tekitades resultantlaine.

See on veel üks näide superpositsiooniprintsiibist, mis ütleb, et kui mitu nähtust leiavad aset samaaegselt, siis nende summaarne toime on üksikute toimete summa.

Joonisel 16-14 on näidatud momentvõtete jada kahest laineimpulsist, mis levivad sama keelel, kuid vastassuundades. Kui impulsid kattuvad, siis on resultantimpulss nende summa. Veelgi enam,

Kahe laine kattumine ei mõjuta mitte mingil viisil kummagi laine levimist.

Lainete interferents

Oletame, et kaks ühesuguse lainepikkuse ja ühesuguse amplituudiga siinuslainet hakkavad korraga levima ühel ja samal pinguletõmmatud keelel. Superpositsiooniprintsiip kehtib ja lubab arvutada resultantlainet. Milline see on?

Resultantlaine ehk summaarne laine sõltub sellest, kuivõrd on levivad lained teineteise suhtes samas faasis, see tähendab, kui palju on üks laineprofiil teise suhtes nihutatud. Kui lained on täielikult samas faasis (s.t laineharjad ja lainepõhjad on täpselt samal kohal), on resultantlaine hälbed kahekordse suurusega võrreldes kummagi laine omaga. Kui nad on täiesti vastupidiste faasidega ehk vastandfaasis (s.t ühe laine harjad on teise laine põhjade kohal), kustutavad nad teineteise ja keel jääb sirgeks. Niisugust lainete liitumist nimetatakse interferentsiks ja lainete kohta öeldakse siis, et nad interfereeruvad. (See termin kehtib ainult hälvete kohta lainekandjal, antud juhul pinguletõmmatud keelel, lainete endi levimine ei muutu.)

Olgu üks piki pinguletõmmatud keelt leviv laine kirjeldatav valemiga

(16-47)

y_{1} (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t)

ja olgu teine laine, mis on tema suhtes nihutatud, kirjeldatav valemiga

(16-48)

y_{2} (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t + ϕ)

Neil lainetel on sama nurksagedus $ω$ (seega ka sama sagedus $f$ ), sama lainearv $k$ (seega ka sama lainepikkus $λ$ ) ja sama amplituud $y_{m}$ . Nad mõlemad levivad $x$ -telje positiivses suunas, liiguvad sama kiirusega, mille määrab valem 16-26. Need lained erinevad ainult konstantse nurga, algfaaside erinevuse $ϕ$ võrra. Selliste lainete kohta öeldakse, et nad on faasist väljas või et nende faasivahe on $ϕ$ . Ka võib öelda, et nad levivad faasinihkega $ϕ$ .

Superpositsiooniprintsiibi kohaselt on resultantlaine kahe interfereeruva laine algebraline summa ja tema hälve on

(16-49)

y^{'} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t) + y_{m} sin (k x - ω t + ϕ)

Lisas E näeme, et kahe nurga $α$ ja $β$ siinuste summa võib üles kirjutada kujul

(16-50)

sin α + sin β = 2 sin \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α + β)

Selle võrduse kasutamine valemis 16-49 annab

(16-51)

y^{'} (x, t) = [2 y_{m} cos \frac{1}{2} ϕ] sin (k x - ω t + \frac{1}{2} ϕ)

Nagu on näha joonisel 16-15, on resultantlaine samuti siinuslaine, mis levib $x$ -telje positiivses suunas. See on ainus laine, mida saab tegelikult näha levimas piki keelt (interfereeruvaid laineid, mida kirjeldavad valemid 16-47 ja 16-48, ei ole võimalik vahetult näha).

Kui kaks võrdse amplituudi ja võrdse lainepikkusega siinuslainet levivad samas suunas mööda pinguletõmmatud keelt, siis nad interfereeruvad ja tekitavad summaarse siinuslaine, mis levib samas suunas.

Resultantlaine erineb interfereeruvatest lainetest kahes suhtes: (1) tema algfaas on $\frac{1}{2} ϕ$ ja (2) tema amplituud $y'_{m}$ on valemi 16-51 nurksulgudes oleva suuruse absoluutväärtus:

(amplituud, 16-52)

y_{m}^{'} = | 2 y_{m} cos \frac{1}{2} ϕ |

Kui $ϕ = 0 r a d$ (ehk $0^{\circ}$ ), on kaks interfereeruvat lainet samas faasis, nagu on joonisel 16-16a kujutatud lained. Siis taandub valem 16-51 kujule

(16-53)

y^{'} (x, t) = 2 y_{m} sin (k x - ω t) (ϕ = 0)

Selline resultantlaine on toodud joonisel 16-16d. Pange tähele, et nii joonise kui ka valemi 16-53 järgi on resultantlaine amplituud kaks korda suurem kummagi interfereeruva laine amplituudist. See on kõige suurem amplituud, mis saab olla resultantlainel, sest valemites 16-51 ja 16-52 oleval koosinusliikmel on suurim väärtus (üks) siis, kui $ϕ = 0$ . Interferentsi, mis tekitab suurima võimalikest amplituudidest, nimetatakse täielikult konstruktiivseks interferentsiks.

Kui $ϕ = π r a d$ ehk $180^{\circ}$ , on interfereeruvad lained vastandfaasis nagu joonisel 16-16b. Siis on $cos \frac{1}{2} ϕ$ väärtuseks $cos π / 2 = 0$ ja resultantlaine amplituud on vastavalt valemile 16-52 võrdne nulliga. Siis saame kõigil $x$ ja $t$ väärtustel

(16-54)

y^{'} (x, t) = 0 (ϕ = π r a d)

Seesugune resultantlaine on kujutatud graafikuna joonisel 16-16e. Kuigi me lasime piki keelt levida kahel lainel, ei ole näha, et keel üldse liiguks. Niisugust interferentsi nimetatakse täielikult destruktiivseks interferentsiks.

JOONIS 16-16 Kaks identset siinuslainet $y_{1} (x, t)$ ja $y_{2} (x, t)$ levivad mööda keelt x-telje positiivses suunas. Nad interfereeruvad ja selle tulemusel tekib resultantlaine $y' (x, t)$ . Keelel on tegelikult näha vaid resultantlaine. Faasivahe $ϕ$ kahe interfereeruva laine vahel on (a) $0 rad$ ehk $0^{\circ}$ , (b) $π rad$ ehk $180^{\circ}$ ja (c) $\frac{2}{3} π rad$ ehk $120^{\circ}$ . Vastavad resultantlained on näidatud joonistel (d), (e) ja (f).

Kuna siinuslaine kuju kordub argumendi muutumisel $2 π r a d$ võrra, vastab faasinihe $ϕ = 2 π r a d$ ehk $360^{\circ}$ ühe laine nihkumisele teise suhtes sellise vahemaa võrra, mis on võrdne ühe lainepikkusega. Seega faasierinevust saab väljendada mitte ainult kraadides, vaid ka lainepikkustes ja siis nimetatakse seda käiguvaheks. Näiteks joonisel 16-16b kujutatud lainete kohta saab öelda, et nende käiguvahe on $0, 50$ lainepikkust. Tabelis 16-1 on toodud mõned faasivahe näited ja selle tulemusel tekkinud interferentsi tüübid. Pange tähele, et kui interferents ei ole täielikult konstruktiivne ega täielikult destruktiivne, nimetatakse teda vahepealseks interferentsiks. Resultantlaine amplituud on sel juhul väärtuste $0$ ja $2 y_{m}$ vahel. Näiteks on tabelist näha, et kui interfereeruvate lainete faasivahe on $120^{\circ}$ ( $ϕ = \frac{2}{3} π r a d = 0, 33$ lainepikkust), siis on resultantlaine amplituud $y_{m}$ võrdne interfereeruvate lainete omaga (joonised 16-16c ja 16-16f).

TABEL 16-1 Faasivahe ja sellele vastav inerferentsitüüp

	Faasivahe		Resultantlaine	Interferentsitüüp
kraadides	radiaanides	lainepikkustes
$0$	$0$	$0$	$2 y_{m}$	Täielikult konstruktiivne
$120$	$\frac{2}{3} π$	$0, 33$	$y_{m}$	Vahepealne
$180$	$π$	$0, 50$	$0$	Täielikult destruktiivne
$240$	$(\frac{4}{3}) π$	$0, 67$	$y_{m}$	Vahepealne
$360$	$2 π$	$1, 00$	$2 y_{m}$	Täielikult konstruktiivne
$865$	$15, 1$	$2, 40$	$0, 60 y_{m}$	Vahepealne

^a Tabelis on antud faaside erinevus (faasivahe) kahe muude parameetrite poolest identsete lainete korral, millede amplituud on $y_{m}$ ja mis levivad samas suunas.

Kaks sama lainepikkusega lainet on faasis, kui nende käiguvahe on null või mingi täisarv korda lainepikkus. Seega kui käiguvahe on väljendatud lainepikkustes, võib käiguvahest ära jätta täisosa. Näiteks käiguvahe $0, 40$ lainepikkust on igas mõttes ekvivalentne käiguvahega $2, 40$ lainepikkust ja neist kahest võib kasutada seda, mis teeb arvutused lihtsamaks.

Järgnevad neli käiguvahet on antud lainepikkustes:

0, 20

0, 45

0, 60

0, 80

. Reastage need resultantlaine amplituudi järgi, alustades suurimast.

Näidisülesanne 16-6

Kaks identset siinuslainet, mis levivad samas suunas mööda pinguletõmmatud keelt, interfereeruvad. Mõlema laine amplituud $y_{m}$ on $9, 8 m m$ ja nende faasivahe $ϕ$ on $100^{\circ}$ .

Kui suur on interfereerumisel tekkiva resultantlaine amplituud

y_{m}^{'}

ja missugust tüüpi interferentsiga on tegemist?

Lahendus

JUHTMÕTE Need kaks interfereeruvat lainet on identsed ja samas suunas levivad siinuslained, nii et resultantlaine on sinusoidaalne kulglaine.

Arvutused: Kuna need lained on identsed, on nad ühesuguse amplituudiga. Resultantlaine amplituud $y_{m}^{'}$ on antud valemiga 16-52:

y_{m}^{'} = | 2 y_{m} cos \frac{1}{2} ϕ | = | (2) (9, 8 m m) cos (100^{\circ} / 2) | = 13 m m - ----- - - ----- -

Interferents on vahepealne, mida saab näha kahel viisil. Faasivahe on $0$ ja $180^{\circ}$ vahel ja vastavalt amplituud $y_{m}^{'}$ on $0$ ja $2 y_{m}$ ( $= 19, 6 m m$ ) vahel.

Kui suur peab olema faasivahe radiaanides ja käiguvahe lainepikkustes, et resultantlaine amplituud oleks

4, 9 m m

Lahendus

Arvutused: Nüüd on meil antud $y_{m}^{'}$ väärtus ja on tarvis leida faasivahe $ϕ$ . Valemist 16-52 saame

y_{m}^{'} = | 2 y_{m} cos \frac{1}{2} ϕ |

ja siit

4, 9 m m = (2) (9, 8 m m) cos \frac{1}{2} ϕ

mis annab (arvutame kalkulaatoril, mis on radiaanmõõdu režiimis)

ϕ = 2 {cos}^{- 1} \frac{4, 9 m m}{(2) (9, 8 m m)} = \pm 2, 636 r a d \approx \pm 2, 6 r a d - ------ - - ------ -

Saime kaks lahendit, sest sama resultantlaine tekib nii siis, kui üks laine levib teisest eespool, kui ka siis, kui see laine levib tema järel $2, 6 r a d$ kaugusel. Lainepikkustes on faasivahe

\frac{ϕ}{2 π r a d / l a i n e p i k k u s} = \frac{\pm 2, 636 r a d}{2 π r a d / l a i n e p i k k u s t} = \pm 0, 42 l a i n e p i k k u s t

Faasorid

Keelel levivat lainet (ja iga muudki liiki lainet) saab esitada vektoriliselt faasori abil. Faasor on oma olemuselt vektor, mille pikkus on võrdne laine amplituudiga ja mis pöörleb oma alguspunkti ümber nurksagedusega, mis on võrdne laine nurksagedusega $ω$ . Näiteks laine

(16-55)

y_{1} (x, t) = y_{m 1} sin (k x - ω t)

JOONIS 16-17 (a) Faasor pikkusega $y_{m 1}$ , mis pöörleb oma alguspunkti ümber nurkkiirusega $ω$ , kujutab siinuslainet. Faasori projektsioon $y_{1}$ vertikaalteljele kujutab ühe punkti hälvet, mida see laine läbib. (b) Teine faasor, mille nurkkiirus on samuti $ω$ , aga suurus on $y_{m 2}$ ja mis pöörleb esimese suhtes konstantse nurga $ϕ$ kaugusel, kujutab teist lainet, mille faas on nihutatud esimese suhtes konstantse nurga $p h i$ võrra. (c) Resultantlainet kujutab kahe faasori summavektor $y'_{m}$ .

faasor on kujutatud joonisel 16-17a. Faasori pikkuseks on laine amplituud $y_{m 1}$ . Kuna faasor pöörleb oma alguspunkti ümber nurkkiirusega $ω$ , siis tema projektsioon $y_{1}$ vertikaalteljele muutub sinusoidaalselt maksimaalväärtusest $y_{m 1}$ läbi nulli minimaalväärtuseni $- y_{m 1}$ ja siis jälle väärtuseni $y_{m 1}$ . See muutumine vastab keelel oleva suvalise punkti hälbe $y_{1}$ sinusoidaalsele muutumisele, kui seda punkti läbib laine.

Kui kaks lainet levivad mööda sama keelt samas suunas, saab neid ja nende resultantlainet kujutada faasordiagrammil. Joonisel 16-17b olevad faasorid kujutavad valemiga 16-55 esitatud lainet ja teist lainet, mida kirjeldab valem

y_{z} (x, t) = y_{m 2} sin (k x - ω t + ϕ)

Teise laine faas on nihutatud esimese suhtes konstantse nurga $ϕ$ võrra. Kuna faasorid pöörlevad võrdse nurkkiirusega $ω$ , on faasinurk kahe faasori vahel muutumatult $ϕ$ . Kui $ϕ$ on positiivne suurus, siis jääb laine $2$ faasor pöörlemisel laine $1$ faasorist maha, nagu on kujutatud joonisel 16-17b. Kui $ϕ$ on negatiivne suurus, siis laine $2$ faasor edestab laine $1$ faasorit.

Kuna lainetel $y_{1}$ ja $y_{2}$ on sama lainearv ja sama nurksagedus, teame valemite 16-51 ja 16-52 põhjal, et nende resultantlaine kuju on

(16-57)

y^{'} (x, t) = y_{m}^{'} sin (k x - ω t + β)

kus $y'_{m}$ on resultantlaine amplituud ja $β$ on tema algfaas. Et leida $y'_{m}$ ja $β$ väärtused, tuleb liita kaks interfereeruvat lainet, nagu tegime valemi 16-51 saamisel. Et teha seda faasordiagrammil, liidame igal pöörlemise hetkel vektoriliselt kaks faasorit nagu joonisel 16-17c, kus faasor $y_{m 2}$ on nihutatatud faasori $y_{m 1}$ tippu. Saadud summavektori pikkus on võrdne amplituudiga $y'_{m}$ valemis 16-57. Nurk summavektori ja $y_{1}$ faasori vahel võrdub algfaasiga $β$ valemis 16-57.

Pange tähele, et erinevalt meetodist, mida on kirjeldatud punktis 16-10,

Faasoreid saab kasutada lainete liitmiseks ka siis, kui lainete amplituudid on erinevad.

Kahel siinuslainel

y_{1}

y_{2}

on sama lainepikkus ja nad levivad mööda keelt samas suunas. Nende amplituudid on

y_{m 1} = 4, 0 m m

y_{m 2} = 3, 0 m m

ning nende algfaasid on vastavalt

0

π / 3

. Kui suur on resultantlaine amplituud

y_{m}^{'}

ja algfaas

β

? Esitage resultantlaine valem kujul 16-57.

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Neil kahel lainel on mitu ühesugust omadust. Kuna nad levivad mööda sama keelt, peab neil olema sama kiirus $v$ , mille määravad keele pingejõud ja joontihedus vastavalt valemile 16-26. Kuna neil on sama lainepikkus $λ$ , peab neil olema ka sama lainearv $k$ ( $= 2 π / λ$ ). Kuna neil on sama lainearv $k$ ja kiirus $v$ , peab neil olema ka sama nurkkiirus $ω$ ( $= k v$ ).

(2) Laineid (nimetame neid laine $1$ ja laine $2$ ) saab kujutada faasoritena, mis pöörlevad ühesuguse nurkkiirusega $ω$ ühise alguspunkti ümber. Kuna laine $2$ algfaas on laine $1$ omast suurem $π / 3 r a d$ võrra, peab päripäeva pöörlemisel faasor $2$ jääma faasorist $1$ maha $π / 3 r a d$ võrra, nagu on näha joonisel 16-18a. Lainete $1$ ja $2$ interfereerumisel tekkivat lainet saab kujutada faasorina, mis on faasorite $1$ ja $2$ summavektor.

JOONIS 16-18 (a) Kaks faasorit, mille suurus on $y_{m 1}$ ja $y_{m 2}$ ning faasivahe on $π / 3$ . (b) Nende faasorite vektorliitmine pöörlemise suvalisel hetkel annab resultantlaine faasori pikkuse $y'_{m}$ .

Arvutused: Vektorite liitmise lihtsustamiseks joonistasime faasordiagrammi joonisel 16-18 ajahetkel, mil faasor $1$ asub horisontaalteljel. Faasori $1$ järel joonistasime mahajäänud faasori $2$ positiivse nurga all $π / 3 r a d$ . Joonisel 16-18b nihutame faasorit $2$ nii, et tema saba ühtiks faasori $1$ tipuga. Siis saame joonistada resultantlainet kujutava faasori $y_{m}^{'}$ faasori $1$ sabast faasori $2$ tippu.

Väärtuste $y_{m}^{'}$ ja $β$ leidmiseks võib liita faasorid $1$ ja $2$ vektorite liitmist võimaldaval kalkulaatoril, kui liidame vektori pikkusega $4, 0$ ja nurgaga $0 r a d$ vektorile pikkusega $3, 0$ ja nurgaga $π / 3 r a d$ , või kui liidame vektorid komponentide kaupa. Horisontaalsuunaliste komponentide jaoks saame:

y_{m h}^{'} = y_{m 1} cos 0 + y_{m 2} cos π / 3 = 4, 0 m m + (3, 0 m m) cos π / 3 = 5, 50 m m

Vertikaalsuunaliste komponentide jaoks saame:

y_{m v}^{'} = y_{m 1} sin 0 + y_{m 2} sin π / 3 = 0 + (3, 0 m m) sin π / 3 = 2, 60 m m

Seega resultantlaine amplituud on

y_{m}^{'} = \sqrt{(5, 50 m m)^{2} + (2, 60 m m)^{2}} = 6, 1 m m - ------ - - ------ -

ja algfaas on

β = t a n^{- 1} \frac{2, 60 m m}{5, 50 m m} = 0, 44 r a d - ------- - - ------- -

Jooniselt 16-18b näeme, et algfaas $β$ on positiivne nurk faasori $1$ suhtes. Seega resultantlaine jääb lainest $1$ maha faasi $β = + 0, 44 r a d$ võrra. Valemi 16-57 alusel saame resultantlaine kirjutada kujul

y^{'} (x, t) = (6, 1 m m) sin (k x - ω t + 0, 44 r a d) - --------------------------------- - - --------------------------------- -

Seisulained

Punktis 16-10 käsitlesime kahte ühesuguse lainepikkuse ja amplituudiga siinuslainet, mis levivad pinguletõmmatud keelel samas suunas. Mis saab siis, kui nad levivad vastassuundades? Ka sel juhul võime resultantlaine leidmiseks kasutada superpositsiooniprintsiipi.

JOONIS 16-19 (a) Viis momentvõtet vasakule levivast lainest joonise (c) all näidatud ajahetkedel $t$ ( $T$ on laine võnkeperiood). (b) Viis momentvõtet sellega identsest, aga paremale poole levivast lainest samadel ajahetkedel $t$ . (c) Nende kahe laine liitumisel samal keelel tekkinud resultantlaine momentvõtted. Ajahetkedel $t = 0$ , $\frac{1}{2} T$ , ja $T$ tekib täielikult konstruktiivne interferents, sest lainete harjad ja põhjad ühtivad. Ajahetkedel $t = \frac{1}{4} T$ ja $\frac{3}{4} T$ tekib täielikult destruktiivne interferents, sest ühe laine harjade kohal on teise laine põhjad. Mõned kohad – sõlmed, mis on tähistatud punktidega – ei võngu üldse. Mõned kohad – paisud – võnguvad kõige rohkem.

Joonis 16-19 näitab meile lahendust graafiliselt. Seal on näha kaks liituvat lainet, üks neist levib joonisel 16-19a vasakule ja teine levib joonisel 16-19b paremale. Joonisel 16-19c on näidatud nende summa, mis on saadud graafiliselt superpositsiooniprintsiibi abil. Resultantlaine silmapaistev omadus on see, et keelel on kohad, mis on alati paigal; neid nimetatakse sõlmedeks. Neli niisugust kohta on tähistatud joonisel 16-19c punktidega. Kahe kõrvutioleva sõlme vahel on paisud, kus resultantlaine amplituud on maksimaalne. Joonisel 16-19 kujutatud lainekujusid nimetatakse seisulaineteks, sest need lainekujud ei liigu vasakule ega paremale ning maksimumide ja miinimumide asukohad ei muutu.

Kui kaks ühesuguse lainepikkuse ja amplituudiga siinuslainet levivad pinguletõmmatud keelel vastassuundades, siis tekib nende interfereerumisel seisulaine.

Seisulaine analüüsimiseks vaatame kahe liituva laine valemeid

(16-58)

y_{1} (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t)

(16-59)

y_{2} (x, t) = y_{m} sin (k x + ω t)

Superpositsiooniprintsiip annab liitunud lainete jaoks valemi

y^{'} (x, t) = y_{1} (x, t) + y_{2} (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t) + y_{m} sin (k x + ω t)

Trigonomeetriast tuntud valemi 16-50 kasutamisel saame lainekuju

(16-60)

y^{'} (x, t) = [2 y_{m} sin k x] cos ω t

mis on näidatud joonisel 16-20. See valem ei kirjelda kulglainet, sest ta ei avaldu valemi 16-17 kujul. See valem kirjeldab seisulainet.

Valemi 16-60 sulgudes olevat liiget $2 y_{m} sin k x$ võiks käsitleda kui keeleelemendi võnkeamplituudi asukohas $x$ . Kuid kuna amplituud on alati positiivne, aga $sin k x$ väärtus võib olla ka negatiivne, on keeleelemendi võnkeamplituud asukohas $x$ pigem võrdne suuruse $2 y_{m} sin k x$ absoluutväärtusega.

Sinusoidaalse kulglaine korral on keele kõigi elementide laineamplituud ühesugune. Kuid see ei kehti seisulaine korral, kus amplituud muutub sõltuvalt asukohast. Näiteks seisulaines, mille valem on 16-60, on amplituud null nende $k x$ väärtuste juures, kus $sin k x = 0$ . Need väärtused on:

(16-61)

k x = n π n = 0, 1, 2, \dots

Asendades selles valemis $k = 2 π / λ$ ja tõstes liikmeid ümber, saame sõlmede asukohad

(sõlmed, 16-62)

x = n \frac{λ}{2} n = 0, 1, 2, \dots

kus valemiga 16-60 kirjeldatud seisulaine amplituud on null. Pange tähele, et kõrvutiasuvate sõlmede vahemaa on $λ / 2$ , s.t nad on üksteisest poole lainepikkuse kaugusel.

Valem 16-60 poolt kirjeldatud seisulaine amplituudi maksimaalne väärtus on $2 y_{m}$ ja see on $k x$ väärtuste korral, kus $| sin k x | = 1$ . Need väärtused on:

(16-63)

k x = \frac{1}{2} π, \frac{3}{2} π, \frac{5}{2} π, \dots = (n + \frac{1}{2}) π n = 0, 1, 2, \dots

Asendades valemis 16-63 $k = 2 π / λ$ ja tõstes liikmeid ümber, saame paisude asukohad

(paisud, 16-64)

x = (n + \frac{1}{2}) \frac{λ}{2}, n = 0, 1, 2, \dots

kus valemiga 16-60 kirjeldatud seisulaine amplituud on maksimaalne. Paisude vahemaa on $λ / 2$ ja nad asuvad sõlmede paari keskel.

Peegeldused äärel

Seisulaine tegemiseks laseme piki keelt levival kulglainel peegelduda keele kaugemast otsast tagasi läbi iseenda. Esialgset lainet (originaallainet) ja peegeldunud lainet saab kirjeldada vastavalt valemite 16-58 ja 16-59 abil ning nad saavad liituda, tekitades seisulaine.

JOONIS 16-21 (a) Paremalt poolt tulev laineimpulss peegeldub keele vasakpoolselt otsalt, mis on seotud seina külge. Pange tähele, et peegeldunud impulss on esialgse impulsi suhtes ümber pööratud. (b) Sellel joonisel on keele vasakpoolne ots seotud rõnga külge, mis saab liikuda hõõrdevabalt piki varrast üles ja alla. Nüüd impulss peegeldumisel ümber ei pöördu.

Joonis 16-21 selgitab selliseid peegeldusi üksikimpulsi näitel. Joonisel 16-21a on keele vasakpoolne ots kinnitatud seina külge. Kui impulss jõuab selle otsani, siis mõjutab ta tuge (antud juhul seina) ülespoole suunatud jõuga. Newtoni kolmanda seaduse järgi mõjub tugi keelele sama suure ja vastupidiselt suunatud jõuga. See jõud tekitab toe ääres impulsi, mis levib tagasi mööda keelt suunas, mis on vastupidine esialgse impulsi levimise suunaga. Sedalaadi „jäiga” peegelduse korral peab toe kohal olema laine sõlm, sest keel on seal kinni. Peegeldunud ja esialgne impulss peavad olema vastupidiste märkidega, et nad selles kohas teineteist kustutaksid.

Joonisel 16-21b on keele vasakpoolne ots kinnitatud kerge rõnga külge, mis saab liikuda hõõrdevabalt piki varrast üles ja alla. Kui esialgne impulss jõuab otsani, liigub rõngas mööda varrast ülespoole. Kui rõngas liigub, tõmbab ja venitabta keelt, tekitades sellega peegeldunud impulsi, milles hälve on sama märgi ja amplituudiga nagu esialgsel impulsil. Niisuguse „pehme” peegelduse korral esialgne (pealelangev) impulss ja peegeldunud impulss võimendavad teineteist, tekitades keele otsas paisu, kus keele maksimaalne hälve on kaks korda suurem kui kummagi impulsi amplituud.

Kaks ühesuguse amplituudi ja lainepikkusega lainet interfereeruvad kolmes erinevas olukorras ja tekitavad resultantlained, mida kirjeldavad järgmised valemid:
(1)

y' (x, t) = 4 sin (5 x - 4 t)

(2)

y' (x, t) = 4 sin (5 x) cos (4 t)

(3)

y' (x, t) = 4 sin (5 x + 4 t)

Missuguses olukorras kaks liituvat lainet liiguvad (a)

x

-telje positiivses suunas, (b)

x

-telje negatiivses suunas ja (c) vastupidistes suundades?

Seisulained ja resonants

Vaatleme pillikeelt, näiteks kitarrikeelt, mille otsad on kinnitatud kahe klambriga. Oletame, et me laseme mööda keelt levida teatud sagedusega pideval siinuslainel näiteks paremale poole. Kui laine jõuab keele parempoolsesse otsa, ta peegeldub ja hakkab liikuma vasakule. Vasakule liikuv laine kattub lainega, mis ikka veel liigub paremale. Kui vasakule liikuv laine jõuab vasakpoolsesse otsa, ta peegeldub ja see taaspeegeldunud laine hakkab liikuma paremale, kattudes nii vasakule kui ka paremale liikuvate lainetega. Sel viisil on õige pea tekkinud hulk kattuvaid kulglaineid, mis omavahel interfereeruvad.

JOONIS 16-22 Stroboskoopfotodel on keelel näha (ebatäiuslikke) seisulaineid, mida tekitab keele vasakpoolses otsas asuv võnkeallikas. Need seisulainete profiilid tekivad kindlate võnkesageduste juures. (Richard Megna/Fundamental Photographs).

Mõnede sageduste korral tekitab interferents seisulaineid (võnkemoode) sõlmede ja suurte paisudega nagu need, mis on kujutatud joonisel 16-22. Taolise seisulaine kohta öeldakse, et ta on tekkinud resonantsi tingimustes, ja et keel resoneerib teatud sagedustel, mida nimetatakse resonantssagedusteks. Kui keel võngub sagedustel, mis ei ole resonantssagedused, siis seisulainet ei teki. Sel juhul on paremale ja vasakule liikuvate lainete interferentsi tulemuseks vaid keele väike (või isegi märkamatu) võnkumine.

Olgu pillikeel tõmmatud pingule klambrite vahele, mis asuvad teineteisest fikseeritud kaugusel $L$ . Pillikeele resonantssageduste avaldiste leidmiseks märgime, et tema mõlemas otsas peavad olema seisulaine sõlmed, sest nad mõlemad on kinnitatud ega saa võnkuda. Kõige lihtsam juhtum, mis rahuldab seda tingimust, on kujutatud joonisel 16-23a. Seal on näidatud pillikeele mõlemad maksimaalsed hälbed, üks neist on pidev joon ja teine katkendlik ning üheskoos moodustavad nad „silmuse”. Sel joonisel on ainult üks pais, mis asub pillikeele keskel. Paneme tähele, et pillikeele pikkus $L$ katab ainult poole lainepikkusest. Seega selle laineprofiili korral on $λ / 2 = L$ . Ühtlasi tähendab see, et taolise laineprofiili saavad tekitada vasakule ja paremale levivad lained siis, kui nende lainepikkus on $λ = 2 L$ .

16-23 Pillikeel, mille otsad on kinnitatud klambritega, on pandud võnkuma ja temas tekivad seisulaine profiilid. (a) Kõige lihtsam võimalikest profiilidest koosneb ühest silmusest võnkumiste liitprofiililis; pillikeele võnkumiste äärmised hälbed on näidatud pideva ja katkendliku joonega. (b) Seisulaine lihtsuselt järgmisel profiilil on on kaks silmust. (c) Järgmisel profiilil on kolm silmust.

Teine lihtne laineprofiil, mis vastab tingimusele, et pillikeele kinnitatud otstes peavad olema sõlmed, on kujutatud joonisel 16-23b. Sellel profiilil on kolm sõlme ja kaks paisu ning seda nimetatakse kahesilmuseliseks laineprofiiliks. Kui seda profiili kujundavad vasakule ja paremale levivad lained, peab nende lainepikkus olema $λ = L$ . Kolmas laineprofiil on kujutatud joonisel 16-23c. Sellel profiilil on neli sõlme, kolm paisu ja lainepikkus on $λ = 2 / 3 L$ . Seda rida võib jätkata järjest komplitseeritumate laineprofiilide suunas. Rea iga järgmist liiget kujutaval laineprofiilil on lisaks olemasolevatele üks sõlm ja üks pais rohkem ning vahemaa $L$ on jagatud ühe võrra suurema poollainete $λ / 2$ arvuga.

Seega saab pillikeelel pikkusega $L$ olla seisulaine, mille lainepikkus on võrdne ühega järgmisest lainepikkustest:

(16-65)

λ = \frac{2 L}{n} kus n = 1, 2, 3, \dots

Nendele lainepikkustele vastavad resonantssagedused arvutatakse valemi 16-13 järgi:

(16-66)

f = \frac{v}{λ} = n \frac{v}{2 L} kus n = 1, 2, 3, \dots

Siin $v$ tähistab kulglaine levimiskiirust keelel.

JOONIS 16-24 Üks võimalikest seisulainetest litauri trumminahal, mida saab teha nähtavaks trumminahale raputatud tumeda pulbri abil. Kui trumminahk pannakse võnkuma fikseeritud sagedusega joonise ülemises vasakpoolses nurgas asuva mehhaanilise võnkeseadise abil, koguneb pulber seisulaine sõlmedesse, mis sellel kahemõõtmelisel juhul on ringjoonte ja sirgjoonte kujulised. (Thomas D. Rossingi (Põhja-Illinoisi Ülikool) loal).

Valemist (16-66) on näha, et resonantssagedused on kõige väiksema sageduse $f = v / 2 L$ ( $n = 1$ ) täisarvkordsed väärtused. Kõige väiksema sagedusega võnkemoodi nimetatakse põhimoodiks (põhivõnketüübiks) ehk esimeseks harmoonikuks. Teine harmoonik on võnkemood, kus $n = 2$ , kolmandal harmoonikul on $n = 3$ ja nii edasi. Nende võnkemoodidega seotud sagedusi tähistatakse $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ ja nii edasi. Kõikide võimalike võnkemoodide kogumit nimetatakse harmoonikute seeriaks ja tegurit $n$ nimetatakse $n$ -nda harmooniku harmoonikunumbriks.

Antud keelel antud pinge all vastab igale resonantssagedusele kindel võnkemuster. Kui sagedus on kõrvaga kuuldavas piirkonnas, saab niisiis kuulda keele kuju. Resonants võib olla ka kahemõõtmeline (nagu trumminahal joonisel 16‑24) või kolmemõõtmeline (nagu tuules kõikuval ja väänduval kõrghoonel).

Jalakäijate sillad ja mosh pit’id

Kui Millenniumisild üle Thamesi jõe jalakäijatele avati, ei võnkunud ta alguses üldse. Jalakäijate sammud tekitasid sillal vertikaalseid ja horisontaalseid jõudusid, mis oleksid võinud põhjustada silla teise harmooniku tekkimise (mis on umbes seesama mis pillikeele teine harmoonik). Kuid jalakäijaid oli vähe ja nende sammud olid kooskõlastamata. Alles siis, kui neid tuli sillale üle kriitilise arvu, muutus teine harmoonik äkki märgatavaks ja tekkis raskusi sillal kõndimisega. Tasakaalu hoidmise eesmärgil hakkasid paljud jalakäijad ajastama oma samme vastavalt silla kõikumisele, mis seetõttu muutus veelgi tugevamaks ja lugu lõppes sellega, et sild suleti nii kauaks, kuni paigaldati summutusseadmed (vaata näidisülesannet 15-3).

Ehituskonstruktsiooni samasugused kõikumised võivad tekkida siis, kui publik hakkab staadioni tribüünil kooskõlastatult kõikuma või trampima. Võib-olla kõige hullem olukord võib tekkida nn mosh pit’is, kui sellel on kerge ripp-põrand. Kui kokkukuhjunud tantsijad hakkavad hüplema („pogotama”) ja nende kooskõlastatud hüpped on ühes taktis muusikarütmiga, võivad nad põhjustada põranda resonantsi, mis sellisel juhul on tüüpiliselt resonantssagedusel $2 H z$ . Resonants võib tekkida kiiresti, sest palju rahvast püüab oma liigutusi kooskõlastada võngetega, mis seetõttu võivad muutuda põrandale purustavaks. Sellise olukorra vältimiseks nõuavad nüüdisaegsed ehitusmäärused, et rippuvate tantsupõrandate resonantssagedused ületaksid kõik $5 H z$ .

Joonisel 16-25 on näidatud resonantsvõnkumise laineprofiil keelel, mille mass

m = 2, 500 g

ja pikkus

L = 0, 800 m

ning mis on pingutatud jõuga

τ = 325, 0 N

. Kui suur on ristlainete lainepikkus

λ

, mis põhjustavad näidatud seisulaine, ja missugune on harmoonikunumber

n

? Kui suur on ristlainete ja keele võnkuvate elementide võnkesagedus

f

? Kui suur on ristsuunalise kiiruse suurim väärtus

u_{m}

keele elemendil koordinaadiga

x = 0, 180 m

(pange tähele, et joonisel on

x

-telg)? Missuguses punktis on selle keeleelemendi võnkumise ajal tal see maksimaalne ristsuunaline kiirus?

JOONIS 16-25 Pinguletõmmatud keele resonantsvõnkumine

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Seisulainet tekitavad ristlained peavad olema sellise lainepikkusega, et keele pikkus mahutaks täisarv kordi poollainepikkusi. (2) Nende lainete ja keeleelementide võnkumise sagedus on antud valemiga 16-66 ( $f = n v / 2 L$ ). (3) Keeleelementide hälve kui asukoha $x$ ja aja $t$ funktsioon on antud valemiga 16-60:

(16-67)

y^{'} (x, t) = [2 y_{m} sin k x] cos ω t

Lainepikkus ja harmoonikunumber: Joonisel 16-25 kujutatud pidev joon, mis on sisuliselt võnkumiste momentvõte (stoppkaader), näitab, et keele pikkusele $L = 0, 800 m$ mahub kaks täislainepikkust. Seega

2 λ = L

λ = \frac{L}{2} = \frac{0, 800 m}{2} = 0, 400 m - ------- - - ------- -

Silmuste (või poollainepikkuste) loendamine näitab, et harmoonikunumber on

n = 4 - -

Me jõuame samale järeldusele, kui võrdleme valemeid 16-68 ja 16-65 ( $λ = 2 L / n$ ). Seega võngub keel oma neljandas harmoonikus.

Sagedus: Ristlainete sageduse $f$ saame valemist 16-53 ( $v = λ f$ ), kui eelnevalt leiame lainete levimiskiiruse $v$ . See kiirus on määratud valemiga 16-26, kus joontiheduse $μ$ asendame tema avaldisega $m / L$ . Saame:

v = \sqrt{\frac{τ}{μ}} = \sqrt{\frac{τ}{m / L}} = \sqrt{\frac{τ L}{m}} = \sqrt{\frac{(325 N) (0, 800 m)}{2, 50 \times 10^{- 3} k g}} = 322, 49 m / s

Pärast valemi 16-13 liikmete ümbertõstmist kirjutame:

f = \frac{v}{λ} = \frac{322, 49 m / s}{0, 400 m} = 806, 2 H z \approx 806 H z - ----- - - ----- -

Paneme tähele, et saame sama vastuse ka siis, kui teeme asendused valemis 16-66:

f = n \frac{v}{2 L} = 4 \frac{322, 49 m / s}{2 (0, 800 m)} = 806 H z - ----- - - ----- -

Märgime, et $806 H z$ ei ole mitte ainult neljandat harmoonikut tekitavate lainete sagedus, vaid ka keele elementide sagedus, mis võnguvad joonisel 16-25 vertikaalselt. See on ka heli sagedus, mida kuuleme pillikeele võnkumisel.

Ristvõnkumise kiirus: Keele elemendi hälve $y^{'}$ kohal $x$ on aja funktsioon ja määratud valemiga 16-67. Liige $cos ω t$ sisaldab ajalist sõltuvust ja sel viisil kirjeldab seisulaine „liikumist”. Liige $2 y_{m} sin k x$ määrab liikumise ulatuse, see tähendab, amplituudi. Kõige suurem amplituud on paisul, kus $sin k x$ on $+ 1$ või $- 1$ , ja seepärast on suurim amplituud $2 y_{m}$ . Joonisel 16-25 näeme, et $2 y_{m} = 4, 00 m m$ , mis tähendab, et $y_{m} = 2, 00 m m$ .

Meil on tarvis leida ristliikumise kiirus ehk keeleelemendi $y$ -telje sihiline kiirus. Selle leidmiseks võtame valemist 16-67 tuletise aja järgi:

(16-69)

u (x, t) = \frac{\partial y^{'}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [(2 y_{m} sin k x) cos ω t] = [- 2 y_{m} ω sin k x] sin ω t

Selles valemis määrab liige $sin ω t$ kiiruse sõltuvuse ajast ja liige $- 2 y_{m} sin k x$ tema muutumise ulatuse. Meil on tarvis teada muutumise ulatuse absoluutväärtust:
$u_{m} = | - 2 y_{m} ω sin k x |$ .

Et seda arvutada kohal $x = 0, 180 m$ asuva elemendi korral, märgime kõigepealt, et $y_{m} = 2, 00 m m$ , $k = 2 π / λ = 2 π / (0, 400 m)$ ja $ω = 2 π / f = 2 π (806, 2 H z)$ . Niisiis on kohal $x = 0, 180 m$ asuva elemendi maksimaalne kiirus

u_{m} = | - 2 (2, 00 \times 10^{- 3} m) (2 π) (806, 2 H z) \times (\frac{2 π}{0, 400 m} (0, 180 m)) | = 6, 26 m / s - -------- - - -------- -

Selleks et määrata, millal on keele elemendil maksimaalne kiirus, võib analüüsida valemit 16-69. Siiski päästab väike mõttetöö meid suuremast vaevast. Keele element sooritab lihtharmoonilist liikumist ja ta peab jääma hetkeks seisma oma äärmises ülemises asendis ning äärmises alumises asendis. Tema kiirus on kõige suurem siis, kui ta läbib võnkumise keskmist asendit, nii nagu klots võnkesüsteemis klots–vedru.

Ülesannete lahendamise juhised

Kui on tarvis andmeid pikkusega $L$ pillikeele mõne harmooniku kohta, tuleb kõigepealt teha selle harmooniku joonis (nagu on joonisel 16-23). Kui teilt küsitakse midagi näiteks viienda harmooniku kohta, tuleb teil joonistada kahe tugipunkti vahele viis silmust. See tähendab, et viis silmust, millest igaüks on pikkusega $λ / 2$ , mahuvad täpselt ära pillikeelele pikkusega $L$ . Seega kui $5 (λ / 2) = L$ , on $λ = 1 L / 5$ . Pärast seda võib leida valemi 16-13 ( $f = v / λ$ ) abil harmooniku sageduse.

Tuleb meeles pidada, et harmooniku lainepikkus on määratud keele pikkusega $L$ , kuid sagedus sõltub ka laine levimiskiirusest $v$ , mille määravad pillikeele pingejõud ja joontihedus valemi 16-26 kaudu.

Summary

Mehaanilised lained saavad olemas olla ainult materiaalses keskkonnas ja nad alluvad Newtoni seadustele. Mehaanilised ristlained nagu need, mis tekivad pinguletõmmatud keelel, on sellised lained, kus osakesed võnguvad risti laine levimise suunaga. Lained, kus osakes

x-telje positiivses suunas leviv siinuslaine on matemaatiliselt kirjeldatud funktsiooniga

y (x, t) = y_{m} sin (k x - ω t)

kus $y_{m}$ on laineamplituud, $k$ lainearv, $ω$ nurksagedus ja $k x ω t$ faas. Laine

Laine levimiskiirus pinguletõmmatud keelel on määratud keele omadustega. Kiirus keelel, mille pingejõud on $τ$ ja joontihedus on $μ$ , on antud valemiga

$v = \sqrt{\frac{τ}{μ}}$

Keskmine võimsus ehk energia ülekandmise keskmine kiirus pinguletõmmatud keelel on määratud valemiga

$P_{k} = \frac{1}{2} μ v ω^{2} y_{m}^{2}$

Kui samas keskkonnas levib kaks või enam lainet, siis selle keskkonna iga osakese hälve on summa kõikidest hälvetest, mida tekitaksid üksikud lained eraldi.

Kaks samal keelel levivat lainet interfereeruvad ja selle tulemusel nad kas liituvad või kustutavad teineteist vastavalt superpositsiooniprintsiibile. Kui need kaks samas suunas levivat lainet on ühesuguse amplituudi $y_{m}$ ja ühesuguse sagedusega (järelikult on neil ka sama

Lainet $y (x, t)$ võib esitada faasorina. See on vektor, mille suurus on võrdne laine amplituudiga $y_{m}$ ja mis pöörleb oma alguspunkti ümber nurkkiirusega, mis on võrdne laine nurksagedusega $ω$ . Pöörleva faasori projektsioon vert

Kahe identse vastassuunas leviva siinuslaine interferents tekitab seisulaine. Kui seisulaine tekib keelel, mis on otstest kinnitatud, saab teda esitada kujul

$y^{'} (x, t) = [2 y_{m} sin k x] cos ω t$

Seisulainet iseloomustavad kohad, kus hälve on null, nn sõlmed

Seisulaine võib tekkida keelel, kui tema otstel kulglained peegelduvad. Kui keele ots on kinnitatud, siis peab seal olema sõlm. See piirab sageduste arvu, mis saavad keelel tekkida. Iga võimalik sagedus on resonantssagedus ja sellele vastav seisulaine kuju on

Questions

Joonisel 16-26a on kujutatud momentvõte pinguletõmmatud keelel levivast lainest, mis liigub x-telje positiivses suunas. Neli tähtedega tähistatud punkti märgivad keele elemente. Määrake, kas need elemendid liiguvad momentvõtte ajal ülespoole, allapoole või on paigal. (Vihje: Kujutlege, et laine liigub läbi nende nelja elemendi ja te jälgite laine videopilti, kui ta on liikumas paremale.) Joonisel 16-26b on antud keele mingi elemendi hälbe sõltuvus ajast; olgu selle elemendi asukoht näiteks $x = 0$ . Kas keeleelement liigub tähtedega tähistatud ajahetkedel ülespoole, allapoole või on paigal?

Answer

Joonisel 16-27 on näidatud piki x-telge pingutatud nöör, mida mööda levivad kolm sõltumatult tekitatud lainet. Järjestage lained nende (a) lainepikkuse, (b) kiiruse ja (c) nurkkiiruse järgi, alustades suurimast.

Answer

Nelja ühesuguse lainepikkusega lainepaari amplituudid ja faasivahed on (a) $2 mm$ , $6 mm$ ja p rad; (b) $3 mm$ , $5 mm$ ja $π rad$ ; (c) $7 mm$ , $9 mm$ ja $π rad$ ; (d) $2 mm$ , $2 mm$ ja $0 rad$ . Iga lainepaar liigub samas suunas mööda sama keelt. Järjestage pelga kujutluspildi abil need neli lainepaari nende resultantlaine amplituudi järgi, alustades suurimast. (Vihje: joonistage faasordiagramm.)

Answer

Joonisel 16-28 kujutatud laine koosneb ristkülikukujulisest maksimumist kõrgusega 4 ühikut ja laiusega $d$ ning ristkülikukujulisest miinimumist sügavusega 2 ühikut ja laiusega $d$ . Laine levib paremale piki x-telge. Lained 2, 3, ja 4 on samasugused lained, samasuguste maksimumide, miinimumide ja laiustega, kuid levivad piki x-telge vasakule läbi laine 1. Paremale leviv laine 1 ja üks vasakule levivatest lainetest interfereeruvad, kui nad läbivad teineteist. Missuguse vasakule leviva lainega tekib interferentsi tulemusel hetkeks (a) sügavaim miinimum, (b) sirge joon ja (c) sirge maksimum laiusega $2 d$ ?

Answer

Kui alguses on kaks võrdse amplituudiga siinuslainet, mis levivad mööda keelt samas faasis, ja siis nihutatakse ühe laine faasi teise suhtes $5, 4$ lainepikkuse võrra, mis tüüpi interferents selle tulemusel tekib?

Answer

Mööda pinguletõmmatud nööri levib siinuslaine, mis kannab üle energiat keskmise kiirusega $P_{k,1}$ . Seejärel lastakse mööda nööri liikuda kahel lainel, mis on esimesega samasugused, kuid käiguvahega $0$ ; $0, 2$ lainepikkust; $0, 5$ lainepikkust. (a) Järjestage pelga kujutluspildi abil need erinevate käiguvahedega lained selle järgi, kui kiiresti nad kannavad üle energiat, alustades kiireimast. (b) Kui on valitud esimene nimetatud käiguvahedest, siis milline on energiaülekande keskmise kiiruse avaldis $P_{k,1}$ kaudu?

Answer

Neljal lainel lastakse levida mööda keelt, mis on ühtlase joontihedusega ( $x$ on meetrites ja $t$ on sekundites). Järjestage lained (a) nende levimiskiiruse ja (b) keele pinge järgi, alustades suurimast: (1) $y_{1} = (3 mm) sin (x - 3 t)$ , (2) $y_{2} = (6 mm) sin (2 x - t)$ , (3) $y_{3} = (1 mm) sin (4 x - t)$ , (4) $y_{4} = (2 mm) sin (x - 2 t)$ .

Answer

Kui tekitada keelel seitsmes harmoonik, (a) mitu sõlme siis tekib? (b) Kas laine keskkohas on sõlm, pais või mõni vahepealne olek? Kui seejärel tekitada kuues harmoonik, (c) kas tema resonantslainepikkus on suurem või väiksem kui seitsmenda harmooniku oma ja (d) kas tema resonantssagedus on suurem või väiksem?

Answer

Joonisel 16-29 on kujutatud kolme juhtumi faasordiagrammid, kus kaks lainet liiguvad mööda sama keelt. Kõigil kuuel lainel on ühesugune amplituud. Järjestage need juhtumid vastavalt tekkinud laine amplituudile, alustades suurimast.

Answer

(a) Kui keelel tekkinud seisulaine on antud valemiga $y (t) = (3 mm) sin (5 x) cos (4 t)$ , kas asukohas $x = 0$ on keele võnkumisel sõlm või pais? (b) Kui seisulaine on antud valemiga $y (t) = (3 mm) sin (5 x + π / 2) cos (4 t)$ , kas siis on asukohas $x = 0$ keele võnkumisel sõlm või pais?

Answer

Keeled $A$ ja $B$ on ühesuguse pikkuse ja joontihedusega, kuid keel $B$ on suurema pinge all kui keel $A$ . Joonisel 16-30 on kujutatud neli olukorda (a) kuni (d), kus kahel keelel kujuneb seisulaine. Missugusel juhul on võimalik olukord, et keeled $A$ ja $B$ võnguvad sama resonantssagedusega?

Answer

Ülesanded

Punkt 16-5 Kulglaine levimiskiirus Punkt 16-6 Laine levimiskiirus pinguletõmmatud keelel Punkt 16-7 Keelel kulgeva laine energia ja võimsus Punkt 16-8 Lainevõrrand Punkt 16-10 Lainete interferents Punkt 16-11 Faasorid Punkt 16-13 Seisulained ja resonants Additional tasks

Näidisülesanne 16-1

KONTROLLKÜSIMUS 1

KONTROLLKÜSIMUS 2

(a)

(b)

(d)

(a)

(b)

KONTROLLKÜSIMUS 3

Näidisülesanne 16-4

Näidisülesanne 16-5

KONTROLLKÜSIMUS 4

(a)

(b)

Näidisülesanne 16-7

KONTROLLKÜSIMUS 5

Näidisülesanne 16-8 Arenda oma oskusi

Juhis 2: Keele harmoonikud