Einsteini relatiivsusteooria avas meie ees maailma, mis erineb suuresti meie tavakogemusest, selliste objektide maailma, mis liiguvad valguse kiirusele lähedaste kiirustega. Muuhulgas andis Einsteini teooria üllatava järelduse: kella käigutempo sõltub sellest, kui kiiresti kell vaatleja suhtes liigub. Mida kiirem on see liikumine, seda aeglasemalt kell käib. See ja teised järeldused relatiivsusteooriast on edukalt läbi teinud kõik senini sooritatud katsekontrollid. Einsteini teooria on loonud aluse aja ja ruumi loomuse sügavamaks ning rahuldavamaks mõistmiseks.

Nüüd seisab meil ees tutvumine ühe teise argikogemusest kauge maailmaga – elementaarosakeste maailmaga. Kohtume uue üllatuste kogumiga. Need võivad tunduda üsna veidratena, kuid need on juhtinud füüsikuid samm-sammult tegelikkuse süvamõistmisele.

Seda uut valdkonda meie ees nimetatakse kvantmehaanikaks. See vastab väga mitmesugustele küsimustele. Miks tähed säravad? Miks järjestuvad elemendid perioodilisussüsteemis nii korrapäraselt? Kuidas toimivad transistorid ja teised mikroelektroonika seadmed? Mispärast juhib vask elektrivoolu, kuid klaas ei juhi? Kvantmehaanika annab seletuse kogu keemiale, sealhulgas ka biokeemiale. Sestap, kui tahame mõista elu olemust, peame sellest jagu saama.

Mõned kvantmehaanika järeldused näivad kummalistena isegi füüsikutele ja filosoofidele, kes püüavad tungida selle alusteni. Ometigi on seegi teooria leidnud kinnitust kõigist katsetest ja neid on tehtud palju ning mitmekesiseid. Pole veel juhtunud, et mõni kvantmehaanika väide oleks vääraks osutunud. Uued katsed on paljastanud üha uusi veidrusi. Kvantmaailm on otsekui lõbustuspark, mille atraktsioonid kõigutavad juba lapsepõlves kujunema hakanud „terve mõistuse” poolt pakutavat maailmapilti. Alustame tutvumist selle kvantpargiga footonist.

Kvantfüüsikas (tuntud ka kvantmehaanika ja kvantteooria nime all) uuritakse mikromaailma1. Mikromaailmas esinevad paljud suurused üksnes teatavate minimaalsete (elementaarsete) hulkadena või siis nende täisarvuliste kordsetena. Öeldakse, et need suurused on kvantiseeritud ehk kvanditud. Elementaarhulka nimetatakse kvandiks.

Võrdlus argielust: võib öelda, et raha on kvanditud, sest väikseim rahaühik on sent ehk $0,01$ eurot. Kõik hinnad ja arved, aga ka kõigi teiste müntide ja kupüüride väärtused on sendi täisarvulised kordsed. Teisisõnu, kõikide suuremate müntide ja rahatähtede väärtuse saab avaldada kujul $n\times (0,01€)$, kus $n$ on positiivne täisarv. Nii näiteks ei saa väljastada sularaha summat $0,755€=75,5\times (0,01€)$.

Aastal 1905 väitis Einstein, et elektromagnetlainetus (sh valgus) on kvanditud ja esineb üksnes kvantidena - energiaterakestena, mida tänapäeval nimetatakse footoniteks. Väide võib tunduda veidrana, sest eespool on näidatud klassikalise füüsika taustal, et valgus on siinuslaine lainepikkusega $\lambda$, sagedusega $f$ ja kiirusega $c$, mis on seotud valemiga

Peatükis 33 kirjeldasime klassikalist valguslainet kui omavahel seostatud elektrija magnetväljade ühendust, milledest kumbki võngub sagedusega $f$. Kuidas on võimalik, et see võnkuvate väljade laine koosneb millegi elementaarüksustest, valguskvantidest? Mis asi on footon?

Valguskvantide ehk footonite kontseptsioon on veel kaugelt rafineeritum ja salapärasem kui Einsteingi suutis kujutleda. Siiamaani on see üsna vaevaliselt mõistetud. Selles raamatus käsitleme vaid footoni mõiste mõningaid põhilisi aspekte, järgides Einsteini väiteid.

Einsteini järgi edastatakse energiat üksikfootonite kaupa. Footoni energia $E$ on võrdeline valguslaine sagedusega $f$:

Täht $h$ tähistab valemis Plancki konstanti, mille väärtus on

Väikseim energiahulk, mida valguslaine sagedusega $f$ saab omada, on $hf$ - üheainsa footoni energia. Kui laines sisaldub rohkem energiat, saab see energiahulk olla vaid suuruse $hf$ täisarvuline kordne, nõndasamuti kui rahahulk meie äsjases võrdluses saab olla üksnes $0,01$ euro kordne. Valguslainel ei saa olla näiteks energiat $0,6hf$ või $75,5hf$.

Edasi oletas Einstein, et kui mingi objekt (keha) kiirgab või neelab valgust, siis toimub see kiirgamis- või neelamisakt keha üksikaatomeis. Neeldumisel teisaldub footoni energia $hf$ aatomisse. Neeldumisaktis kaob footon: aatom omastab selle. Ja ka vastupidi, kui aatom kiirgab footoni, läheb energiahulk $hf$ aatomilt valguslainesse sagedusega $f$. Kiirgusaktis ilmub järsku footon: aatom kiirgab selle. Niisiis, aatomid võivad footoneid niihästi kiirata kui ka neelata.

Kui kehas on aatomeid palju, võib nii neeldumisakte kui ka kiirgusakte toimuda hulgi (nagu valguse neeldumine päikeseprillides, või siis selle kiirgumine lampides). Kuid igal üksikul neeldumis- või kiirgusaktil on tegemist üksiku footoniga.

Käsitledes valguse neeldumist või kiirgumist eelnenud peatükkides, oli meil tegemist nii suurte valgushulkadega, et polnud vajadust rakendada kvantfüüsikat, piisas klassikalisest käsitlusest. Kuid 20. sajandi lõpupoole oli tehnika arenenud niikaugele, et sai sooritada katseid üksikute footonitega ja üksikfootonitega toimuvaid protsesse ka tehnikas rakendada. Kvantfüüsika sai osaks inseneri tavavarustusest, seda eriti optikaseadmete loomisel.

Kui suunata küllalt lühilaineline valgusvihk puhtale metallpinnale, paiskab valgus sellest elektrone välja. See on fotoelektriline efekt, lühidalt fotoefekt, mida rakendatakse paljudes seadmetes: TV-kaamerates, videokaamerates, öise nägemise seadmetes. See nähtus jääb klassikalise füüsika raames seletamatuks. Einstein andis sellele seletuse oma footonite kontseptsiooni näol, saades sedakaudu ühtlasi tuge oma väidetele. Kvantfüüsikat rakendamata oleks see nähtus seletamatuks jäänud.

Analüüsime kahte katset fotoefekti kohta. Mõlemas kasutatakse joonisel 38-1 näidatud seadet. Selles langeb valgus sagedusega $f$ märklauale (fotokatoodile) $T$, lüües sellest elektrone välja. Fotokatoodi $T$ ja kollektori $C$ vahele on rakendatud pinge $V$, mis kogub need elektronid, fotoelektronid, kokku. Seeläbi tekib fotovool $i$, mida mõõdab mikroampermeeter $A$.

Esimene fotoefekti katse

Sätime liugkontakti (joonis 38-1) abil potentsiaalide vahe $V$ selliseks, et kollektor $C$ on fotokatoodi $T$ suhtes negatiivne. See potentsiaalivahe pidurdab väljapaiskunud elektrone. Edasi muudame pinget $V$ seni, kui fotovool $i$ langeb nullini. Oleme jõudnud tõkestuspotentsiaalini $V_{stop}$. Siis on ka suurima energiaga elektronid sunnitud enne kollektorile jõudmist tagasi pöörduma. Selliste tippenergiaga elektronide kineetiline energia on

(38-4)

$K_{max}=e{V}_{stop}$

kus $e$ tähistab elementaarlaengut.

Mõõtmistest selgub, et fikseeritud sagedusega valguse puhul ei sõltu $K_{max}$ valguse intensiivsusest. Olgu valgusallikas pimestav hele või vaevumärgatav või midagi vahepealset, väljapaisatud elektronide kineetiline energia on ikka sama suur.

Klassikalise füüsika jaoks on see mõistatus. Käsitades fotokatoodile langevat valgust elektromagnetlainena, kujutleme, et elektron peaks metallis valguse vahelduvas elektriväljas edasi-tagasi võnkuma. Lõppude lõpuks võib elektron koguda küllalt energiat, et fotokatoodist välja murda. Suurendades valguse intensiivsust, suureneb ka elektrivälja amplituud. Näib mõistlik arvata, et tugevam väli annab elektronile tugevama tõuke. Kuid seda ei juhtu. Kindlal sagedusel annavad nii nõrgad kui ka tugevad valgusvihud lahkuvatele elektronidele ikka samasuure maksimaalse tõuke.

Kuid kui silme ette manada footonite pilt, on asi pikemata selge. Elektron saab omandada üksnes üksikfootoni energiaga võrdse tippenergia. Tõstes valguse intensiisvsust, kasvab katoodi pinnale langevate footonite hulk, ei muutu aga üksikfootoni energia $hf$, sest sagedus $f$ jääb muutmatuks. Nõnda siis ei kasva ka üksikelektronile antud maksimaalne kineetiline energia.

Teine fotoefekti katse

Varieerime nüüd valguse sagedust $f$ ja jälgime, kuidas muutub seejuures tõkestuspotentsiaal $V_{stop}$. Viimase sõltuvust sagedusest $f$ kujutab graafik joonisel 38-2. Paneme tähele, et fotoefekti ei teki, kui sagedus on väiksem lävisagedusest $f_0$ või kui lainepikkus on suurem piirlainepikkusest ${\lambda }_0=c/f_0$. See on nii igasuguste valguse intensiivsuste juures.

Klassikalise füüsika seisukohalt on see jällegi mõistatus. Käsitades valgust elektromagnetlainena, peaks olema nii, et olgu sagedus kui madal tahes, elektrone saab ikka väljutada, kui anda neile piisavalt heleda valgusallikaga küllaldaselt energiat. Ometi pole see nii. Kui sagedus ei ületa teatavat alampiiri, siis fotoefekti ei teki, olgu valgusallikas kui tahes ere.

Kui aga energiat annavad footonid, on loomulik oodata lävisageduse olemasolu. Elektrone hoiavad fotokatoodis elektrijõud. (Muidu nõrguksid elektronid gravitatsiooni mõjul fotokatoodist välja.) Et katoodist pageda, peab elektron omandama teatava miinimumenergia $\Phi$. See on fotokatoodi materjali iseloomustav suurus: väljumistöö. Kui footonilt saadud energiakvant $hf$ ületab katoodi materjali väljumistöö, s.t $hf>\Phi$, pääseb elektron läbi pinna välja; vastasel korral, kui $hf<\Phi$, mitte. Seda näitabki joonis 38-2.

KONTROLLKÜSIMUS 2

Alloleval joonisel on toodud joonise 38-2 graaafikuga sarnased graafikud tseesiumi, naatriumi, kaaliumi ja liitiumi jaoks. (a) Järjesta metallid nende väljumistöö järgi, alates suurimast. (b) Järjesta graafikud h väärtuse järgi, mis nendest saab määrata, alates suurimast.

Aastal 1916 avardas Einstein footonite kontseptsiooni, väites, et footonid ei anna üle üksnes energiat, vaid ka impulssi ehk liikumishulka. Impulssigi antakse üle diskreetsete portsjonitena üksikpunktidesse, mitte laiadele aladele.

Sagedusega $f$ võnkuva laine footoni impulss

Siin oleme asendanud sageduse $f$ valemist 38-1 ($f=c/\lambda$). Nõnda siis, footoni vastastikmõjul ainega edastatakse niihästi energiat kui ka impulssi, justkui toimuks footoni klassikaline põrge ainega (nagu 9. peatükis). Valem 38-2 ($E=hf=hc/\lambda$) ning avaldis 38-7 näitavad, et näiteks röntgenikiirte kimbus ($\lambda \approx 50pm$) levivate footonite energia ja impulss on palju suuremad kui nähtava valguse omad ($\lambda \approx 500nm=5\times {10}^{5}pm$).

Mõned aastad hiljem (1923) sooritas Arthur Compton Washingtoni ülikoolis St. Louis’s katse, mis näitas veenvalt, et footonid edastavad niihästi energiat kui ka impulssi. Tema katseseadme skeem on toodud joonisel 38-3. Ta suunas röntgenkiirte (lainepikkusega $\lambda$) kimbu grafiitmärklauale ja mõõtis eri nurkade all hajuvate röntgenkiirte lainepikkust ja intensiivsust.

Tulemused on esitatud joonisel 38-4. Kuigi langev röntgenkiirte kimp sisaldas ainsat lainepikkust ($\lambda =71,1pm$), näeme, et hajutatud kiired katavad terve lainepikkuste vahemiku, milles on kaks selget intensiivsuse maksimumi. Üks neist keskendub langeva kiirguse lainepikkusele $\lambda$, teine asub lainepikkusel $\lambda \text{'}$, mis ületab lainepikkust $\lambda$ suuruse $\Delta \lambda$ võrra. Viimast nimetatakse Comptoni nihkeks; see on erinevatel hajumisnurkadel erinev.

Joonis 38-4 jääb klassikalises füüsikas taas mõistatuseks. Kui röntgenkiirte kimp oleks pelgalt elektromagnetlaine, võnguks elektron grafiitmärklauas laine elektrivälja ajel edasi-tagasi. Võnkumine toimuks laine sagedusel ja elektron kiirgaks tagasi lainet samal sagedusel, otsekui pisike raadiojaam. Hajutatud röntgenkiirtel peaks olema langevate kiirtega ühesugune sagedus ja lainepikkus. Ometi see nii ei ole.

Compton leidis oma katsetele seletuse, käsitledes energia- ja impulsivahetust röntgenkimbu footonite ja märklauas lõdvalt seotud elektronide vahel. Vaatame, kuidas see kvantmehaanikaline käsitus seletab Comptoni tulemusi.

Mõjutagu ainus footon (energiaga $E=hf$) märklauas paigal püsivat elektroni. Siis muutub röntgenkiire suund (see hajub) ja elektron saab tõuke ning omandab kineetilise energia. Energia jäävuse tõttu peab siis hajunud footoni energia $E\text{'}=hf\text{'}$ olema langenud footoni energiast ($E\text{'}<E$) väiksem, sest osa footoni energiast omandas elektron. Järelikult peab hajunud kiirtes olema sagedus väiksem ($f\text{'}<f$) ja lainepikkus suurem ($\lambda \text{'}>\lambda$) kui langevates kiirtes, mida just näitavadki Comptoni graafikud joonisel 38-4.

Asjaloo kvantitatiivseks käsitluseks lähtume energia jäävuse printsiibist. Joonisel 38-5 on visandatud röntgenkiire põrkumine paigaloleva elektroniga. Põrke järel eemaldub põrkepunktist nurga $\varphi$ all röntgenikiir lainepikkusega $\lambda \text{'}$ ja elektron eemaldub suunas, mis on hälbinud pealelangenud röntgenikiire suunast nurga $\theta$ all.

Energia jäävusest järeldub, et

kus $hf$ on langeva ja $hf\text{'}$ hajutatud footoni energia ja $K$ on hälbinud elektroni kineetiline energia. Kuna elektroni hälbimiskiirus võib olla lähedane valguse kiirusele, tuleb rakendada kineetilise energia relativistlikku valemit 37-52:

Siin $m$ on elektroni mass ja $\gamma$ Lorentzi tegur

Asetades $K$ relativistliku avaldise energia jäävuse võrrandisse, saame

Siit, kuna $f=c/\lambda$ ja $f\text{'}=c/\lambda \text{'}$, leiame

Jääb veel üle rakendada impulsi jäävuse seadust röntgenkiirte ja elektroni põrkele (joonis 38-5). Footoni impulssi väljendab valem 38-7 ($p=h/\lambda$) ja hälbinud elektroni oma avaldis 37-41 ($p=\gamma mv$). Kirjutame eraldi võrrandid impulsi $x$- ja $y$-suunalise komponendi jaoks:

Tuleb leida hajutatud röntgenikiirte Comptoni nihe $\Delta \lambda$ ($=\lambda \text{'}–\lambda$). Elimineerime võrrandeis esinevaist muuutujaist ($\lambda ,\lambda \text{'},v,\varphi$ ja $\theta$) $v$ ja $\theta$, mis iseloomustavad põrkuvat elektroni. Tehes läbi pisut tülikad teisendused, saame Comptoni nihke sõltuvuse hajumisnurgast $\varphi$:

Konstantne suurus $h/mc$ kannab Comptoni lainepikkuse nime. Avaldis 38-11 on heas kooskõlas Comptoni katsetulemustega. Comptoni lainepikkus sõltub röntgenkiiri hajutava osakese massist $m$. Meie juhul on hajutajaks lõdvalt seotud elektron. Selle massi peamegi asetama valemisse, et arvutada Comptoni lainepikkust Comptoni hajumisel elektronilt.

Näib mõistmatu, kuidas valgus saab olla ühtaegu laine ja osakeste – footonite – voog nende tekke- ja neeldumisaktides. Saame sellest mõningat aimu, kui pöördume taas punktis 35-4 kirjeldatud kaksikpilu interferentsikatse juurde. Käsitleme selle olulise katse kolme varianti.

Tavavariant

Joonis 38-6 meenutab Thomas Youngi katset, mille ta sooritas aastal 1801 ja mis on visandatud joonisel 35-8. Valgus langeb sirmile $B$, milles on kaks kitsast paralleelset pilu. Mõlemast pilust väljuvad difrageeruvad valguslained, mis sirmile $C$ jõudes interfereeruvad ja vahelduvate intensiivsuse maksimumide ja miinimumide pildi moodustavad. Lõigus 35-4 tõlgendasime neid interferentsiribasid kui valguse laineloomuse tõestust.

Viime pisikese footonite detektori $D$, näiteks fotoelemendi, sirmi $C$ mingisse punkti. Detektor klõksatab, kui neelab footoni. Kuuleme terve rea ajas juhuslikult jaotunud klõksatusi. Iga klõksatus annab märku energia ülekandest valguslainelt sirmile üksikfootonite kaupa.

Kui nihutame detektorit aegamisi ülespoole (vt joonis 38-6), siis märkame et klõksude sagedus vaheldumisi kasvab ja kahaneb, läbides maksimume, mis vastavad interferentsitriipudele.

Selle kujuteldava katse tuum seisneb järgmises: ei ole võimalik ennustada, millal detektor registreerib footonit mingis sirmi $C$ etteantud punktis. Footonid ilmnevad igas punktis juhuslike ajavahemike järel. Kuid kindel on see, et suhteline tõenäosus footoni tuvastamiseks suvalises punktis etteantud ajavahemikus on võrdeline langeva valguse intensiivsusega selles punktis.

Punktis 33-5 (valem 33-26, $I=E_{rk}^2/c{\mu }_0$) nägime, et valguse intensiivsus $I$ valguslaine igas punktis on võrdeline elektrivälja vektori amplituudi $E_m$ ruuduga selles punktis. Seega jõuame järgmise väiteni:

tõenäosus ajaühiku kohta footoni detekteerimiseks väikeses ruumalas, mille kese on valguslaine etteantud punktis, on võrdeline laine elektrivektori ruuduga selles punktis.

Oleme saanud valguse uurimiseks uue vaatepunkti: valguslaine tõenäosusliku kirjelduse. Valguslaine pole üksnes elektromagnetlaine, vaid ka tõenäosuslaine. Teisisõnu, valguslaine igale punktile saab omistada tõenäosuse – arvu, mis võrdub väikeses ruumalas selle punkti ümber ajaühikus detekteeritud footonite arvu suhtega footonite koguarvu (ajaühikus).

Üksikfootonite katse lainurkvariant

Varemalt püüdsid füüsikud seletada üksikfootonitega tehtud kaksikpilu interferentsikatset klassikaliste valguslainete väikeste pakettide kaudu, mis ühekaupa sirmi poole suunduvad. Neid pisipakette tõlgendasid nad footonitena. Uuemad katsed välistasid sellise seletuse. Joonisel 38-7 on toodud kaksikpilu katse erinev variant. Katse sooritasid Ming Lai ja Jean-Claude Diels 1992. aastal New Mexico ülikoolis. Allikas $S$ sisaldab molekule, mis kiirgavad küllalt suurte ajavahemike järel üksikfootoneid. Peeglid $M_1$ ja $M_2$ peegeldavad valgust, mida allikas kiirgab kahes suunas $1$ ja $2$. Suunad $1$ ja $2$ on omavahel eraldatud nurgaga $\theta$, mis on peaaegu ${180}^{\circ }$, erinevalt tavapärasest kaksikpilukatsest, kus see nurk on väga väike.

Suundades $1$ ja $2$ levivad kiired kohtuvad pärast peeglitel $M_1$ ja $M_2$ peegeldumist poolläbipaistval peeglil $B$. (Poolläbipaistev peegel peegeldab poole sellele langevast valgusest ja teise poole laseb läbi.) Poolläbipaistvast peeglist paremal peegeldub suunas $2$ leviv valguslaine peeglilt $B$ ja ühildub suunas $1$ leviva ja peeglit $B$ läbinud lainega. Mõlemad lained interfereeruvad detektoril $D$, mis tajub üksikfootoneid (selleks võib olla näiteks fotokordisti).

Detektorist väljub juhuslikult ajastatud elektriimpulsside jada, üks iga footoni kohta. Poolläbipaistvat peeglit nihutatakse aegamisi horisontaalsuunas (kirjeldatud katses on maksimaalnihe vaid umbes $50\mu m$). Detektori väljund registreeritakse isekirjutiga. Peegli $B$ nihutamine muudab kiire teekondade $1$ ja $2$ pikkusi. Seetõttu tekib detektorile jõudvate lainete vahel faasinihe. Detektori väljundsignaalis ilmnevad interferentsimaksimumid ja -miinimumid.

Tavakujutluste järgi on selle katse tulemusi raske seletada. Kui näiteks mõelda, et valgusallika molekul kiirgab üksikfootoni, kas levib too siis mööda teed $1$ või $2$, või mistahes teist teed? Asi saab mõistetavaks, kui oletada, et molekuli kvantsiirdel madalamale energiatasemele kiirgub sellest tõenäosuslaine kõikides suundades. Katseseade valib neist välja kaks peaaegu vastassuunalist lainet.

Niisiis näeme, et kaksikpilu katse kõigi kolme variandi tulemused saavad mõistetavaks, kui eeldame, et (1) valgusallikas tekitatakse valgust footonite viisi, (2) valgus neeldub detektoris samuti footonite kaupa ja (3) allika ja detektori vahel levib valgus tõenäosuslainena.

Füüsikud on harva eksinud, kui nad on oletanud loodusnähtustes sümmeetriat. Näiteks kui leiti, et muutuv magnetväli tekitab elektrivälja, siis võib arvata (nagu Faraday ja Maxwell tegidki), et muutuv elektriväli tekitab omakorda ka magnetvälja. Ja nii see tõepoolest on.

Aastal 1924 rakendas Prantsuse füüsik Louis de Broglie taas sümmeetriakaalutlusi. Valguskiire moodustab laine, kuid see annab ainele energiat ja impulssi üle üksikpunktides, osakestena – footonitena. Kas ei või siis osakestekimbul olla samalaadseid omadusi, s.o kas ei või siis ka liikuvat elektroni (või mistahes teist osakest) kujutleda ühtlasi lainena, ainelaine ehk mateerialainena?

De Broglie väitis, et seos 38-7 ($p=h/\lambda$) ei kehti mitte üksnes footonitele, vaid ka aineosakestele, näiteks elektronidele. Kasutasime seda seost punktis 38-4, et omistada impulssi $p$ footonile, teades sellega seotud lainepikkust $\lambda$. Nüüd kasutame seda kujul

et omistada lainepikkust osakesele, mille impulss on $p$. Seosest 38-13 arvutatud lainepikkust nimetatakse liikuva osakese de Broglie’ lainepikkuseks.

De Broglie’ oletusele ainelainetest andsid 1927. aastal esimese eksperimentaalse kinnituse C. J. Davisson ja L. H. Germer Belli Telefonilaboritest ja George P. Thomson Aberdeeni ülikoolist Šotimaalt.

Joonis 38-8 esitab ühe hilisema katse tulemusi, mis kinnitab ainelainete olemasolu. Fotodelt näeme interferentsipildi teket, kui elektronid lasti ühekaupa läbi kaksikpilu. Katseseade sarnanes sellega, mida varem rakendati optilise interferentsi demonstreerimiseks. Vahe on vaid selles, et interferentsipilt tekitati tavalise televiisoriekraaniga sarnaneval ekraanil. Kui elektron tabas ekraani, siis tekitas see valgussähvatuse, mis fikseeriti fotoplaadil.

Esimesed üksikelektronid põrkuvad plaatdetektoriga ilmselt juhuslikes punktides (kaks ülemist fotot, $a$ ja $b$) ega ilmuta midagi huvitavat. Kui aga tabamusi on juba tuhandeid, koonduvad need selgeteks interferentsitriipudeks, kuhjudes maksimumide ja hõrenedes miinimumide kohal (foto e). Just seda võib oodata lainete interferentsilt. Seega läbis iga üksikelektron katseseadet ainelainena: üht pilu läbinud laine osa interfereerus teist pilu läbinud laine osaga. Intereferents määras ära elektronide tabamustõenäosuse. Elektronid kuhjusid sinna, kus valguslainete interferentsil tekiks heledad ribad, ja vältisid tumedaid ribasid.

Interferentsipilte on saadud ka prootonite, neutronite ja mitmesuguste aatomitega. 1994. aastal saadi interferentsipilt joodi molekulidega ($I_2$). Need on elektronidest $500000$ korda massiivsemad ja hoopis keerukama struktuuriga. 1999. aastal demonstreeriti interferentsi süsiniku teisendi fullereeni ($C_{60}$ või $C_{70}$) makromolekulidega, mis meenutavad struktuurilt jalgpalli nahklappidest kesta mustrit. Selge siis, et sellised objektid nagu elektronid, prootonid, aatomid ja molekulid liiguvad ainelainetena. Kui aga võtta vaatluse alla nimetatuist veelgi suuremad ja keerukamad objektid, siis muutub teatud suurusest alates nende laineloomus tuvastamatuks. Siis oleme jõudnud tagasi klassikalise füüsika valdkonda, millega tegelesime eelmistes peatükkides. Lühidalt: elektron võib esineda ainelainena ja iseendaga interfereeruda, kuid kass mitte (kõikide kasside õnneks).

Nüüdisajal suhtutakse alusosakeste ja aatomite laineloomusesse kui millessegi täiesti kindlasse. See leiab rakendamist paljudes teaduse ja tehnika valdkondades. Nii näiteks rakendatakse elektronide ja neutronite difraktsiooni tahkiste ja vedelike atomaarstruktuuri määramiseks, elektronide difraktsiooni kaudu uuritakse aga tahkiste pindade ehitust nanoskaalas.

Joonis 38-9a näitab seadet, mille abil demonstreeritakse kas röntgenkiirte või elektronide kimbu hajumist kristallidelt. Kimp suunatakse alumiiniumi mikrokristallide õhukesele kihile. Röntgenkiirte lainepikkus on $\lambda$. Elektronid kiirendatakse energiani, kus nende de Broglie’ lainepikkus on samuti $\lambda$. Fotofilmil tekib nii röntgenkiirtest (foto 38-9b) kui elektronidest (foto 38-9c) ringjas interferentsipilt. Need on samasugused, sest nii röntgenkiirtel kui ka elektronidel on laineloomus.

Lained ja osakesed

Joonised 38-8 ja 38-9 näitavad veenvalt aineosakeste laineloomust. Kuid on arvukalt katseid, mis kinnitavad, et aine koosneb osakestest. Näiteks pildil 38-10 on näha osakeste mullikambris nähtavaks tehtud rajad. Lainetest pole siin jälgegi. Kui laetud osake läbib mullikambrit täitvat veeldatud vesinikku, sunnib see vedelikku oma teel aurustuma. Aurumullikeste jada märgistab osakese teekonda. Osakese trajektoori paneb spiraalitama kambri tasandiga ristsuunaline magnetväli.

Joonisel siseneb mullikambrisse ülalt gammakiir. See jälge ei jäta, sest et see on elektriliselt neutraalne. Gammakvant põrkus ühega vesiniku aatomeist, tõugates sellest välja elektroni. Elektroni alla suunatud trajektoor on fotol roheline. Ühtaegu põrkega muundus gammakvant elektroni ja positroni paariks, mis kulgesid edasi mööda spiraalseid teid (elektroni rada on siingi märgistatud roheliselt, positroni oma aga punaselt). Põrkudes järjestikku vesiniku aatomitega, kaotavad need energiat ja kiiruse vähenemise tõttu keerdub kummagi spiraal üha enam kokku. See pilt näitab kindlalt, et elektron ja positron on osakesed. Kui kas miski pildil 38-10 vihjab ka nende laineloomusele?

Et olukorda lihtsustada, lülitame magnetvälja välja. Nüüd on mullikeste ahelikud sirgjoonelised. Iga mullikest võib vaadelda elektroni asendimärgina.

Ainelained punktide $I$ ja $F$ vahel (joonis 38-11) üritavad punktist $I$ punkti $F$ kõikvõimalikke teid mööda levida. Mõned neist on joonisel näidatud.

Iga tee jaoks on olemas naabertee, millel levivad lained interferentsi tõttu teineteist kustutavad. Erandiks on üksnes sirglõik $I$ ja $F$ vahel. Sel juhul tugevdavad kõikidel naaberteedel levivad lained seda lainet, mis levib mööda sirget. Sirget moodustavaid mullikesi võib kujutleda punktide jadana, milledes ainelained teevad läbi konstruktiivse interferentsi.

Mistahes lainet - olgu see laine võnkuval keelel, helilaine või valguslaine - kirjeldab mingi muutuv suurus. Näiteks valguslaine puhul on selleks elektrikomponent $\overrightarrow{E}(x,y,z,t)$. Selle väärtus sõltub vaatluspunkti asukohast ja vaatluse ajahetkest.

Millist suurust tuleks kasutada ainelaine kirjeldamiseks? Seda suurust nimetatakse lainefunktsiooniks ja tähistatakse kreeka tähega $\Psi (x,y,z,t)$. Võib arvata, et sel on keerukam kuju kui vastaval suurusel valguslaines, sest ainelaine kannab lisaks energiale ja impulsile edasi ka massi ning tihti ka elektrilaengut. Selgub, et $\Psi$ on kompleksmuutuja funktsioon, s.t selle väärtusi saab esitada kujul $a+ib$, kus $a$ ja $b$ on reaalarvud ja $i^2=–1$.

Kogu alljärgnevas käsitluses saab $\Psi$-funktsioonis aja- ja ruumimuutujaid eraldada, s.o kirjutada seda kujul

kus $\omega$ ($=2\pi f$) on ainelaine nurksagedus. Pange tähele, et kreeka väiketäht $\psi$ tähistab üksnes ruumikoordinaatidest sõltuvat osa täielikust, ajast ja ruumist sõltuvast lainefunktsioonist $\Psi$. Edaspidi tegeleme pea eranditult vaid funktsiooniga $\psi$. Kerkib kaks küsimust: milline sisu on lainefunktsioonil ja kuidas saab seda leida?

Mis tähendus on lainefunktsioonil? Ainelaine on tõenäosuslaine, niisamuti nagu seda on valguslaine. Kujutleme, et ainelaine langeb pisikesele osakeste detektorile; tõenäosus, et teataval ajavahemikul detekteeritakse osake, on võrdeline suurusega $|\psi {|}^2$, kus $\left|\psi \right|$ on lainefunktsiooni absoluutväärtus detektori asukohas. Kuigi $\psi$ väärtus on tavaliselt kompleksarv, on tõenäosustihedus $|\psi {|}^2$ alati positiivne reaalarv. Füüsikaline tähendus on üksnes tõenäosustihedusel $|\psi {|}^2$ mitte funktsioonil $\psi$. Kokku võttes,

Kuna $\psi$ on tavaliselt komplekssuurus, tuleb $|\psi {|}^2$ leidmiseks korrutada $\psi$ selle kaaskomplekssega $\psi \star$. (Kaaskompleksse suuruse $\psi \star$ leidmiseks tuleb imaginaarühik $i$ funktsioonis $\psi$ kõikjal asendada vastasmärgilise suurusega $–i$.)

Kuidas lainefunktsiooni leida? Helilaineid ja laineid võnkuval keelel saab kirjeldada Newtoni mehaanika suurustega. Valguslaineid kirjeldavad Maxwelli võrrandid. Ainelaineid kirjeldab Schrödingeri võrrand, mille koostas Austria füüsik Erwin Schrödinger aastal 1926.

Edaspidi käsitleme eeskätt juhte, mil osake liigub $x$-telje sihis läbi piirkondade, milles osakesele mõjuvad jõud annavad sellele potentsiaalse energia $U\left(x\right)$. Sel erijuhul lihtsustub Schrödingeri võrrand kujule

kus $E$ on liikuva osakese mehaaniline koguenergia (kineetilise ja potentsiaalse energia summa). Schrödingeri võrrand pole teistest alusprintsiipidest tuletatav, see ise ongi alusprintsiip.

Kui võrrandis 38-15 $U\left(x\right)=0$, siis kirjeldab see vaba osakest, s.o niisugust osakest, millele mõjuvate jõudude summa on null. Sel juhul on osakese koguenergia tervenisti kineetiline, $E=\frac{1}{2}m{v}^2$.Võrrand saab siis kuju

mida võib teisendada kujule

Et jõuda selle võrrandini, asendasime $mv$ impulsiga $p$ ja rühmitasime liikmed ümber.

Valemist 38-13 ($\lambda =h/p$) näeme, et $p/h=1/\lambda$, kus $\lambda$ on liikuva osakese de Broglie’ lainepikkus. Edasi taipame, et $2\pi /\lambda$ on lainearv $k$, nagu see on defineeritud valemis 16-15. Tehes vastavad asendused, saab võrrand kuju

Võrrandi 38-16 üldlahend on

kus $A$ ja $B$ on suvalised konstandid. Asetades 38-17 võrrandisse 38-16, võime veenduda,
et see tõepoolest rahuldab seda võrrandit.

Viies lahendi 38-17 avaldisse 38-14, saame $x$-telje sihis liikuva vaba osakese ajast sõltuva lainefunktsiooni

Tõenäosustiheduse leidmine

Punktis 16-5 nägime, et iga funktsioon $F$ kujul $F(kx\pm \omega t)$ esitab kulglainet.

See kehtib nii valemiga 38-18 esitatud eksponentsiaalfunktsioonide kui ka siinusfunktsioonide kohta, millede kaudu esitasime võnkuval keelel levivaid laineid. Funktsioonide need kaks kuju teisenevad vastastikku seoste

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \text{ja}{e}^{–i\theta }=\cos \theta –i\sin \theta$

kaudu, kus $\theta$ on mingi nurk.

Esimene liige võrduse 38-18 lõpus kirjeldab lainet, mis levib muutuja $x$ kasvu, teine liige aga kahanemise suunas. Kuna eeldasime, et vaatlusalune vaba osake levib koordinaadi $x$ kasvu suunas, valime konstandi $B$ võrdustes 38-17 ja 38-18 võrdseks nulliga. Konstandi $A$ nimetame ümber konstandiks ${\psi }_0$. Siis omandab 38-17 kuju

(38-19)

$\psi \left(x\right)={\psi }_0{e}^{ikx}$

Tõenäosustiheduse leidmiseks tõstame $\psi \left(x\right)$ absoluutväärtuse ruutu:

$|\psi {|}^2=|{\psi }_0{e}^{ikx}{|}^2=\left({\psi }_0\right)2|e^{ikx}{|}^2$

Kuna

$|e^{ikx}{|}^2=(e^{ikx}\left)\right(e^{ikx}{)}^{\ast }=e^{ikx}{e}^{–ikx}=e^{ikx–ikx}=e^0=1$

saame

$|\psi {|}^2=({\psi }_0{)}^2(1{)}^2=({\psi }_0{)}^2$

mis on konstantne suurus.

Joonisel 38-12 on kujutatud tõenäosustiheduse $|\psi {|}^2$ graafik vaba osakese jaoks. See on $x$-teljega paralleelne sirge, mis kulgeb miinus lõpmatusest kuni pluss lõpmatuseni. See näitab seda, et osakesel on võrdne tõenäosus asuda kustahes kogu $x$-telje ulatuses. Pole mingit võimalust määrata osakese tõenäoseimat asukohta, kõik asendid on võrdväärselt tõenäosed.

Järgmises punktis selgub, mida see tähendab.

Võimatus määrata vaba osakese asukohta joonisel 38-12 on esimene näide Saksa füüsiku Werner Heisenbergi poolt 1927. aastal püstitatud määramatuse printsiibi ehk täpsuspiirangu kehtivusest. Selle printsiibi järgi pole võimalik määrata samaaegselt kuitahes täpselt osakese asukohta $\overrightarrow{r}$ ja impulssi $\overrightarrow{p}$. Asukoha- ja impulsivektorite $\overrightarrow{r}$ ja $\overrightarrow{p}$ komponentide kohta annab Heisenbergi printsiip järgmised võrratused:

kus $\hslash =h/2\pi$ (loe „ha-kriips”). Siin määravad näiteks $\Delta x$ ja $\Delta p_x$ vektorite $\overrightarrow{r}$ ja $\overrightarrow{p}$ $x$-komponentide mõõtmisele omaseid veapiire. Piiranguid 38-20 ei saa vältida ka täpseimate nüüdisaegsete mõõteriistadega: korrutised $\Delta x\cdot \Delta p_x$, $\Delta y\cdot \Delta p_y$ ja $\Delta z\cdot \Delta p_z$ ei saa ealeski olla väiksemad kui $\hslash$.

Joonisel 38-12 on kujutatud vaba osakese tõenäosustihedus. Vabale osakesele ei mõju mingeid jõude, seepärast jääb selle impulss $\overrightarrow{p}$ muutumatuks. Eeldasime vaikimisi, et impulssi $\overrightarrow{p}$ saab määrata kuitahes täpselt, s.t avaldises 38-20 $\Delta p_x=\Delta p_y=\Delta p_z=0$. Siis aga peab $\Delta x\to \infty$, $\Delta x\to \infty$ ja $\Delta x\to \infty$. Lõpmata suurte ebatäpsustega määratud osakese asukoht jääb täiesti määramatuks, nagu joonis 38-12 näitabki.

Ei maksa arvata, et osake tegelikult siiski asub mingis kindlas punktis, mis aga jääb meie eest varjatuks. Kui osakese impulss on täiesti täpselt määratav, siis muutuvad sõnad „osakese asukoht” lihtsalt mõttetuks. Osakese leidmise tõenäosus joonisel 38-12 on ühesugune $x$-telje igas punktis.

Kujutleme, et libistame hokilitrit hõõrdevaba jääga kaetud künkale (joonis 38-13). Sellal, kui litter tõuseb künkale, muundub kineetiline energia $K$ gravitatsiooniliseks potentsiaalseks energiaks $U$. Kui see jõuab künka tippu, on selle potentsiaalne energia $U_b$. Seega võib litter ületada tipu ainult siis, kui selle mehaaniline algenergia $E>U_b$. Vastasel korral libiseb litter künka vasakut külge mööda tagasi. Kui näiteks $U_b=20J$ ja $E=10J$, siis pole lootustki, et litter künka ületaks. Öeldakse, et küngas toimib kui tõke ehk potentsiaalse energia barjäär (lühidalt – potentsiaalibarjäär). Antud juhul on barjääri kõrgus $U_b=20J$.

Joonisel 38-14 on näidatud potentsiaalibarjäär mitterelativistlikule elektronile, mis liigub mööda ideaaljuhet, millel puudub jämedus. Elektronil on mehaaniline energia $E$ ja see läheneb alale (barjäärile), milles elektripotentsiaal $V_b$ on negatiivne. Kuna elektronil on negatiivne laeng, on sel barjääri piirkonnas positiivne potentsiaalne energia $U_b=q{V}_b$ (joonis 38-15). Kui $E>U_b$, siis eeldame, et elektron väljub barjäärialast ja jõuab paremale punktist $x=L$ joonisel 38-14. See
ei üllata meid. Kui $E<U_b$, siis võib arvata, et elektron ei suuda barjääri läbida ning hakkab vasakule tagasi liikuma, samuti nagu litter libiseb tagasi, kui selle energia $E<U_b$ (joonis 38-13).

Ometi võib elektroniga toimuda midagi kummalist olukorras, kus $E<U_b$. Kuna elektron on ka ainelaine, on sel lõplik tõenäosus lekkida või imbuda (öeldakse ka: tunneleeruda) läbi barjääri ja ilmuda välja selle vastasküljel, otsekui piirkonnas $0\le x\ge L$ poleks midagi juhtunud.

Mikroosakeste läbiminekut tõketest nimetatakse tunnelefektiks (tunneleerumiseks).

Elektroni kirjeldav lainefunktsioon $\psi \left(x\right)$ on arvutatav Schrödingeri võrrandist 38-15 eraldi joonisel 38-14 kujutatud kolme piirkonna jaoks: (1) barjäärist vasakul, (2) barjääri sees ja (3) barjäärist paremal. Suvalised konstandid lahendeis valitakse nii, et $\psi \left(x\right)$ väärtused kohal $x=0$ ja $x=L$ lähevad üksteiseks üle sujuvalt, ilma hüpete ja jõnksudeta. Tõenäosustihedus leitakse, kui $\psi \left(x\right)$ absoluutväärtused võetakse ruutu.

Joonis 38-16 esitab tulemust. Võnkuv kõver barjäärist vasakul ($x<0$) kujutab langeva ja peegeldunud (väiksema amplituudiga) ainelaine liitumise tulemust. Võnklemised tekivad, sest vastassuundades levivad lained interfereeruvad ja moodustavad seisulaine.

Barjääri sees ($0<x<L$) kahaneb tõenäosustihedus $x$ kasvades eksponentsiaalselt. Kui aga barjäär on õhuke ($L$ pole suur), ei lange tõenäosustihedus kohal $x=L$ nulli.

Barjäärist paremal ($x>L$) kajastab tõenäosustiheduse graafik läbinud lainet väikese kuid konstantse amplituudiga. Kui elektronil õnnestub tunneleeruda läbi barjääri, on see väikese, kuid konstantse tõenäosusega leitav $x$-telje mistahes punktis. (Seda joonise osa võiks võrrelda vaba osakese jaoks toodud joonisega 38-12.)

Barjäärile joonisel 38-16 võib omistada ainelaine läbitavusteguri $T$. See tegur iseloomustab
tunneleerumise tõenäosust. Kui näiteks $T=0,02$, siis $1000$st barjäärile langevast elektronist tunneleerub keskmiselt $20$, kuid ülejäänud $980$ põrkuvad tagasi.

Läbitavustegur $T$ avaldub ligikaudselt kujul

kus

Seose 38-21 eksponentsiaalse loomuse tõttu on $T$ väärtus väga tundlik valemites 38-21 ja 38-22 esineva kolme muutuja (osakese massi $m$, barjääri paksuse $L$ ja energiavahe $U_b–E$) hälvetele. (Kuna me ei käsitle siin relativistlikke efekte, siis ei sisalda $E$ massi energiapanust.)

Tunnelefektil on palju rakendusi tehnikas, näiteks tunneldioodis, mida elektronid läbivad tunneleerumise teel, mistõttu elektronide voogu saab kärmelt muuta barjääri kõrguse muutmise kaudu. Seade on sobiv erilist kiiretoimelisust nõudvais rakendustes. 1973. aasta Nobeli füüsikaauhinda jagasid kolm „tunnelisti”: Leo Esaki (tunnelnähtuste avastamise eest pooljuhtides), Ivar Giaver (tunnelnähtuste avastamise eest ülijuhtides) ja Brian Josephson, kes leiutas Josephsoni siirde - nobeda kvantlüliti, mille aluseks on taas tunnelefekt. 1986. aasta Nobeli preemia said Gerd Binning ja Heinrich Rohrer samuti tunnelefektil rajaneva skaneeriva tunnelmikroskoobi loomise eest.

Skaneeriv tunnelmikroskoop (STM)

Optilises mikroskoobis nähtavate detailide mõõtmed on piiratud mikroskoobis kasutatava valguslaine pikkusega (umbes $300nm$ ultraviolettmikroskoobis). Selle peatüki avafotol nähtavad detailid on palju väiksemad. Nende ilmsikstoomiseks on siis vaja ka palju lühemaid laineid. Kasutatud on elektronide ainelaineid. Need lained ei haju pinnalt nii nagu valguslained optilises mikroskoobis. Toodud kujutised on tekitatud elektronidega, mis tunneleeruvad läbi potentsiaalibarjääride skaneeriva tunnelmikroskoobi (STM) teravikul.

Joonisel 38-17 on kujutatud tunnelmikroskoobi põhisõlm. Metallteravik on ühendatud kolme üksteise suhtes risti asetseva kvartsvarda liitepunkti. Teravik viiakse uuritava pinna vahetusse lähedusse. Teraviku ja pinna vahele on rakendatud nõrk elektripinge (umbes $10$mV).

Kvartsikristallidel on piesoelektriliseks efektiks kutsutav omadus: elektripinge mõjul muutuvad õige pisut ka kvartsikristalli mõõtmed. Selle nähtuse kaudu muudetakse iga varda pikkust sujuvalt ja väikesel määral nii, et teravikku saab liigutada (skaneerida) $xy$-tasandis rida-realt üle pinna, $z$-telje sihis aga saab teravikku üles-alla nihutada.

Õbluke vahemik pinna ja teraviku vahel moodustab potentsiaalibarjääri sarnaselt joonisel 38-15 kujutatuga. Kui viia teravik pinnale küllalt lähedale, siis saavad elektronid uuritavast näidisest läbi selle vahemiku (barjääri) tunneleeruda ning tunnelvoolu tekitada.

Elektrooniline tagasisideseade nihutab teravikku püstsuunas nii, et tunnelvool püsib konstantsena kogu skaneerimisprotsessi jooksul. Konstantseks jääb siis ka teravikku pinnast lahutav vahemik. Seadme väljund on teraviku püstsuunas muutuva asendi kajastus videokujutises, kui teravikku $xy$-tasandis skaneeritakse. Seega näitab videokujutis ühtlasi pinnareljeefi. Tänapäeval toodetakse
tunnelmikroskoope tööstuslikult ja neid kasutatakse paljudes laborites üle kogu maailma.

Lisaks paigalpüsivate pindade kujutise saamisele võimaldab tunnelmikroskoop ka aatomeid ja molekule mööda pinda nihutada. Sel viisil moodustati ka süsinikoksiidist kriipsujuku, mida võib näha selle peatüki avapildil. Nihutamisprotsessis viidi STM teravik molekulile nii lähedale, et tekkis vastastikune tõmbejõud, kuid  teravik ei jõudnud molekuliga siiski puutesse. Seejärel nihutati teravikku ja seega ka molekuli aluspinnal (antud juhul plaatinal) soovitud kohta. Siis eemaldati teravik molekulist, kuni tõmbejõud kadus. See on muidugi väga peen töö, kuid nagu tulemusest näha, siiski sooritatav.