Potentsiaalne energia ja energia jäävuse seadus

Füüsiku pilguga

Kui kivilaviin mööda mäenõlva alla orgu jõuab, aeglustab kivide ja maapinna vaheline hõõrdumine selle liikumist ja lõpuks vool peatub. Laviini väljajooks (vahemaa, mille laviini moodustavad kivid oru põhjas läbivad) on tavaliselt 2/3 kivide liikuma hakkamise kõrgusest. Suured laviinid, mille puhul mäest veereb alla tohutu hulk pinnast, võivad aga jõuda kuni 30 korda kaugemale, valmistades näivalt ohutus kohas paiknevatele asumitele saatusliku üllatuse. Miks võib suurte laviinide teekond olla nii pikk?

Füüsika üheks ülesandeks on kirjeldada maailmas eksisteerivaid erinevaid energiavorme, iseäranis neid, mis on olulised tavaolukorras. Üks energia põhiliike on potentsiaalne energia $U$ . Korrektselt öeldes on potentsiaalne energia selline energia, mis on seotud kehade vastastikuse asendiga süsteemis, kus kehade vahel mõjuvad jõud.

JOONIS 8-1 Benji-hüpe. Hüppaja kineetiline energia kasvab vaba langemise ajal; seejärel hakkab köis venima, aeglustades hüppaja liikumist. (KOFUJIWARA/amana images/Getty Images News and Sport Services)

See üsna formaalne definitsioon käib teile vägagi tuttavate asjade kohta. Tema paremaks mõistmiseks pakume sellise näite: benji-hüppel tõukab hüppaja end lahti platvormilt (joonis 8-1). Süsteem koosneb Maast ja hüppajast. Nende kahe keha vahel mõjub gravitatsioonijõud. Süsteemi olek muutub (kaugus Maa ja hüppaja vahel väheneb – just see teebki hüppe põnevaks). Me võime arvutada hüppaja liikumist ning kineetilise energia juurdekasvu, defineerides gravitatsiooni potentsiaalse energia $U$ . See energia on seotud kaugusega kahe teineteist gravitatsioonilise tõmbejõuga mõjutava keha vahel, antud juhul siis hüppaja ja Maa vahel.

Kui kukkumise lõpuosas hakkab hüppaja benji-köit venitama, koosneb süsteem köiest ja hüppajast. Nende vahel mõjub nüüd köie elastsusjõud. Süsteemi olek muutub (köit venitatakse pikemaks). Me võime arvutada hüppaja kineetilise energia vähenemist köie pikkuse suurenemisel, defineerides köie deformatsiooni potentsiaalse energia $U$ . See energia on seotud elastse süsteemi, antud juhul benji-köie kokkusurumise või pikenemisega.

Füüsika määratleb, kuidas süsteemi potentsiaalset energiat arvutada nii, et süsteem saaks energiat salvestada või kasutusele võtta. Nii peab enne iga benji-hüpet keegi (eeldatavasti mehaanikainsener) määrama, millist köit kasutada. Selleks tuleb välja arvutada oodatavad gravitatsioonijõu ning elastsusjõu potentsiaalsed energiad ja neid võrrelda – vaid sel juhul on hüpe põnev, aga mitte hukatuslik.

Töö ja potentsiaalne energia

Eelmises, 7. peatükis vaatlesime töö seost kineetilise energia muutusega. Siin vaatleme, kuidas on töö seotud potentsiaalse energia muutumisega.

JOONIS 8-2 Kuni tomat kerkib, teeb talle mõjuv gravitatsioonijõud negatiivset tööd, vähendades tomati kineetilist energiat. Kui tomat laskub, teeb gravitatsioonijõud positiivset tööd, mistõttu kineetiline energia kasvab.

Viskame jällegi tomatit ülespoole (joonis 8-2). Me juba teame, et sel ajal, kui tomat ülespoole kerkib, on gravitatsioonijõu poolt tehtav töö $W_{g}$ negatiivne, sest ta viib ära tomati kineetilist energiat. Võime öelda, et gravitatsioonijõud muudab sellesama energia tomatist ja Maast koosneva süsteemi potentsiaalseks energiaks.

Tomati kiirus väheneb, ta jääb seisma ja hakkab siis gravitatsioonijõu mõjul allapoole langema. Nüüd on gravitatsioonijõu töö tomati liikumisel positiivne – ta suurendab tomati kineetilist energiat süsteemi tomat–Maa gravitatsioonilise potentsiaalse energia arvel.

Nii tõusu kui langemise jaoks on gravitatsioonilise potentsiaalse energia muut $Δ U$ suuruselt võrdne ja vastasmärgiline tomatile mõjuva gravitatsioonijõu poolt tehtava tööga. Kasutades töö tähistamiseks sümbolit $W$ , võime kirjutada

(8-1)

Δ U = - W

JOONIS 8-3 Vedru külge kinnitatud klots, mis algselt seisis paigal punktis $x = 0$ , pannakse paremale poole liikuma. (a) Kui klots liigub paremale (noolega näidatud suunas), teeb vedru elastsusjõud negatiivset tööd. (b) Siis aga, kui klots liigub tagasi $x = 0$ suunas, on vedru elastsusjõu poolt tehtav töö positiivne.

Sama võrrandit saab kasutada ka joonisel 8-3 kujutatud klotsist ja vedrust koosneva süsteemi kohta. Kui me tõukame klotsi, pannes ta liikuma paremale poole, mõjub vedru elastsusjõud vasakule ja teeb klotsi liikumisel negatiivset tööd, muutes klotsi kineetilist energiat süsteemi klots-vedru potentsiaalseks energiaks. Klotsi liikumine aeglustub, ta jääb seisma ja hakkab liikuma vasakule, kuna sinna on endiselt suunatud vedru elastsusjõud. Energia ülekandumine on nüüd vastassuunaline – süsteemi klots–vedru deformatsiooni potentsiaalne energia muudetakse klotsi kineetiliseks energiaks.

Konservatiivsed ja mittekonservatiivsed jõud

Kõigepealt paneme kirja võtmesõnad eespool toodud olukordade kirjeldamiseks:

Süsteem koosneb kahest või rohkemast kehast.
Jõud mõjuvad süsteemi kuuluvate, punktmassina käsitlevate kehade (nagu tomat või klots) ning süsteemi ülejäänud osade vahel.
Kui süsteemi olek muutub, teevad need punktmassi-sarnasele kehale mõjuvad jõud tööd (tähistame selle $W_{1}$ ), mis teostab energiavahetust selle keha kineetilise energia ja süsteemi mõnda teist tüüpi energia vahel.
Kui süsteemi oleku muutus on vastassuunaline (protsess on pööratud), viib vastavate jõudude töö $W_{2}$ energiat üle vastassuunas (energia ülekanne on pööratud).

Kui olukord on selline, et alati kehtib $W_{1} = - W_{2}$ , on teiseks energia tüübiks potentsiaalne energia ja ülekandes osalev jõud kannab nimetust konservatiivne jõud. Nagu arvata võite, on nii gravitatsioonijõud kui vedru elastsusjõud mõlemad konservatiivsed (vastasel juhul ei saaks me rääkida gravitatsioonilisest potentsiaalsest energiast ja deformatsiooni potentsiaalsest energiast nii, nagu eelnevas tegime).

Jõudusid, mis ei ole konservatiivsed, nimetatakse mittekonservatiivseteks jõududeks. Liikumist pidurdavad hõõrdejõud ja takistusjõud on mittekonservatiivsed. Lükkame näiteks klotsi libisema piki põrandat, mis ei ole hõõrdevaba. Libisemise ajal klotsi ja põranda vahel mõjuv hõõrdejõud aeglustab klotsi liikumist, muutes selle kineetilise energia teist tüüpi energiaks, mida nimetatakse soojusenergiaks (mis on seotud aatomite ja molekulide juhuslike liikumistega). Katsed on näidanud, et seda energia ülekandumist ei saa pöörata (hõõrdejõud ei võimalda muuta soojusenergiat tagasi klotsi kineetiliseks energiaks). Kuigi meil on ka siin süsteem (mis koosneb klotsist ja põrandast) ja selle süsteemi osade vahel mõjuv jõud kannab samuti üle energiat, ei ole see jõud konservatiivne. Järelikult soojusenergia ei ole potentsiaalne energia.

Kui punktmassi omadustega kehale mõjuvad ainult konservatiivsed jõud, saab selle keha liikumisega seostuvaid, tavaliselt keerulisi probleeme oluliselt lihtsustada. Järgmine punkt, kus tuuakse välja jõudude konservatiivsuse tuvastamise põhimõtted, annab meile vahendid nende lihtsustuste tegemiseks.

Konservatiivsete jõudude töö sõltumatus tee kujust

Määramaks, kas tegemist on konservatiivse või mittekonservatiivse jõuga, tuleb kõigepealt teha järgmine katse: vaatleme jõudu, mis mõjub piki suvalist suletud teed liikuvale punktmassile, mis alustab liikumist mingist punktist ja tuleb lõpuks samasse punkti tagasi (olles seega teinud ringreisi, mis algab ja lõpeb samas kohas). See jõud on konservatiivne ainult siis, kui selle liikumise käigus on ülekantud energia null nii selle kui ka iga teise suletud teekonna korral. Teiste sõnadega:

Kogutöö, mille teeb punktmassile mõjuv konservatiivne jõud ükskõik millise suletud teekonna läbimisel, on null.

Katsetest teame, et gravitatsioonijõud rahuldab seda suletud teekonna tingimust. Näiteks võib tuua joonisel 8-2 üles visatud tomati. See tomat visatakse üles kiirusega $v_{0}$ ja kineetilise energiaga $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . Tomatile mõjuv gravitatsioonijõud aeglustab tema liikumist, peatab ta ning sunnib tagasi langema. Kui tomat jõuab tagasi algasendisse, on tema kiirus jällegi $v_{0}$ ja kineetiline energia $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . Seega viis gravitatsioonijõud tõusu ajal tomatilt ära täpselt niisama palju kineetilist energiat, kui ta laskumise ajal tagasi tõi. Kogutöö, mille tegi selle suletud teekonna vältel tomatile mõjuv gravitatsioonijõud, on null.

Sellest suletud teekonna tingimusest saab teha olulise järelduse:

Töö, mille teeb punktmassile mõjuv konservatiivne jõud tema liikumisel ühest punktist teise, ei sõltu selle punktmassi liikumistee kujust.

JOONIS 8-4 (a) Punktmass, millele mõjub konservatiivne jõud, võib liikuda punktist $a$ punkti $b$ kas piki teed $1$ või piki teed $2$ . (b) Punktmass läbib suletud teekonna: punktist $a$ punkti $b$ piki teed $1$ ja tagasi punkti $a$ mööda teed $2$ .

Oletame näiteks, et punktmass liigub joonisel 8-4a punktist $a$ punkti $b$ kas mööda teed $1$ või mööda teed $2$ . Kui punktmassile mõjub ainult konservatiivne jõud, on selle töö ühesugune ükskõik kumba teed pidi liikudes. Valemina võiksime selle kirja panna:

(8-2)

W_{a b, 1} = W_{a b, 2}

kus indeks $a b$ tähistab liikumise alg- ja lõpp-punkte ning indeksid $1$ ja $2$ osutavad liikumisteele.

Tulemus on väärtuslik seepärast, et aitab lihtsustada keerulisi ülesandeid juhul, kui tegu on ainult konservatiivsete jõududega. Oletame, et teil on vaja arvutada konservatiivse jõu tööd keha konkreetsel liikumisel ühest punktist teise ja ilma lisainformatsioonita oleks see arvutus raske või isegi võimatu. Nüüd võite aga selle töö arvutamiseks kasutada mõnda teist võimalikku liikumisteed nende punktide vahel, mille jaoks on rehkendus lihtne ja võimalik. Me demonstreerime seda näidisülesandes 8-1, aga kõigepealt peame me tõestama, et valem 8-2 on õige.

Valemi 8-2 tõestus

Joonisel 8-4b on kujutatud suletud teekond punktmassi jaoks, millele mõjub üksainus jõud. Punktmass liigub lähtepunktist $a$ punkti $b$ piki teed $1$ ja tagasi punkti $a$ piki teed $2$ . Punktmassile mõjuv jõud teeb tööd mõlema liikumise ajal. Muretsemata selle pärast, milline töö on positiivne või negatiivne, tähistame punktist $a$ punkti $b$ piki teed $1$ liikumisel tehtava töö $W_{a b, 1}$ ja punktist $b$ tagasi punkti $a$ piki teed $2$ liikumisel tehtava töö $W_{b a, 2}$ . Kui jõud on konservatiivne, peab kogutöö suletud teekonnal olema null:

W_{a b, 1} + W_{b a, 2} = 0

(8-3)

W_{a b, 1} = - W_{b a, 2}

Sõnades öelduna peab töö, mis tehakse ülemist teed pidi liikumisel, olema võrdne ja vastasmärgiline alumist teed pidi tagasi algasendisse liikumisel tehtava tööga.
Vaatleme nüüd olukorda, kus punktmass liigub punktist $a$ punkti $b$ mööda teed $2$ , nagu seda on kujutatud joonisel 8-4a. Kui jõud on konservatiivne, peab selle liikumise käigus tehtav töö olema võrdne ja vastasmärgiline tööga $W_{b a, 2}$ .

(8-4)

W_{a b, 2} = - W_{b a, 2}

Pannes valemis 8-3 $W_{b a, 2}$ asemele $- W_{b a, 2}$ , saame

W_{a b, 1} = W_{a b, 2}

mida oligi tarvis tõestada.

Joonisel on kujutatud kolm teed, mis viivad punktist

a

punkti

b

. Iga tee juurde on märgitud töö, mille teeb seda teed pidi noolega osutatud suunas liikuvale punktmassile mõjuv üks ja seesama jõud

\to F

. Otsustage siintoodu põhjal, kas jõud

\to F

on konservatiivne.

Joonisel 8-5a näete libedat

2, 0

-kilogrammist juustutükki, mis libiseb piki hõõrdevaba teed punktist

a

punkti

b

. Kogu juustu poolt läbitud tee pikkus on

2, 0 m

, kogu liikumine vertikaalsuunas on aga

0, 80 m

. Kui palju tööd teeb selle liikumise käigus juustule mõjuv gravitatsioonijõud?

Lahendus

JOONIS 8-5 (a) Juustutükk libiseb piki hõõrdevaba teed punktist $a$ punkti $b$ . (b) Et arvutada juustu liikumisel temale mõjuva gravitatsioonijõu poolt tehtavat tööd, on lihtsam valida tegeliku tee asemel kriipsjoonega tähistatud tee; tulemus on mõlema tee korral ühesugune.

JUHTMÕTTED (1) Me ei saa kasutada töö arvutamiseks valemit 7-12 ( $W_{g} = m g d cos ϕ$ ). See pole võimalik sellepärast, et nurk $ϕ$ gravitatsioonijõu ${\to F}_{g}$ ja nihkevektori $\to d$ vahel muutub juustutüki liikumisel meile mitte teadaoleval viisil. (Isegi siis, kui me teaksime liikumistee kuju ja oskaksime leida nurka $ϕ$ , võiks töö arvutamine olla üsna keeruline.) (2) Kuna aga $\to F$ on konservatiivne jõud, võime me töö arvutamiseks valida mingi teise tee punktide $a$ ja $b$ vahel – sellise, mis muudab arvutamise lihtsaks.

Arvutused: Valime teekonnaks joonisel 8-5b kujutatud kriipsjoone, mis koosneb kahest sirglõigust. Liikumisel piki horisontaalset lõiku on nurk $ϕ$ konstantne, võrdudes $90^{\circ}$ . Ja ehkki me ei tea, milline on nihe piki horisontaalset lõiku, ütleb valem 7-12, et sellel lõigul tehtav töö $W_{h}$ on

W_{h} = m g d cos 90^{\circ} = 0

Vertikaalse lõigu kohta me teame, et nihke $d$ suurus on $0, 80 m$ , ja kuna nii ${\to F}_{g}$ kui $\to d$ on suunatud allapoole, on nende vaheline nurk $ϕ$ konstantselt null. Valemi 7-12 abil saame nüüd arvutada kriipsjoone vertikaalsel lõigul tehtava töö $W_{v}$ :

W_{v} = m g d cos 0^{\circ} = (2, 0 k g) (9, 8 m / s^{2}) (0, 80 m) (1) = 15, 7 J

Kogu töö, mida teeb juustutükile mõjuv jõud ${\to F}_{g}$ selle liikumisel punktist $a$ punkti $b$ piki kriipsjoont, on seega

W = W_{h} + W_{v} = 0 + 15, 7 J \approx 16 J - -- - - -- -

Sama suur on ka töö, mis tehakse juustu liikumisel punktist $a$ punkti $b$ piki pideva joonega kõverat.

Potentsiaalse energia väärtuse leidmine

Järgnevalt leiame valemid, mis võimaldavad arvutada potentsiaalse energia suurust selles peatükis käsitletud kahe potentsiaalse energia tüübi korral: gravitatsiooni potentsiaalne energia ning deformatsiooni potentsiaalne energia. Aga enne seda tuleb leida üldisem seos konservatiivse jõu ja sellega seotud potentsiaalse energia vahel.

Vaatleme punktmassina käsitletavat keha, mis kuulub süsteemi, kus toimib konservatiivne jõud $\to F$ . Kui see jõud teeb keha liikumisel töö $W$ , on süsteemi potentsiaalse energia muutus $Δ U$ võrdne ja vastasmärgiline tehtud tööga. See fakt on meil kirjas valemina 8-1 ( $Δ U = - W$ ). Kõige üldisemal juhul, kui see jõud sõltub keha asukohast, saab tööd W arvutada valemiga 7-32:

(8-5)

W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F (x) d x

Selle valemi abil leiame töö, mida teeb jõud keha liikumisel punktist $x_{i}$ punkti $x_{f}$ , mistõttu muutub süsteemi olek. (Kuna jõud on konservatiivne, on tehtud töö ühesugune kõigi neid kahte punkti ühendavate teede jaoks.)

Pannes valemi 8-5 valemisse 8-1, saame süsteemi oleku muutusele vastava potentsiaalse energia muutuse üldvalemi:

(8-6)

Δ U = - \int_{x_{i}}^{x_{f}} F (x) d x

Gravitatsiooni potentsiaalne energia.

Vaatleme punktmassi massiga $m$ , mis liigub vertikaalselt üles piki $y$ -telge (positiivse suunaga üles). Kui punktmass liigub punktist $y_{i}$ punkti $y_{f}$ , teeb temale mõjuv gravitatsioonijõud tööd. Et leida sellest tulenevat süsteemi punktmass–Maa potentsiaalse energia muutust, kasutame valemit 8-6, aga kahe erinevusega. (1) Me integreerime $x$ -telje asemel piki $y$ -telge, kuna gravitatsioonijõud mõjub püstsuunas. (2) Me paneme jõudu tähistava sümboli $F$ asemele $- m g$ , kuna just $m g$ väljendab gravitatsioonijõu suurust, jõud aga on suunatud piki $y$ -telge allapoole. Nii saame

Δ U = - \int_{y_{i}}^{y_{f}} (- m g) d y = m g \int_{y_{i}}^{y_{f}} d y = m g [y]_{y_{i}}^{y_{f}}

mis annab tulemuseks

(8-7)

Δ U = m g (y_{f} - y_{i}) = m g Δ y

Füüsikalist mõtet omab ainult gravitatsiooni potentsiaalse energia (ja üldse igasuguse potentsiaalse energia) muut $Δ U$ . Et lihtsustada arvutusi või arutelu, võime omistada teatud kindla potentsiaalse energia väärtuse $U$ süsteemi punktmass–Maa ühele kindlale olekule, kus punktmass on kõrgusel $y$ . Sellisel juhul saab valemi 8-7 kirjutada kujul

(8-8)

U - U_{i} = m g (y - y_{i})

Edaspidi nimetame potentsiaalset energiat $U_{i}$ süsteemi potentsiaalseks energiaks tugiolekus, kus punktmass asub tugipunktis $y_{i}$ . Tavaliselt võetakse $U_{i} = 0$ ja $y_{i} = 0$ , misjärel valem 8-8 saab kuju

(8-9)

U (y) = m g y

See valem ütleb, et

Süsteemi punktmass–Maa potentsiaalne energia sõltub ainuüksi punktmassi vertikaalkoordinaadist (kõrgusest) tugipunkti $y = 0$ suhtes, mitte aga tema asukohast horisontaalsuunas.

Elastsuse potentsiaalne energia

Järgnevalt võtame vaatluse alla joonisel 8-3 kujutatud klotsist ja vedrust moodustatud süsteemi, kus klotsiga koos liigub vedru ots ning vedru elastsustegur on $k$ . Kui klots liigub punktist $x_{i}$ punkti $x_{f}$ , teeb temale mõjuv vedru elastsusjõud $F_{x} = - k x$ tööd. Et leida süsteemi klots–vedru potentsiaalse energia muutust, paneme valemis 8-6 $F (x)$ asemele $- k x$ . Nii saame

Δ U = - \int_{x_{i}}^{x_{f}} (- k x) d x = \frac{1}{2} k [x^{2}]_{x_{i}}^{x_{f}}

ehk

(8-10)

Δ U = \frac{1}{2} k x_{f}^{2} - \frac{1}{2} k x_{i}^{2}

Et siduda potentsiaalset energiat $U$ klotsi asukohaga $x$ , valime süsteemi tugioleku nii, et vedru on seal vabas olekus ja klots asub punktis $x_{i} = 0$ . Sel juhul on elastsuse potentsiaalne energia $U_{i} = 0$ ja valem 8-10 saab kuju

U - 0 = \frac{1}{2} k x^{2} - 0

mis annab

(elastsuse potentsiaalne energia, 8-11)

U (x) = \frac{1}{2} k x^{2}

Punktmass liigub piki

x

-telge punktist

x = 0

punkti

x_{1}

, kusjuures talle mõjub piki

x

-telge suunatud konservatiivne jõud. Joonisel toodud kolm graafikut väljendavad selle jõu

x

-komponendi sõltuvust

x

-st. Kõigil kolmel juhul on jõu maksimaalne suurus

F_{1}

ühesugune. Järjestage need graafikud punktmassi liikumisest tingitud potentsiaalse energia muutuse suuruse järgi, alustades enim positiivsest väärtusest.

Ülesannete lahendamise juhised

Potentsiaalne energia on seotud süsteemi kui tervikuga. Sellegipoolest näeme, et paljudel juhtudel seostub see süsteemi mingi osa olekuga, nagu näiteks lauses: „Puu otsas rippuva õuna potentsiaalne energia on $30 J$ .” Selline lähenemine on lubatav, kuid tuleb meeles pidada, et tegelikult on see potentsiaalne energia seotud süsteemiga – antud juhul õunast ja Maast koosneva süsteemiga. Veel tuleb meeles pidada, et kui kehale või süsteemile on omistatud potentsiaalse energia kindel väärtus nagu eespool toodud $30 J$ , on sel mõtet üksnes juhul, kui on teada süsteemi potentsiaalne energia tugiolekus, nagu demonstreerime järgnevas näidisülesandes 8-2.

Näidisülesanne 8-2

JOONIS 8-6 Tugipunkti $y = 0$ neli erinevat valikut. Kõigil $y$ -telgedel on ühikuks meeter. Tugipunkti valik mõjutab süsteemi laiskloom–Maa potentsiaalse energia väärtust $U$ , kuid ta ei mõjuta süsteemi potentsiaalse energia muutust $Δ U$ laisklooma liikumisel (näiteks kukkumisel).

Laiskloom massiga $2, 0 k g$ ripub maapinnast $5, 0 m$ kõrgusel (joonis 8-6).

Milline on süsteemi laiskloom–Maa potentsiaalne energia

U

, kui võtta tugipunktiks

y = 0

(1) maapind, (2) maapinnast

3, 0 m

kõrgusel asuv rõdu põrand, (3) oks, mille küljes laiskloom ripub, ja (4) punkt

1, 0 m

oksast kõrgemal? Gravitatsiooni potentsiaalne energia olgu (kokkuleppeliselt) null punktis

y = 0

Lahendus

JUHTMÕTE Pärast tugipunkti $y = 0$ valimist saame valemi 8-9 abil arvutada gravitatsiooni potentsiaalse energia selle tugipunkti suhtes.

Arvutused: Esimesel juhul asub laiskloom kõrgusel $y = 5, 0 m$ , seega

U = m g y = (2, 0 k g) (9, 8 m / s^{2}) (5, 0 m) = 98 J - -- - - -- -

Ülejäänud juhtudel saame $U$ väärtuseks

U = m g y = m g (2, 0 m) = 39 J - -- - - -- -

U = m g y = m g (0) = 0 J - - - - - -

U = m g y = m g (- 1, 0 m) = - 19, 6 J \approx - 20 J - ---- - - ---- -

Laiskloom kukub puu otsast alla. Arvutage, milline on kukkumisega kaasnev süsteemi laiskloom–Maa potentsiaalse energia muutus kõigil juhtudel.

Lahendus

JUHTMÕTE Potentsiaalse energia muutus ei sõltu tugipunkti $y = 0$ valikust, kuid ta sõltub kõrguse muutusest $Δ y$ .

Arvutused: Kõigil neljal juhul on kõrguse muutus $Δ y = - 5, 0 m$ . Järelikult annab valem 8-7 kõigi juhtude jaoks

Δ U = m g Δ y = (2, 0 k g) (9, 8 m / s^{2}) (- 5, 0 m) = - 98 J - ---- - - ---- -

Conservation of mechanical energy

Ennemuiste visati inimest teki abil üles selleks, et ta saaks tasasel maal kaugemale näha. Tänapäeval tehakse seda lõbu pärast. Senikaua, kui pildil olev inimene kerkib, muutub tema kineetiline energia gravitatsiooni potentsiaalseks energiaks. Kõrgus saab maksimaalseks siis, kui see muutumine on lõppenud. Sellele järgneva kukkumise ajal toimub energia muutumine vastassuunas – potentsiaalsest kineetiliseks. (©AP/Wide World Photos)

Süsteemi mehaaniline energia $E_{m e h}$ on tema potentsiaalse energia $U$ ja temasse kuuluvate kehade kineetilise energia $K$ summa.

(mehaaniline energia, 8-12)

E_{m e h} = K + U

Käesolevas paragrahvis uurime, mis juhtub mehaanilise energiaga süsteemis, kus energia ülekandumine toimub üksnes konservatiivsete jõudude abil – see tähendab, et selle süsteemi kehadele ei mõju ei hõõrde- ega takistusjõud. Veel oletame, et süsteem on ülejäänud keskkonnast isoleeritud; see tähendab, et süsteemi energia muutumist ei tekita ükski välisjõud (süsteemist väljapoole jäävate kehade toime).

Kui sellisesse süsteemi kuuluvale kehale mõjuv konservatiivne jõud teeb töö $W$ , tähendab see energia muundumist keha kineetilisest energiast $K$ süsteemi potentsiaalseks energiaks $U$ või vastupidi. Valemist 7-10 teame, et kineetilise energia muutus $Δ K$ on

(8-13)

Δ K = W

ja valemist 8-1 saame potentsiaalse energia muutuse $Δ U$ :

(8-14)

Δ U = - W

Ühendades valemid 8-13 ja 8-14, saame

(8-15)

Δ K = - Δ U

mis tähendab, et üks energiatest kasvab täpselt nii palju, kui teine kahaneb.

Kui valem 8-15 lahti kirjutada, saame

(8-16)

K_{2} - K_{1} = - (U_{2} - U_{1})

kus indeksid tähistavad kaht eri ajahetke ja seega süsteemi kehade kaht erinevat paigutust. Valemi 8-16 liikmete ümberpaigutamine annab

(mehaanilise energia jäävuse seadus, 8-17)

K_{2} + U_{2} = K_{1} + U_{1}

Sõnades väljendatuna

(K ja U summa s ¨ u steemi mistahes olekus) = (K ja U summa s ¨ u steemi mistahes muus olekus)

juhul, kui süsteem on isoleeritud ja selle kehade vahel toimivad üksnes konservatiivsed jõud. Teiste sõnadega:

Isoleeritud süsteemis, kus energia ülekannet põhjustavad üksnes konservatiivsed jõud, võivad kineetiline ja potentsiaalne energia muutuda, aga nende summa, süsteemi mehaaniline koguenergia $E_{m e h}$ , ei muutu.

Seda väidet nimetatakse mehaanilise energia jäävuse seaduseks (inglise keeles law of conservation; siit on tulnudki nimetus konservatiivsed jõud). Valemi 8-15 abil saame sellele seadusele anda veel ühe kuju:

(8-18)

Δ E_{m e h} = Δ K + Δ U = 0

Mehaanilise energia jäävuse seaduse abiga saame lahendada ülesandeid, mille lahendamine ainult Newtoni seaduste abil oleks üsnagi keeruline:

Kui süsteemi mehaaniline energia on jääv, võime kineetilise ja potentsiaalse energia summa väärtuse ühel ajahetkel omistada ka suvalisele teisele hetkele, arvestamata vahepealseid liikumisi ja arvutamata süsteemis mõjuvate jõudude poolt tehtud tööd.

Joonisel 8-7 näete, kuidas rakendatakse mehaanilise energia jäävuse seadust: pendli võnkumise käigus muutub süsteemi pendel–Maa energia kineetilise energia $K$ ning gravitatsiooni potentsiaalse energia $U$ vahel edasi-tagasi, kusjuures summa $K + U$ jääb kogu aeg konstantseks. Kui me teame gravitatsioonilist potentsiaalset energiat hetkel, kui pendli kuul on oma kõrgeimas asendis (joonis 8-7c), annab valem 8-17 meile kuuli kineetilise energia hetkel, kui see asub madalaimas asendis (joonis 8-7e).

JOONIS 8-7 Pendel, mille mass on kontsentreeritud alumises otsas olevasse pendlikuuli, võngub edasi-tagasi. Joonisel on kujutatud selle liikumise üks täisperiood. Liikumise käigus muutuvad süsteemi pendel–Maa kineetiline ja potentsiaalne energia vastavalt sellele, kas kuul kerkib kõrgemale või laskub allapoole, samas kui süsteemi mehaaniline koguenergia $E_{meh}$ jääb konstantseks. Kogu selle aja vältel leiab aset mehaanilise energia üleminek kineetilisest vormist potentsiaalseks ja ümberpöördult. Asendeis (a) ja (e) on süsteemi energia tervikuna kineetiline. Sel hetkel asub kuul alumises asendis ja tema kiirus on maksimaalne. Asendeis (c) ja (g) on kogu energia potentsiaalne. Kuuli kiirus on seal null ja ta asub kõrgeimas võimalikus asendis. Asendites (b), (d), (f) ja (h) on pool energiast potentsiaalne ja pool energiast kineetiline. Kui võnkumisega kaasneb hõõrdumine pendli kinnituspunktis või õhutakistus, siis mehaaniline koguenergia ei jää konstantseks ning pendel jääb lõpuks seisma.

Valime tugipunktiks näiteks pendlikuuli madalaima asendi, võttes seal gravitatsiooni potentsiaalseks energiaks $U_{2} = 0$ . Oletame, et kuuli kõrgeima asendi korral on gravitatsiooni potentsiaalne energia tugipunkti suhtes $U_{1} = 20 J$ . Kuna kuul kõrgeimasse asendisse jõudmisel hetkeks peatub, on tema kineetiline energia seal $K_{1} = 0$ . Kui panna need arvud valemisse 8-17, saame kuuli kineetilise energia alumises asendis,

K_{2} + 0 = 0 + 20 J ehk K_{2} = 20 J

Märgime, et selle tulemuse saamiseks ei uurinud me kuuli liikumist ülemisest asendist alumisse ega arvutanud selle liikumise käigus kuulile mõjunud jõudude tööd.

Joonisel on kujutatud neli liikumist: üks, kus algselt paigalolev klots kukub, ja kolm, kus klots libiseb alla piki hõõrdevaba kaldpinda. (a) Järjestage need liikumised vastavalt klotsi kineetilisele energiale punktis B, alustades suurimast. (b) Järjestage nad klotsi kiiruse järgi punktis B, alustades suurimast.

Joonisel 8-8 laskub laps massiga

m

alla piki

8 m

kõrgust liutoru, alustades paigalseisust. Eeldades, et vesi muudab libisemise hõõrdevabaks, leidke lapse kiirus liutoru lõpus.

Lahendus

JOONIS 8-8 Laps libiseb alla piki liutoru kogukõrgusega $h$ .

JUHTMÕTTED (1) Me ei saa arvutada lapse kiirust liutoru lõpus kiirenduse järgi, nagu me tegime seda eelmistes peatükkides, sest me ei tea liumäe kaldenurka. Kuna aga see kiirus on seotud lapse kineetilise energiaga, võime kiiruse leidmisel kasutada mehaanilise energia jäävuse seadust. Sel juhul ei ole meil tarvis kaldenurka teada. (2) Mehaaniline energia on jääv siis, kui süsteem on isoleeritud ja kui energia ülekandumine toimub ainult konservatiivsete jõudude kaudu. Kontrollime seda.

Jõud: Lapsele mõjub kaks jõudu. Gravitatsioonijõud, mis teeb tööd tema liikumisel, on konservatiivne jõud. Kaldpinna normaaljõud ei tee tööd selle pärast, et on laskumise igas punktis risti lapse liikumissuunaga.

Süsteem: Kuna lapsele mõjuvatest jõududest teeb tööd ainult gravitatsioonijõud, valime oma süsteemiks süsteemi laps–Maa, mille võime lugeda isoleerituks.

Järelikult on meil tegemist isoleeritud süsteemiga, kus tööd teevad ainult konservatiivsed jõud; seega me tohime siin kasutada mehaanilise energia jäävuse seadust.

Arvutused: Tähistame mehaanilise koguenergia $E_{meh, ¨ u}$ hetkel, kus laps asub liutoru ülemises punktis, ja $E_{meh,a}$ kui ta asub liutoru alumises otsas. Jäävusseadus ütleb, et

(8-19)

E_{meh,a} = E_{meh, ¨ u}

Et näidata mehaanilise energia mõlemat liiki, kirjutame:

(8-20)

K_{a} + U_{a} = K_{¨ u} + U_{¨ u}

ehk

\frac{1}{2} m v_{a}^{2} + m g y_{a} = \frac{1}{2} m v_{¨ u}^{2} + m g y_{¨ u}

Jagades mõlemaid pooli massiga m ning teisendades saadud avaldist, saame

v_{a}^{2} = v_{¨ u}^{2} + 2 g (y_{¨ u} - y_{a})

Võttes $v_{¨ u} = 0$ ja $y_{¨ u} - y_{a} = h$ , saame

v_{a} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{(a) (9, 8 m / s^{2} (8, 5 m))} = 13 m / s - ------ - - ------ -

See on võrdne kiirusega, mille saaks laps kukkudes vertikaalsihis $8, 5 m$ võrra. Reaalsetes liutorudes mõjub alati ka mingi hõõrdejõud, mistõttu lapse kiirus on väiksem.

Kommentaar: Kuigi seda ülesannet saab lahendada otseselt Newtoni seadusi kasutades, on see keeruline ja mehaanilise energia jäävuse seaduse rakendamine muudab selle palju lihtsamaks. Kui meilt aga küsitakse aega, mis kulub lapsel piki liutoru ülalt alla jõudmiseks, siis energiaga seotud meetodid meid ei aita; me peame ikkagi teadma liutoru kuju ja lahendama üsnagi keeruka ülesande.

Ülesannete lahendamise võtted

Mehaanilise energia jäävuse seaduse kasutamist ülesannete lahendamisel alustage järgmistele küsimustele vastamisest.

Millistes süsteemides on mehaaniline energia jääv? Te peate suutma eristada oma süsteemi ümbritsevast. Kujutage ette kinnist pinda, mille sisse jäävad kehad kuuluvad teie süsteemi ja sellest välja jäävad kuuluvad ümbrusesse.

Kas hõõrdumis- ja takistusjõud on olemas? Kui jah, siis mehaaniline energia ei ole jääv.

Kas teie süsteem on isoleeritud? Mehaanilise energia jäävuse seadus kehtib ainult isoleeritud süsteemides. See tähendab, et ükski välisjõud (jõud, mis mõjub süsteemi kuuluvate ja süsteemi mittekuuluvate kehade vahel) ei tohi teha tööd süsteemi oleku muutumisel (sinna kuuluvate kehade liikumisel).

Milline on teie süsteemi alg- ja lõpp-olek? Süsteemi kehade paiknemine muutub liikumise käigus. Mehaanilise energia jäävuse seaduse rakendamine tähendab, et $E_{meh}$ väärtus on ühesugune mõlemas olekus. Te peate teadma, mida need olekud endast kujutavad.

Mida näitab potentsiaalse energia graafik

Vaatleme jällegi punktmassi, mis on osa sellisest süsteemist, kus toimivad üksnes konservatiivsed jõud. Seekord oletame, et ajal, kui need jõud teevad tööd, liigub punktmass piki $x$ -telge. Me võime punktmassi liikumise kohta paljugi teada saada, kui uurime potentsiaalse energia $U (x)$ graafikut. Enne graafikute juurde asumist peame siiski teadma veel üht sõltuvust.

Jõu analüütiline avaldamine

Valem 8-6 näitab, kuidas saab leida kahe punkti vahelist potentsiaalse energia muutust $Δ U$ ühemõõtmelises ülesandes juhul, kui on teada jõud $F (x)$ . Nüüd teeme teistpidi: katsume leida jõudu, kui teada on potentsiaalse energia sõltuvus asukohast $U (x)$ .

Ühemõõtmelise liikumise korral avaldub punktmassile mõjuva jõu töö punktmassi nihkel $Δ x$ kui $F (x) Δ x$ . Valemi 8-1 saame kirjutada kujul

(8-21)

Δ U (x) = - W = - F (x) Δ x

Avaldades siit $F (x)$ ja minnes üle piirväärtusele, saame

(ühemõõtmeline liikumine, 8-22)

F (x) = - \frac{d U (x)}{d x}

mis ongi otsitud sõltuvus.

Et tulemust kontrollida, paneme saadud valemisse vedru elastsuse potentsiaalse energia avaldise $U (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ . Valem 8-22 annab nüüd jõu $F (x) = - k x$ ehk Hooke’i seaduse, mida oligi oodata. Niisamuti võime valemisse panna süsteemi punktmass–Maa gravitatsiooni potentsiaalse energia avaldise $U (x) = m g x$ , kus $m$ on punktmassi mass ja $x$ tema kõrgus maapinna suhtes. Valemist 8-22 saame sel juhul $F = - m g$ , mis ongi punktmassile mõjuv gravitatsioonijõud.

Potentsiaalse energia graafik

Joonisel 8-9a on esitatud potentsiaalse energia $U (x)$ graafik sellise süsteemi jaoks, kus punktmassi ühemõõtmelise liikumise käigus tehtava töö põhjustab konservatiivne jõud $F (x)$ . Jõudu $F (x)$ on lihtne leida graafiliselt, mõõtes kõvera $U (x)$ tõusu selle erinevates punktides. (Valem 8-22 järgi on jõud $F (x)$ võrdne ja vastasmärgiline kõvera $U (x)$ tõusuga.) Joonisel 8-9b on esitatud jõu $F (x)$ sellisel viisil leitud graafik.

JOONIS 8-9 (a) Süsteemi potentsiaalse energia $U (x)$ graafik, kui punktmass saab liikuda ainult piki $x$ -telge. Hõõrdumine puudub, seega on mehaaniline energia jääv. (b) Punktmassile mõjuva jõu $F (x)$ graafik, mis on tuletatud potentsiaalse energia graafikust, leides erinevates punktides selle kõvera tõusu. (c) Sama mis graafik (a), näidatud on $E_{meh}$ kolm võimalikku väärtust.

Pöördepunktid

Kui mittekonservatiivsed jõud puuduvad, on süsteemi mehaanilisel energial konstantne väärtus, mis on antud valemiga

(8-23)

U (x) + K (x) = E_{m e h}

$K (x)$ on siin süsteemi kuuluva punktmassi kineetilist energiat kirjeldav funktsioon ( $K (x)$ tähendab, et kineetiline energia sõltub punktmassi asukohast $x$ ). Valemi 8-23 võime kirjutada kujul

(8-24)

K (x) = E_{m e h} - U (x)

Oletame, et $E_{m e h}$ (peame meeles, et see suurus on konstantne) on juhtumisi $5, 0 J$ . Joonisel 8-9a kujutab seda horisontaalne joon, mis jõuab energia teljeni punktis $5, 0 J$ . Valem 8-24 ütleb, kuidas määrata kineetilist energiat $K$ punktmassi mistahes asukoha $x$ korral: leiame graafikult $U (x)$ asukohale $x$ vastava $U$ väärtuse ning lahutame selle mehaanilisest koguenergiast $E_{m e h}$ . Näiteks kui punktmassi asukoht jääb $x_{5}$ -st paremale, siis $K = 1, 0 J$ . Suurim $K$ väärtus ( $5, 0 J$ ) vastab punktmassi asukohale $x_{2}$ ja vähim ( $0 J$ ) asukohale $x_{1}$ .

Kuna $K$ ei saa kunagi olla negatiivne (sest $v^{2}$ on alati positiivne), siis ei saa punktmass kunagi minna vasakule punktist $x_{1}$ , kuna seal on $E_{m e h} - U$ negatiivne. Selle asemel väheneb punktmassi kineetiline energia tema liikumisel punktist $x_{2}$ punkti $x_{1}$ poole (liikumine aeglustub), kuni punktis $x_{1}$ on $K = 0$ (punktmass peatub selles punktis).

Märgime, et punktmassi jõudmisel punkti $x_{1}$ on temale mõjuv jõud valemi 8-22 kohaselt positiivne (kuna kõvera tõus $d U / d x$ on negatiivne). See tähendab, et punktmass ei jää punktis $x_{1}$ seisma, vaid alustab liikumist paremale, varasemale liikumisele vastassuunas. Järelikult on $x_{1}$ pöördepunkt, kus $K = 0$ (kuna $U = E$ ) ja punktmass muudab liikumissuunda. Et graafiku parempoolses osas pöördepunkte ei ole, siis sinnapoole liikumine kestab lõpmatult.

Tasakaalupunktid

Joonisel 8-9c on toodud potentsiaalse energia $U (x)$ kõver jooniselt 8-9a, millele on kantud $E_{m e h}$ kolm eri väärtust. Kui $E_{m e h} = 4, 0 J$ (lilla joon), nihkub pöördepunkt punktist $x_{1}$ punktide $x_{1}$ ja $x_{2}$ vahele. Kõigis punktides, mis jäävad punktist $x_{5}$ paremale poole, on süsteemi mehaaniline energia võrdne potentsiaalse energiaga; seetõttu on tema kineetiline energia null ja kuna (valemi 8-22 kohaselt) talle ei mõju ka ükski jõud, peab ta seal olema paigal. Punktmassi sellist seisundit nimetatakse neutraalseks ehk ükskõikseks tasakaaluks. (Sellises seisundis on horisontaalsele lauale asetatud piljardimuna.)

Kui $E_{m e h} = 3, 0 J$ (roosa joon), siis on meil kaks pöördepunkti: üks punktide $x_{1}$ ja $x_{2}$ , teine punktide $x_{4}$ ja $x_{5}$ vahel. Neile lisandub veel punkt $x_{3}$ , kus $K = 0$ . Kui punktmass asub täpselt selles punktis, on temale mõjuv jõud samuti null ja ta jääb seal paigale. Kui teda aga nihutada ükskõik kui vähe ükskõik kummas suunas, lükkab nullist erinev jõud teda nihkega samas suunas ja punktmass jätkab liikumist. Punktmassi sellist asendit nimetatakse ebapüsivaks (ebastabiilseks ehk labiilseks) tasakaaluks. (Näitena võib tuua piljardimuna, mis on asetatud keeglikuuli peale.)

Järgmisena vaatleme punktmassi käitumist juhul, kui $E_{m e h} = 1, 0 J$ (roheline joon). Kui paneme ta punkti $x_{4}$ , jääb ta sinna. Ta ei saa liikuda ei vasakule ega paremale, kuna mõlemal juhul tooks see kaasa negatiivse kineetilise energia. Kui teda tõugata vasakule või paremale, ilmneb taastav jõud, mis viib punktmassi tagasi punkti $x_{4}$ . Punktmassi sellist seisundit nimetatakse püsivaks (stabiilseks) tasakaaluks. (Näitena võib tuua poolsfääri kujulise kausi põhjas oleva piljardimuna.) Kui punktmass asub kausikujulises potentsiaaliaugus keskmega punktis $x_{2}$ , kahe pöördepunkti vahel, saab ta küll mingil määral liikuda, aga ainult jupikese teest $x_{1}$ või $x_{3}$ poole.

Joonisel on kujutatud punktmassi potentsiaalset energiat kirjeldav funktsioon

U (x)

ühemõõtmelise liikumise korral. (a) Järjestage lõigud

A B

B C

C D

vastavalt punktmassile mõjuva jõu suurusele, alustades suurimast. (b) Milline on jõu suund, kui punktmass asub lõigul

A B

Näidisülesanne 8-4

Punktmass massiga $2, 0 k g$ liigub ühemõõtmeliselt piki $x$ -telge, kus talle mõjub sama telje sihiline konservatiivne jõud. Joonisel 8-10a on kujutatud selle jõuga seotud potentsiaalse energia sõltuvus asukohast $U (x)$ . See tähendab, et kui punktmass asub ükskõik kus punktide $x = 0$ ja $x = 7, 00$ vahel, siis on tal graafikule vastav potentsiaalne energia $U$ . Punktis $x = 6, 5 m$ on punktmassi kiirus $v_{0} = (- 4, 00 m / s)^i$ .

JOONIS 8-10 (a) Graafik, mis kujutab potentsiaalse energia $U$ sõltuvust asukohast $x$ . (b) See osa samast graafikust, mille abil leidsime koha, kus punktmass tagasi pöördub.

Kasutades joonist 8-10a, määrake punktmassi kiirus punktis

x_{1} = 4, 5 m

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Punktmassi kineetiline energia on määratud valemiga 7-1 ( $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ). (2) Kuna punktmassile mõjuvad üksnes konservatiivsed jõud, on tema mehaaniline energia ( $E_{m e h} = K + U$ ) jääv kogu liikumise vältel. (3) Järelikult, kui meil on olemas selline $U (x)$ graafik nagu joonisel 8-10a, peab kineetiline energia olema võrdne mehaanilise koguenergia $E_{m e h}$ ja potentsiaalse energia $U$ vahega.

Arvutused: Punktis $x = 6, 5 m$ on punktmassi kineetiline energia

K_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (2, 00 k g) (4, 00 m / s)^{2} = 16, 0 J

Kuna selles punktis on potentsiaalne energia $U = 0$ , siis on mehaaniline koguenergia

E_{m e h} = K_{0} + U_{0} = 16, 0 J + 0 = 16, 0 J

Seda $E_{m e h}$ väärtust kujutab joonisel 8-10a pruun horisontaalne joon. Näeme, et punktis $x = 4, 5 m$ on potentsiaalse energia väärtuseks $U_{1} = 7, 0 J$ . Kineetiline energia $K_{1}$ on võrdne $E_{m e h}$ ja $U$ vahega:

K_{1} = E_{m e h} - U_{1} = 16, 0 J - 7, 0 J = 9, 0 J

Et $K_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2}$ , saame:

v_{1} = 3, 0 m / s - ------- - - ------- -

Kus asub punktmassi pöördepunkt?

Lahendus

JUHTMÕTE Pöördepunkt on koht, kus punktmassile mõjuv jõud ta hetkeks peatab, et sundida teda seejärel liikuma vastassuunas. See koht asub seal, kus punktmassi hetkkiirus on $v = 0$ ja järelikult $K = 0$ .

Arvutused: Kuivõrd $K$ väljendab $E_{m e h}$ ja $U$ erinevust, tuleb meil joonisel 8-10a leida koht, kus kasvav $U$ kohtub $E_{m e h}$ tähistava horisontaalse joonega, nagu on näidatud joonisel 8-10b.

Kuna ka $U$ graafikuks on sirge, saame joonestada kaks osaliselt kattuvat täisnurkset kolmnurka ja nendest avaldada külgede suhted

\frac{16 - 7, 0}{d} = \frac{20 - 7, 0}{4, 0 - 1, 0}

mis annab $d = 2, 08 m$ . Seega on pöördepunkti asukoht

x = 4, 0 - d = 1, 9 m - ---- - - ---- -

Leidke punktmassile mõjuv jõud, kui see asub vahemikus

1, 9 m < x < 4, 0 m

Lahendus

JUHTMÕTE Jõu saab leida valemiga 8-22 ( $F (x) = - d U (x) / d x$ ). See ütleb, et ta on võrdne ja vastasmärgiline $U (x)$ graafiku tõusuga.

Arvutused: Jooniselt 8-10b näeme, et vahemikus $1, 0 m < x < 4, 0 m$ on jõu väärtus

F = - \frac{20 J - 7, 0 J}{1, 0 m - 4, 0 m} = 4, 3 N - ---- - - ---- -

Niisiis on jõu suurus $4, 3 N$ ja ta mõjub $x$ -telje positiivses suunas. Tulemus on kooskõlas faktiga, et selle jõu mõjul algselt vasakule poole liikunud punktmass peatub ning hakkab seejärel liikuma paremale.

Töö, mida teeb süsteemile mõjuv välisjõud

Eelmises, 7. peatükis defineerisime töö kui kehalt energia äraviimise või juurde toomise temale mõjuva jõu toimel. Laiendame seda definitsiooni kehade süsteemile ja lisame süsteemi kehadele mõjuva välisjõu.

Töö on süsteemile energia juurdetoomine või äraviimine süsteemile mõjuva välisjõu toimel.

JOONIS 8-11 (a) Positiivne töö $W$ tähendab suvalise süsteemi jaoks energia juurdetoomist. (b) Negatiivne töö $W$ tähendab, et energiat viiakse süsteemist ära.

Joonis 8-11a kujutab positiivset tööd (süsteem saab energiat juurde) ja joonis 8-11b negatiivset tööd (süsteemist viiakse energiat ära). Kui süsteemile mõjub rohkem kui üks välisjõud, võrdub juurde toodud või ära viidud energia hulk nende jõudude kogutööga.

Ka need üleviimised sarnanevad raha pangaarvele või sealt ära kandmisele. Kui süsteem koosneb vaid ühestainsast punktmassist või punktmassina käsitletavast kehast, nagu vaatlesime 7. peatükis, saab süsteemile mõjuva jõu töö muuta üksnes selle keha kineetilist energiat. Sellise energia ülekandmise väljenduseks on teoreem tööst ja kineetilisest energiast, valem 7-10 ( $Δ K = W$ ). See tähendab, et üksikul kehal on vaid üksainus energia-arve, mida nimetatakse kineetiliseks energiaks. Välisjõud võivad sellele arvele energiat juurde tuua või ära viia. Kui süsteem on keerulisem, võivad välisjõud muuta ka teisi energialiike (nagu seda on potentsiaalne energia) – see tähendab, et selline keerukam süsteem võib omada mitmeid energia-arveid.

Püüame nüüd leida energia avaldisi selliste süsteemide tarbeks. Vaatleme kaht põhiolukorda: üht, kus esineb hõõrdumine, ja teist, kus see puudub.

Hõõrdumine puudub

JOONIS 8-12 Keeglikuulist ja Maast koosneva süsteemi kallal tehtav positiivne töö $W$ põhjustab selle süsteemi mehaanilise energia muutuse $Δ E_{meh}$ , mis koosneb kuuli kineetilise energia muutusest $Δ K$ ja süsteemi gravitatsioonilise potentsiaalse energia muutusest $Δ U$ .

Keeglimängu viskeks valmistudes te kükitate, haarate keeglikuuli alt ning püsti tõustes tõukate kuuli kätega üles, tõstes ta umbes näo kõrgusele. Ülespoole liikumise ajal teeb teie poolt kuulile rakendatud jõud tööd, selle käigus kantakse üle energiat, aga millisele süsteemile?

Enne kui vastata, kontrollime, milline energia muutus. Üks muutusi on kineetilise energia muutus $Δ K$ ; aga kuna tõste käigus liikus kuul Maast kaugemale, pidi muutuma ka süsteemi kuul–Maa potentsiaalne energia. Seetõttu on teie poolt rakendatud välisjõu töö süsteemi suhtes

(8-25)

W = Δ K + Δ U

ehk

(välisjõu töö hõõrdumise puudumisel, 8-26)

W = Δ E_{m e h}

kus $Δ E_{m e h}$ on süsteemi mehaanilise energia muutus. Need kaks valemit, mida illustreerib joonis 8-12, väljendavad samaväärselt süsteemile mõjuva välisjõu poolt tehtavat tööd hõõrdumise puudumisel.

Hõõrdumine on olemas

JOONIS 8-13 (a) Klotsi veetakse piki põrandat jõuga $\to F$ , kusjuures liikumisele vastassuunas mõjub liikumishõõrdejõud ${\to f}_{k}$ . Klotsi kiirus alghetkel oli ${\to v}_{0}$ ja pärast nihke $\to d$ läbimist $\to v$ . (b) Jõud $\to F$ teeb süsteemi klots-põrand kallal positiivse töö $W$ , mille tulemuseks on klotsi mehaanilise energia muutus $Δ E_{meh}$ ning klotsi ja põranda soojusenergia muutus $Δ E_{soojus}$ .

Järgnevalt vaatleme joonisel 8-13a toodud näidet. Konstantne horisontaalne jõud $\to F$ tõmbab klotsi piki $x$ -telge nihke $d$ võrra, suurendades klotsi kiirust ${\to v}_{0}$ -st kuni $\to v$ -ni. Liikumise ajal mõjub klotsile põranda poolt konstantne hõõrdejõud ${\to f}_{k}$ . Esialgu valime vaadeldavaks süsteemiks klotsi ja rakendame temale Newtoni teist seadust. Paneme kirja selle seaduse $x$ -telje suunalise komponendi jaoks ( $F_{r e s, x} = m a_{x}$ ):

(8-27)

F - f_{k} = m a

Kuna mõlemad jõud on konstantsed, on ka kiirendus $\to a$ konstantne. See lubab kasutada valemit 2-16, saades

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a d

Avaldades saadud valemist $a$ ja pannes selle valemisse 8-27, saame pärast teisendusi

(8-28)

F d = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + f_{k} d

ehk, kuna klotsi jaoks $\frac{1}{2} v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = Δ K$ , siis

(8-29)

F d = Δ K + f_{k} d

Üldisemal juhul (näiteks kui klotsi tõmmatakse piki kaldpinda üles) muutub ka potentsiaalne energia. Lisades selle võimaliku muutuse valemisse 8-29, saame

(8-30)

F d = Δ E_{m e h} + f_{k} d

Katse käigus märkame, et nii klots kui ka põranda see osa, mida mööda klots libiseb, soojenevad liikumise käigus. Nagu näeme 18. peatükis, on keha temperatuur seotud tema soojusenergiaga $E_{s o o j u s}$ (see on energia, mis seostub kehas olevate aatomite ja molekulide juhuslike liikumistega). Siin suureneb klotsi ja sellega kokku puutuva põranda soojusenergia, kuna (1) nende vahel on hõõrdumine ja (2) on olemas liikumine. Meenutame, et hõõrdumine tekib kahe pinna vahelise külmkeevituse tagajärjel. Kui klots liigub piki põrandat, siis selle liikumise käigus purunevad ja taastuvad need keevitusekohad ning see muudabki pinnad soojemaks. Järelikult suurendab libisemine nende soojusenergiat $E_{s o o j u s}$ .

Katsest leiame, et soojusenergia juurdekasv $Δ E_{s o o j u s}$ on võrdne $f_{k}$ ja $d$ korrutisega:

(soojusenergia juurdekasv libisemisel, 8-31)

Δ E_{s o o j u s} = f_{k} d

Seega võime valemi 8-30 kirjutada kujul

(8-32)

F d = Δ E_{m e h} + Δ E_{s o o j u s}

$F d$ ongi töö $W$ , mida teeb väline jõud $\to F$ (ja on selle jõu poolt üle kantud energia), kuid missugune on see süsteem, kus töö tehti (ehk kus toimus energia ülekandumine)? Et leida vastust, tuleb leida, missugused energiad muutusid. Muutusid nii klotsi mehaaniline energia kui ka klotsi ja põranda soojusenergia. Järelikult tegi jõud tööd süsteemi klots-põrand kallal. See töö on

(süsteemis tehtud töö, kui hõõrdumist arvestatakse, 8-33)

W = Δ E_{m e h} + Δ E_{s o o j u s}

See valem, mida illustreerib joonis 8-13b, väljendabki süsteemi energiabilanssi juhul, kui tööd teeb väline jõud ning kui hõõrdumine on arvesse võetud.

Joonisel 8-13a kujutatud süsteemiga tehakse kolm katset, kus horisontaalselt mõjuv jõud tõukab klotsi piki põrandat, mis ei ole hõõrdevaba. Rakendatud jõu suurus

F

ja tõukamise mõju klotsi kiirusele on antud tabelis. Kõigil kolmel katsel läbib klots ühesuuruse vahemaa

d

. Järjestage need kolm katset klotsi ja põranda soojusenergia muutuse järgi vahemaa d läbimise käigus, alustades suurimast.TABEL

Näidisülesanne 8-5

JOONIS 8-14 Lihavõttesaare kivikujud (©LMR Group/Alamy Images)

Lihavõttesaare muistsed elanikud valmistasid kivimurrus sadu hiigelkujusid ning paigutasid need eri kohtadesse üle kogu saare (joonis 8-14). Palju on vaieldud selle üle, kuidas neil õnnestus vedada kujusid rohkem kui $10 k m$ kaugusele ilma masinate abita. Tõenäoliselt asetati kuju puust kelgule ning veeti seda piki ühesugustest rullikutena töötavatest palkidest rada. Selle meetodi kaasaegse rekonstruktsiooni ajal suutsid $25$ meest vedada Lihavõttesaare kuju sarnast eset massiga $9000 k g$ piki tasast maad $2$ minutiga $45$ meetri kaugusele.

Hinnake meeste summaarse jõu

\to F

poolt tehtud tööd kuju nihutamisel

45 m

võrra ja määratlege süsteem, mille kallal see jõud selle töö tegi.

Lahendus

JUHTMÕTTED (1) Tehtud töö arvutamiseks saab kasutada valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ). (2) Et määratleda süsteemi, mille kallal töö tehti, tuleb vaadata, mille energia on muutunud.

Arvutused: Me teame, et valemis 7-7 kaugus $d$ on $45 m$ , $F$ on $25$ mehe poolt kujule rakendatud summaarse jõu suurus ja $ϕ = 0^{\circ}$ . Oletame, et iga mees tõmbab jõuga, mis on võrdne mehe kahekordse kaaluga, mis on kõigi jaoks ühesuguselt $m g$ . Järelikult on meeste summaarne tõmbejõud $F = (25) (2 m g) = 50 m g$ . Võttes ühe mehe massiks $80 k g$ , saame valemist 7-7

W = F d cos ϕ = 50 m g d cos ϕ = (50) (80 k g) (9, 8 m / s^{2}) (45 m) cos 0^{\circ} = 1, 8 \times 10^{6} J \approx 2 M J

Kuna kuju liikus, pidi selle käigus kindlasti toimuma tema kineetilise energia muutus $Δ K$ . Võime ka olla kindlad, et kelgu, palkide ja maapinna vahel toimis küllalt suur liikumishõõre, mille tulemuseks oli nende soojusenergia muutus $Δ E_{s o o j u s}$ . Järelikult koosnes süsteem, mille kallal töö tehti, kujust, palkidest, kelgust ja maapinnast.

Milline oli süsteemi soojusenergia juurdekasv

Δ E_{s o o j u s}

45 m

pikkuse nihke käigus?

Lahendus

JUHTMÕTE Me võime seostada $Δ E_{s o o j u s}$ jõu $\to F$ poolt tehtava tööga $W$ , kasutades energiabilansi valemit 8-33 süsteemi jaoks, kus on olemas hõõrdumine.

W = Δ E_{m e h} + Δ E_{s o o j u s}

Arvutused: Me teame $W$ väärtust ülesande eelmisest osast (a). Kuju mehaanilise energia muutus $Δ E_{m e h}$ oli null, kuna kuju oli paigal nii enne kui pärast nihutamist ja tema kõrgus maapinna suhtes ei muutunud. Seega saame

Δ E_{s o o j u s} = W = 1, 8 \times 10^{6} J \approx 2 M J - ------------------- - - ------------------- -

Hinnake tööd, mille peaks tegema

25

meest, kui neil tuleks nihutada sama kuju piki tasast pinda

10 k m

üle kogu Lihavõttesaare. Hinnake ka kogumuutust

Δ E_{s o o j u s}

, mis leidis aset süsteemis kuju–kelk–palgid–maapind.

Lahendus

Arvutused: Töö $W$ arvutame nagu osas (a), võttes $d$ väärtuseks $1 \times 10^{4} m$ . Võttes jällegi $Δ E_{s o o j u s}$ ja $W$ võrdseks, saame

W = Δ E_{s o o j u s} = 3, 9 \times 10^{8} J \approx 400 M J - ------ - - ------ -

Energiakogus, mida kulutasid mehed kuju transportimisel, on üllatavalt suur. Sellele vaatamata võisid $25$ meest viia kuju $10 k m$ kaugusele ilma salapäraseid energiaallikaid kasutamata.

Näidisülesanne 8-6

Transporditööline veab puukasti kapsapeadega (kogumassiga $14 k g$ ) piki betoonpõrandat, rakendades konstantset horisontaalset jõudu $\to F$ suurusega $40 N$ . Sirgjoonelise nihke $0, 5 m$ jooksul kahanes kasti kiirus esialgselt $v_{0} = 0, 60 m / s$ kuni $0, 20 m / s$ .

Kui palju tööd tegi jõud

\to F

ja millise süsteemi kallal?

Lahendus

JUHTMÕTE Kuna rakendatud jõud $\to F$ on konstantne, võime arvutada selle tehtud töö, kasutades valemit 7-7 ( $W = F d cos ϕ$ ).

Arvutused: Pannes valemisse antud suurused ja arvestades, et jõud $\to F$ ja nihe $\to d$ on samasuunalised, saame

W = F d cos ϕ = (40 N) (0, 50 m) cos 0^{\circ} = 20 J - -- - - -- -

Mõttekäik: Me saame määratleda süsteemi, milles tehti töö, kui vaatame, mille energia muutub. Kuna kasti kiirus muutub, siis muutub kindlasti ka tema kineetiline energia. Aga kas on olemas ka hõõrdumine kasti ja põranda vahel, mis tooks kaasa soojusenergia muutumise? Juhime tähelepanu sellele, et jõu $\to F$ suund ühtib kasti liikumissuunaga. Järelikult kui ei oleks hõõrdumist, peaks kasti kiirus suurenema. Kuna aga kasti liikumine aeglustub, peab olema ka hõõrdumine ning koos sellega kasti ja põranda soojusenergia muutus $Δ E_{s o o j u s}$ . Järelikult on süsteemiks, mille kallal tööd tehti, süsteem kast–põrand, kuna selles toimusid mõlemad energiamuutused.

Kui suur oli põranda ja kasti soojusenergia juurdekasv

Δ E_{s o o j u s}

Lahendus

JUHTMÕTE Me seome $Δ E_{s o o j u s}$ jõu $\to F$ poolt tehtud tööga $W$ energiabilansi valemi 8-33 abil, mis kehtib hõõrdumisega süsteemide kohta:

Arvutused: Meile on punktist (a) teada töö $W$ väärtus. Kasti mehaanilise energia muutus $Δ E_{m e h}$ võrdub tema kineetilise energia muutusega, kuna potentsiaalne energia ei muutunud. Järelikult

Δ E_{m e h} = Δ K = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

Pannes selle valemisse 8-34 ning lahendades selle $Δ E_{s o o j u s}$ suhtes, saame:

Δ E_{s o o j u s} = W - (\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}) = W - \frac{1}{2} m (v^{2} - v_{0}^{2}) = 20 J - \frac{1}{2} (14 k g) [(0, 20 m / s)^{2} - (0, 60 m / s)^{2}] = 22, 2 J \approx 22 J - -- - - -- -

Energia jäävuse seadus

Oleme nüüd vaadanud erinevaid olukordi, kus energiat kantakse üle süsteemidelt ja süsteemidele üsna sarnaselt raha ülekandmisele pangaarvete vahel. Kõigis neis olukordades oleme eeldanud, et sissetoodud energia saab alati ka arvele võetud, see tähendab, et energia ei saa imekombel kaduda või välja ilmuda. Kui öelda seda ametlikumas keeles, siis me eeldasime (õigesti), et energia allub seadusele, mida nimetatakse energia jäävuse seaduseks ja mis kehtib süsteemi koguenergia $E$ kohta. Koguenergia saadakse süsteemi mehaanilise energia, soojusenergia ja viimasest erinevate siseenergia liikide summeerimisel. (Seni pole me neid teisi siseenergia liike veel käsitlenud.) See seadus ütleb, et

Süsteemi koguenergia $E$ võib muutuda üksnes süsteemile juurde antud või süsteemilt ära võetud energiakoguse võrra.

Ainus energia ülekandmise tüüp, mida oleme vaadelnud, on süsteemiga tehtud töö. Selle nurga all vaadatuna tähendab see seadus, et

(8-35)

W = Δ E = Δ E_{m e h} + Δ E_{s o o j u s} + Δ E_{s i s e}

kus $Δ E_{m e h}$ on süsteemi mehaanilise energia suvaline muutus, $Δ E_{s o o j u s}$ on süsteemi soojusenergia suvaline muutus ja $Δ E_{s i s e}$ on süsteemi siseenergia ükskõik mis muud tüüpi muutus. Mehaanilise energia muutus $Δ E_{m e h}$ sisaldab kineetilise energia muutust $Δ K$ ning potentsiaalse energia muutust $Δ U$ (mis võib olla tingitud gravitatsioonist, elastsusest või millestki muust, mida me võiks leida).

Energia jäävuse seadus ei ole midagi sellist, mida saaks tuletada füüsika alusprintsiipidest. Selle seaduse aluseks on loendamatu hulk katseid. Ei teadlased ega insenerid ole kunagi leidnud ühtki erandit selle seaduse kehtimise kohta.

Isoleeritud süsteem

Kui süsteem on ümbruskonnast isoleeritud, ei saa toimuda energia ülekandumist temasse või temast välja. Sel juhul kõlab energia jäävuse seadus nii:

Isoleeritud süsteemi koguenergia ei saa muutuda.

Süsteemi sees võib samal ajal toimuda mitmeid energia ülekandumisi – näiteks kineetilise ja potentsiaalse või siis kineetilise ja soojusenergia vahel. Selle juures ei saa kõigi energialiikide kogusumma antud süsteemi jaoks muutuda.

JOONIS 8-15 Kaljuronija peab laskumisel ära andma gravitatsiooni potentsiaalset energiat süsteemis, kuhu kuuluvad ta ise, ta varustus ja Maa. Ta on sidunud köie ümber metallrõngaste nii, et see hõõrduks vastu rõngaid. See aitab tal suurema osa ülekantavast energiast moondada köie ja rõngaste soojusenergiaks, vältides sel teel iseenda kineetilise energia suurenemist. (Tyler Stableford/The Image Bank/ Getty Images)

Me võime näitena tuua joonisel 8-8 kujutatud kaljuronija, vaadeldes teda, tema varustust ja Maad kui isoleeritud süsteemi. Kaljult laskumise ajal muudab ta süsteemi olekut ning peab suunama selle süsteemi gravitatsioonilise potentsiaalse energia muutumist. (See energia ei saa niisama kuhugi kaduda.) Osa sellest muutub tema enda kineetiliseks energiaks. Ilmselt ei soovi ta, et see osa oleks liig suur, kuna vastasel juhul hakkaks ta liikuma liiga kiiresti. Nii on ta sidunud köie ümber metallrõngaste, et suurendada laskumise ajal hõõrdumist. Kui köis libiseb läbi rõngaste, muudetakse süsteemis olev gravitatsiooni potentsiaalne energia rõngaste ja köie soojusenergiaks nii, et kaljuronija saaks seda protsessi ohjata. Süsteemi ronija–kandurid–Maa koguenergia (gravitatsiooni potentsiaalne energia, kineetiline ja soojusenergia koos võetuna) ent ei saa laskumise käigus muutuda.

Energia jäävuse seadust saab isoleeritud süsteemide jaoks kirja panna kahel viisil. Esiteks, võttes valemis 8-35 $W = 0$ , saame

(isoleeritud süsteem, 8-36)

Δ E_{m e h} + Δ E_{s o o j u s} + Δ E_{s i s e} = 0

Aga me võime ka võtta $Δ E_{m e h} = E_{m e h, 2} - E_{m e h, 1}$ , kus indeksid $1$ ja $2$ tähistavad kaht erinevat ajahetke – näiteks enne ja pärast mingi protsessi toimumist. Siis saab valem 8-36 kuju

(8-37)

E_{m e h, 2} = E_{m e h, 1} - Δ E_{s o o j u s} - Δ E_{s i s e}

Valem 8-37 ütleb, et

isoleeritud süsteemi korral saame tema koguenergia väärtuse ühel ajahetkel omistada ka suvalisele teisele hetkele ilma vahepealseid energia muutusi arvestamata.

See seadus võib osutuda heaks abivahendiks niisuguste ülesannete lahendamisel, kus on vaja võrrelda süsteemi erinevaid energialiike enne ja pärast mingi protsessi toimumist.

Punktis 8-5 käsitlesime me isoleeritud süsteemide üht erijuhtu – olukorda, kus süsteemis ei toiminud mittekonservatiivset tüüpi jõud (nagu näiteks liikumishõõre). Sellisel juhul on $Δ E_{s o o j u s}$ ja $Δ E_{s i s e}$ mõlemad nullid ja nii taandub valem 8-37 valemiks 8-18. Teiste sõnadega, süsteemi mehaaniline energia on jääv juhul, kui süsteemis ei mõju mittekonservatiivseid jõudusid.

Välisjõud ja sisemine energiaülekanne

JOONIS 8-16 (a) Kui uisutaja tõukab end piirdest eemale, mõjutab piire teda jõuga $\to F$ . (b) Kui uisutaja on piirdest eemaldunud, on tema kiirus $\to v$ . (c) Väline jõud $\to F$ mõjub uisutajale horisontaalsihiga nurga $ϕ$ all. Kui uisutaja on läbinud nihke $\to d$ , on tema kiirus suurenenud ${\to v}_{0}$ -st (= 0) kuni $\to v$ -ni jõu $\to F$ horisontaalkomponendi toimel.

Välisjõud võib muuta keha kineetilist või potentsiaalset energiat ilma selle keha kallal tööd tegemata – see tähendab, ilma kehale energiat üle kandmata. Selle asemel põhjustab see jõud keha enda energia muundumise ühest liigist teise.

Joonisel 8-16 on toodud üks näide. Paigalseisev uisutaja tõukab end piirdest eemale ja libiseb siis üle jää (joonis 8-16a ja b). Tema kineetiline energia kasvab, kuna piire mõjutab teda välise jõuga $\to F$ . See jõud aga ei vii energiat piirdelt uisutajale. Järelikult see jõud tööd ei tee. Uisutaja kineetiline energia kasvab tema lihaste biokeemilise energia muundamise tagajärjel.

JOONIS 8-17 Sõidukit kiirendatakse suunaga paremale neliveolise jõuseadme abil. Teekate mõjutab rehvide alumist pinda nelja hõõrdejõuga (millest kaks on joonisel näidatud). Koos võetuna moodustavad need autole mõjuva välise kogujõu $\to F$ .

Joonis 8-17 kujutab teist näidet. Töötav mootor suurendab neliveolise auto kiirust (mootor paneb pöörlema kõiki nelja ratast). Kiirendamise käigus sunnib mootor auto rehve tõukama tee pinda tahapoole. See tõukumine tekitab hõõrdejõu $\to f$ , mis mõjub kõigile rehvidele suunaga ettepoole. Auto kineetiline energia kasvab, kuna väline kogujõud $\to F$ , mis on võrdne kõigi nende hõõrdejõudude summaga, kiirendab auto liikumist. See jõud $\to F$ ei kanna aga energiat üle teekattelt autole ja järelikult ei tee ka auto kallal tööd. Auto kineetilise energia suurenemise põhjuseks on hoopis kütuses sisalduva energia sisemine ülekandumine.

Mõnikord nagu eeltoodud näiteis saab lihtsustavate eelduste abil siduda keha mehaanilise energia muutuse talle mõjuva välisjõuga. Vaatame näidet uisutajaga. Barjäärist lahti tõukamise ajal läbitud vahemaa $d$ jaoks (joonisel 8-16c) teeme lihtsustava oletuse, et kiirendus oli seal konstantne ja uisutaja kiirus kasvas nullist kuni väärtuseni $v$ . (See tähendab ka oletust, et temale mõjuv jõud $\to F$ oli konstantne nii suuruse $F$ kui nurga $ϕ$ poolest.) Pärast lahtitõuget lihtsustame olukorda sellega, et loeme uisutaja punktmassiks ja jätame arvestamata fakti, et tema lihaste pingutus tõi kaasa nende soojusenergia suurenemise ja muutis ka teisi füsioloogilisi parameetreid. Ainult nii saame rakendada valemit 7-5 ( $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = F_{x} d$ ) ning kirjutada

K - K_{0} = (F cos ϕ) d

ehk

(8-38)

Δ K = F d cos ϕ

Kui muutub ka keha kõrgus, lisame gravitatsiooni potentsiaalse energia $U$ ning kirjutame

(8-39)

Δ U + Δ K = F d cos ϕ

Ka siin ei tee võrrandi paremas pooles olev jõud tööd, olles sellegipoolest vajalik vasakus pooles kirja pandud energiamuutuste põhjendamisel.

Power

Nüüd, olles näinud, kuidas toimub energia muundumine ühest liigist teise, võime laiendada ka paragrahvis 7-9 toodud võimsuse mõistet. Seal defineerisime võimsuse kui kiiruse, millega jõud teeb tööd. Märksa üldisema definitsiooni saame öeldes, et võimsus on kiirus, millega jõud muundab energiat ühest liigist teise. Kui aja $Δ t$ jooksul viiakse üle energiahulk $Δ E$ , siis avaldub üleviimist teostava jõu keskmine võimsus valemiga

(8-40)

P_{k} = \frac{Δ E}{Δ t}

Samal kombel saame defineerida hetkvõimsuse

(8-41)

P = \frac{d E}{d t}

Joonisel 8-18 libiseb makaronikast massiga

2, 0 k g

piki põrandat kiirusega

v_{1} = 4, 0 m / s

. Kast põrkab vastu vedru, surub selle kokku ja peatub siis hetkeks. Vedruni jõudmiseni loetakse libisemine hõõrdevabaks, aga vedru kokkusurumise ajal mõjub kastile põranda suhtes liikumishõõrdejõud suurusega

15 N

. Millise pikkuse

d

võrra surutakse vedru kokku kasti peatumishetkeks, kui võtta vedru elastsusteguriks

k = 10000 N / m

Lahendus

JOONIS 8-18 Kast libiseb piki hõõrdevaba põrandat kiirusega ${\to v}_{1}$ , kuni kohtab vedru, mille elastsustegur on $k$ . Kui kast on jõudnud vedruni, hakkab talle mõjuma ka põranda hõõrdejõud.

JUHTMÕTTED Tuleb kontrollida kõiki jõudusid ja seejärel otsustada, kas tegu on isoleeritud süsteemiga või süsteemiga, milles teeb tööd mingi välisjõud.

Jõud: Kastile mõjuv normaaljõud tööd ei tee, kuna tema suund on alati risti kasti liikumissuunaga. Samal põhjusel ei tee tööd ka kastile mõjuv gravitatsioonijõud. Kui vedru on kokku surutud, teeb tema elastsusjõud tööd, muundades kasti kineetilist energiat elastsuse potentsiaalseks energiaks. Sama suur elastsusjõud mõjub ka seinale, mis aga jääb liikumatuks. Kasti ja põranda vahel toimiv hõõrdejõud suurendab kasti liikumise ajal nende soojusenergiat.

Süsteem: Süsteem kast–vedru–põrand koondab kõik need jõud ning energia ülekandumised ühte isoleeritud süsteemi. Kuna süsteem on isoleeritud, ei saa tema koguenergia muutuda. Seetõttu võime kasutada energia jäävuse seadust valemi 8-37 kujul:

(8-42)

Δ E_{m e h, 2} = Δ E_{m e h, 1} - Δ E_{s o o j u s}

Arvutused: Valemis 8-42 vastab indeks $1$ libiseva kasti algolekule ja indeks $2$ olekule, kus kast on hetkeks peatunud ning vedru on kokku surutud pikkuse $d$ võrra. Mõlemal juhul koosneb süsteemi mehaaniline energia kasti kineetilise energia ( $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ) ja vedru potentsiaalse energia ( $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ ) summast. Olekus $1$ on $U = 0$ (kuna vedru ei ole kokku surutud) ja kasti kiirus on $v_{1}$ . Siit saame:

Δ E_{m e h, 1} = K_{1} + U_{1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + 0

Olekus $2$ on $K = 0$ (kuna kast on peatunud) ja vedru on pikkuse $d$ võrra kokku surutud. Saame

Δ E_{m e h, 2} = K_{2} + U_{2} = 0 + \frac{1}{2} k d^{2}

Lõpuks lisame valemist 8-31 leitava soojusenergia juurdekasvu $Δ E_{s o o j u s}$ , mille leiame kasti ja põranda vahelise hõõrdejõu ja nihke korrutisena $f_{k} d$ . Valem 8-42 annab nüüd

\frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - f_{k} d

Pannes sellesse teadaolevad andmed ning rühmitades saadud avaldist, saame (SI-s)

5000 d^{2} + 15 d - 16 = 0

Lahendame ruutvõrrandi ja leiame, et

d = 0, 055 m = 5, 5 c m - ----- - - ----- -

Joonisel 8-19a on skemaatiliselt kujutatud mäenõlv ja oru põhi, mida mööda liigub kivilaviin. Kivide kogumass on

m

, varisemiskõrgus

y = H

; osa

d_{1}

läbitud vahemaast kulgeb piki nõlva kaldenurgaga

θ = 45^{\circ}

ja sellele järgnev osa

d_{2}

piki tasast orupõhja. Kui suur on laviini väljajooksu

d_{2}

suhe laskumise varisemiskõrgusesse

H

, kui võtta kivide liikumishõõrdeteguriks tõepärane

0, 60

Lahendus

JOONIS 8-19 (a) Kivilaviini laskumine mäenõlvalt ja teekond oru põhjas. Kividele mõjuvad jõud (b) mäenõlval ja (c) oru põhjas.

JUHTMÕTTED (1) Süsteemi kivid–Maa mehaaniline energia $E_{m e h}$ on kivide kineetilise energia ( $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ) ja gravitatsiooni potentsiaalse energia ( $U = m g y$ ) summa. (2) Mehaaniline energia ei ole jääv, kuna kividele mõjuv mittekonservatiivne hõõrdejõud muudab energiahulga $Δ E_{s o o j u s}$ kivide ja maapinna soojusenergiaks. (3) Muundatav energia $Δ E_{s o o j u s}$ sõltub vastavalt valemile 8-31 ( $Δ E_{s o o j u s} = f_{k} d$ ) liikumishõõrdejõust ning kivide poolt läbitud tee pikkusest. (4) Laviini tee suvalises punktis sõltub tema järelejäänud mehaaniline energia $E_{m e h, 2}$ esialgsest mehaanilisest energiast $E_{m e h, 1}$ ja soojusenergiast $Δ E_{s o o j u s}$ valemi 8-37 kohaselt ehk antud juhul $E_{m e h 2} = E_{m e h, 1} - E_{s o o j u s}$ .

Arvutused: Mehaaniline lõppenergia $E_{m e h, 2}$ võrdub mehaaniline algenergia $E_{m e h, 1}$ miinus energiakadu $Δ E_{s o o j u s}$ , mis muutus soojusenergiaks:

(8-43)

E_{m e h, 2} = E_{m e h, 1} - Δ E_{s o o j u s}

Kuna laskumise alguses oli kivide potentsiaalne energia $U = m g H$ ja kineetiline energia $K = 0$ , on mehaanilise energia algväärtuseks $E_{m e h, 1} = m g H$ . Lõpus, kui kivid on peatunud, on nende potentsiaalne energia $U = 0$ ja kineetiline energia $K = 0$ , seega on ka mehaaniline koguenergia $E_{m e h, 2} = 0$ . Soojusenergiaks muutunud energiahulk on nõlva pidi laskumisel $Δ E_{s o o j u s, 1} = f_{k 1} d_{1}$ ja piki orupõhja liikumisel $Δ E_{s o o j u s, 2} = f_{k 2} d_{2}$ . Pannes need valemisse 8-43, saame

(8-44)

0 = m g H - f_{k 1} d_{1} - f_{k 2} d_{2}

Jooniselt 8-19a näeme, et $d_{1} = H / (sin θ)$ . Liikumishõõrdejõu arvutamiseks kasutame valemit 6-2 ( $f_{k} = μ_{k} F_{N}$ ). Kuuendas peatükis nägime, et kaldpinna normaaljõud nullib gravitatsioonijõu komponendi $m g cos θ$ , mis on pinnaga risti (joonis 8-19b). Viiendast peatükist teame, et horisontaalsel pinnal on normaaljõud võrdne kogu gravitatsioonijõuga $m g$ (joonis 8-19c). Pannes kõik need avaldised valemisse 8-44 ja avaldades sellest $d_{2} / H$ , leiame

0 = m g H - μ_{k} (m g cos θ) \frac{H}{sin θ} - μ_{k} m g d_{2}

ning

(8-45)

\frac{d_{2}}{H} = (\frac{1}{μ_{k}} - \frac{1}{tan θ})

Võttes $μ = 0, 60$ ja $θ = 45^{\circ}$ , saame

\frac{d_{2}}{H} = 0, 67 - --- - - --- -

Kommentaar: Saadud tulemus on tõepärane väikeste laviinide korral. Suurte puhul võib suhe $d_{2} / H$ olla isegi $20$ . Kui panna see valemisse 8-45 ja leida siis liikumishõõrdetegur, saame, et $μ_{k} = 0, 05$ . Uurijate jaoks on arusaamatu, kuidas võib tohutu hulk sakilisi uperpallitavaid kive omada hõõrdetegurit, mis oma väiksuse poolest on võrreldav üsna libeda jääga. Üks perspektiivikamaid seletusi ütleb, et laviini massiivsem osa hõljub väikestest üles-alla võnkuvatest osakestest koosneval kihil ega puutugi maapinda enne, kui laviin peatub.

Joonisel 8-20a on klots massiga

20 k g

lähenemas vabas olekus vedrule. Vedru kokkusurumise ajal mõjub klotsile ka klotsi ja põranda vaheline liikumishõõrdejõud. Graafikud joonisel 8-20b kujutavad klotsi kineetilise energia

K (x)

ja vedru elastse potentsiaalse energia

U (x)

sõltuvust klotsi asukohast

x

vedru kokkusurumise ajal. Milline oli klotsi ja põranda vaheline liikumishõõrdetegur?

Lahendus

JOONIS 8-20 (a) Klots enne põrkumist vedruga. (b) Klotsi kineetilise energia $K$ ja potentsiaalse energia $U$ muutumine vedru kokkusurumise ajal kuni klotsi peatumiseni.

JUHTMÕTTED (1) Vedru kokkusurumise käigus ei ole süsteemi mehaaniline energia $E_{m e h}$ ( $= K + U$ ) jääv, kuna klotsile mõjub mittekonservatiivne hõõrdejõud, mis muudab energiahulga $Δ E_{s o o j u s}$ klotsi ja põranda soojusenergiaks. (2) Äraviidud energia $Δ E_{s o o j u s}$ sõltub hõõrdejõu suurusest ja läbitud tee pikkusest vastavalt valemile 8-31 ( $Δ E_{s o o j u s} = f_{k} d$ ). (3) Vedru kokkusurumise ajal on mehaaniline koguenergia klotsi mistahes asukoha jaoks ( $E_{m e h, 2}$ ) arvutatav mehaanilisest energiast algasendis ( $E_{m e h, 1}$ ) ja soojuseks muudetud energiahulgast ( $Δ E_{s o o j u s}$ ) valemiga 8-37 – ehk käesoleval juhul $Δ E_{m e h, 2} = Δ E_{m e h, 1} - Δ E_{s o o j u s}$ .

Kuidas leida $Δ E_{s o o j u s}$ ? Jooniselt 8-20b näeme, et kui klots asub punktis $x = 0$ ja vedru pole veel kokku suruma hakatud, on klotsi kineetiline energia $K = 30 J$ ning vedru potentsiaalne energia $U = 0$ . Seega on $K$ ja $U$ summa

Δ E_{m e h, 1} = 30 J

Vedru on maksimaalselt kokku surutud hetkel, kui klots peatub – see tähendab, tema kineetiline energia on vähenenud nullini. Graafikult loeme, et see juhtub punktis $x \approx 0, 215 m$ , kus $K = 0$ ja $U = 14 J$ . Seega on peatumispunktis $K$ ja $U$ summa

Δ E_{m e h, 2} = 14 J

Et leida soojuseks muutunud energia hulka, tuleb kirjutada valem $Δ E_{m e h, 2} = Δ E_{m e h, 1} - Δ E_{s o o j u s}$ :

14 J = 30 J - Δ E_{m e h, 2} = Δ E_{s o o j u s}

Δ E_{s o o j u s} = 16 J

Kuidas leida $μ_{k}$ ? Valemist 6-2 teame, et liikumishõõrdejõud avaldub $f_{k} = μ_{k} F_{N}$ , kus normaaljõud leitakse valemiga 5-14 ( $F_{N} = m g$ ). Siin muudab hõõrdejõud $f_{k}$ teepikkusel $0, 215 m$ soojuseks energiahulga $Δ E_{s o o j u s} = f_{k} d$ . Kui need kaks valemit kokku panna, saame

Δ E_{s o o j u s} = f_{k} d = μ_{k} F_{N} d = μ_{k} m g d

Asendades siia algandmed $Δ E_{s o o j u s} = 16 J$ , $m = 20 k g$ , $g = 9, 8 m / s^{2}$ ja $d = 0, 215 m$ , leiame, et

μ_{k} = 0, 38 - --- - - --- -

Summary

Jõud on konservatiivne jõud siis, kui tema kogutöö punktmassi liikumisel piki suletud teekonda lähtepunktist tagasi samasse punkti on null. Samuti võib öelda, et jõud on konservatiivne siis, kui tema töö punktmassi liikumi

Potentsiaalne energia on selline energia, mis seostub kehade vastastikuse asendiga süsteemis, milles mõjuvad konservatiivsed jõud. Kui punktmassile mõjuv konservatiivne jõud teeb süsteemis töö $W$ , siis süsteemi potent

Potentsiaalne energia, mis on seotud Maast ja selle lähedal asuvast punktmassist koosneva süsteemiga, on gravitatsiooni potentsiaalne energia. Kui punktmass liigub kõrguselt $y_{i}$ kõrgusele $y_{f}$ , siis süsteemi punktmass–Maa gravitatsiooni poten

Elastsuse potentsiaalne energia on seotud elastse keha kokkusurumise või väljavenitamisega. Sellise vedru korral, kus see kutsub esile elastsusjõu $F = - k x$ ( $x$ märgib vedru vaba otsa nihet tasakaaluasendi suhtes), on sellele vastav deformatsiooni potents

Süsteemi mehaaniline energia $E_{meh}$ on tema kineetilise energia $K$ ja potentsiaalse energia $U$ summa:

E_{meh} = K + U

Kui süsteemile ei mõju energia muutumisega seotud välisjõudusid, on tegu isoleeritud süsteemiga. Kui

Kui me teame potentsiaalse energia funktsiooni $U (x)$ süsteemi jaoks, kus punktmassile mõjub ühemõõtmeline jõud $F (x)$ , siis saame jõu leida valemist

F (x) = - \frac{d U (x)}{d x}

Kui $U (x)$ on esitatud graafiliselt, siis on jõud $F (x)$ iga $x$

Töö $W$ väljendab süsteemile energia juurde toomist või ära viimist süsteemile mõjuva välisjõu toimel. Kui süsteemile mõjub rohkem kui üks välisjõud, on üleviidud energia võrdne nende kogutö&

Energia jäävuse seadus

Süsteemi koguenergia $E$ (tema mehaanilise energia ning siseenergiate, mille hulka kuulub ka soojusenergia, summa) võib muutuda vaid nii palju, kui palju energiat väljastpoolt juurde tuuakse või ära viiakse. Seda katsetest leitud tõsiasja tunta

Power

Jõu poolt arendatav võimsus on kiirus, millega jõud kannab üle energiat. Kui ajavahemiku $Δ t$ jooksul viiakse üle energiakogus $Δ E$ , siis keskmine võimsus
$P_{k} = \frac{Δ E}{Δ t}$
Jõu poolt arendatav hetkvõimsus

Küsimused

Joonisel 8-21 on kujutatud üks otsetee ja neli mitteotsest teed punktist $i$ punkti $f$ . Mööda otsest ja piki kolme teist teed liikumise ajal mõjub kehale ainult konservatiivne jõud $F_{kons}$ . Neljandat teed pidi liikudes mõjub kehale nii $F_{kons}$ kui ka mittekonservatiivne jõud $F_{mkons}$ . Mehaanilise energia muutus $Δ E_{meh}$ (džaulides) üleminekul punktist $i$ punkti $f$ on märgitud iga sirgjoonelise teelõigu juurde. Kui suur on (a) $Δ E_{meh}$ piki otseteed minekul ja (b) jõu $F_{mkons}$ poolt põhjustatud $E_{meh}$ muutus teel, kus see jõud mõjub?

Answer

Joonisel 8-22 lastakse väike algselt paigalseisev klots alla piki hõõrdevaba kaldteed $3, 0 m$ kõrguselt. Klotsi teele jääb neli ühesuguste ümarate tippudega mäge, klots ei saa ühegi mäe otsast minema lennata. (a) Milline on esimene mägi, mida klots ei suuda ületada? (b) Mis juhtub klotsiga pärast seda, kui mäe ületamine ebaõnnestub? Millise mäe tipus on klotsil (c) suurim kesktõmbekiirendus ja (d) kõige väiksem normaaljõud?

Answer

Joonisel 8-23 saab horisontaalselt liikuv klots minna kolmele hõõrdevabale teele, mis erinevad ainult kõrguse poolest, et jõuda kriipsjoonega märgitud lõpujoonele. Järjestage need teed (a) klotsi kiiruse järgi lõpujoonel ja (b) lõpujooneni jõudmiseks kulunud aja järgi, alustades suurimast.

Answer

Joonisel 8-24 on kujutatud punktmassi potentsiaalse energia graafik. (a) Järjestage lõigud $A B$ , $B C$ , $C D$ ja $D E$ punktmassile mõjuva jõu järgi, alustades suurimast. Milline on punktmassi suurim lubatud mehaaniline energia $E_{meh}$ , kui ta on (b) sunnitud jääma vasakpoolsesse potentsiaaliauku, (c) sunnitud jääma parempoolsesse potentsiaaliauku ja (d) võimeline liikuma kahe potentsiaaliaugu vahel, kuid mitte punktist $H$ paremale poole? Millisel kolmest lõigust $B C$ , $D E$ ja $F G$ on punktmassil variandi (d) puhul (e) suurim kineetiline energia ja (f) kõige väiksem kiirus?

Answer

Joonisel 8-25 kujutatakse kolme olukorda, kus klots libiseb piki tasapinda, mis ei ole hõõrdevaba. Klots alustab kõigil kolmel juhul liikumist noolega näidatud suunas ja liigub seni, kuni hõõrdejõud ta peatab. Järjestage olukorrad soojusenergia juurdekasvu järgi libisemise vältel, alustades suurimast.

Answer

Joonisel 8-26a tõmbate te nööri, mis on kinnitatud vertikaalsel vardal liikuva silindri külge. Kuna silinder on tihedalt ümber varda, liigub ta küllalt suure hõõrdumisega. Olgu teie poolt süsteemi silinder–varras–Maa kallal tehtud töö $W = + 100 J$ . Süsteemi „energiabilanss” on näidatud joonisel 8-26c: kineetiline energia $K$ kasvas $50 J$ võrra, gravitatsiooni potentsiaalne energia $U_{g}$ kasvas $20 J$ võrra. Süsteemis muutub veel ka soojusenergia $E_{soojus}$ . Milline on see muutus $Δ E_{soojus}$ ?

Answer

Joonisel 8-27 kujutatud seadeldis on sarnane küsimuses nr 6 vaadelduga. Siin te tõmbate tihedalt vardal liikuva silindri külge kinnitatud nööri allapoole. Ajal, kui silinder allapoole laskub, tõmbab ta üle ploki viidud teise nööri abil laborilaual libisevat klotsi. Võtame jällegi süsteemiks silinder–varras–Maa, nagu on kujutatud joonisel 8-26b. Teie töö süsteemi kallal on nüüd $200 J$ . Klotsi nihutamisel teeb süsteem töö $60 J$ . Süsteemi sees kasvab kineetiline energia $130 J$ võrra ning gravitatsiooni potentsiaalne energia väheneb $20 J$ võrra. (a) Joonistage süsteemi „energiabilanss” nii nagu joonisel 8-26c. (b) Milline on süsteemi soojusenergia muutus?

Answer

Joonisel 8-28 libiseb klots piki teed, mille langus on h. Kuni alumise osani on tee hõõrdevaba. Seal libiseb klots teepikkuse $D$ , kuni jääb seisma hõõrdumise tõttu. (a) Kui vähendada kõrgust $h$ , kas klotsi pidurdumisel läbitud tee on pikem, lühem või võrdne esialgsega ( $D$ )? (b) Kui klotsi massi suurendada, kas enne peatumist läbitud hõõrdumisega tee on pikem, lühem või võrdne esialgsega?

Answer

Joonisel 8-29 libiseb klots punktist $A$ punktini $B$ piki hõõrdevaba teed ja läbib siis lõigu $C D$ , kus talle mõjub hõõrdejõud. Kas klotsi kineetiline energia kasvab, kahaneb või jääb samaks (a) lõigul $A B$ , (b) lõigul $B C$ ja (c) lõigul $C D$ ? (d) Kas klotsi mehaaniline energia kasvab, kahaneb või jääb nende lõikude läbimisel samaks?

Answer

Punkt 8-4 Potentsiaalse energia väärtuse leidmine

Punkt 8-5 Mehaanilise energia jäävuse seadus

Punkt 8-6 Mida näitab potentsiaalse energia graafik

Punkt 8-7 Töö, mida teeb süsteemile mõjuv välisjõud

Punkt 8-8 Energia jäävuse seadus

Additional tasks

Ülesanded

KONTROLLKÜSIMUS 1

Näidisülesanne 8-1

KONTROLLKÜSIMUS 2

Juhis 1: Mõiste „potentsiaalne energia” kasutamine.

(a)

(b)

KONTROLLKÜSIMUS 3

Näidisülesanne 8-3 Arenda oma oskusi

Juhis 2: Mehaanilise energia jäävuse seadus.

KONTROLLKÜSIMUS 4

(a)

(b)

(c)

KONTROLLKÜSIMUS 5

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

Isoleeritud süsteemi koguenergia jäävus

Näidisülesanne 8-7

Näidisülesanne 8-8

Näidisülesanne 8-9

Konservatiivsed jõud

Potential energy

Gravitatsiooni potentsiaalne energia

Elastsuse potentsiaalne energia

Mechanical energy

Potentsiaalse energia graafik

Töö, mida teeb süsteemile mõjuv välisjõud

Energia jäävuse seadus

Power