Elektronlained orbiidil. Bohri aatom

Joon. 7.4. Elektronlaine ringorbiidil. Juhul A üksteisele järgnevad lained ühtuvad, lainete tõusuinterferents tekitab püsiva seisulaine. Juhul B kustutab mõõnainterferents laine, elektroni leiutõenäosus kahaneb nulliks, püsiolekut ei teki.

Elektroni leiulaineid ei sulusta aatomisse muidugi mitte kujuteldava karbi seinad, vaid elektrilised tõmbejõud tuuma ja elektroni(de) vahel. Astume sammu karbimudelilt tegelikkusele lähemale ja  üritame sobitada elektroni laineloomust aatomi planetaarmudeliga. Vaatame lihtsaimat, vesiniku aatomit ainsa elektroniga ringorbiidil raadiusega r (joon. 7.4). Kui elektron tiirleb orbiidil, peavad tema leiulained olema orbitaallained, s.o.  tiirutama orbiiti pidi ümber tuuma. Elektroni statsionaarsetele, püsiseisunditele vastavad seisulained. Otsteta ringil saavad orbitaallaineist tekkida seisulained ainult siis, kui laine ringeldes end lakkamatult kordab (joon. 7.4). Selleks peab ringile sobituma parajasti täisarv laineid:

Asendades λ de Broglie’ valemist (4.1 ), saame

ehk

kus tähistasime, nagu kvantfüüsikas tavaks, 

m on elektroni mass, v – tema kiirus. (Meenutame mehaanikakursusest, et mvr on tiirleva elektroni pöördimpulss e. impulssmoment.) Seega on orbiidi raadius r ja elektroni orbitaalkiirus v, siis ka energia, vastastikuses sõltuvuses. Avaldades valemist (7.6 ), näeme et püsiseisundeile sobivad üksnes

kus kvantarvuks on n = 1,2,3... Seega järeldub elektroni laineloomusest, et ta võib tuuma ümber tiirelda vaid teatud kindlatel orbiitidel raadiusega rn .

Valemi (7.6 ) avaldas 1913. a. esimesena üks maailma tippfüüsikuid, taanlane Niels Bohr (l. nils boor). Tollal ei teadnud ta midagi elektroni laineomadustest. Toetudes vaid intuitsioonile ning soovides seletada aatomi püsivust ja spektraalseeriaid, ta lihtsalt postuleeris (ld. k. postulare - nõudma), et  lubatud orbiitidel, mille raadius rahuldab seost (7.6 ), elektronid ei kiirga, kuigi tiirlevad (Bohri I postulaat). See oli muidugi järsus vastuolus makrofüüsika seadustega ja kohtas füüsikkonnas laialdast umbusku. Kuid nõnda õnnestus Bohril “päästa” planetaarmudel kiirgusvaringust (vt. lk. 7). Sündis uus, Bohri aatomimudel (joon.7.7 c), mis on mänginud mikrofüüsika arengus väga tähtsat osa. Lainesisu (vastavalt valemeile (7.5 ) ja (7.7 )) andis sellele postulaadile 10 aastat hiljem L. de Broglie.

Joon. 7.6.

Kesktõmbe- e. tsentripetaaljõuksjõuks F, mis hoiab elektroni tuuma ümber tiirlemas, on elektrijõud tuuma ja elektroni vahel (joon. 7.6). Coulombi seaduse järgi 

kus e on elementaarlaeng,   ja ε0 elektriline konstantTeatavasti kesktõmbekiirendus

 

Rakendades Newtoni II seadust F = ma, saame

Seega

kust saab arvutada orbiitidele raadiusega rn vastavad energiatasemed En . Tulemuseks on

Joon. 7.7. Atomaarse vesiniku spektrijooned (a) ja neid tekitavad siirded (b) vesinikuaatomi energiatasemete vahel. Punktiiris – seeriate serv. (c) Bohri – de Borgile´mudeli mõned "lubatud" orbiidid ja siirded nende vahel.

Miinusmärk johtub sellest, et  nullnivooks loetakse elektroni potentsiaalne energia, kui ta on tuumast eemaldatud lõpmata kaugele. Joonisel 7.7 on valemi (7.9 ) järgi arvutatud energiatasemete skeem.

Bohri II postulaadi järgi kiirgab või neelab aatom valgust ainult elektroni hüpetel lubatud orbiitide vahel (joon.7.7), kusjuures tekivad või kaovad footonid energiaga

kus Ek on mingi kõrgema ja Em madalama taseme energia. Vastaku kõrgemale tasemele kvantarvu n väärtus n2, madalamale n = n1. Siis, asendades Ek ja Em (7.9 )-st, saame

ehk, kuna λf=c,

Võrreldes äsja leitud valemit (7.12 ) p. 3 toodud Balmeri-Rydbergi valemiga (3.1 ), mis saadud katses mõõdetud spektrite töötlemisel, näeme oivalist kokkulangevust. Järelikult kirjeldab Bohri - de Broglie’ aatomimudel vesiniku aatomit päris hästi. Ta selgitab mitte üksnes vesiniku joonspektrite tekkepõhjust ja struktuuri, vaid näitab õigesti kätte ka joonte lainepikkused. 

Huvilistele, kes väikest rehkendust paljuks ei pane, toome ära ka valemi (7.9 ) tuletuskäigu. Lähtume avaldistest (7.7 ) ja (7.8 ). Avaldame neist rn. Mugavamaks teisendamiseks viime (7.8 ) kujusse 

Siit, avaldades m2v2(7.7 )-st,

millest

Elektroni koguenergia En n-dal statsionaarsel orbiidil rn liitub tema kineetilisest energiast Ekin = mvn2/2 ja potentsiaalsest energiast tuuma elektriväljas, mis avaldub kuju   Epot = -ke2/rn:

Võrrandist (7.8 ) leiame

seega

Teisendades avaldist (7.7 ), saame

Asetades vn sel kujul valemisse (7.8 ), osutub, et

Asendades rn  (7.13 )-st leitu koguenergia valemisse, tuleb välja

ehk

Asendades konstandid m, e, ε0 ja h nende arvväärtustega, saamegi valemi (7.9 ).