Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi.

Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused. Miks on seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü?

Tegemist ongi juba füüsikalise maiguga lõbusa matemaatilise küsimusega. Tema vastuski on segu füüsikalistest teadmistest ja matemaatikast: füüsikast teame, et seebikile sulgeb endasse võimalikult suure ruumala; matemaatika aga näitab, et sellise printsiibi korral peab mull olema täpselt kerakujuline. Raamatus puudutame ringi sarnast omadust – sama ümbermõõduga kujunditest piirab ta suurima pindala [lk 97].

Matemaatikat võime näha ka kohviku teleekraanil, kus ülekantav jalgpallimäng on jõudnud penaltiseeriani. Kas mängijad valivad väravanurga, kuhu nad palli löövad, mingi mustri järgi? Kas peaks valiku korral alustama penaltiseeriat lööjana või kaitsjana? Uurides möödunud penaltiseeriate tulemusi ja videokordusi, võime leida seaduspärasusi – sellega tegeleb matemaatiline statistika. Seaduspärasused kirjas, võime nende abil ehitada parima strateegia – sellele aitavad kaasa tõenäosuslikud kirjeldused [lk 392].

Kui lõpuks õnnestub ka kohvikust matemaatika juurest põgeneda, jääte tema küüsi jälle esimese lillepeenra kõrval. Matemaatiline kirjeldus aitab kirjeldada ja selgitada erinevate mustrite teket ja seeläbi lillenuppude ilusaid kujusid.

Näiteks teatud päevalillesortide õie paigutuses on 21 sinist ja 13 ookeanisinist spiraali. Need pole sugugi suvalised arvud – 21 ja 13 on Fibonacci arvud [lk 135], mis tulevad looduses tihti esile ning mille esinemist oskame ka selgitada.

Viimaks, kui hakkate lille nime ja peret oma nutitelefoni või arvuti abil kindlaks tegema, küsite jälle abi matemaatikalt: otsingumootorite tööprintsiibid on olnud esmalt kirjas matemaatilises keeles ning arvutite sise-elu põhinebki ainult ühtedel, nullidel ning nendega arvutamisel.

Matemaatika kui keel

Mõni ütlebki hoopis, et matemaatika ise on keel. Ja tõepoolest, matemaatika aitab ju kirjeldada maailma nagu iga teine keel ning lubab seeläbi omavahel suhelda ning informatsiooni vahetada.

Siiski erineb matemaatika keel tavapärastest keeltest. Tavapärases keeles on meil peaaegu iga ettejuhtuva objekti tarvis üks sõna või sõnapaar. Tavapärased keeled hoomavad ja kirjeldavad peaaegu kõike, millega kokku puutume, ent teevad seda tihti mitmetähenduslikult. Näiteks pall võib tähendada põhimõtteliselt nii ümmargust jalgpalli kui ka ovaalset Ameerika jalgpalli. Matemaatika otsustab kirjeldada vähem, aga see-eest täpsemalt – tihti vaid mõnda väikest detaili ühest või teisest objektist. Samas on need kirjeldused ise täpsed ja üheselt mõistetavad: palli kirjeldaksime kera või ellipsoidina, olenevalt tema kujust, ning mõlemail neist mõistetest on täpne ja ühene matemaatiline definitsioon [lk 44].

Kuna matemaatikud kasutavad eraldiseisvat sõnavara, tundub vahel, et matemaatikud ei hooli üldse elust ning nende mõistetel ja käsitlusel kaob argipäevaga igasugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30].

Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus, et neist ükskord kasu ei võiks tulla. Mõnikord me ei oska lihtsalt seoseid ümbritsevaga näha ning nad võivad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel – nende abil on hea kirja panna kõige väiksemate osakeste käitumist. Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstraktsest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud koolimatemaatika on siiski igati eluline ning maailma kirjeldamisel ja mõistmisel asendamatu tööriist!

Matemaatika muutub ja areneb

Matemaatikas ei ole aga ainult keel – matemaatika uurib, muudab ja arendab ise sedasama keelt, milles ta end väljendab. Matemaatilised mõisted muutuvad ja nende muutumises peitub ka suur osa matemaatikast. Isegi see, kuidas mõeldakse matemaatiliselt arvudest, on muutunud – kunagi ammu tunti ainult arve 1, 2, 3, ..., siis leiti, et ½ on samuti üsna mõistlik arv, ja alles hiljuti lepiti, et ka –1 on arv või et lausa √–1 , mis reaalteljele ei mahu, sobib sama hästi üldmõiste arv alla [lk 78].

Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või teiselt poolt vaadatuna on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keerulisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline – kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab pikemalt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78].

Mis on matemaatika?

Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öeldud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud ranged reeglid nendega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid alati väänata. Seda on eriti paslik teha siis, kui see toob kaasa rohkem seoseid, rohkem lihtsust, rohkem ilu ja rohkem mõistmist.

Siiski võib lugejat kummitama jääda õigustatud küsimus: kas oleme ikka vastanud, mis on matemaatika? Ei ole.

Nagu on raske öelda, mis ikkagi on õnn või mis tarkus, on raske ka öelda, mis on matemaatika. Tegemist on lihtsalt nii mitmetahulise ja laia mõistega. Naljakal kombel iseloomustab matemaatikat ennast veel just see, et ta ise tegeleb objektidega, mille korral saab küsimusele „mis?” väga täpselt vastata.

Lõppude lõpuks õpetab matemaatika meile, et meil on millegi defineerimisel ka parasjagu vabadust. Küllap pole sellest suurt kurja, kui igaühel on veidi omamoodi arusaam matemaatikast. Loodame, et see raamatuke aitab oma isiklikku arusaama leida ka lugejal.

Head mängu iseloomustavad kolm omadust: ta on mitmekülgne, ta arendab ja ta võimaldab midagi õppida. Mõnikord räägitakse ka matemaatikast kui mängust. Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks – matemaatikast on palju enam kasu kui mõnest mängust –, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust igati olemas.

Matemaatika on mitmekülgne

Matemaatika peidab endas erinevaid ja tihti lausa vastandlikke külgi.

Matemaatikast võib leida täpsust, rangust ja kindlust. Niipea kui ühe matemaatiliselt korrektse selgituse või seose leiad, jääbki see õigeks – mitte nii nagu tuba, mida koristad ja koristad, aga mis ikka jälle mustaks saab. Nii ehitab iga matemaatika õppija oma teadmistele kindlat vundamenti.

Üksluine vundamendi ladumine tüütaks aga kindlasti ära. Vaja on ka ootamatusi ja üllatusi. Matemaatikas selle koha pealt kokku ei hoita – näiteks selgub, et lisaks meile juba tuntud kujunditele, nagu ruudud, ringid, kolmnurgad, leidub ka kujundeid, mille ümbermõõt on lõpmatu, aga pindala lõplik [lk 377]. Või näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal päeval sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus ³⁄₄ või ³⁹⁄₂ ja nii edasi.

Paljudele  meeldib  aga  hoopis  loomingulisus,  meeldib vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige raskem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaatilise mõtte  kindel vorm loomingulisust.  Oluline osa matemaatikast on uute seoste, uute mõtteviiside, uute objektide loomine. Kas pole vahva arusaam, et võime geomeetriast – kehade kujust ja kumerusest – mõelda sugugi mitte ainult kolmemõõtmeliselt, vaid kahekümnes, kolmekümnes või lausa tuhandes mõõtmes? Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha? Proovi ette kujutada! Meie näiteks ei oska...

Matemaatika arendab mõtlemist

Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste argumentidest vigu leidma – olgu nad kui kavalad tahes – õpetab ilmselt matemaatika. Matemaatilise arutelu jaoks on alati tarvilik välja käia täpsed eeldused, täpne arutluskäik ning täpsed järeldused – hajusad argumendid läbi ei lähe. Oletame, et prokurör leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud vargused satuvad samale ajale. Kas seda võib kasutada tõendina tema kahjuks? Näiteks on ju selge, et kui jäätiste läbimüük ja päikesepaiste korreleeruvad, ei järeldu sellest, et jäätise ostmine toob kaasa päikesepaiste. Mida me lisaks peaksime teadma?

Kui tahad saada arstiks, on matemaatika kohustuslik. Statistika aitab aru saada, millal ravimifirmade reklaamloosungitel on ka tegelikku sisu [lk 398] ning mida ikkagi tähendab, kui üks või teine DNA-s olev geen suurendab haigestumise riski.

Kui tahad saada arhitektiks, ei saa samuti ümber matemaatikast. Matemaatika õpetab rangelt kirja panema proportsioone ja seoseid. Samasuguse rangusega töötavad ka kõik arhitektuuriliste mudelite ehitamise programmid, mis tahavad vahel, et arhitekt oskaks kirjeldada oma jooni ka matemaatiliselt, võrranditega. Arhitekt peab oskama arvutada ruumide ja pindade suuruseid, peab teadma, kuidas leida ühe või teise tala kandevõimet.

Kui tahad saada luuletajaks, ei tule matemaatika jällegi kahjuks. Prantsuse luuletaja Paul Valéry näiteks armastas matemaatikat – tema päevikud on täis matemaatilisi ja eriti geomeetrilisi mõttekäike. Matemaatika olevat ta enda sõnul avaldanud suurt mõju ka ta luulele. Samuti on matemaatikuharidusega nii „Alice Imedemaal” kui „Karupoeg Puhhi” loojad.

Kindlasti pole loetletud elukutsed ainsad, kus matemaatikat vaja läheb või kus ta kasuks võiks tulla – väike maadlus matemaatikaga on hea treening kogu eluks.

Matemaatika õpetab tundma ja ennustama maailma

Kõige enam tuleb matemaatika ehk siiski kasuks kõigile, kes tahavad mõista või kontrollida end ümbritsevat elus ja eluta loodust. Ühe kahekümnenda sajandi suurima füüsiku Richard Feynman’i sõnul on matemaatika valdamine looduse kirjeldamiseks lausa möödapääsmatu.

Matemaatika kirjeldab

Matemaatilise vedelikefüüsika abil saame selgitust jõgede müsteeriumile: miks nii sinikaelpardi, vanaema kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt?

Matemaatilise bioloogia abil leiame seoseid geenide ja haiguste vahel ning suudame mõista südame ja veresoonkonna tööd. Näiteks matemaatilised kirjeldused südamerakkude kaltsiumiradadest annavad lootust, et suudame paremini kontrollida südame rütmihäireid.

Meil on igas keharakus paarkümmend tuhat geeni, mille avaldumine või mitteavaldumine peaks määrama kogu meie olemise ja tervise.Tahaksime kindlate geenide avaldumist või mitteavaldumist siduda teatud haigustega – nii võiksime leida viise nende haiguste ravimiseks. Selliste seoste leidmine on juba oma olemuselt matemaatiline töö. Töö tulemusi saab esitada aga ka kenade graafikutega, millelt on võimalik näha, mis geenide avaldumiskombinatsioonid võiksid peituda ühe või teise haiguse põhjustajatena. Selliseid graafikuid kutsutakse „kuumuse graafikuteks“:

Sarnast graafikut kasutame ka tuletise peatüki lõpus [lk 338].

Matemaatikaga saame kirjeldada ning seeläbi mõista sotsiaalvõrgustike olemust ja omadusi. Tihti kirjeldatakse selliseid võrgustikke maatriksite abil [lk 152]. Näiteks tuleb välja, et inimtutvuste võrgustik on väga spetsiifilise struktuuriga – nimelt on ta üsna tihedalt seotud, iga inimene siin maailmas on igast teisest maksimaalselt 6 sõprussuhte kaugusel. Mis on Sinu seos Tonga kuningaga?

Matemaatika ehitab

Matemaatiline õpetus dünaamilistest protsessidest ja võnkumistest annab  head nõu, kuidas ehitada sildu ning milliseid sildu ehitada ei tohi. Ehitada ei tohi näiteks sildu, mis võiksid tugeva tuule tagajärjel sattuda resonantsi ning hakata järjest vägevamalt võnkuma. Kuigi seda oleks saanud matemaatiliselt ennustada, saime vastava õppetunni hoopis katselisel meetodil – 1940. aastal purunes Tacoma sild Ameerikas just nimelt tuule tekitatud resonantsvõnkumise tõttu.

Ka arvuti on leiutis, mille võimalikkust taipasid ning mille kirjeldusteni jõudsid esmalt just matemaatikud. Nagu juba mainisime, mõistavad arvutid ainult matemaatikal põhinevat algoritmilist keelt ning kui tahame, et arvuti midagi meie eest ära teeks, peab talle seda ütlema täpselt ja konkreetselt – matemaatiliselt. Võibolla tasub ka märkimist, et üks internetiprotokollide leiutajatest – Ameerika arvutiteadlane Vint Cerf – sai oma bakalaureusekraadi samuti matemaatikast.
 
Matemaatika ennustab

Katseliselt võime küll järele uurida, mis kunagi juhtus või mis juhtub hetkel, aga me ei saa kunagi katseliselt leida, mis juhtub tulevikus – tulevikku ju katsetada ei saa. Ent tihti peame just ennustama, mis tulevikus juhtuda võiks.

Matemaatika abil ennustati, et leidub elektroni antiosake positron, ja nüüdseks oleme seda katseliselt näinud. Matemaatiliselt pakuti, et suurtel kiirustel enam Newtoni klassikaline mehaanika ei kehti, ning ega tõesti ei kehtigi. Ilma selle teadmiseta ei töötaks meie GPS-navigeerimine.

Majandusteoreetikud üritavad aru saada, kuidas üks või teine inim- või inimväline faktor võiks tulevikus mõjutada majandusnäitajaid; hasartmängurid peavad vähemalt üritama ennustada, mis kaardid on teistel peos või jagajal pakis; insenerid peavad suutma ette kujutada ettekujutamatuid tegureid, mis nende uhket konstruktsiooni ohustada või mõjutada saaksid – kõike seda saab teha ainult matemaatiliselt. Nii ongi matemaatika ka meie silm tulevikku.

Muidugi ei ole kõik meie ennustused alati õiged, aga matemaatika südametunnistus jääb puhtaks – eksimused on meie oma eeldustes ja mudelites ja neid eksimusi lubab matemaatika ise ka hinnata.

Tänapäeval on populaarseks saanud ka tõenäosuslikud mudelid, kus me  tunnistame, et täpselt ennustada ei olegi võimalik – oskame ainult ennustada, kui tihti üks või teine sündmus võiks juhtuda. Näiteks kui aus sõber viskab ausat münti, võiksime ennustada, et umbes pooltel juhtudel jääb ülespoole kiri [lk 392].

Matemaatika ei ole valmis

Nagu nägime, võimaldab matemaatika päris paljut kirjeldada, kontrollida, ennustada. Siiski on ka üsna palju seda, mida me veel ei mõista ning mida matemaatika ei hooma.

Näiteks on tänapäeva matemaatika endiselt hädas keeruliste ja paljuosaliste süsteemide ning protsesside – nagu näiteks ühe keharaku töö või meie aju töö või maailmamajanduse – kirjeldamisega. Neist arusaamine eeldab suurt katselist tööd, aga küllap ka uut ja põnevat matemaatilist raamistikku.

Ka matemaatikas endas on veel palju lahendamata küsimusi ja mõistatusi. Paljusid neist on keeruline sõnastada, aga nii mõnedki näivad esmapilgul väga lihtsad. Näiteks ei tea me isegi, kui palju leidub algarve (arvud, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega), mille vahe on kaks. Arvupaarid 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31 sobiksid ja usutakse, et sellised paarid ei saa kunagi otsa, ent tõestada seda 2013. aastaks keegi veel ei oska. Või siis ei oska me öelda, kas meie praegune kirjeldus vedelike liikumisest – niinimetatud Navier Stokes’i võrrand, on üldsegi matemaatiliselt sobilik. Me ei tea, kas võrrandile leidub alati sobilik lahend.

Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, aastaarve, rodude viisi riikide pealinnu või hoopiski kirjeldada elusat rakku bioloogiatunnis.

Matemaatikat teeb ilmselt juba keeruliseks levinud kujutlus, et ühed oskavad matemaatikat ja teised ei oska. Pigem on õige, et ühtedele meeldib matemaatika rohkem ja teistele vähem, just nii nagu on ka kirjanduse, lauatennise või koorilauluga. Ja muidugi, kellele meeldib matemaatika rohkem, tegeleb sellega samuti rohkem ning on lõpuks selles ka edukam.

Aga see, mis meile meeldib, võib muutuda üleöö (või pigem üle aastate) ja kui ükskord hommikuvalguses leiate, et matemaatika teile siiski mokkamööda võiks olla, pole mõtet karta – tegelikult on matemaatika samamoodi õpitav nagu kõik muu.

Siiski on matemaatikas ka mõned isemoodi raskused ning neist raskustest on kasulik aru saada.

Pähe õppida ei õnnestu

Üks matemaatika eripära ja raskus peitubki ehk selles, et pähe õppida õnnestub vähe ja sellest ei ole tihti otsest kasu. Kui õpite pähe ühe võrrandi lahendi, ei aita see lahendada mõnda teist võrrandit; kui õpite pähe ringi pindala valemi, ei aita see leida kolmnurga pindala. Ja ometigi on matemaatikas erinevaid küsimusi, mida esitada saab, teiste ainetega võrreldes vahest kõige rohkemgi.

Nii on matemaatika õppimiseks tarvis mingit muud strateegiat. Alustuseks on vaja aru saada matemaatiliste objektide ning arutelude vahelistest seostest ja selgeks õppida teatud üldiseid meetodeid, mis ütlevad, kuidas leida pindala või lahendada võrrandeid. Need meetodid on vahel täitsa kokaraamatu moodi, kuid mida põnevamaks lähevad ülesanded, seda enam tuleb hakata retsepte kasutamise käigus muutma – lisada juurde soola, pipart või tihedamini uusi matemaatilisi mõtteid.

Sellist improviseerimist saab aga õppida ainult katsetamisega ja sellest pole sugugi hullu, kui mõni lahendus alguses vale rada mööda otsustab minna, olulisem on julgus neid proovida.

Matemaatikal on oma keel

Teisest matemaatika raskusest oleme juba juttu teinud ja teeme järgmises osas veel [lk 42]. See peitub matemaatikute kirjasõnas, asjaolus, et matemaatiline tähistus ja keel erineb teatud määral igapäeva keelest. See lihtsustatud keel teeb matemaatikat lihtsamaks ja võimaldab matemaatikale tema täpsust ja üheselt mõistetavust.

Lisaks on osa matemaatika enda ilust peidus just selles, et tema tõestused ja tähistused on võimalik kirja panna ümbritsevast sõltumatult, lakooniliselt ja puhtalt. Ainult nii saavutavad matemaatilised argumendid oma võime kirjeldada ühtaegu nii erinevaid ja mitmekoelisi olukordi: x-dest ja y-test koosnev võrrand räägib teile tegelikult kuussada muinaslugu, need peab aga igaüks ise juurde mõtlema.

Aju vajab aga matemaatilise stiili, matemaatiliste sümbolite ja keelega pisut harjumist.

Nii kaua kui tuleb kogu aeg järele vaadata, mida ikkagi tähendab võrrandis istuv x, sümbol > või mis täpselt on tuletis, toimib matemaatika justkui sõnaraamatu abil. Kes sõnaraamatu abil välisriigis vestelda on proovinud, teab, kui vaevaliseks see osutub – tervikliku teksti loomiseks tuleb sõnu juba unepealt vallata, muidu on lause algus lause lõpuks ununenud ja mõtet väljendada ei suudagi.

Matemaatikat on keeruline õpetada

Kolmas matemaatika raskus peitub ilmselt selles, et teda on keeruline õpetada. Ühelt poolt tahaksid õpetajad alati tundi kindlasti põnevaks teha – näidata ilusaid pilte ja seostuvaid katseid. Sellega riskib ta aga, et lihtsad ja selged matemaatilised argumendid jäävad ilusate juttude ning kaunistuste varju. Nii alustatakse tihti rangelt matemaatilisest sisust ja varju jäävad hoopis seosed eluga.

Muidugi, ideaalis toimuks õppetöö risti-rästi, vahele elulisi lugusid, vahele matemaatilist selgust, ent see vajab väga palju aega. Kooliprogrammis on aga matemaatika jaoks aega aina vähem, samas teadmisi, mida edasi tahetakse anda, aina enam.

Nii antaksegi tihti edasi matemaatilised teadmised nende kõige kompaktsemas vormis – objektide nimed, definitsioonid, arvutusvõtted, ilma pikemalt selgitamata, kust ikka tulevad need nimed, definitsioonid, meetodid. Võrrandite, teoreemide tagamaad jäävad tumedaks ning nad ei seostu muu kui tahvliga. Mõnele ei ole see probleem ning piisabki ainult matemaatilisest sisust, mõnele teisele on aga eluline kontekst ja mõttelugu hädavajalik. Ilmselt tuleb siis selle jaoks aega leida ka väljaspool kooli ning ehk on abiks ka käesolev raamat.

Matemaatika vajab aega

Kuidas neist raskustest üle saada? Tuleb julge olla ja tuleb endale ning matemaatikale aega anda. Matemaatika tahab, et temaga tegeletaks iga päev natukene. Tuleb mängida matemaatikaga ja seeläbi harjuda tema stiili ning keelega. Tuleb lahendada õpetaja antud ülesandeid ja endale ise ülesandeid juurde mõtelda. Tuleb lahendada ülesandeid, mida oskate, ja proovida neid, mida ei oska. Tuleb otsida seoseid ja seoste vahelisi seoseid. Tuleb pabereid sodida ja tindiga mitte kokku hoida. Ja usu või mitte – seda kõike on võimalik teha lõbuga!

Üks on kindel, kui Sulle endale meeldib matemaatika ning temaga tegeled, meeldid varsti ka ise matemaatikale. Igal juhul ei pea matemaatika nautimiseks kindlasti saama kohe matemaatikuks. Nii nagu juba lihtsad, aga tunnetatud kitarriakordid teevad lõkke ääres kõrvale head, võiks mõttemustritele head teha ka natuke lihtsat, aga ilusat matemaatikat.

Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned isiklikud mõtisklused matemaatikast ja loodame, et nad mõjuvad omakorda innustavalt ka lugejale.

Matemaatika aitab ajust aru saada

Ajuprotsessid on aluseks kõigele, mis me tahame, mõtleme, tunneme. Aju määrab selle, kes ja millised me oleme. Aga praeguseni on üsna mõistatuslik, kuidas kõik need vaimsed protsessid ajus tekivad. Seega on aju tähtis uurimisobjekt, kui tahame mõista iseennast. Ajust arusaamiseks on tarvis matemaatikat. Ajuandmete uurimiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid ja nende andmete statistiline analüüs põhineb matemaatilistel alustõdedel. Kuid mis peamine, ajust arusaamiseks on tarvis teooriat aju tööprintsiipide kohta, mis suudaks selgitada ja ennustada meie vaimseid protsesse. Sellised teooriad põhinevad matemaatikal. Seega pole käesolev raamat, „Matemaatika õhtuõpik”, sugugi mitte ainult investeering kõrgemasse eksamihindesse või paremasse arusaamisesse matemaatikast, vaid loob aluse ka paljude teiste esialgu näiliselt matemaatikast kaugete nähtuste paremaks mõistmiseks.

Jaan Aru
Frankfurdi Max Plancki Aju-uuringute Instituudi doktorant

Universum on kirjutatud matemaatika keeles

Füüsikuna on mul äärmiselt hea meel sellise raamatu nagu „Matemaatika õhtuõpik” ilmumisest. Kahtlemata on ka „puhtal matemaatikal” omad võlud ja neistki võib raamatu huviline lugeja aimu saada, aga matemaatika tähtsus on palju laiem. See on keel, milles on kirja pandud kaasaegne loodusteadus, füüsika sealhulgas ja eriti. Pole imestada, et üks moodsa füüsika alusepanijatest – Sir Isaac Newton – oli ühtlasi ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse looja, viimaseta muutuksid Newtoni kuulsad seadused rakendusväärtuseta metafoorideks. Matemaatilised mudelid ja meetodid leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus- ja ennustusjõu.

Galileo Galilei on ligi nelisada aastat tagasi kirjutanud: „Filosoofia on kirja pandud suurde raamatusse, mis pidevalt seisab avatuna me silme ees (ma pean silmas Universumit), aga me ei saa seda mõista enne, kui oleme selgeks õppinud keele ja tunneme tähestikku, mille abil see kirjutatud on. See on kirjutatud matemaatika keeles, mille tähtedeks on kolmnurgad, ringid ja teised geomeetrilised kujundid, ilma milleta on inimlikult võimatu mõista kirjapandust ainustki sõna, ilma milleta ekseldakse pimedas labürindis.” (Il Saggiatore, 1623) Head lugema õppimist! Head lugemist! Ja ei pea üks õpik olema ju igav, tüütu ja raskesti mõistetav – „Matemaatika õhtuõpik” pole seda kindlasti mitte.

Jaak Kikas
Tartu Ülikooli Füüsika Instituudi direktor

Matemaatika on teadmistepõhise ühiskonna alus

Matemaatika on mind võlunud alates lapsepõlvest. Ehkki kooliajal oli tegemist ühe minu lemmikõppeainega, on matemaatika saatnud mind läbi elu, olles olnud kaaslaseks nii ülikooliõpingutes kui igapäevases tööelus.

Matemaatika on fundamentaalne ja väga põnev, mille olulisust hariduses ning teadmistes on raske üle hinnata. Võimaldades kirjeldada nähtusi universaalses ja kõigile üheselt mõistetavas keeles, kuulub matemaatiline kirjaoskus hea hariduse juurde ning on targa inimese repertuaari lahutamatu osa.

Matemaatika on aluseks ühiskonnale tervikuna, nii kasutavad seda igapäevaselt insenerid, õpetajad, ärimehed, arstid jne. Ilma matemaatikaalaste oskusteta ei ole võimalik oma teadmisi süstematiseerida ega neid reeglipäraselt edendada.

Numbrimaailmas orienteerumine on sedavõrd oluline, et vead matemaatilises mõtlemises võivad põhjustada korvamatut kahju. Selle väite illustreerimiseks võib tuua hiljutised sündmused seoses meie suusasangarile esitatud väidetava dopingusüüdistusega. Ehkki dopingutesti viga on sisuliselt biokeemiline, oli selle kirjeldamine ja üheselt arusaadavaks tegemine võimalik vaid läbi matemaatilise kirjaoskuse. Inimkonna ajaloos on teisigi selliseid näiteid, kus puudulikud teadmised matemaatikast põhjustavad kas arusaamatusi, eksimusi või otsest kahju. Samas, head matemaatilised oskused annavad informatsiooni, mida saab kasutada konkurentsieelise  tekitamiseks.

Võib väita, et teadmistepõhise ühiskonna vundamendiks on matemaatikat hästi tundvad liikmed. Seega, eeskujulik matemaatiline kirjaoskus on väravaks arenenud ühiskonda.

On tervitatav, et traditsiooniliste matemaatikaõpikute kõrvale on tulnud selgelt eristuva lähenemisega raamat, tuues numbrite ilu- ja võlumaailma huvilistele senisest uudsema nurga all lähemale.

Sulev Kõks
Tartu Ülikooli arstiteaduskonna füsioloogilise genoomika professor ja füsioloogia vanemteadur

Matemaatika ei ole ainult krõnksud

Paljude jaoks paistab matemaatika olevat sünonüümne nende krõnksude ja imelike tähtedega, mida põhikooli ja keskkooli matemaatikatundides pähe õppima sunniti. Sellest on aga tohutult kahju, sest tegeliku matemaatikaga on sel umbes sama vähe pistmist kui hiina hieroglüüfidel neis kirjutatud teoste sisuga.

On selge, et kirjatüki täiel määral nautimiseks on vaja tunda selle kirjutamise keelt kõigis selle nüanssides. Sama selge on aga ka see, et suurem osa teose sisulisest ja kirjanduslikust väärtusest on võimalik edasi anda läbi selle osava tõlkimise.

Koolimatemaatika keskendub paraku aga just selle keele õpetamisele ja nii jääbki sisuline tähendus õpilaste jaoks tihti vormi poolt varjatuks. Erinevalt tavalistest õpikutest, mis sarnanevad sisult tihti just klassikaliste keeleõpikutega, on selle raamatu eesmärgiks olla pigem „tõlge”, tutvustades matemaatilise mõtteloo arengut ja selle põhiideid, näidates keelt selle juurde üksnes möödaminnes.

Loodan, et selle tõlke kaudu avaneb ka lugejale pilt sellesse lummavasse ideede maailma, mida mina ning raamatu autorid „päris” matemaatika nime all armastavad. Kui veab, annab see teos ehk mõnele motivatsiooni ka keeleõpinguid jätkata ning lõpuks neid teoseid ka originaalis lugema õppida.

Margus Niitsoo
Tartu Ülikooli arvutiteaduse õppejõud

Matemaatiline intuitsioon aitab rakendajat

Mind on vist alati matemaatikast endast enam paelunud, kuidas see on tegelikult kasulik hoopis teistele valdkondadele. Oma eriala valides tahtsin aru saada, kuidas ikkagi arvuteid õpetatakse midagi sellist tegema, mida inimene soovib saavutada arvuti abil. Selle juures oli vaja aru saada ka arvuti enda töö põhimõtetest ehk näiteks lihtsast matemaatilisest loogikast. Õnneks ma ei kartnud matemaatikat ja mõtlesin, et kui teised on hakkama saanud, siis pean ka mina saama.

Hiljem, otsides omakorda IT-le rakendusi, jäi ette bioloogia, kus oli hakatud tootma tolle aja mõttes suuri andmestikke. Siis sai matemaatikast uuesti sõber, mis aitas lahendada uusi probleeme. Ja mälusoppidest tuli vahel võtta välja oskusi, mida kunagi gümnaasiumis või ülikoolis omandasime.

Ma arvan, et matemaatikal ongi kaks selget suunda – üks, mis kompab matemaatika enda piire ja teine, mis rakenduste kaudu võtab matemaatikat kasutusse. Õppides võib tunduda, et võetakse arvesse vaid matemaatika enda huve. Kuid tegelikult aitab matemaatiline intuitsioon kõige rohkem just rakendajaid, kõikide teiste erialade esindajaid. Loodan, et õpik aitab just neid teisi leidma oma sinasõprust matemaatika õppimisega ning olukordade jaoks, kus matemaatika nõuab tavalisest veidi rohkem tähelepanu.

Jaak Vilo
Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituudi juhataja

Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti.

Näiteks võib matemaatika õpikus kenasti ette tulla lause: „Võrrandi x² – 5x + 6 = 0 lahendid on x = 2 ning x = 3”  ning selle otsa on joonistatud veel  ka järgmine kõverik:

Kui nüüd ei tea, mida tähendab võrrand, mis asjaloom on see x, mida peetakse silmas lahendi all ning mida paganat on sellel imelikul joonel kõige sellega pistmist, võibki kõik jätta üsna maavälise mulje ning südamerahuks tuleb õpik hoopis kinni panna juba enne, kui sisu kallale on jõutud.

Oskussõnad

Nii hull lugu matemaatikaga siiski pole. Tõesti, matemaatikal on oma oskussõnad nagu näiteks võrrand, lahend, funktsioon või muutuja, mis tähistavad teatud matemaatilisi objekte või teisendusi. Need objektid ei eksisteeri küll alati reaalsel füüsikalisel kujul, aga siiski saab neist tihti üsna loomulikult mõelda.

Näiteks kui õpetaja räägib tasandist, võime mõelda lihtsalt paberilehele, lauapinnale või tasasele maastikule, olgugi et matemaatikas on tasandil täpsem tähendus. Samuti on ju raske öelda, mis on arv kolm füüsikalises maailmas, aga temast mõtelda pole raske – kutsu oma kolm sõpra külla!

Tundub, et oluline ongi tunda nii matemaatiliste mõistete rangeid kirjeldusi kui lihtsaid viise ning intuitsiooni nendest mõtlemiseks. Käesolevas osas tutvustame matemaatika alusmõisteid – muutujat, võrdust, hulka ja funktsiooni. Nendest arusaamine ning nendega harjumine on edaspidi suureks abiks.

Tähed ja sümbolid

Lisaks oskussõnadele leiab matemaatikast palju tähti nagu a, x, y või n ning palju sümboleid nagu näiteks =, <, +, – ja ∞.

Sümbolid tuleb lihtsalt ära õppida, tähtede tähendus oleneb aga situatsioonist. Üldiselt kasutatakse tähti muutujate tähistamiseks [lk 48]. Muutujaid võiks muidugi tähistada ka sõnadega, aga tähtede kasutamine hoiab aega kokku. Lisaks aitavad tähed eraldada matemaatilist arutelu algsest elulisest kontekstist, muutes seeläbi tihti mõtlemist lihtsamaks ning laiemalt rakenduvaks.

Näiteks kui meile on öeldud, et klassis on poisse kolme võrra rohkem kui tüdrukuid, siis matemaatikud kirjutaksid selle järgmiselt:

Miks nii? Võime öeldu ümber sõnastada nii: kui tüdrukute arvule veel kolm juurde liita, siis oleks neid sama palju kui poisse. Fraasi „sama palju” tähistatakse matemaatiliselt sümboliga = ja liitmist muidugi sümboliga +. Seega saame:

Ent see on ju ometigi suurem kirjavaev kui $p=t+3$?

Pealegi on lühemas kujus selge, et sarnaselt saaks kirjeldada ka olukorda, kus poiste ja tüdrukute asemel on hoopis prussakad ja tarakanid.

Üksikute tähtedega võrrandid ei ole niisiis ainult kirjavaeva, vaid ka mõttevaeva kokkuhoidmiseks – võrrandiga ei pea enam siduma mingit konkreetset elulist situatsiooni ja võib tegeleda ainult tema matemaatilise sisu ja tõdedega.

Matemaatilised žanrid

Matemaatilist teksti liigendavad ja ilmestavad pisikesed matemaatilised žanrid: räägitakse näiteks definitsioonist, väitest, tõestusest, teoreemist. Vahel satuvad veel seltsi ka sõnad nagu lemma või hüpotees. Järgnevalt kirjeldame, mida ühelt või teiselt neist žanritest oodata võiks.

Definitsioon

Definitsiooni all peetakse silmas mingi objekti matemaatiliselt täpset kirjeldust. See täpne kirjeldus võib aga olla antud mitmel erineval viisil, erinedes nii lihtsalt lauseehituselt kui ka sisulisemalt.

Näiteks võib positiivseid paarisarve defineerida järgmiselt (ei maksa end hirmutada lasta sõnade „definitsioon” või „defineerima” kalgist kõlast!).

Definitsioon 1: Positiivsed paarisarvud on arvud 2, 4, 6, 8, …

Definitsioon 2: Positiivne paarisarv on naturaalarv, mis jagub kahega.

Definitsioon 3: Iga positiivse paarisarvu saame, kui liidame arvule 0 juurde lõpliku arvu kordi arvu 2.

Need kõik kolm definitsiooni on samaväärsed – ehk iga arv, mis on näiteks definitsiooni 2 järgi paarisarv, on ka definitsioonide 1 ja 3 järgi paarisarv.

Võib tekkida küsimus, miks me peaksime defineerima sama asja mitut moodi? Esimese põhjusena võib esile tuua, et erinevad definitsioonid aitavad meil samast objektist mitut moodi mõelda ja nii saame selle olemusest paremini aimu. Näiteks arvude peatükis defineerime ringjoone lausa viiel erineval moel ning iga erinev viis kannab endas ka pisut erinevat tähendust [lk 96]. Lisaks võivad erinevad definitsioonid viia ka erinevate matemaatiliste arutelude ehk tõestusteni – mõnest definitsioonist lähtudes on tõestused lihtsamad kui mõnest teisest lähtudes. Lõpuks võivad erinevad definitsioonid viia lausa erinevate väideteni. Näiteks võib integraali [lk 340] defineerida mitmel matemaatilisel moel ja olenevalt definitsioonist võivad erinevate funktsioonide integraalid ka erineda! Hästi valitud definitsioonid lihtsustavad matemaatilist arutelu tublisti ja on ilusa matemaatilise maailma aluseks.

Väide

Väide tähendab matemaatikas sama, mida tavakeeleski. Väide võiks olla näiteks: „4 on paarisarv” või „5 on paarisarv”. Vastupidiselt tavaelu väidetele ei saa aga matemaatiliste väidete õigsuse üle lõputult vaielda – iga matemaatiline väide on kokkuvõttes kas tõene või väär.

Väidetega seoses võiks tähelepanu pöörata ka sellele, kui mitmekülgselt käivad matemaatikud ringi sõnaga „siis“. Kasutusel on väljendid „siis” ja „siis ja ainult siis” ehk „parajasti siis”. Nad tähistavad seda, kuidas teatud väited omavahel seoses on.

Näiteks vaatame kolme väidet.

1. Abu on klassi kõige pikem poiss.
2. Abu on poiss.
3. Kõik Abu poistest klassikaaslased on temast lühemad.

Kui kehtib esimene väide, SIIS kehtib ka teine väide – kui Abu on klassi kõige pikem poiss, siis kindlasti on Abu ka poiss. Samas kui kehtib teine väide, siis esimene väide ei pruugi kehtida: kui Abu on poiss, siis see ei tähenda, et ta oleks tingimata kõige pikem poiss. Seega SIIS lubab ühesuunalist järeldamist.

Kui aga lisame teisele väitele veel kolmanda, siis üheskoos on nad esimesega võrdväärsed. Selle kohta ütleme, et esimene väide kehtib PARAJASTI SIIS või samamoodi SIIS JA AINULT SIIS, kui samaaegselt kehtivad teine ja kolmas väide. Seega „parajasti siis” lubab kahesuunalist järeldamist ja näitab, et väited on samaväärsed.

Tõestus

Nagu mainisime, on matemaatilised väited kas tõesed või väärad. Matemaatiliselt veenvat argumenti, mis väite tõesust või väärust põhjendab, nimetataksegi tõestuseks. Tõestust kasutatakse samas tähenduses ka igapäevaselt, aga matemaatikute rangustasemele teised valdkonnad siiski vastu ei saa. Siiski on ka matemaatikute endi rangusstandardid aja jooksul muutunud.

Näiteks argumentide eest, mida üks 18. sajandi matemaatik pidas rangeks matemaatiliseks tõestuseks, ei antaks praegu kindlasti matemaatikaeksamitel maksimumpunkte.

Tõestust peaks olema põhimõtteliselt võimalik kirja panna ka matemaatilise loogika täpses ja lakoonilises keeles, pika sümbolitemölluna. Natuke pikemalt räägime sellest hulkade peatükis [lk 61]. Õnneks päris nii rangeks enamasti aga ei minda ning peamiselt on ka matemaatilised tõestused siiski sõnalised arutelud, mis lähtuvad teatud aksioomidest, definitsioonidest ja tõestest väidetest ning teevad siis mitmeid järeldussamme.

Hoolimata sellest, et sõnal tõestus on ranguse maitse, on tõestuste leidmine vägagi loominguline protsess. Vahel viib tõestuse teekond algsetest väidetest ja eeldustest väga kaugele, enne kui ringiga taas lõppväiteni tagasi jõuab. Erinevad tõestused aitavad paremini mõista matemaatilist maailma, aga ka seal, kus matemaatika on eluga tihedalt seotud, aitavad tõestused mõtlemisele kaasa. Tõestusi saab omavahel võrrelda ja hinnata; neid saab luua, parandada ja kritiseerida nagu ikka ühele kenale loomingule kombeks.

Ka siit raamatust leiab mitmeid tõestusi, vahel on nad matemaatiliselt rangemad, vahel vähem ranged. Näiteks arutleme, miks arvu √2  ei saa väljendada kahe täisarvu suhtena kujus ^a⁄_b [lk 87] või miks kehtivad teatavad matemaatilised suurväited ehk teoreemid: trigonomeetria peatükis jõuame nii siinus- [lk 222] kui ka koosinusteoreemini [lk 224]. Esimene tõestus tuleb aga esile juba järgmises alapeatükis.

Teoreem

Teoreem on ehk matemaatika kõige austusväärsem žanr. Teoreemiks nimetatakse väidet koos matemaatiliselt täpse tõestusega. Õigupoolest julgetakse enamasti teoreemiks nimetada ainult piisavalt ägedaid väiteid koos oma ägedate tõestustega. Teoreemile antakse tihti ka tema avastaja nimi – kuigi peab tunnistama, et paljudel nimelistel teoreemidel pole nimeandjaga siiski suurt pistmist.

Üks kuulus teoreem on järgmine.

Teoreem: Leidub lõpmatult palju algarve. (Eukleides)

Sulgudes seisev „Eukleides” tähistab tõestuse autorit ja tihti nimetataksegi seda teoreemi Eukleidese teoreemiks.

Meenutame, et algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult enda ja ühega – nagu näiteks 2, 3 ja 5. Arvud 4 ja 6 aga pole algarvud, sest 4 = 2 · 2 ja 6 = 2 · 3. Algarvud on mingis mõttes kõikide teiste arvude baasiks. Neid ennast ei saa tegurdada, aga kõik teised arvud võime esitada algarvude korrutisena. Näiteks võime algarvude korrutisena kirjutada 8 = 2 · 2 · 2 ja 21 = 7 · 3.

Üritame lugejat selles teoreemis järgnevalt ka veenda. Meenutame, et  arutlust, mis veenaks ka kõige skeptilisemat matemaatikut, nimetatakse tõestuseks ning sisuliselt annamegi siin tõestuse.

Tõestus:

Alustuseks märgime, et algarve kindlasti leidub – näiteks 2, 3 ja 5 on algarvud ja nii mõnigi veel. Oletame, et oleme leidnud juba n erinevat algarvu p₁, p₂, ..., p_n. Kas leidub mõni veel? Kuidas teda leida?

Uus algarv ei tohiks kindlasti jaguda ühegagi juba teadaolevatest arvudest. Kõige lihtsam oleks siis vaadata arvu A, mis on ühe võrra suurem kui kõikide seni leitud algarvude korrutis:

Nii ei saa see arv kindlasti jaguda ühegagi juba leitud algarvudest, sest nendega jagamisel jätab ta jäägi 1.

Kui see arv ei jagu enam ühegi teise arvuga peale ühe ja iseenda, ongi tegemist ühe uue algarvuga. Nüüd, kui tegemist ei ole algarvuga, siis nagu meenutasime, saab ta kirjutada erinevate algarvude korrutisena. Ükski neist algarvudest ei ole meile veel aga teada!

Nii olemegi leidnud vähemalt ühe uue algarvu. Veelgi enam, ükskõik kui palju algarve me juba ei teaks, võime iga kord kasutada sama argumenti ja leida vähemalt ühe veel. Seega ongi algarve lõpmatult palju.

Selle väite ja tõestuse peale olevat tulnud Eukleides, kuulus Vana-Kreeka matemaatik, kes armastas geomeetriat ja arve. Tänaseks on sellele teoreemile juba kümneid tõestusi ja õigupoolest teame algarvude kohta nüüd palju rohkem. Teame näiteks üsna täpselt, kui palju leidub mingist kindlast arvust, näiteks tuhandest väiksemaid algarve. Palju küsimusi on aga endiselt ka vastamata.

Kuidas teile meeldiks, kui teil oleks rahatäht, millele kirjutatud väärtust saate kogu aeg muuta? Meeldiks? Siis meeldib teile ka muutuja mõiste matemaatikas.

Muutuja ongi lihtsalt üks matemaatiline objekt, mille väärtus võib muutuda ja mille väärtust võime muuta. Tihti esineb ta mingi kummalise lühikese nimega nagu x, y, z või n – matemaatikud juba niisama tinti ei raiska.

Muutuja erinevates rollides

Muutujaid kasutatakse väga erinevates rollides. Tegemist on üsna üldise ja tihti lihtsustamise eesmärgil sisse toodud mõistega. Kuidas ja mis suhtes muutuja täpselt muutub, sõltub konkreetsest kontekstist ning mõnikord kutsutakse teda hoopis mõne teise nimega.

Muutuja, võrdused ja võrrandid

Muutujaid võib kohata võrduste ja võrranditega tegeledes. Kusjuures võrrandis on lihtsalt meile veel tundmatu suurus seotud teiste, meile hästi teadaolevate suurustega. Näiteks

kohta võib sõbrale öelda, et tegemist on võrrandiga muutuja x suhtes või võrdusega juhul, kui muutuja x väärtuseks on 3.

Muutuja on võrrandite kontekstis meie otsitav objekt – selline arv, millele kahte liites saame viie. Tema väärtus on meile alguses teadmata ja nii võikski teda nimetada ka „tundmatuks”.

Keerulisemate, nii-öelda üldkujus võrrandite korral aitab muutuja kui objekti sissetoomine vältida segadust.

Üldkujus võrrand on näiteks

Kui keegi ütleb, et x on selle võrrandi muutuja, siis teame, et otsime just x-ile sobivaid väärtuseid ning teised tähed tähistavad ainult teatavaid kordajaid. Konkreetsel juhul võime tundmatu x leidmiseks võrrandi mõlemalt poolt lahutada arvu a ning leida,

See on üldkujus võrrandi lahend.

Milleks meile üldse üldkujus võrrandid? Nad teevad elu lihtsamaks, aidates lahendada korraga palju erinevaid võrrandeid.

Näiteks ülaltoodud üldkujus võrrandi abil lahendasime ühekorraga ära kõik kolm järgnevat võrrandit:

Esimesel juhul peame valima lihtsalt a = 2, b = 4 ja saame lahendiks x = 2. Teisel juhul valime a = 3, b = 6 ja vastus on x = 3 ning kolmandal juhul annab a = 9, b = 14 valik lahendi x = 5.

Loomulikult võiksime tundmatu võrrandis tähistada ka tähega a ning kordajaid hoopis tähtedega x ja y. Sel juhul peaksime aga iga kord võrrandi juures hoolikalt täpsustama, mis on tundmatuks. Kokkulepe, et just x peaks enamasti olema tundmatu rollis, teeb matemaatika lugemise lihtsalt kergemaks ja kiiremaks. Kui meeldiv on näiteks lugeda järgmises kujus ruutvõrrandit ja tema lahendivalemit?

Kuna selline tähistus hirmutab ja tekitab parasjagu segadust, üritame raamatus kõike tähistada võimalikult levinud sümbolitega.

Muutuja ja funktsioonid

Muutujad tulevad esile ka funktsioonidest rääkides.

Funktsiooni peatükis kirjeldame, et funktsioonist võib mõelda kui teatud masinast, mis võtab muutuja ning teeb temaga mingi operatsiooni või teisenduse. Vahel kutsutakse teda ka funktsiooni argumendiks [lk 64].

Näiteks öeldakse, et ruutfunktsioon on ühe muutujaga funktsioon ehk masin, mis võtab muutuja ja korrutab teda iseendaga. Kui anname muutujale väärtuse 3, saame vastuseks 9, andes muutujale väärtuse 5, saame vastuseks 25.

Ristküliku pindala valem

on aga juba kahe muutujaga funktsioon: võime ju muuta mõlemat ristküliku külge ja pindala aina aga muutub.

Muutuja ja summad

Muutuja võib esile tulla ka pikkades keerulistes summades või integraali nimelises monstrumis [lk 340], aidates matemaatikul end kompaktsemalt ja täpsemalt väljendada.

Kui matemaatik tahab kokku liita arvud ühest kümneni, väljendab ta ennast aga nii:

mida loeme järgnevalt: summeerime üle kõikide arvude i, alates arvust  1  kuni arvuni 10 välja:

Seda hirmsat kõverikku ei maksa sugugi karta. Tegemist on suure kreeka sigma ehk meie S-iga, mis näeb välja nagu ohutu liblikas. Meie jaoks on ta aga lihtsalt kokkuleppeline tähistus summeerimise jaoks.

Näiteks

või

Neile, kes on veidi programmeerinud, on see muidugi vägagi   selge – ka arvutitele meeldivad muutujad. Selle asemel, et kirjutada välja summa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, ütlete arvutile, et liida kokku kõik arvud i, mis on vahemikus 1, ..., 10, ning kasuta liitmisel abimuutujat n, mille algväärtus on 0. Näiteks kirjutaks informaatik programmeerimiskeeles Python nii:

n = 0
for i in range(0,11) :
n = n + i
print(n)

Muutujateks oleks siin jupis nii „i” kui „n”. Esimesel real antakse muutujale väärtuseks 0. Järgmine rida ütleb, et muutujat tuleb muuta 1-st 10-ni (arve 0 ja 11 ei arvestata). Kolmas rida ütleb, et muutujale n tuleb iga kord juurde liita i väärtus. Nii ongi n-i väärtus algul 0, siis liidetakse n-ile juurde 1 ning n-i väärtuseks saabki 1. Järgmine kord on i väärtus 2 ja see liidetakse n-ile juurde ning uueks väärtuseks on 1 + 2 = 3. Lõpuks on n-i väärtus 55 ning see kuvatakse ekraanil.

Võrdsus on igapäevane mõiste. Räägitakse võrdsetest valikutest, võrdsetest võimalustest, võrdsetest vahetustest. Seega ei ole üllatav, et võrdsus kuulub ka matemaatiliste põhimõistete alla. Matemaatika tahab aga täpsust. Mida me võrdsuse all täpsemalt silmas peame?

Teisisõnu, kui ütleme, et kaks puud on võrdse jämedusega või et kahel meeskonnal on tabelis võrdne seis või et kahte õpetajat kuulati võrdse huviga, siis mis ühendab sõna võrdne kõigis neis fraasides?

Natuke järele mõeldes tundub, et pea igas kontekstis käsitleme teatud omadusi või objekte võrdsetena, kui neid võiks omavahel ära vahetada, nii et keegi vahetusele jälile ei saaks.

Muidugi sõltub äravahetatavus päriselus detailide rohkusest, mida arvestame: kaks head õpetajat on äravahetatavad, kui meid huvitab ainult see, kui palju õpilasi neid põnevil kuulab. Kui aga arvesse võtta ka jutu sisu või nende juuksevärv, siis on neid ilmselt igati võimalik eristada.

Matemaatiline võrdsus on väga sarnane. Tahame võrdseks pidada objekte, mille äravahetamine ei muudaks mitte kübetki. Jällegi peame aga hoolsad olema ja kindlaks määrama, milliseid omadusi silmas peame. Matemaatiliselt pannakse säärane arvude võrdsus kirja matemaatilise võrduse abil.

Näiteks kahte arvu tahame lugeda võrdseteks, kui kõikides seostes teiste arvudega ning kõikide tehete suhtes käituvad nad täpselt ühtemoodi.

Näiteks on võrdsed arvud ²⁄₃ ja ⁶⁄₉, kuigi nad näevad välja erinevad. Samuti on matemaatikas arv 1 ja lõpmatu perioodilise esitusega arv 0,999 ... võrdsed, ent nende kümnendesitused on ju erinevad! Seda võib endale selgitada mitmel moel. Kui arvud 1 ja 0,999 ... oleksid erinevad, siis peaksid need arvud erinema mingi nullist erineva arvu võrra. Aga ükskõik kui väiksele arvule 0,999 ... juurde liidame, saame ikkagi ühest suurema aru. Samuti võib tunduda mõistlik, et

Ka paljude teiste objektide jaoks on nende võrdsus saanud eraldi nimetuse. Näiteks kahte kolmnurka, mida võime teineteise peale kattuvalt asetada ja mis seega on iga geomeetrilise teisenduse suhtes võrdsed, nimetatakse kongruentseteks kolmnurkadeks. Neil on täpselt võrdsed küljed ja nurgad.

Mõnikord huvitab meid aga ainult kolmnurkade kuju ja mitte nende täpne suurus. Kolmnurki, mida võime suurendamise ja vähendamise teel teineteiseks muuta, nimetatakse sarnasteks kolmnurkadeks.

Üks matemaatika eesmärke on leida lihtsaid tingimusi, mille korral kaks objekti on võrdsed. Nagu nägime, ei ole arvude puhul nende kümnendesitus ega ka murdesitus sobivaks kriteeriumiks. Näiteks kolmnurkade puhul selgub aga, et kahe kolmnurga võrdsuseks piisab kõigi kolme külje võrdsusest ning nende sarnasuseks kolme nurga võrdsusest.

Matemaatiline võrdus

Nagu mainisime, võime arvude võrdsuse kirja panna matemaatilise võrduse abil. Matemaatilise võrduse tähistamiseks kasutatakse lühikeste rööbaste moodi märki „=”.  Näiteks võime eelnevalt väidetud arvvõrduse kirja panna kujus

Matemaatilise võrduse kasutus on muidugi laiem kui ainult arvud: arvude asemel võivad olla ka näiteks arvavaldised. Arvavaldis ei ole midagi keerulist – seal võivad arvude kõrval olla ka mõned tähed, mis võivad tähistada erinevaid arve, ja tehtemärgid.

Näiteks on arvavaldis 1 + 1 ja seega sobib ka võrduseks 1 + 1 = 2.           

Keerulisem arvavaldis on näiteks a + 3b, kus a ja b võivad tähistada suvalisi arve. Nad on seega muutujate rollis [lk 48] – nende väärtus võib meie suva järgi muutuda. Kui a tähistab arvu 1 ja b arvu 2, võime kirjutada võrduse a + 3b = 7. Seejuures peame meeles hoidma, mis ikkagi arvude ja väärtused parasjagu on. Nende väärtuseid muutes ei pruugi võrdus ju enam kehtida!

Tõese võrdusega seotud arvud või arvavaldised on iga arvutuse suhtes äravahetatavad: ükskõik mida me kahe võrdusmärgiga seotud arvu või avaldisega ei teeks, siis niikaua kui kohtleme neid täpselt samal viisil, jäävad tulemid alati võrdseks.

Näiteks võime tõsta eeltoodud võrduse märgi mõlemad pooled ruutu: (1 + 1)² = 2² või lisada mõlemale poolele arvu 5 : 1 + 1 + 5 = 2 + 5. Võrdus jääb nii esimesel kui teisel juhul endiselt kehtima.

Võrdusmärgi tänapäevase tähise võttis kasutusele Walesi matemaatik Robert Recorde 16. sajandil – ta oli lihtsalt tüdinenud välja kirjutamast sõnapaari „on võrdne”. Sedasama võrdusmärki kasutatakse ka paljude teiste matemaatiliste objektide võrdsuse tähistamiseks, näiteks kohtame teda juba järgmises peatükis, kus ta tähistab hulkade võrdsust.

Matemaatilise võrduse kasutused

Nagu nägime, on võrdus matemaatiline mõiste, mis aitab meil mõttekäiku täpsustada.

Võrdused teevad üldiselt elu lihtsamaks.Võrdusmärgiga seotud avaldised või arvud või muud matemaatilised objektid on täpselt samad. Seega võime kasutada igas olukorras meile sobivat, lihtsamat esitust.

Näiteks kui teame, et a² – b² = (a – b) · (a + b), annab see meile hea kavala mooduse teatud arvude korrutamiseks: Kui  palju on 8 · 12? Muidu vajab see omajagu pearaginat, aga kui kirjutame 8 = 10 – 2  ning 12 = 10 + 2 , näeme, et 8 · 12 = (10 – 2) · (10 + 2). Eeltoodud võrduse põhjal on see aga võrdne arvuga 10² – 2². Kuid 10 · 10 = 100 ja 2 · 2 = 4, seega 8 · 12 = 96!

Seega nagu kirjandustunnis tahetakse, et otsiksite ühele sõnale  sünonüüme, et end ilusamini väljendada, tasub alati otsida ka matemaatilisele objektile võrdseid objekte ja samaväärseid kirjeldusi. See teeb tihti matemaatika tegemise lihtsamaks: näiteks vahel soovime sama arvu näha kujus 823543, vahel aga kujus 7⁷ – kumb esitus meeldib Sulle rohkem?

Võrdused on kasulikud ka kitsamate matemaatiliste tarkuste edasiandmisel.

Arvutustarkused ja samasus

Võrduse abil võib lühidalt esitada igasugu erinevaid arvutustarkusi, mida vahel kutsutakse ka samasusteks, et rõhutada nende igavest ja ajatut kehtimist.

Näiteks a + b = b + a väljendab, et ükskõik millise kahe arvu summa ei olene liidetavate järjekorrast. Seda nimetatakse matemaatikas kommutatiivsuseks. Tõepoolest, kui a = 2, b = 4, kordame juba eeltoodud tarkust: 2 + 4 = 4 + 2.

Kuulus teisendamisnipp

näitab, et ükskõik millise kahe arvu summa ruudu võime leida, kui liidame kokku nende arvude ruudud ja lisame sellele veel arvude kahekordse korrutise. Kas valem pole mitte lühem kui eelmine lause? Või on toredam hoopis järgmine geomeetriline kirjeldus?

Viimase pildi keskmine liige näitab, et ab ja ba on võrdsed ning nende kokkuliitmisel tekibki 2ab.

Kuna eelmine joonis on väga tore, siis tõestame ka korrutamise jaotumise ehk distributiivsuse

sarnase graafilise meetodiga:

Nagu igapäevakeeleski, tähendab ka matemaatikute jaoks hulk mingite objektide kogumit. Näiteks moodustavad hulga kõik kartulid kastrulis, kõik õpilased klassis või kõik kassid vanaema keldris.

Hulgale kehtib ainult üks tingimus – ühedki kaks hulga elementi ei tohi olla võrdsed.

Matemaatikuid huvitavateks hulkadeks on näiteks kõikide naturaalarvude, negatiivsete reaalarvude, mingit võrrandit rahuldavate arvude või ka täisnurksete kolmnurkade hulk.

Hulkasid keskkoolis põhjalikumalt ei käsitleta – tegemist on ju nii lihtsate objektidega! Otsustasime siinkohal neist siiski rääkida, sest olgugi et lihtsad, on nad kogu matemaatika aluseks.

Hulkade kirjeldamine

Hulka kirjeldatakse tihti tema elemente loogeliste sulgude vahele üles loetledes. Näiteks kõik numbrid moodustavad hulga

Kuna igas lõigus ei ole mõtet kogu hulka välja kirjutada, antakse hulkadele tihti nimed. Enamasti tähistatakse hulkasid suurte tähtedega: näiteks võime öelda, et

Hulga elementidel puudub igasugune ambitsioon või kohustus end järjestada – nad on kõik võrdväärsed hulga liikmed. Seega oleksime võinud A elemendid loetleda ka mõnes muus suvalises järjekorras nagu näiteks

Hulka võib kirjeldada ka mõne tingimuse abil. Eeltoodud hulka oleksime näiteks võinud kirjeldada järgmiselt:

või lihtsalt

Paarisarvude hulka võime aga kirjeldada nii:

Lühendatult võib kirjeldus võtta ka järgmise kuju:

või kogenud matemaatikafänni kätetöös muutuda hoopis minimalistlikuks:

Seda avaldist peaks lugema järgnevalt: P on hulk, mis koosneb täisarvudest n nii, et n jagub kahega.

Andes hulgale A erinevaid kirjeldusi, kasutasime juba ühte lihtsat, aga  tähtsat hulkade omadust: kaks hulka on võrdsed parajasti siis, kui neis on täpselt samad elemendid. Ehk teisisõnu hulgad on võrdsed parajasti siis, kui kõik elemendid, mis asuvad ühes hulgas, asuvad ka teises ning vastupidi.

Hulkade olulisus

Üritame järgnevalt vastata selle peatüki eksistentsiküsimusele: mis kasu on aga sellisest lihtsast objektide kogumist nagu hulk ja miks ta siia põhimõistete alla on sattunud? Veelgi enam, miks me räägime temast nii pikalt?

Tükkide sidumine

Esiteks koosneb peaaegu kõik väiksematest osadest. Nii võib peaaegu kõike juppideks lahti võtta ning nende juppide abil kirjeldada. Näiteks pallivõistkond koosneb tema mängijatest, lause sõnadest, õhk erinevatest molekulidest, aatomituum prootonitest ja neutronitest ja nii edasi. Selliste kirjelduste taga võib juba näha hulkasid.

Sarnaselt tulevad hulgad mängu ka matemaatiliste objektide kirjeldamisel: näiteks ringjoont võib kirjeldada kui kõikide punktide hulka, mis asuvad ühest kindlast punktist – ringjoone keskpunktist – võrdsel kaugusel.

Just see alternatiivne kirjeldus selgitab, miks saame sirkliga ilusaid ringjooni joonistada. Kui asetame sirkli ühe haara ringjoone keskpunkti, siis liigutades teist haara joonistame järjest tollest keskpunktist võrdsel kaugusel olevaid punkte.

Korraga käitlemine

Teiseks tahame tihti midagi ette võtta paljude objektidega korraga.

Näiteks tahab õpetaja hinde panna kõikidele klassi õpilastele või mesilane tolmeldada kõiki ümbruskonna õienuppe. Nii võime rääkida hindamisest või tolmeldamisest kui operatsioonist, mida võib ette võtta kõikide õpilastega või kõikide õienuppudega.

Matemaatikas on hea, kui oskame iga kolmnurgaga seada vastavusse tema pindala või kõikide reaalarvude jaoks leida nende ruutude väärtuseid. Selliseid mõtteid saame täpselt ja matemaatiliselt kirja panna just hulkade abil, defineerides mingi tegevuse – või täpsemalt funktsiooni – kõikidel hulga elementidel.

Näiteks arvu ruutu võtmine on operatsioon, mis valib kõikide reaalarvude hulgast mõne arvu ning seab temaga vastavusse selle arvu korrutise iseendaga. See kõik on tihedalt seotud funktsioonidega ning nende niinimetatud määramis- ja muutumispiirkondadega [lk 67].

Hulgad on matemaatika aluseks

Kolmandaks – ja võibolla kõige üllatavamalt – osutuvad hulgad teatud mõttes kogu matemaatika aluseks.

Kui on rohkesti järjekindlust ja parasjagu kavalust, võib hulkade toel kirjeldada kõiki matemaatilisi objekte ja operatsioone. Nii ongi matemaatika seni kõige levinum vundament ehitatud just hulkadele. Kõik matemaatilised tulemused peaks teoreetiliselt saama ümber tõlkida keelde, kus ainsad objektid on hulgad ning nendega ümberkäimiseks on kümmekond karmi reeglit. See on oluline, kuna sellises keeles kirjutatud argumentide õigsust suudab kontrollida lisaks õpetajale juba ka arvuti – nii on igasugusel vaidlusel ots ja lõpp, arvuti teab täpselt! Tegelikult suudab arvuti juba isegi teatud lihtsamaid argumente sellises väga täpses ja formaalses keeles ka välja mõelda. Siiski on vähegi keerulisemate arutelude hulkade keelde ümber tõlkimine paras vaev ning matemaatikud on esialgu veel leidlikumad uute tulemuste tõestajad kui arvutid. Järgnevalt näitame, kuidas mõnda matemaatilist objekti hulkade abil kirjeldada. Meie raamatu piires neil kirjeldustel küll suurt olulisust pole, kuid võibolla on lihtsalt põnev lugeda.

Näiteks võib hulkade abil kirjeldada kõiki funktsioone [lk  64]. Ruutfunktsiooni – masinat, mis seab igale reaalarvule vastavusse tema ruudu – võime kirjeldada järjestatud arvupaaride hulgana:

Idee on siin mõelda, et iga arvupaari esimese liikmega seatakse vastavusse teine liige.

Kui vaatleksime funktsiooni y = x² ainult täisarvude nullist seitsmeni, võksime kirjeldava hulga ka elementhaaval välja kirjutada:

Naljakal kombel on mõne lihtsama matemaatilise objekti kirjeldamiseks aga tarvis kauem mõelda. Näiteks kuidas kirjeldada arvu 4 ainult hulkade abil, arvudest rääkimata? Selleks on mitu viisi. Kirjeldame siin ühte võimalikku viisi.

Arv 1 seatakse vastavusse ilma ühegi elemendita tühja hulgaga: Ø. Tühjast hulgast võib mõelda kui tühjast kilekotist.
Arv 2 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 1 vastav hulk ehk tühihulk. Seega võime seda hulka kirjeldada sümbolites kui {Ø}. Oleme oma tühjale kilekotile ümber pannud veel ühe kilekoti – kokku kaks kilekotti.
Arv 3 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 2 vastav eelmises punktis leitud hulk. Tema kirjelduseks on {{Ø}}. Kilekott, mille sees on kilekott, mille sees on kilekott – kokku kolm kilekotti.
Arv 4 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 3 vastav hulk matemaatilise tähistusega {{{Ø}}} ehk neli kilekotti.

Nii võib muidugi jätkata ja kirjeldada kõiki naturaalarve 1, 2, 3, 4... hulkade või tõepoolest... kilekottide abil. Iga kilekoti lisamine ehk uue hulga tekitamine kandis endas arvu üks juurdeliitmise ideed.

Need on ainult kaks väljavalitud näidet, aga ka keerulisemaid objekte saab hulkadega esitleda. Selliselt mõeldes on hulgad ikka üsna ägedad: peaksid võimaldama kirjeldada kõike, mida matemaatikas teame.

Võibolla on tore ka teada, et tänaseks ei ole hulgad enam ainus kasutusel olev matemaatikale vundamendi ladumise viis. Kasutada võib ka teist tüüpi, pisut võimsamaid objektide kogumeid – kategooriaid. Kategooria ei koosne enam üksnes erinevatest objektidest, vaid sisaldab ka seoseid nende objektide vahel.

Hulgad ja peavalu

Hulgad on matemaatikutele ka paradokside näol palju peavalu toonud.

20. sajandi algupoolel tekitas pahandust inglise filosoof ja matemaatik Bertrand Russell järgmise lihtsa küsimusega:  kas mõni hulk võiks olla ka iseenda element?

Võibolla arutles ta umbes nii.

Kui mul on hulga koostamiseks vabad käed, võin ju nõuda, et minu hullumeelse hulga iga element oleks selline hulk, mis ei ole iseenda element.

Kas sel juhul mu hullumeelne hulk ise on enda elemendiks?

Kui ta oleks enda element, siis ta peaks olema selline hulk, mis ei ole iseenda element – huhuu, päris vastuoluline!

Kui ta aga on selline hulk, mis ei ole iseenda element, siis ta peaks vastupidi just kuuluma hullumeelsesse hulka ehk olema iseenda element! Ka vastuoluline!

Ma ei saagi sellele küsimusele vastata, katastroof!

Katastroof või mitte, mõtteainet pakkus see paradoks paljudele. Lõpuks leiti ka lahendus – igasugu kummaliste paradokside vältimiseks ei tohi lihtsalt lubada täielikult vabu käsi hulkade koostamisel.

Üldiselt selle üle aga muretsema ei pea – kõik hulgad, millest koolimatemaatikas räägitakse, on tõepoolest ka kõige karmimate nõuete järgi matemaatilised hulgad. Võib vahest lihtsalt meelde jätta, et ka alguses väga lihtsad ja selged mõisted võivad enda varjus peita igasuguseid riukaid.

Mida teha, kui on kakskümmend seitse sõpra ja kõigi nende sünnipäev on tarvis meeles pidada? Ei olegi eriti midagi vaja teha – tuleb lihtsalt lahti võtta arvuti või mõne suhtlusvõrgustiku kalender ja sinna sünnipäevad sisestada. Nii on kuskil sügaval arvuti sisimas iga inimesega vastavusse seatud tema sünnipäeva kuupäev.

Sisuliselt rakendasime äsja ühte funktsiooni! Nimelt üks funktsioon seab iga objektiga vastavusse mingi muu objekti ja täpselt ühe objekti – mitte rohkem ega vähem – ning meie seadsime iga sõbraga vastavusse tema sünnipäeva.

Samamoodi võiksime mõelda, et kalender ise on funktsioon – seab iga kuupäevaga vastavusse õige nädalapäeva!

Muidugi on palju olukordi, kus sellist reeglit kohe järgida ei saa – näiteks ei saaks me iga kuupäevaga vastavusse seada ainult ühte inimest, kellel sel kuupäeval sünnipäev on, sest samal kuupäeval on ju sünnipäev väga mitmel erineval inimesel. Sel juhul ei ole lahti midagi hullu, aga funktsioon matemaatilise kirjeldusena siia lihtsalt kohe ei sobi. Hiljem näeme, et pisut kavaldades võime ka selles olukorras funktsioone kasutada.

Funktsioon kui masin

Funktsioonist saab mõelda väga mitut moodi. Kirjeldasime juba, kuidas funktsiooni näha teatud kindlat tüüpi nimekirjana. Võibolla lihtsamgi veel on ette kujutada, et funktsioon on teatud tüüpi masin, mis haarab endasse ükshaaval erinevaid objekte, teeb nendega abrakadabra ning seejärel väljastab nad jällegi ükshaaval, mõnikord hoopis tundmatul kujul.

Tore näide elulisest funktsioonist on õiglaselt tiksuv taksomeeter. Kui alustamistasu on 2,5 eurot ja iga kilomeeter maksab 0,5 eurot, siis taksomeeter on masin, mis korrutab kulunud kilomeetrite arvu 0,5-ga ning liidab pärast 2,5 eurot juurde.

Matemaatikakesksem funktsioon on näiteks ruutfunktsioon: sisestate masinasse ühe arvu, seal korrutatakse see arv hookuspookuse abil iseendaga ja väljastatakse tulemus. Sellele masinale võiks peale kirjutada „ruutfunktsioon”, et ta teiste masinatega segamini ei läheks.

Mõni geomeetriline masin võiks näiteks võtta sisendiks kolmnurki ning väljastada nende pindala või ümbermõõdu. Masinale, mis võtab sisendina kolmemõõtmelisi kujundeid, litsub neid suure vasaraga tasandile kokku ning väljastab algse kujundi kahemõõtmelise kujutise, võime anda uhke nime „projektsioon”. See on masin, mis näiteks teeb maakaarte, surudes meie kena ümara maakera kahemõõtmelisele paberile.

Range definitsioon ja mõisted

Analoogia funktsiooni ja masina vahel on hea ja intuitiivne, kuid matemaatika tarvis on vaja mõte ka täpsesse vormi seada.

Selle jaoks on meil tarvis lihtsalt täpsustada, milliseid objekte meie masin sisendina võtta saab ning milliseid ta väljastab. Kui nüüd meenub, et üldine objektide kogum matemaatikas on hulk, võibki anda funktsiooni range definitsiooni.

Funktsioon hulgast A hulka B on eeskiri, millega hulga A iga elemendiga seatakse vastavusse täpselt üks hulga B element.

Tihti tähistatakse funktsioone näiteks tähega ƒ.

Näiteks arvu ruutu võtmine on funktsioon, sest ta seab igale reaalarvude hulga elemendiga r vastavusse ühe teise reaalarvude hulga elemendi r². Matemaatiliselt kirjutaksime

Määramispiirkond ja muutumispiirkond

Hulka A nimetatakse ka määramispiirkonnaks, ehk siis funktsioon on määratud kõikide hulga A elementide jaoks. Ta koondab endasse kõikvõimalikud masina sisendobjektid.

Meie definitsioonis ei pea iga hulga B element olema tegelikult masina väljundobjektiks – hulk B moodustab potentsiaalsete väljundobjektide hulga. Näiteks arvuruudud on ju alati mittenegatiivsed, kuid meie definitsioonis täitis ka hulga B rolli reaalarvude hulk. Tihti on lihtsalt raske otsustada, mida täpselt masin ikka väljastada otsustab, isegi kui teame, mis tüüpi need objektid umbkaudu on. Näiteks kui meie funktsioon seab iga maailma majaga vastavusse tema aastase soojakulu, siis on kõik vastused kindlasti mittenegatiivsed reaalarvud, aga raske on ette öelda, milliseid arvväärtusi me tulemustena näha saame.

Siiski suudame vahel täpselt kindlaks määrata kõikvõimalikud objektid, mida masin tõepoolest väljastada oskab. Sellist hulga B alamhulka nimetatakse muutumispiirkonnaks.

Näiteks kolmnurga pindala funktsiooni määramispiirkonna moodustavad kõikvõimalikud kolmnurgad ja muutumispiirkonna positiivsed reaalarvud.

Sissejuhatuses toodud sünnipäevade funktsiooni määramispiirkonnaks olid kõik sõbrad ning muutumispiirkonnaks kõikvõimalikud kuupäevad.

Samuti mainisime sissejuhatuses, et kuupäevadega inimesi vastavusse seades me funktsiooni ei saaks. See on tõsi, aga seda ainult eeldusel, et tahame oma muutumispiirkonnaks just inimeste hulka – sel juhul tõesti pole funktsioon hästi defineeritud, samal kuupäeval on sünnipäev väga paljudel.

Samas aga, kui meil on tõesti suur kihk funktsiooni kirjeldusena kasutada, siis võiksime iga kuupäevaga vastavusse seada hoopis kõik inimesed, kellel on sel päeval sünnipäev. Teisisõnu muudaksime funktsiooni muutumispiirkonda: enam ei oleks muutumispiirkonna elementideks inimesed, vaid hoopis kõikvõimalikud inimeste alamhulgad. Nii saaksime igati toreda funktsiooni ning süda võib rahul olla.

See kehtib ka üldisemalt: tihti võime muutumispiirkonda laiendades saada mittefunktsioonist igati viisaka funktsiooni.

Funktsioonide omadusi

Nii nagu on eri tüüpi, hoopis isesuguste omadustega masinaid, nii on ka erinevate omadustega funktsioone. Kokku on funktsioone väga palju ning nende kõigiga ei saa ühtmoodi ringi käia. Teatud omaduste põhjal õnnestub funktsioone aga natukene liigitada ja klassidesse seada – nii nagu näiteks soo või vanuse põhjal liigitatakse ka inimesi, et teada, mida neile reklaamida tasuks või milliseid riideid neile müüa sobiks. Ei maksa ehmuda, kui mõnikord on eri tüüpi funktsioonidele antud päris keerulised nimed.

Üksühene vastavus ja pöördfunktsioon

Näiteks osutuvad oluliseks funktsioonid, mis seavad iga määramispiirkonna objektiga vastavusse täpselt ühe muutumispiirkonna objekti. Selliseid funktsioone kutsutakse ka üksühesteks vastavusteks.