The heat

Saunas on lahtisel taldrikul vesi. Saunas on kaua aega olnud temperatuur $100^{\circ} C$ . Kas vesi keeb? Põhjendada vastust.

Lahendus

Vesi ei kee. Keemiseks on vajalik pidev soojuse juurdevool. Kuid mida lähedasem on vee temperatuur keemisele, seda vähem saab ta energiat soojusülekande teel ja keemistemperatuuril $100^{\circ} C$ ei saaks ta enam üldse energiat. Aurumine esineb siiski ja selle tõttu kaotab vesi pidevalt energiat ja see kadu peab saama kompenseeritud soojusülekande teel. Seetõttu on vee temperatuur madalam keemistemperatuurist.

Jää valmistamisel külmakapis $4^{\circ} C$ veest kulus esimeste kristallide tekkimiseni $5 m i n$ . Täieliku jäätumiseni aga veel $100 m i n$ . Leida jää sulamissoojus, kui vee erisoojus on $4200 J / (k g \cdot K)$ .

Lahendus

Tähistused: $t_{1}$ - vee algtemperatuur; $t_{2}$ - vee sulamistemperatuur; $τ_{1}$ - jahtumisaeg; $τ_{2}$ - jäätumisaeg; $c$ - vee erisoojus; $λ$ - jää sulamissoojus; $m$ - vee mass.

Lahendus: Külmkapi võimsus on konstantne.

Q_{1} = m c \cdot (t_{1} - t_{2}), Q_{2} = m λ, \frac{Q_{1}}{τ_{1}} = \frac{Q_{2}}{τ_{2}}

λ = \frac{τ_{2}}{τ_{1}} \cdot c \cdot (t_{1} - t_{2}) = 300 k J / k g

Vastus: Jää sulamissoojus on $300 k J / k g$ .

Maja küttesüsteem kasutab kuuma vett, mis on suvel päikesekiirgusega viidud temperatuurini $80^{\circ} C$ . Kui suure ruumalaga peab olema mahuti, milles säilitatava veega saab maja kütta 10 kuu jooksul? Eeldame, et keskmine energiakadu koos küttega on $10 k W$ , temperatuur on $20^{\circ} C$ ja kuu keskmine päevade arv on 30.

Lahendus

Tähistused: $m$ - vee mass; $V$ - vee ruumala; $ρ$ - vee tihedus; $Q$ - vee soojusenergia; $P$ - energiakadu võimsus; $Δ t$ - ajavahemik, mille jooksul tuleb maja kütta; $c$ - vee erisoojus; $Δ T$ - kuuma vee ja maja temperatuuride vahe.

Teame, et

Q = c m Δ T

m = ρ V

Q = P Δ t

Järelikult

P Δ t = c ρ V Δ T

V = \frac{P Δ t}{c ρ Δ T} = 1029 m^{3}

Vastus: Mahuti ruumala peaks olema $1029 m^{3}$ .

On 2 ühesugust anumat, milledes kummaski on 1 liiter vett temperaturil $20^{\circ} C$ . Ühte anumasse lastakse 1 kilogrammine rauast kaaluviht temperatuuriga $100^{\circ} C$ , teise anumasse sama massi ja temperatuuriga vasest kaaluviht. Millises anumas ja mitme kraadi võrra tõuseb vee temperatuur rohkem? Raua erisoojus on $460 J / k g \cdot K$ , vase erisoojus on $390 J / k g \cdot K$ ning vee erisoojus on $4, 2 k J / k g \cdot K$ .

Lahendus

Tähistused: $m = m_{r} = m_{v} = 1 k g$ ; $t = 20^{\circ} C$ , $t_{I}^{'}$ - vee ja rauast kaaluvihi lõpptemperatuur, $t_{I I}^{'}$ - vee ja vasest kaaluvihi lõpptemperatuur, $t_{r} = t_{v} = 100^{\circ} C$ ; $c_{r} = 0, 46 k J / (k g \cdot K)$ ; $c_{v} = 0, 39 k J / (k g \cdot K)$ ; $c = 4, 2 k J / (k g \cdot K)$ .

Lõpptemperatuuri leidmiseks koostame soojusbilansi võrrandi: $Q_{1} + Q_{2} = 0$ , kus $Q_{1} = c m (t_{I}^{'} - t)$ ja $Q_{2} = c_{r} m_{r} (t_{I}^{'} - t_{r})$ .

Siit $c m (t_{I}^{'} - t) + c_{r} m_{r} (t_{I}^{'} - t_{r}) = 0$ .
Et $m = m_{r}$ , siis $c (t_{I}^{'} - t) + c_{r} (t_{I}^{'} - t_{r}) = 0$ ; $t_{I}^{'} (c + c_{r}) - c t - c_{r} t_{r} = 0$

t_{I}^{'} = \frac{c t + c_{r} t_{r}}{c + c_{r}} \approx 28^{\circ} C

Analoogiliselt leiame:

t_{I I}^{'} = \frac{c t + c_{v} t_{v}}{c + c_{v}} \approx 27^{\circ} C

Δ t = 28^{\circ} C - 27^{\circ} C = 1^{\circ} C

Vastus: Anumas, kus on rauast kaaluviht, on lõpptemperatuur $1^{\circ} C$ võrra kõrgem, kui teises anumas.

Tuppa toodi kaks täpselt ühesugust jäätükki. Üks jäätükk jäeti katmata, teine kaeti kasukaga. Kumb jäätükk sulas kiiremini? Miks?

Lahendus

Katmata jäätükk sulab kiiremini. Katmata jäätükk saab sulamiseks vajaliku energia õhult konvektsiooni teel. Kasukaga kaetud jäätükk saab energiat õhu ja karvade soojusjuhtivuse teel. Õhk ja loomakarvad on head soojuslikud isolaatorid. Seega saab katmata jäätükk sama ajaga suurema soojushulga kui kaetud jäätükk ning järelikult sulab kiiremini.

Autorattad pöörlevad lumes paigal 1 minut 6 sekundit. Lume temperatuur on $- 10^{\circ} C$ , auto võimsus $12 k W$ . Kui palju lund sulab selle aja jooksul, kui kogu kulutatud energia läheb lume soojendamiseks ja sulamiseks? Lume erisoojus on $2100 J / (k g \cdot K)$ , sulamissoojus on $340 k J / k g$ .

Lahendus

Mootori töö arvel suureneb lume siseenergia: $N = \frac{A}{Δ τ}$ , kust $A = N Δ τ$ . Lume soojenemiseks $0^{\circ} C$ -ni kulub soojushulk $Q_{1} = c m Δ t$ , lume sulamiseks soojushulk $Q_{2} = m λ$ . Kuna kogu kulutatud energia läheb lume soojendamiseks ja sulamiseks, siis $A = Q_{1} + Q_{2}$ , kust

m = \frac{N Δ τ}{c Δ t + λ} \approx 2, 2 k g

Anumat veega kuumutatakse pliidil. Niipea, kui vesi kuumeneb temperatuurini $t_{1} = 60^{\circ} C$ , lisatakse sinna veidi vett juurde - täpselt nii palju, et peale segunemist oleks anumas oleva vee temperatuur $t_{2} = 50^{\circ} C$ . Juurde valatava vee temperatuur $t_{0} = 20^{\circ} C$ . Esimese juurdevalamisega lisati $m_{1} = 50 g$ vett. Kui palju vett lisati kümnenda juurdevalamisega? Vee juurdevalamine ning külma ja sooja vee segunemine toimub nii kiiresti, et selle aja jooksul ei jõua toimuda ei soojusvahetust õhuga ega pliidi poolset kuumutamist.

Lahendus

Kui vee algmass oli $m_{0}$ , siis $m_{0} (t_{1} - t_{2}) = m_{1} (t_{2} - t_{0})$ , seega

m = m_{1} \frac{t_{2} - t_{0}}{t_{1} - t_{2}}

Vee uueks massiks sai seega

M_{1} = m_{0} + m_{1} = m_{1} \frac{t_{1} - t_{0}}{t_{1} - t_{2}}

Analoogselt eelnevaga

M_{1} (t_{1} - t_{2}) = m_{2} (t_{2} - t_{0})

, millest leiame

m_{2} = M_{1} \frac{t_{1} - t_{2}}{t_{2} - t_{0}} = m_{1} \frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}}

Siinjuures

m_{2}

on teise "solksu'' mass. Analoogiat jätkates

m_{3} = m_{\frac{t_{1} - t_{2}}{t_{2} - t_{0}}} = m_{1} (\frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}})^{2}

ning seega kümnenda "solksu'' mass

m_{10} = m_{1} (\frac{t_{1} - t_{0}}{t_{2} - t_{0}})^{9} \approx 666 g

Kalorimeetrisse, milles oli $2, 5 l$ vett temperatuuril $5^{\circ} C$ , pandi $800 g$ jääd. Peale temperatuuride ühtlustamist selgus, et kalorimeetris oli jääd $64 g$ rohkem kui alguses. Leida, milline oli kalorimeetrisse asetatud jää algtemperatuur? Jää erisoojus on $2, 1 k J / k g \cdot^{\circ} C$ , jää sulamissoojus on $335 k J / k g$ , vee erisoojus on $4, 2 k J / k g \cdot^{\circ} C$ , vee tihedus on $1000 k g / m^{3}$ . Kalorimeetri anuma jahtumist mitte arvestada.

Lahendus

Uurime lähemalt, mis täpselt toimus kalorimeetris. Kuna lõpus oli stabiilne vee ja jää segu, siis tähendab see, et selle segu temperatuur oli $0^{\circ} C$ , muu temperatuuri puhul hakkaks jää sulama või vesi külmuma. See omakorda tähendab, et vesi on jahtunud ja eraldanud soojust. Osa veest on muundunud jääks, mille käigus samuti eraldus soojus. See soojus sai minna ainult jää soojendamiseks. Järelikult näeb soojusliku tasakaalu võrrand välja

m_{v} c_{v} (t_{v} - 0) + λ Δ m_{j} = m_{j} c_{j} (0 - t_{j})

kust saame avaldada jää algtemperatuuri

t_{j}

t_{j} = - \frac{m_{v} c_{v} t_{v} + λ Δ m_{j}}{m_{j} c_{j}} \approx - 44^{\circ} C

Alam-Tšukroovia kraadiklaasitehases otsustati valmistada partii eksklusiivseid termomeetreid. Algse plaani kohaselt pidid need olema piiritustermomeetrid, mis koosnevad kerakujulisest 10-sentimeetrilise siseläbimõõduga reservuaarist ja sellega ühendatud peenikesest silindrilisest torust (vt. joonis). Kui vajalik kogus termomeetrite aluseid koos temperatuuriskaalaga oli juba valmis tehtud, selgus, et ettenähtud piiritusekogus oli salapärastel asjaoludel haihtunud. Võeti vastu otsus, et värvitud piirituse asemel kasutatakse värvitud vett. Paraku ilmnes, et kui piirduda vaid vedeliku vahetusega, siis näitaks termomeeter reaalse $11^{\circ} C$ -muutuse puhul vaid $1, 5^{\circ} C$ --muutust. Õnneks oli tehases esialgselt planeeritust kaks korda väiksema siseläbimõõduga torusid ning suurem hulk eri mõõdus kerakujulisi reservuaare (siseläbimõõduga kuni $18 c m$ ). Millise siseläbimõõduga reservuaari tuli neil kasutatada? Torus oleva vedeliku ruumala lugeda tühiseks võrreldes reservuaari ruumalaga.

Lahendus

Silindrilises torus on vedelike kõrguste muutumise suhe sama temperatuurivahemiku korral võrdne vedelike ruumpaisumistegurite suhtega . See suhe on $\frac{11}{1, 5} = 7, 33$ . Vähendades toru läbimõõtu 2 korda, väheneb tema ristlõikepindala 4 korda ja seetõttu muutub ka vedeliku taseme muutmise ulatus 4 korda fikseeritud temperatuurimõõdu korral. Seega muutub veetase skaalal temperatuuri muutumisel $11^{\circ} C$ võrra $4 \cdot 1, 5^{\circ} C = 6^{\circ} C$ , mis on ilmselt ebapiisav algselt gradueeritud skaala jaoks.

Et kompenseerida vajakajäämist, on vaja suurendada paisuvat ruumala, st. reservuaari. Olles juba suurendanud termomeetri näidu efektiivsust 4 korda toru läbimõõdu vähendamise kaudu, jääb puudu $\frac{7, 33}{4} = 1, 83$ korda, mille võrra peame suurendama reservuaari ruumala. Kuna $V \sim r^{3}$ , siis kerakujulise reservuaari läbimõõtu on vaja suurendada $\sqrt[3]{1, 83} \approx 1, 22$ korda ehk võtta reservuaar läbimõõduga $12, 2 c m$ .

Kui me prooviksime ehitada veetermomeetrit kasutades torusid esialgse diameetriga, siis peaksime me kasutama reservuaari läbimõõduga, mis on $\sqrt[3]{7, 5} \approx 1, 96$ korda suurem esialgsest reservuaarist ehk $19, 6 c m$ . Kuna aga tehase laos nii suuri reservuaare ei ole, siis ainsaks väljapääsuks jääb peenemate torude kasutamine.

Plekk-kruusis on $m = 1 k g$ vett. Seda vett tahetakse keema ajada keeduspiraaliga, mille võimsus $P = 100 W$ . Et võimsus osutus liiga väikeseks, siis vesi kuumenes küll teatud temperatuurini, kuid keema ei hakanud. Määrata, kui suure aja $τ$ jooksul plekk-kruusis asuv vesi jahtub $Δ t = 1^{\circ} C$ võrra, kui keeduspiraal välja lülitada. Vee erisoojus $c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$

Lahendus

Stabiliseerunud temperatuuril on plekk-kruusi kiirgamisvõimsus võrdne keeduspiraali võimsusega. Kui keeduspiraal välja lülitada, siis kruusitäis jahtub võimsusega $P = 100 W$ . Kiirgusvõimsuse muutumist $1^{\circ} C$ temperatuuri muudu juures mitte arvestades on soojusbalansi võrrand

P τ = c m Δ t

, millest

τ = \frac{c m Δ t}{P}

. Vastuseks saame seega

τ = 42 s

Elektrikeedukannus võimsusega $N = 2200 W$ keeb vesi. Kui suur on veeauru kiirus keedukannu tilast väljumisel, kui tila ristlõike pindala $S = 2 c m^{2}$ ? Kui vesi kannus keeb, siis läbi kannu seinte keskkonda eralduv soojushulk moodustab $χ = 5 %$ küttekehal vabanevast soojushulgast. Vee keemissoojus $L = 2, 3 \cdot 10^{6} J / k g$ ja keedukannu tilast väljuva veeauru tihedus temperatuuril $100^{\circ} C$ on $ρ = 0, 6 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Keedukannust väljuva aurujoa kiiruse arvutamiseks on vaja leida ühes sekundis keedukannu tilast väljunud veeauru ruumala ja jagada see tila ristlõike pindalaga. Soojushulga, mis eraldub keedukannu küttekehast leiame seosest: $Q = N t$ . Vee keemiseks vajaliku soojushulga saame seosest: $Q = L m$ . Kuivõrd soojuskaod moodustavad $χ = 5 %$ küttekehas eraldunud soojushulgast, on keedukannu kasutegur $η = 1 - χ = 0, 95$ ehk $95 %$ . Ühes sekundis eraldunud auru massi saame seosest: $η N t = L m$ , kust:

m = \frac{η N t}{L}

Auru ruumala leidmiseks kasutame tiheduse valemit:

ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow V = \frac{m}{ρ}

Aurujoa kiiruse arvutame seosest:

v = \frac{V}{S}

v = \frac{η N t}{ρ L S} = 7, 6 m / s .

Kahes anumas on võrdne kogus vett temperatuuridel vastavalt $t_{1}$ ja $t_{2}$ . Esimesest anumast kallatakse pool seal olevast veest teise ja segatakse läbi. Saadud veekogusest pool kallatakse esimesse anumasse tagasi ja segatakse läbi. Millised on vee temperatuurid anumates pärast neid protseduure? Soojuvahetust väliskeskkonnaga ja anumate soojusmahtuvust mitte arvestada.

Lahendus

Tähistagu $m$ ühes anumas algselt oleva vee massi. Pärast esimest ümbertõstmist saame teise anuma jaoks soojushulga jäävusest ( $c$ - vee erisoojus):

\frac{c m t_{1}}{2} + c m t_{2} = \frac{3 c m t_{2}^{'}}{2}

kus

t_{2}^{'}

on teise anuma vee temperatuur pärast segamist. Pärast teist ümbertõstmist saame esimese anuma jaoks

\frac{c m t_{1}}{2} + \frac{3 c m t_{2}^{'}}{4} = \frac{5 c m t_{1}^{'}}{4}

Esimesest võrrandist leiame:

t_{2}^{'} = \frac{t_{1} + 2 t_{2}}{3}

Seda kasutades, saame teisest võrrandist

t_{1}^{'} = \frac{2 t_{1} + 3 t_{2}^{'}}{5} = \frac{3 t_{1} + 2 t_{2}}{5} .

Silindrilises anumas läbimõõduga $d = 1 d m$ oli mingi kogus vett temperatuuril $4^{\circ} C$ . Anumasse asetati jäätükk temperatuuriga $0^{\circ} C$ . Pika aja järel oli vesi jahtunud temperatuurini $0^{\circ} C$ , kusjuures veetase oli $Δ h_{1} = 1 c m$ kõrgem, kui enne jäätüki vette asetamist. Seejärel võeti jäätükk veest välja ja veetase langes $Δ h_{2} = 0, 4 c m$ võrra. Leidke jäätüki ja anumas olnud vee esialgsed massid. Anuma seinte soojusmahtuvus ja soojusvahetus väliskeskkonnaga on tühised. Vee tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning need ei sõltu temperatuurist. Jää sulamissoojus $λ = 340 k J / k g$ .

Lahendus

Anuma põhja pindala on

S = \frac{π d^{2}}{4}

Leiame esmalt veest väljavõetud jäätüki massi

m_{1}

. Väljavõtmise tulemusena tõusis veetase

Δ h_{2}

võrra, seega enne väljavõtmist tõrjus jäätükk ruumala

Δ V = S Δ h_{2}

, mis on ühtlasi tema vees asuva osa ruumala. Archimedese seadusest

m_{1} g = ρ Δ V g \Rightarrow m_{1} = ρ Δ V = ρ S Δ h_{2}

Jää sulamise tulemusena jäi anumasse

S (Δ h_{1} - Δ h_{2})

esialgsest rohkem
vett. Seega ära sulas osa jääst

Δ m = ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2})

Esialgse jäätüki massiks saame

m_{0} = m_{1} + Δ m = ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2}) + ρ S Δ h_{2} = ρ S Δ h_{1} \approx 79 g

Jää sulamiseks kulus soojust

Q = λ Δ m

, mis kõik läks vee jahutamiseks

0^{\circ} C

-ni, seega

Q = c m_{v} Δ t

, kus

m_{v}

on esialgne vee mass anumas. Saame

λ Δ m = c m_{v} Δ t \Rightarrow m_{v} = \frac{λ Δ m}{c Δ t} = \frac{λ ρ S (Δ h_{1} - Δ h_{2})}{c Δ t} \approx 950 g .

Avatud termoses on vesi temperatuuril $t_{0} = 100^{\circ} C$ . Sellest $1 %$ aurustub. Hinda, kui palju muutub termosesse jäänud vee temperatuur $t$ . Vee erisoojus on $c_{v} = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , veeauru erisoojus on $c_{a} = 1, 9 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning vee aurustumissoojus temperatuuril $100^{\circ} C$ on $L = 2, 26 \frac{M J}{k g}$ . Eelda, et termose seinte kaudu soojuskadusid ei ole.

Lahendus

Energia jäävusest järeldub, et väikese koguse vee aurustumiseks kuluv soojushulk tuleb järelejäänud vee temperatuuri langemise arvelt.

Kuigi aurustumise alghetkel tekib veeaur temperatuuriga $100^{\circ} C$ , on hiljem nii vee kui ka tekkiva veeauru temperatuur veidi madalam. Uuel temperatuuril aga ei ole väikese koguse vee aurustumiseks kuluv soojushulk vee aurustumissoojusest temperatuuril $100^{\circ} C$ (ülesandes antud $L$ ) enam otseselt arvutatav.

Teeme lihtsustuse: vee aurustumissoojus on selles temperatuurivahemikus kogu aeg $L$ . Olgu termoses olev esialgne vee mass $m$ . Saame $0, 01 m L = 0, 99 m c_{v} Δ t$ , mis annab vastuseks

Δ t = \frac{1}{99} \frac{L}{c_{v}} = 5, 4^{\circ} C .

Jääst klaasi massiga $m_{k} = 200 g$ ning temperatuuriga $t_{0} = 0^{\circ} C$ kallatakse $m_{A} = 200 g$ vedelikku A temperatuuriga $t_{A} = 25^{\circ} C$ . Mitme protsendiline vedeliku A vesilahus tekib klaasis pärast soojusvahetuse lõppemist? Jää sulamissoojus on $λ_{j ¨ a ¨ a} = 330 \frac{k J}{k g}$ , vedeliku A erisoojus on $c_{A} = 2400 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Jääst klaas saab energiat vedeliku A jahtumisel eraldunud energia arvelt.

Q = c_{A} m_{A} Δ T = 12, 0 kJ

Vabanenud energia kulub jääst klaasi sulamiseks, ning seega on sulanud vee mass

mv=Qλj\"a\"a=36,4g

Vedeliku A protsent saadud lahuses on seega $p = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{v}} = 84, 6 %$

Juku otsustas välja uurida, mis temperatuuril $t_{l}$ on lumi õues kõrguvate hangede sisemuses. Tal endal termomeetrit ei olnud, aga ta teadis, et tema maja ventilatsioonisüsteem hoiab sisetemperatuuri $t_{s} = 20^{\circ} C$ . Esimese asjana lasi ta öö läbi seista kausitäiel veel, et see oleks toatemperatuuril. Järgmisel päeval tõi ta hange sisemusest termosetäie lund ja jagas selle kahte võrdsesse osasse. ühele osale tilgutas ta peale toatemperatuuril hoitud vett, kuni kogu lumi oli sulanud. Vett kulus selleks $V_{1} = 880 m l$ . Teise osa sulatas ta ära ja möötis saadud vee ruumalaks $V_{2} = 210 m l$ . Lõpuks otsis ta Wikipediast välja, et vee erisoojus on $c_{v} = 4180 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , jää erisoojus $c_{l} = 2110 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja jää sulamissoojus $λ = 334 k J / k g$ . Mis temperatuuril $t_{l}$ oli lumi?

Lahendus

Poole lume mass oli $ρ V_{2}$ , kus $ρ$ on vee tihedus. Lumele vee lisamise lõppedes oli segu temperatuur $t = 0^{\circ} C$ . Energia jäävusest saame võrrandi

c_{v} ρ V_{1} (t_{s} - t) = c_{l} ρ V_{2} (t - t_{l}) + λ ρ V_{2}

c_{l} V_{2} (t - t_{l}) = c_{v} V_{1} (t_{s} - t) - λ V_{2}

t_{l} = t + \frac{λ}{c_{l}} - \frac{c_{v} V_{1}}{c_{l} V_{2}} (t_{s} - t)

t_{l} = - 15^{\circ} C .

Joa kõrgus on $1000 m$ . Mitme kraadi võrra on vee temperatuur joa all kõrgem kui ülal? Vee soojenemiseks kulub $70 %$ langeva vee energiast. Vee erisoojus on $4200 J / (k g \cdot^{\circ} C)$ .

Lahendus

Vesi saab langemisel kineetilise energia $E = m g h$ . Põrkamisel alusega läheb osa langemisel saadud energiast vee enda soojendamiseks.

η m g h = m c Δ t, Δ t = \frac{η g h}{c} = 1, 6^{\circ}

How much heats up a $100$ -gram rubber ball (with specific heat $c = 1400 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ), which falls from a height of $4$ meters onto a table and bounces back to a height of $230 c m$ ? Assume that the ball receives $90 %$ of the amount of heat released on impact.

The solution

The energy released during the collision is obtained from the difference between the potential energies at the beginning of the collision and after the collision:

E = m g h_{1} - m g h_{2} = 1, 666 J

90 %

of this energy is needed to heat the ball

Q_{b a l l} = E \cdot 0, 9 = 1, 50 J

. We can find the heating of the ball from the formula

Q = c m Δ T

Δ T = \frac{Q_{p a l l}}{c m} = 0, 0107^{\circ} C \approx 0, 01^{\circ} C

Külma ilmaga oli autosse ununenud $1, 5$ liitrine täis veepudel. Auto juurde tulnud autojuht Koit ei uskunud oma silmi: temperatuur autos oli $- 5^{\circ} C$ , aga vesi pudelis ei olnud külmunud. Koidule tuli meelde, et ta oli kunagi kuulnud, et väga puhas vedelik võib olla vedelas olekus ka allpool tahkumistemperatuuri. Selle kontrollimiseks võttis ta pudeli ja raputas seda ning suhteliselt kiiresti muutus selles osa veest jääks. Mitu grammi jääd tekkis pudelisse? Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja tihedus on $ρ = 1000 k g / m^{3}$ , jää sulamissoojus $λ = 340 k J / k g$ .

Lahendus

Vesi jäätub temperatuuril $0^{\circ} C$ . Osa vee jäätumisel eralduvast soojushulgast läheb allajahtunud vee soojendamiseks jäätumistemperatuurile.

Q_{t a h k u m i n e} = Q_{s o o j e n e m i n e} .

c m Δ t = λ m_{j ¨ a ¨ a}

Tekkinud jää massi:

m_{j ¨ a ¨ a} = \frac{c m_{v e s i} Δ t}{λ}

Vee mass:

m_{v e s i} = V_{v e s i} \cdot ρ = 0, 0015 m^{3} \cdot 1000 \frac{k g}{m^{3}} = 1, 5 k g

Vastus $m_{j ¨ a ¨ a} = \frac{4200 J / k g K \cdot 1, 5 k g \cdot 5 C^{\circ}}{340000 J / k g} = 93 g$

Metallist litter raadiusega $r$ ja algpaksusega $h$ libiseb kahe suure heast soojusisolaatorist plaadi vahel. Plaadid on maapinna suhtes täpselt nii kaldu, et litter libiseks ühtlase kiirusega, ja plaatide vahekaugus on $l$ , mis on väga vähe erinev litri paksusest. Kui pika maa saab litter vertikaalsuunas läbida enne kinnijäämist? Litri tihedus on $ρ$ , erisoojus on $c$ ja selle lineaarne soojuspaisumistegur on $α$ . Soojuskaod litrist keskkonda ja plaatidesse võib lugeda tühiseks. Litrile mõjub raskusjõud $m g$ , mis on risti maapinnaga.
Soojuspaisumistegur väljendab keha joonmõõtme muutust vastavalt valemile $a = a_{0} (1 + α Δ T)$ ,kus $α$ on mõõde ja $Δ T$ on temperatuuri muutus algsega võrreldes.

Lahendus

Litri ühtlase kiirusega libisemisest järeldub, et kogu potentsiaalse energia muutus teisendub litri soojusenergiaks. Vertikaalsuunas vahemaa $H$ läbimisel kaotab litter potentsiaalset energiat $Q = m g H$ võrra (kus $m$ on litri mass). Litri temperatuur tõuseb selle käigus

Δ T = \frac{Q}{m c} = \frac{m g H}{m c} = \frac{g H}{c}

võrra ja mõõtmed suurenevad kuni

l = h (1 + α Δ T) = h (1 + \frac{α g H}{c})

Valemist saab nüüd avaldada maksimaalse vahemaa vertikaalsuunas, mille litter saab läbida enne kinnijäämist:

H = \frac{c (\frac{l}{h} - 1)}{α g}

Maja koosneb kahest ühesugusest toast, mis on sümmeetrilised neid eraldava vaheseina suhtes. Mõlemas toas on radiaator võimsusega $P$ . Väljas on temperatuur $T_{0}$ . Kui lülitada sisse üks radiaator, siis pärast soojenemist on temperatuur radiaatoriga toas $T_{1}$ ja teises $T_{2}$ . Leidke temperatuur $T_{3}$ , milleni soojenevad toad, kui töötavad mõlemad radiaatorid. Eeldage, et soojusvahetuse võimsus pinnaühiku kohta on võrdeline temperatuuride vahega. Põrand ja lagi on hästi soojustatud.

Lahendus

Võtame, et soojusvahetuse võimsus läbi toa välisseina on

W_{v} = x (T_{t u b a} - T_{0})

,
kus

x

on tundmatu võrdetegur - kuna soojusvahetuse võimsus pinnaühiku kohta on võrdeline temperatuuride vahega peab ka soojusvahetus läbi terve seina olema võrdeline temperatuuride vahega. Samamoodi võtame, et soojusvahetuse võimsus läbi siseseina on

W_{s} = y (T_{1. t u b a} - T_{2. t u b a})

Kui töötab ainult üks radiaator, saame kirjutada mõlema toa jaoks võrrandi tingimusest et soojushulk tubades ei muutu.

P = x (T_{1} - T_{0}) + y (T_{1} - T_{2})

y (T_{1} - T_{2}) = x (T_{2} - T_{0})

Lahendades saame, et

x = \frac{P}{T_{1} + T_{2} - 2 T_{0}}

. Kui töötavad mõlemad radiaatorid, siis summarset soojusvahetust läbi vaheseina pole. Mõlema toa jaoks kehtib siis võrrand

P = x (T_{3} - T_{0})

. Siit avaldame

T_{3} = (T_{1} + T_{2} - T_{0})

Lihtsam lahendus
Ülesannet on ka võimalik lahendada lihtsamini kui märkame, et tegu on lineaarse süsteemiga ja teame, et lineaarse süsteemi korral kahe lahendi superpositsioon on samuti süsteemi lahend. Käesoleval juhul on üheks lahendiks, et kui ühes toas töötab radiaator $P$ , siis soojenevad toad $Δ_{T_{1}} = T_{1} - T_{0}$ ja $Δ_{T_{2}} = T_{2} - T_{0}$ võrra. Võttes teiseks lahendiks esimese lahendi peegelpildi, saame superpositsioonina, et kui töötavad mõlemad radiaatorid, soojenevad mõlemad toad $Δ_{T_{3}} = T_{2} - T_{0} + T_{1} - T_{0}$ võrra, ehk $T_{3} = (T_{1} + T_{2} - T_{0})$ .

Talvel siseneb koolimaja küttesüsteemi vesi algtemperatuuriga $t_{0} = 60^{\circ} C$ ning väljub sealt temperatuuriga $t_{1} = 40^{\circ} C$ . Koolimaja soojuskadude võimsus on $N = 100 k W$ . Kooli siseneva ja sealt väljuva veetoru sisediameeter on $D = 100 m m$ . Leidke veevoolu kiirus neis torudes. Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , tihedus $ρ = 1000 k g / m^{3}$ .

Lahendus

Mingi ajavahemiku $Δ t$ jooksul kaotab koolimaja väliskeskkonda soojust $Q_{1} = N Δ t$ , sama palju soojust peavad andma selle aja jooksul talle radiaatorid. Toru ristlõike pindala on $S = \frac{π D^{2}}{4}$ . Aja $Δ t$ jooksul küttesüsteemi siseneva ja ühtlasi sellest väljuva vee ruumala on seega $V = S v Δ t$ , kus $v$ on otsitav veevoo- lu kiirus, ning mass $m = ρ V = ρ S v Δ t$ . Radiaatorites eraldub soojushulk $Q_{2} = m c (t_{0} - t_{1})$ . Kuna $Q_{1} = Q_{2}$ , saame võrrandi

N Δ t = ρ \frac{π D^{2}}{4} v Δ t c (t_{0} - t_{1})

millest

v = \frac{4 N}{π D^{2} ρ c (t_{0} - t_{1})} = 0, 15 m / s

Juss vedas talvel majast sauna läbimõõduga $D = 1, 2 c m$ ja pikkusega $l = 10 m$ veetoru. Veetoru lahtisulatamiseks oli ta selle sisse paigutanud vasktraadi läbimõõduga $d = 1, 0 m m$ . Jää sulatamiseks läheb $60 %$ traadis eralduvast soojusest. õues on õhutemperatuur $T = - 10^{\circ} C$ . Kui palju aega kulub kogu veetorus oleva jää sulatamiseks, kui traadi otstele rakendada pinge $U = 12 V$ ? Jää tihedus on $ρ_{j} = 920 k g / m^{3}$ , jää erisoojus $c_{j} = 2100 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , jää sulamissoojus $λ_{j} = 340 k J / k g$ , vase eriktakistus $ρ_{C u} = 0, 017 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ .

Lahendus

Vajalik soojushulk jää sulatamiseks on $Q_{j} = c_{j} m_{j} Δ T + λ_{j} m_{j} \approx 376 k J$ (kus $m_{j} = ρ_{j} π l D^{2} / 4 \approx 1, 04 k g$ ). Vasktraadil eraldunud soojushulk ajahetkeks $t$ (peab arvestama, et ainult $60 %$ eraldunud soojusest läheb jää sulatamiseks) on

Q = \frac{U^{2} t}{R} \cdot 0, 6 = \frac{0, 6 U^{2} t}{π \frac{d^{2}}{4}}

Pannes need võrduma ja avaldades

t

, saame ajaks

t = 941 s \approx

15 m i n u t i t 40 s e k u n d i t

Suhteliselt uus keevitustehnoloogia on hõõrdkeevitus. See seisneb selles, et üks liidetavatest detailidest pannakse pöörlema ning surutakse vastu teist. Kui tekkinud soojus on detailid peaaegu sulamistemperatuurini kuumutanud, jäetakse pöörlev toru seisma ning suure rõhu all moodustub side. Vaatame olukorda, kus kaks vasest torujuppi tahetakse kokku keevitada. Leidke, kui suur hõõrdejõud peab pöörlemisel rakenduma, et tekiks piisavalt suur soojushulk $Δ t = 6, 0 s$ jooksul. Toru pöörlemiskiirus on $f = 1200$ pööret minutis. Lihtsustatult võib eeldada, et mõlema toru otsast kuumeneb ühtlaselt $l = 0, 50 c m$ pikkune jupp. Torude diameeter on $D = 8, 0 c m$ , seina paksus $d = 5, 0 m m$ . Torud on alguses teoatemperatuuril $T_{0} = 20^{\circ} C$ . Liitumine toimub temperatuuril $T_{1} = 810^{\circ} C$ . Vase tihedus on $ρ = 8, 9 g / c m^{3}$ ning erisoojus $c = 390 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Soojuskadudega ümbritsevasse keskkonda mitte arvestada.

Lahendus

Hõõrdumisest tekkiv soojushulk $Q = F_{h} Δ s$ , kus $Δ s = π D \cdot \frac{t}{\frac{1}{f}} = π f D Δ t$ . Teiselt poolt torude soojendamiseks vaja minev soojushulk $Q = 2 m c Δ T = 2 ρ V c Δ T$ , kus $m$ ja $V$ on ühe toruotsa soojeneva osa mass ja ruumala. Kuna toru seinad on diameetrist kordades lühemad, võib hinnata ruumalaks $V = π D d l$ . Kokkuvõttes saime, et

F_{h} π f D Δ t = 2 π D d l ρ c (T_{1} - T_{0})

F_{h} = \frac{2 d l ρ c (T_{1} - T_{0})}{f Δ t} \approx 1100 N

Suurde veega täidetud anumasse, milles olevat vett intensiivselt segatakse, asetati kaks kerakujulist suhkrutükki. Üks suhkrutükk oli teisest kaks korda suurema massiga, kuid mõlema massid olid vedeliku kogumassiga võrreldes väikesed. Väiksema tüki lahustumine võttis aega pool minutit. Kui kaua lahustus suurem tükk?

Lahendus

Suhkrutükkide lahustumisel saavad molekulid lahkuda vaid suhkrutüki pinna kaudu. Seega on molekulide arvu kahanemine ajas suhkrutüki pindalaga võrdeline. Välimises kihis asunud molekulide arv on samuti pindalaga võrdeline. Seega ei sõltu ühe kihi molekulide lahkumiseks vajalik aeg kera raadiusest ja tüki raadiuse kahanemise kiirus on ajas muutumatu. Kuna suhkrutükkide raadiuste kuupide suhted on tükkide masside suhetega proportsionaalsed, võtab suurema tüki lahustumine kauem aega

t = 30 \cdot \sqrt[3]{2} \approx 38 sekundit

Kahte radiaatorit läbib ajaühikus võrdne hulk vett. Esimesse radiaatorise siseneb vesi temperatuuriga $t_{1 s} = 45^{\circ} C$ ja väljub temperatuuriga $t_{1 v} = 35^{\circ} C$ . Teise radiaatorisse siseneb vesi temperatuuriga $t_{2 s} = 40^{\circ} C$ ja väljub temperatuuriga $t_{2 v} = 25^{\circ} C$ . Kumma radiaatori küttevõimsus on suurem ja mitu korda?

Lahendus

Veehulk massiga $m$ annab ära soojushulga $Q = c m (t_{s} - t_{v})$ , mis kütab ruumi. Võimsuse saamiseks tuleb antud soojushulk jagada ajaga, mis kulub selle veehulga sisenemiseks radiaatorisse.

N = c \frac{m}{t} (t_{s} - t_{v})

Kuna mõlemat radiaatorit läbib ajaühikus võrdne kogus vett, määrab võimsuste suhte sisenevate ja väljuvate temperatuuride muutude suhe. Teise radiaatori võimsus on suurem

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{t_{2 s} - t_{2 v}}{t_{1 s} - t_{1 v}} = 1, 5 k o r d a .

Miku isa ostis maakodus vee keetmiseks uue elektrilise keedukannu. Kuna vanas keedukannus (nimipingega $230 V$ , nimivõimsusega $800 W$ ) oli vee soojenemiseks kulunud väga palju aega, ostis isa endisest kolm korda võimsama kannu ( $230 V$ , $2400 W$ ) lootuses, et selles soojeneb sama kogus vett kolm korda kiiremini. Miku asus kohe katsetama. Suur oli Miku üllatus, kui lootused ei täitunud. Mitu korda kiiremini soojenes vesi uues kannus võrreldes sama koguse samal temperatuuril oleva vee soojenemisega keemiseni vanas kannus? On teada, et Miku maakodu asub alajaamast $l = 3 k m$ kaugusel. Alajaam on maakoduga ühendatud $S = 20 m m^{2}$ alumiiniumjuhtmega. Alumiiniumi eritakistus $ρ = 0, 028 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ . Pinge alajaama väljundklemmidel on $U_{0} = 240 V$ . Keedukannude kasutegurid olid võrdsed.

Lahendus

Kuna elektritarviti on vooluallikast kaugel, tuleb arvestada ka elektriliini takistusega, $R_{l} = \frac{ρ (2 l)}{S} = 8, 4 Ω$ . Keedukannude takistused saame seosest $N = \frac{U^{2}}{R}$ , millest vana keedukannu takistus $R_{1} = 66 Ω$ ja uues takistus $R_{2} = 22 Ω$ . Seega keedukannu töölerakendamisel on voolutugevus vanas kannus $I_{1} = \frac{U}{R_{1} + R_{l}}$ ja uues kannus $I_{2} = \frac{U}{R_{2} + R_{l}}$ . Kuna voolutugevus on väiksem ettenähtust, töötab kann väiksema võimsusega. Kannu tegeliku võimsuse arvutame seosest $N = I^{2} R$ , mille järgi

N_{1} = \frac{U^{2} R_{1}}{(R_{1} + R_{l})^{2}} j a N_{2} = \frac{U^{2} R_{2}}{(R_{2} + R_{l})^{2}}

Vee soojendamiseks kulunud aeg on pöördvõrdeline võimsusega, seega

\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{R_{2} (R_{1} + R_{l})^{2}}{R_{1} (R_{2} + R_{l})^{2}} \approx 2

Asendades tähised numbriliste väärtustega saame vastuseks, et maamajas soojeneb vesi kolm korda võimsamas keedukannus kaks korda kiiremini.

Paksude seintega anum on pilgeni täidetud glütseriiniga ning tihedalt suletud, kuid anuma seinas on tilluke ava ristlõikepindalaga $S = 0, 1 m m^{2}$ . Anumas, glütseriini sees on elektrispiraal, mida kuumutatakse võimsusega $P = 1 k W$ . Glütseriini ruumpaisumistegur on $α = 5, 1 \cdot 10^{- 4} \frac{1}{^{\circ} C}$ , tihedus $ρ = 1260 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 2350 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Millise kiirusega $v$ väljub glütseriinijuga tillukesest avast? Glütseriini kokkusurutavus ning anuma seinte paisumine lugeda tühiselt väikeseks. Märkus: ruumpaisumistegur kirjeldab ruumala suhtelist suurenemist temperatuuri tõusmisel $1^{\circ} C$ võrra.

Lahendus

Ajavahemikus $Δ t$ kehtib soojusliku tasakaalu võrrand

P Δ t = c ρ V Δ T

kus

Δ T

on temperatuuri muut. Ruumala muut

Δ V = V α Δ T = V α \cdot \frac{P Δ t}{c ρ V} = \frac{P α Δ t}{c ρ}

Üleliigne ruumala glütseriini väljub ava kaudu, moodustades silindri pikkusega

v Δ t

ja ruumalaga

Δ V = v S Δ t

. Seega,

v = \frac{Δ V}{Δ t S} = \frac{P α}{c S ρ} \approx 1, 7 m / s

Talvel, kui väljas on $0^{\circ} C$ , suudab saunahoone keris kütta sauna $90^{\circ} C$ -ni.

a) Hinnake, kui soojaks suudab keris sauna kütta, kui väljas on $- 20^{\circ} C$ . Maja on joonmõõtmetelt 3 korda suurem kui saun, aga täpselt sama kuju ja sama paksusega seintega. Maja radiaatorid suudavad $- 20^{\circ} C$ välistemperatuuri juures kütta maja $15^{\circ} C$ -ni.

b) Hinnake, kui kõrgele tõuseks temperatuur majas, kui sinna viia täisvõimsusel kütma ka sauna keris.

c) Kerise võimsus on $P = 4 k W$ . Hinnake, kui suur on maja radiaatorite koguvõimsus.

Märkus: Soojuskadude võimsus on võrdeline seinte pindalaga ja temperatuurde vahega sees ja väljas.

Lahendus

a) Kui tuba enam ei soojene, on kerise võimsus energia jäävuse seaduse järgi võrdne soojuskadude omaga. Antud seinte puhul määrab kadude võimsus üheselt temperatuurivahe sees ja väljas, sõltumata välistemperatuurist. Järelikult on sise- ja välistemperatuuri vahe ikka $90^{\circ} C - 0^{\circ} C = 90^{\circ} C$ ning sisetemperatuur

- 20^{\circ} C + 90^{\circ} C = 70^{\circ} C

b) Maja seinad on $3^{2} = 9$ korda suurema pindalaga kui sauna omad. Tekib
võrrandisüsteem

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} P_{k e r i s} = k S_{s a u n} Δ T_{k e r i s s a u n a s} P_{r a d .} = k \cdot 9 S_{s a u n}      S_{m a j a} Δ T_{r a d . m a j a s} P_{k e r i s} + P_{r a d .} = k \cdot 9 S_{s a u n} Δ T_{r a d . & k e r i s m a j a s} \end{matrix}

( $k$ on võrdetegur, täpsemalt seinte soojusjuhtivustegur). Siit

TeX parse error: '&' can not be used here

= \frac{1}{9} \cdot 90^{\circ} C + [15^{\circ} C - (- 20^{\circ} C)] = 45^{\circ} C

TeX parse error: '&' can not be used here

c) Esimene lahendus. Võrrandisüsteemi esimese kahe võrrandi põhjal ( $P_{k e r i s} \equiv P$ )

P_{r a d .} = 9 \frac{Δ T_{rad. majas}}{Δ T_{keris saunas}} P_{k e r i s}

arvuliselt

P_{r a d .} = 9 \cdot \frac{15^{\circ} C - (- 20^{\circ} C)}{90^{\circ} C - 0^{\circ} C} \cdot 4 k W = 14 k W

Teine lahendus. Osas b) arvutatu põhjal tõstab radiaator majas temperatuuri $Δ T_{rad. majas} = 35^{\circ} C$ võrra ning keris veel $T_{rad. & keris majas} - T_{rad. majas} = 10^{\circ} C$ võrra. Need temperatuuritõusud on võrdelised vastavate võimsustega , järelikult on radiaatorid kerisest $\frac{35^{\circ} C}{10^{\circ} C} = 3, 5$ korda võimsamad, võimsusega $3, 5 \cdot 4 k W = 14 k W$

Seadet, mis arendab võimsust $N = 40 k W$ , jahutatakse jahutusvedelikuga, mis voolab torus ristlõikepindalaga $S = 1 c m^{2}$ . Seadme jahutamisel soojeneb jahutusvedelik $Δ T = 20^{\circ} C$ võrra. Jahutusvedeliku tihedus on $ρ = 1100 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 3800 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Leidke jahutusvedeliku voolukiirus torus, kui jahutusvedeliku soojendamiseks kulub $η = 35 %$ seadme võimsusest.

Lahendus

Seadme jahutamiseks kuluva jahutusvedeliku massi saame seosest

η N t = c m Δ T \Rightarrow m = \frac{η N t}{c Δ T}

Asendame massi tiheduse ja ruumalaga ja avaldame kiiruse (

v = \frac{l}{t}

ρ V = ρ S l = \frac{η N t}{c Δ T} \Rightarrow v = \frac{η N}{c Δ T ρ S} \approx 1, 7 m / s

Termoses, mis on ümbritsevatest kehadest soojuslikult isoleeritud, on $m_{1} = 300 g$ vett temperatuuriga $t_{1} = 20^{\circ} C$ . Sellele lisatakse $m_{2} = 600 g$ vett temperatuuriga $t_{2} = 80^{\circ} C$ . Pärast soojusliku tasakaalu saabumist mõõdeti vee temperatuuriks $T_{1}$ . Järgmisel korral oli samas anumas alguses $m_{2} = 600 g$ vett temperatuuriga $t_{2} = 80^{\circ} C$ ja sellele lisati $m_{1} = 300 g$ vett temperatuuriga $t_{1} = 20^{\circ} C$ . Nüüd mõõdeti vee temperatuuriks soojusliku tasakaalu saabumise järel $T_{2} = T_{1} + 2^{\circ} C$ . Kui suur on termose materjali erisoojus? Tühja termose mass on $m = 140 g$ ja vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Olgu $c_{x}$ otsitav erisoojus. Vaatleme esimest juhtu, kus termoses oli algselt külmem vesi. Kuna külmem vesi oli termosega soojuslikus tasakaalus, siis oli ka termose temperatuur $t_{1}$ . Temperatuuride ühtlustumisel annab soojem vesi energiat ära. Külmem vesi ja termos saavad energiat juurde. Paneme kirja soojusliku tasakaalu võrrandi:

m_{1} c (T_{1} - t_{1}) + m c_{x} (T_{1} - t_{1}) = m_{2} c (t_{2} - T_{1}) (1)

Vaatleme teist juhtu, kus termoses oli algselt soojem vesi. Kuna soe vesi oli termosega soojuslikus tasakaalus, siis oli ka termose temperatuur

t_{2}

. Temperatuuride ühtlustumisel annavad termos ja soojem vesi energiat ära. Külmem vesi saab energiat juurde. Kirjutame soojusliku tasakaalu võrrandi:

m_{1} c (T_{2} - t_{1}) = m_{2} c (t_{2} - T_{2}) + m c_{x} (t_{2} - T_{2}) (2)

Lahutame teineteisest võrrandid

(1)

(2)

m_{1} c (T_{1} - T_{2}) + m c_{x} (T_{1} - t_{1}) = m_{2} c (T_{2} - T_{1}) - m c_{x} (t_{2} - T_{2})

Tähistame

T_{2} - T_{1} = Δ T

- m_{1} c Δ T + m c_{x} (t_{2} - t_{1}) = m_{2} c Δ T + m c_{x} Δ T

- Δ T c (m_{2} + m_{1}) = m c_{x} (Δ T + t_{1} - t_{2})

c_{x} = \frac{- Δ T c (m_{2} + m_{1})}{m (Δ T + t_{1} - t_{2})} = 930 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}

Klaasis on $150 g$ vett temperatuuril $10^{\circ} C$ . Vee jahutamiseks paigutatakse sinna kuubikujuline jäätükk temperatuuriga $0^{\circ} C$ . Kui jäätükk on sulanud, paigutatakse sinna veel teine samasugune jäätükk ning hiljem ka kolmas, millest sulab ära pool. Kui suur on kuubikujulise jäätüki külje pikkus? Jää sulamissoojus on $3, 4 \cdot 10^{5} J / k g$ , jää tihedus on $900 k g / m^{3}$ ja vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Klaasi jahtumist ja soojuskadusid ümbritsevasse keskkonda mitte arvestada.

Lahendus

Olgu kuubiku mass

m

. Siis on ära sulanud jää mass

2, 5 m

. Jää sulamisel neeldub soojushulk

Q_{1} = 2, 5 m L

. Vee jahtumisel eraldub soojushulk

Q_{2} = M c (t_{1} - t_{0})

. Võrdsustame soojushulgad

Q_{1}

Q_{2}

ning avaldame võrdusest ühe jääkuubiku massi.

2, 5 m L = M c (t_{1} - t_{0})

m = \frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L}

Kuubiku ruumala on

V = \frac{m}{ρ} = \frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L ρ}

. Samas võrdub kuubi ruumala ka kuubi küljepikkuse kuubiga:

V = a^{3}

. Seega on kuubi küljepikkus

a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{\frac{M c (t_{1} - t_{0})}{2, 5 L ρ}} = 2 c m

Kalorimeetris on vedelik $A$ ; vedeliku sees ujuvad tahkise $B$ tükid. Vedeliku $A$ keemistemperatuur on kõrgem kui tahkise $B$ sulamistemperatuur, kuid madalam aine $B$ keemistemperatuurist. Vedeliku $A$ aurustumissoojus $L = 850 k J / k g$ , tahkise $B$ sulamissoojus on $λ = 150 k J / k g$ . Kalorimeetris oleva vedeliku $A$ mass on $M = 1, 0 k g$ . Kalorimeetri sisu kuumutatakse muutumatu võimsusega.

a) Milline on kalorimeetris oleva tahkise $B$ mass $m$ ?

b) Milline on vedeliku $A$ erisoojus?

Lahendus

a) Graafiku põhjal kulub vedeliku $A$ aurustumiseks temperatuuril $T_{1} = 80^{\circ} C$ ajavahemik $t_{1} = 40, 5 s$ . Tahkise $B$ sulamiseks temperatuuril $T_{2} = 50^{\circ} C$ kulub ajavahemik $t_{2} = 3, 5 s$ . Üle antud soojushulkade suhe $\frac{M L}{m λ} = \frac{t_{1}}{t_{2}}$ , millest

m = M \frac{L t_{2}}{λ t_{1}} \approx 0, 49 k g

b) Temperatuuridel üle $T_{1}$ on anumas ainult vedelas olekus olev aine $B$ , mille sojusmahtuvuse saame leida graafiku tõusu abil: temperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra kulub aega $τ_{1} = \frac{2}{40} = 0, 05 m i n$ . Kui aine $B$ soojusmahtuvus on $C_{B}$ , siis $C_{B} \cdot \frac{1^{\circ} C}{M L} = \frac{τ_{1}}{t_{1}}$ , millest $C_{B} \cdot 1^{\circ} C = \frac{M L τ_{1}}{t_{1}}$ . Analoogselt leiame aine $A$ ja $B$ segu soojusmahtuvuse kasutades graafikut temperatuuride $T_{1}$ ja $T_{2}$ vahel: $(C_{B} + C_{A}) \cdot 1^{\circ} C = M L \frac{τ_{2}}{t_{1}}$ , kus $τ_{2} = \frac{5}{30} \approx 0, 167 m i n$ . Nendest kahest võrdusest leiame, et $C_{A} \cdot 1^{\circ} C = M L \frac{τ_{2} - τ_{1}}{t_{1}}$ ja järelikult

c_{A} = \frac{C_{A}}{M} = L \frac{τ_{2} - τ_{1}}{t_{1} \cdot 1^{\circ} C} \approx 2, 5 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}

Külmkapp, mis tarbis võimsust $P$ , muutis aja $τ$ jooksul jääks veehulga ruumalaga $V$ ja algtemperatuuriga $t$ . Jää temperatuur $t_{0} = 0^{\circ} C$ . Kui suure soojushulga eraldas külmkapp tuppa selle aja jooksul? Vee erisoojus on $c$ ja tihedus $ρ$ ning jää sulamissoojus on $λ$ . Külmkapi soojusmahtuvust mitte arvestada.

Lahendus

Elektrivoolu töö $A = P_{τ}$ . Selle töö arvelt eemaldatakse külmkapi seest soojushulk

Q_{2} = V ρ λ + V ρ c (t - t_{0})

Energia jäävuse seaduse kohaselt peab tuppa eralduv soojushulk olema võrdne

Q_{1} = A + Q_{2} = N τ + ρ V λ + V ρ c (t - t_{0})

sest elektrivoolu energia muundub lõppkokkuvõttes soojuseks.

Märtsikuus on öösel välistemperatuur $- 15^{\circ} C$ , päeval tõuseb temperatuur $+ 3^{\circ} C$ -ni. Eramajas on öine toatemperatuur $20^{\circ} C$ . Mitu protsenti võib vähendada päeval keskküttekatla võimsust, et temperatuur toas ei ületaks $23^{\circ} C$ ? Soojuskadude võimsuse võib lugeda võrdeliseks toa- ja välistemperatuuride vahega.

Lahendus

Olgu öösel tarbitav võimsus $N$ ja päeval $k N$ , kus $k$ on mingi kordaja. Saame võrrandid

N = α \cdot (20 - (- 15))

k N = α \cdot (23 - 3)

Kui võrrandid omavahel läbijagada, saame, et

k = \frac{20}{35} = 0, 57

. Seega päevane võimsus moodustab

57 %

öisest võimsusest, järelikult võib põleti võimsust vähendada

43 %

võrra.

Külmikusse pandi jää valmistamiseks lamedas anumas teatud kogus vett temperatuuriga $20^{\circ} C$ . Vee soojusmahtuvus on hulga suurem külmiku sisemuses olevate asjade soojusmahtuvusest. Esimene jääkirme tekkis veele $21 m i n u t i$ pärast. Kui palju aega kulus kogu vee täielikuks jäätumiseks, kui külmiku jahutusvõimsus oli konstantne? Vee sulamissoojuse $λ$ ja erisoojuse $c$ jagatis $\frac{λ}{c} = 79 K$ .

Lahendus

Vee jahtumiseks $0^{\circ} C$ kraadini kulub $t = 21 m i n$ aega. Olgu $τ$ aeg, mis kulub jäätumiseks ja $N$ külmiku jahutusvõimsus. Soojusliku tasakaalu võrrand vee jahtumise jaoks on

N t = Q_{j a h t} = c m Δ t

ja tahkumise jaoks

N τ = Q_{t a h k} = λ m

Jagades läbi, leiame, et

\frac{t}{τ} = \frac{c Δ t}{λ} \Rightarrow τ = \frac{λ}{c} \cdot \frac{t}{Δ t} = 83 m i n .

Õhukeseseinalisse alumiiniumtopsi valatakse võrdsetes kogustes keeva ja külma vett. Ümbritseva toaõhu temperatuur on $25^{\circ} C$ . Kas segu temperatuur oleneb sellest, kumb vesi enne topsi valada? Kui, siis milline vesi tuleks enne topsi kallata, et segu temperatuur tuleks kõrgem? Põhjendada vastust.

Lahendus

Segu temperatuur oleneb kallamise järjekorrast, sest õhuke alumiiniumplekk on hea soojusjuht ja läbi selle toimub soojusvahetus ümbritseva keskkonnaga. Kui enne valada sisse keev vesi, siis see jahtub sel ajal kui hakatakse külma vett. Kui enne valada külm vesi, siis see hakkab soojenema ja segu temperatuur tuleb kõrgem.

Meditsiiniline elavhõbedatermomeeter sisaldab $m = 2 g$ elavhõbedat, selle kapillaari läbimõõt $D = 60 μ m$ . Elavhõbeda tihedus $ρ = 13, 5 g / c m^{3}$ . Soojenemisel $1^{\circ} C$ võrra kasvab elavhõbeda ruumala $α = 0, 018 %$ . Kui suur on temperatuuriskaala $37^{\circ} C$ ja $38^{\circ} C$ kriipsude vahekaugus millimeetrites?

Lahendus

Tähistades otsitava skaalakriipsude vahekauguse $Δ L$ , saame välja kirjutada seosed

V_{0} = \frac{m}{ρ} ja Δ V = \frac{π D^{2} Δ L}{4} \Rightarrow

Δ L = \frac{4 α m}{π ρ D^{2}} = \frac{4 \cdot 0, 00018 \cdot 0, 002}{3, 14 \cdot (60 \cdot 10^{- 6})^{2} \cdot 13, 5 \cdot 10^{3}} \approx 9, 4 m m

Vihm sajab nii, et vihmapiisad langevad vertikaalselt alla ühtlase kiirusega

u

. Mööda teed veereb pall kiirusega

v

. Mitu korda langeb ajaühikus piisku veerevale pallile rohkem kui seisvale pallile? Kas vastus muutub, kui pall pole kerakujuline?

Lahendus

Paigalseisvale pallile langevad ajaühikus vihmapiisad silindrilisest õhu piirkonnast, mille ristlõikepindala on võrdne palli vertikaalse ristlõikepindalaga $S_{1}$ ning pikkus on arvuliselt võrdne vihmapiiskade langemise kiirusega $u$ .
Liikumise suhtelisuse pärast võib liikuvat palli pidada paigalseisvaks, millele vihm langeb nurga all kiirusega $ω = \sqrt{u^{2} + v^{2}}$ . Seetõttu langevad liikuvale pallile piisad silindrilisest õhu piirkonnast pikkusega $\sqrt{u^{2} + v^{2}}$ .
Lugedes vihmapiiskade jaotust õhus ühtlaseks, saame, et paigalseisvale pallile langev piiskade arv on $N_{1} \sim u S_{1}$ ning liikuvale pallile langev piiskade arv on $N_{2} \sim \sqrt{u^{2} + v^{2}} S_{2}$ , kus $S_{2}$ on palli ristlõikepindala resultantkiiruse $ω$ suunas. Järelikult on piiskade arvu suhe

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{S_{2} \cdot \sqrt{v^{2} + u^{2}}}{S_{1} u} = \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot \sqrt{1 + \frac{v^{2}}{u^{2}}}

Kui pall on kerakujuline, siis on tema ristlõige kõikides suundades ühesugune, järelikult

S_{1} = S_{2}

ning

\frac{N_{2}}{N_{1}} = \sqrt{1 + v^{2} / u^{2}}

Elektripliidil soojendatakse vett. Pliidi kasulik võimsus $N = 500 W$ . Kahe minuti jooksul soojenes vesi temperatuurilt $t_{1} = 85^{\circ} C$ temperatuurini $t_{2} = 90^{\circ} C$ . Pott tõsteti pliidilt ära ning ühe minuti jooksul jahtus vesi $Δ t = 1^{\circ} C$ võrra. Kui palju vett oli potis? Vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C} .$

Lahendus

Kui ühe minuti jooksul jahtus vesi $1^{\circ} C$ võrra, siis tähendab see, potilt kiirgub ühe minuti jooksul ümbritsevasse ruumi soojushulk $Q_{1} = c m Δ t$ , kus $Δ t = 1^{\circ} C$ . Kuumutatakse kaks minutit ( $τ = 120 s e k u n d i t$ ), järelikult on ümbritsevasse ruumi kiirgunud soojushulk kaks korda suurem. Seega

N τ = c m (t_{2} - t_{1}) + 2 \cdot c m Δ t

siit

m = \frac{N τ}{c (t_{2} - t_{1} + 2 Δ t)} = 2, 04 k g

Joonisel on kujutatud seadet, millega saab mõõta Päikese kiirgusenergiat. Seade koosneb kastist, mille kummaski otsas olevatest avadest voolab läbi vesi. Arvutage ajaühikus kastis neeldunud energia, kui sisse- ja väljavoolutorude ristlõiked on kumbki $S = 10 c m^{2}$ , siseneva vee temperatuur $t_{1} = 15^{\circ} C$ ja väljuva vee temperatuur $t_{2} = 35^{\circ} C$ . Kasti siseneva ja sellest väljuva vee voolukiirus $v = 2 m / s$ ja vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Kasutades seoseid $A = Q$ ; $Q = c m (t_{2} - t_{1})$ ; $m = ρ V$ ja $V = S v τ$ , $τ = 1 s e k u n d$ saame

A = c ρ S v (t_{2} - t_{1}) τ = 168000 J

Mitu korda on kuiva kasepuu kütteväärtus suurem märja kasepuu kütteväärtusest, kui märjas kasepuus on massi järgi $γ = 12 %$ vett? Puud tuuakse õuest otse ahju. Temperatuur väljas on $t_{0} = 4^{\circ} C$ . Eeldada, et kasepuidu erisoojus võrreldes vee erisoojusega on tühine. Kuiva kasepuidu kütteväärtus $k = 13 M J / k g$ , vee erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ja vee aurustumissoojus $L = 2300 k J / k g$ .

Lahendus

Märja kasepuu põletamisel kulub osa põlemisel saadavast energiast puus oleva vee aurustamiseks. Kasulik saadav soojushulk on $Q_{M} = Q_{k} - Q_{v}$ , kus $Q_{k}$ on kuiva puu põletamisel saadud energia ja $Q_{v}$ on vee soojendamiseks ja aurustamiseks kulunud energia. Saame

Q_{M} = (1 - γ) m k - γ m [c (t - t_{0}) + L]

kus

t = 100^{\circ} C

. Teades, et kütteväärtus

k_{M} = \frac{Q_{M}}{m}

, saame

k_{M} = (1 - γ) k - γ [c (t - t_{0}) + L] \approx 11, 1 M J

Kuiva kasepuu kütteväärtus on märja kasepuu kütteväärtusest

\frac{k}{k_{M}} \approx 1, 17

korda suurem. Märkus: Kuna kütteväärtus on energia, mis eraldub massiühiku kohta, siis loomulikult on õige ka lahendus, kus leitakse vahetute arvutustega

1 k g

märja kasepuu põletamisel erladuva energia hulk.

Detail elektriskeemis on valmistatud galliumist, mille sulamistemperatuur on $30^{\circ} C$ . Kui selles detailis eraldub soojushulk $1 W$ , siis on detaili temperatuur $25^{\circ} C$ . Rikke tõttu vooluringis kasvas detaili läbiv voolutugevus, nii et detailis eraldus $1 m i n$ jooksul võimsus $2 W$ . Detail saavutas sulamistemperatuuri $13 s e k u n d i$ pärast voolutugevuse kasvamist. Kui suur osa detailist sulas rikke esimese minuti jooksul? Detail annab soojust ümbritsevasse keskkonda võrdeliselt detaili ja toatemperatuuri vahega. Toatemperatuur on $18^{\circ} C$ . Galliumi sulamissoojus on $80 J / g$ . Detaili mass on $4 g$ .

Lahendus

Kui detailis eraldub võimsus $1 W$ , siis detaili temperatuur ei muutu, mistõttu hajutab detail ümbritsevasse keskkonda sekundis soojushulga $1 W$ . Keskkonda hajuv soojusvõimsus on võrdeline temperatuuride vahega ehk $P = K Δ t$ . $P = K (25^{\circ} C - 18^{\circ} C) = 7 K$ . Kui võimsus kasvas, siis tõusis detaili temperatuur $30^{\circ} C$ -ni. Seega hajutas detail sekundis soojushulga $P_{2} = K (30^{\circ} C - 18^{\circ} C) = 12 K = \frac{12 \cdot 1 W}{7} = 1, 7 W$ . Seega sulatati detaili võimsusega $2 W - 1, 7 W = 0, 3 W$ . Detail sai soojushulga $Q = 0, 3 W \cdot (60 s - 13 s) = 14, 1 J$ . Ära sulas $\frac{14, 1 J}{4 g \cdot 80 J / g} = 4, 4 %$

Bassein on pindalaga $S = 200 m^{2}$ ja sügavusega $h = 1, 8 m$ . Basseini voolab kogu aeg vett kiirusega $v = 5 L / s$ ja algtemperatuuriga $t_{0} = 22, 0^{\circ} C$ , sama kogus vett voolab välja üle ujula äärte. Loeme, et vee temperatuur basseinis on üle kogu ruumala sama. Öösel oli õhutemperatuur $t_{1} = 17, 0^{\circ} C$ ja veetemperatuur basseinis $t_{v 1} = 20, 0^{\circ} C$ . Päeval, kui paistis päike, oli õhk soojenenud temperatuurini $t_{2} = 28, 0^{\circ} C$ . Millise temperatuurini $t_{v 2}$ soojenes vesi? Kuidas muutuks vastus, kui basseini sügavus oleks väiksem? Vees neeldunud päikesekiirguse võimsus veepinna pindalaühiku kohta on $P = 350 W / m^{2}$ , vee ja õhu vahelise soojusvahetuse võimsus on võrdeline nende temperatuuride vahega. Vee tihedus on $ρ = 1000 k g / m^{3}$ ja erisoojus $c = 4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Ühes sekundis voolab basseini $ρ \cdot v$ vett ja see peab soojenema või jahtuma basseinis oleva vee temperatuurini. Öösel sissevoolava vee äraantav soojus võrdub õhule antava soojusega, et aga viimane on võrdeline õhu ja vee temperatuuride vahega, siis võime kirjutada

c ρ v (t_{0} - t_{v 1}) = k (t_{v 1} - t_{1})

Avaldame siit

k

k = \frac{c ρ v (t_{0} - t_{v 1})}{t_{v 1} - t_{1}}

Päeval tuli soojendada sissetetulevat vett temperatuurilt

t_{0}

temperatuurini

t_{v 2}

, selleks vajalik soojus tuleb soojusvahetusest õhuga ja päikesekiirguse neeldumisest vees. Päikesekiirguse koguvõimsus on

P \cdot S

, soosjusliku tasakaalu võrrandiks saame

c ρ v (t_{v 2} - t_{0}) = k (t_{2} - t_{v 2}) + P S

Avaldame siit

t_{v 2}

t_{v 2} = \frac{c ρ v t_{0} + k t_{2} + P S}{c ρ v + k}

Asendades

k

saame, et

t_{v 2} = 26, 4^{\circ}

. Lahenduses kuskil ei kasutatud ujula sügavust, seega vastus temast ei sõltu.

Ühe klaasitäie vee algtemperatuuriga

10^{\circ} C

täielikuks külmutamiseks kulus külmikus

100 m i n u t i t

. Kui palju aega kulub kolme klaasitäie vee algtemperatuuriga

20^{\circ} C

jahutamiseks

0^{\circ} C

-ni, kui külmik töötab samal režiimil? Klaasis oleva vee ja/või jää temperatuuri võite lugeda igal ajahetkel konstantseks üle kogu klaasi ruumala (st soojusjuhtivus on väga kiire);

λ = 330 k J / k g

c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}

Lahendus

Vee jahtumisel ja jäätumisel või ainult jahtumisel eraldunud soojushulk on võrdne külmiku ``jahutusvõimsuse'' ja aja korrutisega $Q = N t$ . Vee jahutamisel ja tahkumisel eraldunud soojushulgad on $Q = c m Δ t$ ja $Q = λ m$ . Esimesel juhul saame kirjutada seose:

N t_{1} = c m_{1} Δ t_{1} + λ m_{1} = m_{1} (c Δ t_{1} + λ)

Teisel juhul saame seose

N t_{2} = c m_{2} Δ t_{2}

. Tähistame temperatuuri muudud jahtumisel:

Δ t_{1} = t_{1} - t_{0}

Δ t_{2} = t_{2} - t_{0}

, kus

Δ t_{2} = 2 Δ t_{1}

. Ülesande tekstist selgub, et

m_{2} = 3 m_{1}

. Jagades seosed saame:

\frac{N t_{2}}{N t_{1}} = \frac{c m_{2} Δ t_{2}}{m_{1} (x Δ t_{1} + λ)} = \frac{c \cdot 3 m_{1} \cdot 2 Δ t_{1}}{m_{1} (c Δ t_{1} + λ)}

Siit

t_{2} = \frac{6 t_{1} c Δ t_{1}}{c Δ t_{1} + λ} = 68 m i n .

Mitme kraadi võrra tõuseb auditooriumis temperatuur, kui selles peetakse loengut 150 üliõpilasele 2 akadeemilist tundi (90 minutit)? Auditoorium lugeda täielikult soojuslikult isoleerituks väliskeskkonnast. Auditooriumi ruumala $V = 700 m^{3}$ , õhu tihedus $ρ\widetilde{o}=1,25kg/m3$ , õhu erisoojus $c\widetilde{o}=1,05⋅103Jkg⋅∘C$ . Auditooriumis on ka $m_{v} = 1, 5 t o n n i$ sisustust keskmise erisoojusega $c_{v} = 1, 2 \cdot 10^{3} \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ . Üks inimene eraldab soojust võimsusega $P = 80 W$ .

Lahendus

Leiame auditooriumis oleva õhu massi:

m_{˜ o} = V_{˜ o} ρ_{˜ o} = 700 m^{3} \cdot 1, 25 k g / m^{3} = 875 k g

Leiame inimeste poolt eraldatud soojushulga 90 minuti jooksul:

Q = 150 P Δ t = 150 \cdot 80 W \cdot 90 \cdot 60 s = 6, 48 \cdot 10^{7} J

Koostame soojustasakaalu võrrandi eeldades õhu ja sisustuse isotermsust:

Q = (c_{˜ o} m_{˜ o} + c_{v} m_{v}) Δ T

kus

Δ T

on otsitav temperatuuri tõus. Lahendame võrrandi

Δ T

suhtes:

Δ T = \frac{Q}{c_{˜ o} m_{˜ o} + c_{v} m_{v}} = 23, 8^{\circ} C

Suvilas annab talvel sooja ainult elektrikamin. Kui kõik aknad on kinni, siis püsib toas temperatuur $t_{1} = 25^{\circ} C$ . Kui avada üks õhuaken, siis kujuneb toatemperatuuriks $t_{2} = 22^{\circ} C$ . Milline temperatuur $t_{3}$ kujuneb siis, kui avada veel teine õhuaken. Välisõhu temperatuur on $t_{0} = - 5^{\circ} C$ . Õhu konvektsioon ei muutu aja jooksul. Soojuskao kiirus on võrdeline sise- ja välisemperatuuride vahega.

Lahendus

Olgu $Q$ ajaühikus radiaatorist eralduv soojushulk. Maja soojuskiirgus ajaühikus on võrdeline temperatuuride vahega sees ja väljas. Sama kehtib ka konvektsiooni kohta. Tähistades maja soojuskiirgust ajaühikus ühe kraadi kohta tähega $c$ ning soojuse kadu konvektsioonis ühe kraadi kohta ajaühikus (kui avatud on üks õhuaken) - $b$ , saame ülesande tingimused kirja panna võrrandisüsteemina:

Q = c (t_{1} - t_{0}) = 30 c (˜ o huaknad kinni)

Q = c (t_{2} - t_{0}) + b (t_{2} - t_{0}) = 27 (c + b) (¨ u ks ˜ o huaken lahti)

Q = c (t_{3} - t_{0}) + 2 b (t_{3} - t_{0}) = (t_{3} + 5) (c + 2 b) (kaks ˜ o huakent lahti)

kus

t_{3}

on toatemperatuur, kui on lahti mõlemad õhuaknad. Esimesest võrrandist arvutame

c

, seejärel teisest võrrandist

b

ja lõpuks kolmandast võrrandist

t_{3} = 19, 5^{\circ} C

Kalorimeetris on teatud kogus vett temperatuuril $20^{\circ} C$ . Kui vette paigutada $100^{\circ} C$ -ni kuumutatud metallkuulike, siis vee temperatuur tõuseb $30^{\circ} C$ -ni. Millise temperatuurini soojeneb vesi, kui sinna paigutada lisaks veel teine samasugune $100^{\circ} C$ -ni kuumutatud kuulike?

Lahendus

$m_{v}$ - vee mass; $c_{v}$ - vee erisoojus; $t_{1} = 20^{\circ}$ - vee algtemperatuur; $t = 30^{\circ} C$ - vee lõpptemperatuur; $m_{k}$ - kuulikese mass; $c_{k}$ - kuulikese erisoojus; $t_{2} = 100^{\circ} C$ - kuulikese algtemperatuur. Vastavad soojushulgad: $Q_{1} = c_{v} m_{v} (t - t_{1})$ ja $Q_{2} = c_{k} m_{k} (t_{2} - t)$ , soojuskadude puudumisel $Q_{1} = Q_{2}$ ning $c_{v} m_{v} (t - t_{1}) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t)$ , mille põhjal arvuliste andmete asendamisel: $c_{v} m_{v} = 7 c_{k} m_{k}$ . Teise kuulikese lisamisel ( $t_{x}$ - lõpptemperatuur):

c_{v} m_{v} (t_{x} - t) + c_{k} m_{k} (t_{x} - t) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t_{x})

7 c_{k} m_{k} (t_{x} - t) + c_{k} m_{k} (t_{x} - t) = c_{k} m_{k} (t_{2} - t_{x})

Arvuliste andmete asendamisel:

t_{x} \approx 38^{\circ} C

Teine lahendus: Vee ja kuuli soojusmahtuvuste suhe $k = C_{1} / C_{2} = Δ t_{2} / Δ t_{1} = 7$ ( $Δ t_{1}$ ja $Δ t_{2}$ on vee ja kuuli temperatuuride muudud). Kahe kuuli puhul on soojusmahtuvuste suhe kaks korda väiksem, $k^{'} = k / 2 = 3, 5 = Δ t_{2}^{'} / Δ t_{1}^{'}$ . Asendades siia $Δ t_{1}^{'} = t_{x} - t_{1}$ ning $Δ t_{2}^{'} = t_{2} - t_{x}$ saame võrrandi

k^{'} (t_{x} - t_{1}) = t_{2} - t_{x} \Rightarrow t_{x} = t_{1} + \frac{t_{2} - t_{1}}{1 + k^{'}} \approx 38^{\circ}

Anumast, milles on natuke vett temperatuuriga $0^{\circ} C$ , hakatakse kiiresti õhku välja pumpama. Selle tulemusena hakkab vesi tugevasti aurustuma. Milline osa veest võib selle tulemusena muutuda jääks? Vee sulamissoojus $λ = 334 k J / k g$ ja aurustumissoojus $L = 2500 k J / k g$ .

Lahendus

Vee aurustumiseks vajalik soojus saadakse tahkumisel eralduvast soojusest. Seega $λ m_{1} = L m_{2}$ , kus $λ = 334 k J / k g$ on vee tahkumissoojus, $m_{1}$ - külmunud vee mass, $L = 2500 k J / k g$ - vee aurustumissoojus $0^{\circ} C$ juures ja $m_{2}$ - aurustunud vee mass. Siit saame, et $m_{2} = λ m_{1} / L$ . Kehtib seos $m = m_{1} + m_{2}$ , kus $m$ on kogu vee mass. Seega $m = m_{1} + λ m_{1} / L$ .

\frac{m_{1}}{m} = \frac{L}{λ + L} = 0, 88

Külma ilmaga mõõdeti metallist mõõdulindiga krundi küljepikkust. Lint on valmistatud mõõtmiseks temperatuuril $20^{\circ} C$ . Tulemuseks saadi $1000, 0 m$ . Lindi joonpaisumistegur $α = 12 \cdot 10^{- 6} K^{- 1}$ . Mõõtmise ajal oli õhutemperatuur $- 30^{\circ} C$ . Kui pikk on krundi külg tegelikult?

Lahendus

Külma ilmaga tõmbub mõõdulint kokku, aga maapind kokku ei tõmbu. Joonpaisumise valemi kohaselt on mõõtmisel tekkiv viga:

Δ l = α l_{0} Δ t = 12 \cdot 10^{- 6} \cdot 1000 \cdot (20^{\circ} C - (- 30^{\circ} C)) = 0, 6 m

Kuna mõõdulint oli lühem normaalsest, siis saame suurema tulemuse tegelikust. Tegelik krundi serva pikkus on

999, 4 m

Päikeseküttel töötava veesoojendi kasulik pindala on $5 m^{2}$ . Seade soojendab $6 t u n n i$ jooksul $67 k g$ vett temperatuurilt $10^{\circ} C$ kuni temperatuurini $70^{\circ} C$ . Kui suur on keskmine päikese kiirguse soojuslik võimsus pindalaühiku kohta (ühik $W / m^{2}$ )? Eeldada soojuskadude puudumist. Vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Otsitavaks suuruseks on soojuslik võimsus pindalaühiku kohta. Tähistame selle $N / S$ . Võimsus avaldub kui $N = A / t$ . Töö on antud juhul vee soojendamiseks kuluv soojushulk $A = Q$ . Vee soojendamiseks kuluv soojushulk avaldub kui $Q = c m (t_{2} - t_{1})$ . Võrrandisüsteemi lahend on

\frac{N}{S} = \frac{A}{S t} = \frac{Q}{S t} = \frac{c m (t_{2} - t_{1})}{S t} \approx 160 W / m^{2}

Kütteseade vähendas õhtul kell $10.00$ kütte võimsust $η = 50 %$ võrra ja hommikul kell $6.00$ lülitus uuesti normaalsele režiimile. Õhutemperatuur toas enne öisele režiimile lülitumist on $t_{1} = 22^{\circ} C$ , õues on õhutemperatuur ööpäeva jooksul püsiv $t_{2} = - 18^{\circ} C$ . Kui madalale langeb õhutemperatuur toas hommikuks enne kütteseadme päevarežiimile lülitumist? Soojuskadude võimsus lugeda võrdeliseks toa- ja välistemperatuuride vahega. Toas asuvate esemete, seinte, põranda ja lae soojusmahtuvust mitte arvestada. Kuidas mõjutab nimetatud asjade soojusmahtuvuse arvesse võtmine vastust?

Lahendus

Täisvõimsusel töötades suudab kütteseade säilitada toa- ja välistemperatuuride vahet $40^{\circ} C$ . Temperatuuride vahe, nagu selgub ülesande tekstist, on võrdeline kütte võimsusega. Seega, pärast kütte vähendamist alaneb toatemperatuur väärtuseni $- 18^{\circ} C + 0, 5 \cdot 40^{\circ} C = 2^{\circ} C$ . Soojusmahtuvuse arvessevõtmisel ei saa toatemperatuuri sama lihtsalt määrata. Kütteseadme lülitumisel öisele režiimile algab toa jahtumine. Seejuures annavad piirded ja toas olevad esemed osa oma siseenergiat toaõhule ja toa temperatuur ei lange kohe minimaalseni. Kas kella kuueks hommikul langeb temperatuur praktiliselt $2^{\circ} C$ -ni, sõltub nimetatud soojusmahtuvuste suurusest.

Väga puhast vedelikku on võimalik jahutada külmumistemperatuurist madalma temperatuurini. Sellist aine seisundit nimetatakse allajahutatud vedelikuks. Selleks, et allajahutatud vedelik külmuma hakkaks, piisab kõige väiksemast ebaühtlusest vedelikus. Katseklaas, milles on $20 g$ allajahutatud vett temperatuuril $- 5^{\circ} C$ , raputatakse, mille tulemusena osa veest külmub. Kui palju vett muutub jääks, kui jätta arvestamata soojusvahetus vee ja katseklaasi seinte vahel? Vee erisoojus on $4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ ning jää sulamissoojus on $340 \frac{k J}{k g}$ .

Lahendus

Teatavasti selleks, et jää sulaks, peame teda soojendama. Kui aga vesi külmub, siis soojus eraldub. Kui me raputame katseklaasi, tekkivad vees õhumullid, mis rikuvad vee ühtlust ning vesi hakkab kiiresti külmuma. Kuna, nagu öeldud, külmuv vesi eraldab soojust, siis allesjääva vee temperatuur tõuseb. Järelikult saab külmumine toimuda ainult nii kaua, kui katseklaasis olev vesi on allajahutatud ehk tema temperatuur on $0^{\circ} C$ -st madalam. Seega saame kirja panna soojusbilansi võrrandi

λ m = c M \cdot (0 - t)

kus

m

on katseklaasi tekkinud jää mass. Siit

m = \frac{c M \cdot (0 - t)}{λ} \approx 1, 2 g

Mitu keerdu nikeliinist traati oleks vaja mähkida portselanist silindrile, et valmistada keeduspiraal, mille abil saaks $120 g$ vett 30 sekundiga keema ajada? Vee algtemperatuur on $10^{\circ} C$ , portselansilindri diameeter $d_{1} = 1, 5 c m$ , traadi diameeter $d_{2} = 0, 2 m m$ , rakendatav pinge $U = 120 V$ , nikeliini eritakistus $ρ = 0, 42 \frac{Ω \cdot m m^{2}}{m}$ , soojuskaod ümbritsevasse keskkonda on $40 %$ , vee erisoojus on $c = 4, 2 \frac{k J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

$120 g = 0, 12 k g$ vee kuumutamiseks keemistemperatuurini on vaja energiat $Q_{1} = m c \cdot (100^{\circ} C - t)$ . Samal ajal $30$ sekundi jooksul on keeduspiraal suuteline andma

Q_{2} = \frac{U^{2} t}{R}

Arvestades, et soojuskaod ümbritsevasse keskkonda on

40 %

, siis

Q_{1} = 0, 6 \cdot Q_{2}

ehk

0, 12 \cdot 4200 \cdot (100 - 10) = 0, 6 \cdot \frac{120^{2} \cdot 30}{R}

millest

R \approx 5, 7 Ω

. Selleks et valmistada antud traadist sellise takistusega keeduspiraal, on vaja võtta traadijupp pikkusega

l = \frac{R S}{ρ} \approx 44, 8 c m

Portselanist silindri ümbermõõt on

π d_{1} = 3, 14 \cdot 1, 5 = 4, 71 c m

, järelikult keerdude arv on võrdne

44, 8 / 4, 71 \approx 9, 5

keerdu.

VTD (väga tähtis detail) kujutab endast massiivset metallitükki, mille sisse on puuritud auk läbimõõduga $d = 10 m m$ . Augu seinu ühendab peenike kahe teravikuga metallnõel pikkusega $l = d$ , mis läbib augu telge ja on risti sellega. VTD kukub keevasse vette. Millisele maksimaalsele kaugusele $x$ paindus nõela keskpunkt oma esialgsest asukohast? Õhutemperatuur $t_{0} = 20^{\circ} C$ . Detailis kasutatud metalli joonpaisumistegur $α = 0, 0002 K^{- 1}$ . Ülesande lahendamisel kasutage ligikaudset valemit $sin φ \approx φ - \frac{φ^{3}}{6}$ , kus $φ$ on nurk radiaanides.

Lahendus

Nõel kuumeneb ruttu ja paisub, muu metall on veel külm. Olgu soojuspaisumisest tingitud pikenemine $Δ l = l α (t_{1} - t_{0}) ≪ l (0)$ . Nõel võtab ilmselt kaare kuju, kusjuures kõverusraadius $R ≫ l$ . Moodustagu nõel kaarenurga $2 φ$ . Geomeetriast teame, et

2 x R = \frac{l^{2}}{4} (1)

Teine geomeetria valem on

φ = \frac{l}{2 R} (2)

Kolmandaks valemiks avaldame kaare ja kõõlu pikkuste erinevuse:

Δ l = R φ - 2 R sin φ \approx \frac{R φ^{3}}{3} (3)

Edasi on vaja elimineerida

R

φ

. Valemeist (2) ja (3):

R = \frac{l^{2}}{\sqrt{24 l Δ l}} (4)

Valemist (1)

x = \frac{l}{8 R} = \frac{\sqrt{24 l Δ l}}{8} = \sqrt{\frac{3 l Δ l}{8}}

Seega

x = l \sqrt{\frac{3 α \cdot (t_{1} - t_{0})}{8}} \approx 0, 8 m m

Elektrilamp võimsusega $60 W$ asub läbipaistvas kalorimeetris, mis sisaldab $600 g$ vett. 5 minutiga soojeneb vesi $4^{\circ} C$ võrra. Milline osa selle aja jooksul lambi poolt tarbitud energiast läbib kalorimeetri kiirgusena? Vee erisoojus on $4200 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Lamp tarbib aja $t = 300 s$ jooksul energiat $E = N t$ . Vee soojendamiseks kulub energia $Q = c m Δ T$ , ülejäänud eraldub kiirgusena.

η = \frac{E - Q}{E} = \frac{N t - c m Δ t}{N t} \approx 0, 44 = 44 %

Aknalauale oli jäetud ööseks purk sogase veega. Hommikuks oli sete kogunenud purgi ühte serva. Kuhu poole kogunes sete, kui õues oli külmem, kui toas? Põhjendage vastust.

Lahendus

Kuna toas oli soojem kui õues, siis eeldatavasti oli purgi toapoolne külg soojem kui õuepoolne ja vesi purgis tsirkuleerus nii, et toapoolses osas tõusis soojenev vesi pinnale, liikus seejuures jahedama välisseina poole, langes jahtudes põhja ja liikus toa poole. Kuna tuli välja, et sete oli lõpuks ikkagi tekkinud, siis see tähendab, et settimise hulk ajaühikus oli suurem kui konvektsioonist tingitud vee segamine ja purgi põhja langenud sete lükkus põhjavoolu tõttu toapoolsesse nurka.

Alumiiniumitükk ja pliitükk langesid samalt kõrguselt. Kumma metallitüki temperatuur on pärast põrget langemise lõpul kõrgem? Eeldada, et kogu energia läks kehade endi soojendamiseks. Alumiiniumi erisoojus on $880 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ , pliil $130 \frac{J}{k g \cdot^{\circ} C}$ .

Lahendus

Olgu langemiskõrgus $h$ , siis alumiiniumist kuulikese potentsiaalne energia kõrgusel $h$ on $Π_{a} = P_{a} h$ ja pliist $Π_{p} = P_{p} h$ . Selle energia arvel kehad soojenevad kokkupõrgel maapinnaga.

Q_{a} = P_{a} h = m_{a} g h = c_{a} m_{a} Δ t_{a}

Δ t_{a} = \frac{g h}{c_{a}}

Q_{p} = P_{p} h = m_{p} g = c_{p} m_{p} Δ t_{p}

Δ t_{p} = \frac{g h}{c_{p}}

\frac{Δ t_{p}}{Δ t_{a}} = \frac{c_{a}}{c_{p}} = 6, 7

Peenikest vasktraati on küünla leegis kerge hõõguma ajada, jämedat vaskpolti aga naljalt mitte. Miks?

Lahendus

Traadi poolt leegist ajaühikus saadav soojusenergia on võrdeline traadi pindalaga, sellest tulenevalt tema läbimõõduga. Traadi soojusjuhtivus on võrdeline tema ristlõikepindalaga, s.o. läbimõõdu ruuduga. Jämeda poldi puhul on soojusjuhtivuse ja ajaühikus saadud soojusenergia suhe nii suur, et kogu polt omandab ligikaudu ühesuguse temperatuuri. Seega kiirgab polt soojust üle kogu oma pinna ning soojustasakaal leegist saadava soojuse ning kiiratava soojuse vahel saabub hulga madalamal temperatuuril, kui peene traadi puhul mil kuumeneb ainult traadi leegis asuv osa.