Matemaatika õhtuõpik

Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi.

Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused. Miks on seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü?

Tegemist ongi juba füüsikalise maiguga lõbusa matemaatilise küsimusega. Tema vastuski on segu füüsikalistest teadmistest ja matemaatikast: füüsikast teame, et seebikile sulgeb endasse võimalikult suure ruumala; matemaatika aga näitab, et sellise printsiibi korral peab mull olema täpselt kerakujuline. Raamatus puudutame ringi sarnast omadust – sama ümbermõõduga kujunditest piirab ta suurima pindala [lk 97].

Matemaatikat võime näha ka kohviku teleekraanil, kus ülekantav jalgpallimäng on jõudnud penaltiseeriani. Kas mängijad valivad väravanurga, kuhu nad palli löövad, mingi mustri järgi? Kas peaks valiku korral alustama penaltiseeriat lööjana või kaitsjana? Uurides möödunud penaltiseeriate tulemusi ja videokordusi, võime leida seaduspärasusi – sellega tegeleb matemaatiline statistika. Seaduspärasused kirjas, võime nende abil ehitada parima strateegia – sellele aitavad kaasa tõenäosuslikud kirjeldused [lk 392].

Kui lõpuks õnnestub ka kohvikust matemaatika juurest põgeneda, jääte tema küüsi jälle esimese lillepeenra kõrval. Matemaatiline kirjeldus aitab kirjeldada ja selgitada erinevate mustrite teket ja seeläbi lillenuppude ilusaid kujusid.

Näiteks teatud päevalillesortide õie paigutuses on 21 sinist ja 13 ookeanisinist spiraali. Need pole sugugi suvalised arvud – 21 ja 13 on Fibonacci arvud [lk 135], mis tulevad looduses tihti esile ning mille esinemist oskame ka selgitada.

Viimaks, kui hakkate lille nime ja peret oma nutitelefoni või arvuti abil kindlaks tegema, küsite jälle abi matemaatikalt: otsingumootorite tööprintsiibid on olnud esmalt kirjas matemaatilises keeles ning arvutite sise-elu põhinebki ainult ühtedel, nullidel ning nendega arvutamisel.

Mõni ütlebki hoopis, et matemaatika ise on keel. Ja tõepoolest, matemaatika aitab ju kirjeldada maailma nagu iga teine keel ning lubab seeläbi omavahel suhelda ning informatsiooni vahetada.

Siiski erineb matemaatika keel tavapärastest keeltest. Tavapärases keeles on meil peaaegu iga ettejuhtuva objekti tarvis üks sõna või sõnapaar. Tavapärased keeled hoomavad ja kirjeldavad peaaegu kõike, millega kokku puutume, ent teevad seda tihti mitmetähenduslikult. Näiteks pall võib tähendada põhimõtteliselt nii ümmargust jalgpalli kui ka ovaalset Ameerika jalgpalli. Matemaatika otsustab kirjeldada vähem, aga see-eest täpsemalt – tihti vaid mõnda väikest detaili ühest või teisest objektist. Samas on need kirjeldused ise täpsed ja üheselt mõistetavad: palli kirjeldaksime kera või ellipsoidina, olenevalt tema kujust, ning mõlemail neist mõistetest on täpne ja ühene matemaatiline definitsioon [lk 44].

Kuna matemaatikud kasutavad eraldiseisvat sõnavara, tundub vahel, et matemaatikud ei hooli üldse elust ning nende mõistetel ja käsitlusel kaob argipäevaga igasugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30].

Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus, et neist ükskord kasu ei võiks tulla. Mõnikord me ei oska lihtsalt seoseid ümbritsevaga näha ning nad võivad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel – nende abil on hea kirja panna kõige väiksemate osakeste käitumist. Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstraktsest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud koolimatemaatika on siiski igati eluline ning maailma kirjeldamisel ja mõistmisel asendamatu tööriist!

Matemaatikas ei ole aga ainult keel – matemaatika uurib, muudab ja arendab ise sedasama keelt, milles ta end väljendab. Matemaatilised mõisted muutuvad ja nende muutumises peitub ka suur osa matemaatikast. Isegi see, kuidas mõeldakse matemaatiliselt arvudest, on muutunud – kunagi ammu tunti ainult arve 1, 2, 3, ..., siis leiti, et ½ on samuti üsna mõistlik arv, ja alles hiljuti lepiti, et ka –1 on arv või et lausa √–1 , mis reaalteljele ei mahu, sobib sama hästi üldmõiste arv alla [lk 78].

Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või teiselt poolt vaadatuna on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keerulisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline – kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab pikemalt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78].

Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öeldud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud ranged reeglid nendega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid alati väänata. Seda on eriti paslik teha siis, kui see toob kaasa rohkem seoseid, rohkem lihtsust, rohkem ilu ja rohkem mõistmist.

Siiski võib lugejat kummitama jääda õigustatud küsimus: kas oleme ikka vastanud, mis on matemaatika? Ei ole.

Nagu on raske öelda, mis ikkagi on õnn või mis tarkus, on raske ka öelda, mis on matemaatika. Tegemist on lihtsalt nii mitmetahulise ja laia mõistega. Naljakal kombel iseloomustab matemaatikat ennast veel just see, et ta ise tegeleb objektidega, mille korral saab küsimusele „mis?” väga täpselt vastata.

Lõppude lõpuks õpetab matemaatika meile, et meil on millegi defineerimisel ka parasjagu vabadust. Küllap pole sellest suurt kurja, kui igaühel on veidi omamoodi arusaam matemaatikast. Loodame, et see raamatuke aitab oma isiklikku arusaama leida ka lugejal.

Head mängu iseloomustavad kolm omadust: ta on mitmekülgne, ta arendab ja ta võimaldab midagi õppida. Mõnikord räägitakse ka matemaatikast kui mängust. Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks – matemaatikast on palju enam kasu kui mõnest mängust –, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust igati olemas.

Matemaatika peidab endas erinevaid ja tihti lausa vastandlikke külgi.

Matemaatikast võib leida täpsust, rangust ja kindlust. Niipea kui ühe matemaatiliselt korrektse selgituse või seose leiad, jääbki see õigeks – mitte nii nagu tuba, mida koristad ja koristad, aga mis ikka jälle mustaks saab. Nii ehitab iga matemaatika õppija oma teadmistele kindlat vundamenti.

Üksluine vundamendi ladumine tüütaks aga kindlasti ära. Vaja on ka ootamatusi ja üllatusi. Matemaatikas selle koha pealt kokku ei hoita – näiteks selgub, et lisaks meile juba tuntud kujunditele, nagu ruudud, ringid, kolmnurgad, leidub ka kujundeid, mille ümbermõõt on lõpmatu, aga pindala lõplik [lk 377]. Või näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal päeval sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus ³⁄₄ või ³⁹⁄₂ ja nii edasi.

Paljudele  meeldib  aga  hoopis  loomingulisus,  meeldib vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige raskem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaatilise mõtte  kindel vorm loomingulisust.  Oluline osa matemaatikast on uute seoste, uute mõtteviiside, uute objektide loomine. Kas pole vahva arusaam, et võime geomeetriast – kehade kujust ja kumerusest – mõelda sugugi mitte ainult kolmemõõtmeliselt, vaid kahekümnes, kolmekümnes või lausa tuhandes mõõtmes? Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha? Proovi ette kujutada! Meie näiteks ei oska...

Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama – olgu nad kui pikad tahes – ning kõige kärmemalt teiste argumentidest vigu leidma – olgu nad kui kavalad tahes – õpetab ilmselt matemaatika. Matemaatilise arutelu jaoks on alati tarvilik välja käia täpsed eeldused, täpne arutluskäik ning täpsed järeldused – hajusad argumendid läbi ei lähe. Oletame, et prokurör leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud vargused satuvad samale ajale. Kas seda võib kasutada tõendina tema kahjuks? Näiteks on ju selge, et kui jäätiste läbimüük ja päikesepaiste korreleeruvad, ei järeldu sellest, et jäätise ostmine toob kaasa päikesepaiste. Mida me lisaks peaksime teadma?

Kui tahad saada arstiks, on matemaatika kohustuslik. Statistika aitab aru saada, millal ravimifirmade reklaamloosungitel on ka tegelikku sisu [lk 398] ning mida ikkagi tähendab, kui üks või teine DNA-s olev geen suurendab haigestumise riski.

Kui tahad saada arhitektiks, ei saa samuti ümber matemaatikast. Matemaatika õpetab rangelt kirja panema proportsioone ja seoseid. Samasuguse rangusega töötavad ka kõik arhitektuuriliste mudelite ehitamise programmid, mis tahavad vahel, et arhitekt oskaks kirjeldada oma jooni ka matemaatiliselt, võrranditega. Arhitekt peab oskama arvutada ruumide ja pindade suuruseid, peab teadma, kuidas leida ühe või teise tala kandevõimet.

Kui tahad saada luuletajaks, ei tule matemaatika jällegi kahjuks. Prantsuse luuletaja Paul Valéry näiteks armastas matemaatikat – tema päevikud on täis matemaatilisi ja eriti geomeetrilisi mõttekäike. Matemaatika olevat ta enda sõnul avaldanud suurt mõju ka ta luulele. Samuti on matemaatikuharidusega nii „Alice Imedemaal” kui „Karupoeg Puhhi” loojad.

Kindlasti pole loetletud elukutsed ainsad, kus matemaatikat vaja läheb või kus ta kasuks võiks tulla – väike maadlus matemaatikaga on hea treening kogu eluks.

Kõige enam tuleb matemaatika ehk siiski kasuks kõigile, kes tahavad mõista või kontrollida end ümbritsevat elus ja eluta loodust. Ühe kahekümnenda sajandi suurima füüsiku Richard Feynman’i sõnul on matemaatika valdamine looduse kirjeldamiseks lausa möödapääsmatu.

Matemaatika kirjeldab

Matemaatilise vedelikefüüsika abil saame selgitust jõgede müsteeriumile: miks nii sinikaelpardi, vanaema kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt?

Matemaatilise bioloogia abil leiame seoseid geenide ja haiguste vahel ning suudame mõista südame ja veresoonkonna tööd. Näiteks matemaatilised kirjeldused südamerakkude kaltsiumiradadest annavad lootust, et suudame paremini kontrollida südame rütmihäireid.

Meil on igas keharakus paarkümmend tuhat geeni, mille avaldumine või mitteavaldumine peaks määrama kogu meie olemise ja tervise.Tahaksime kindlate geenide avaldumist või mitteavaldumist siduda teatud haigustega – nii võiksime leida viise nende haiguste ravimiseks. Selliste seoste leidmine on juba oma olemuselt matemaatiline töö. Töö tulemusi saab esitada aga ka kenade graafikutega, millelt on võimalik näha, mis geenide avaldumiskombinatsioonid võiksid peituda ühe või teise haiguse põhjustajatena. Selliseid graafikuid kutsutakse „kuumuse graafikuteks“:

Sarnast graafikut kasutame ka tuletise peatüki lõpus [lk 338].

Matemaatikaga saame kirjeldada ning seeläbi mõista sotsiaalvõrgustike olemust ja omadusi. Tihti kirjeldatakse selliseid võrgustikke maatriksite abil [lk 152]. Näiteks tuleb välja, et inimtutvuste võrgustik on väga spetsiifilise struktuuriga – nimelt on ta üsna tihedalt seotud, iga inimene siin maailmas on igast teisest maksimaalselt 6 sõprussuhte kaugusel. Mis on Sinu seos Tonga kuningaga?

Matemaatika ehitab

Matemaatiline õpetus dünaamilistest protsessidest ja võnkumistest annab  head nõu, kuidas ehitada sildu ning milliseid sildu ehitada ei tohi. Ehitada ei tohi näiteks sildu, mis võiksid tugeva tuule tagajärjel sattuda resonantsi ning hakata järjest vägevamalt võnkuma. Kuigi seda oleks saanud matemaatiliselt ennustada, saime vastava õppetunni hoopis katselisel meetodil – 1940. aastal purunes Tacoma sild Ameerikas just nimelt tuule tekitatud resonantsvõnkumise tõttu.

Ka arvuti on leiutis, mille võimalikkust taipasid ning mille kirjeldusteni jõudsid esmalt just matemaatikud. Nagu juba mainisime, mõistavad arvutid ainult matemaatikal põhinevat algoritmilist keelt ning kui tahame, et arvuti midagi meie eest ära teeks, peab talle seda ütlema täpselt ja konkreetselt – matemaatiliselt. Võibolla tasub ka märkimist, et üks internetiprotokollide leiutajatest – Ameerika arvutiteadlane Vint Cerf – sai oma bakalaureusekraadi samuti matemaatikast.
 
Matemaatika ennustab

Katseliselt võime küll järele uurida, mis kunagi juhtus või mis juhtub hetkel, aga me ei saa kunagi katseliselt leida, mis juhtub tulevikus – tulevikku ju katsetada ei saa. Ent tihti peame just ennustama, mis tulevikus juhtuda võiks.

Matemaatika abil ennustati, et leidub elektroni antiosake positron, ja nüüdseks oleme seda katseliselt näinud. Matemaatiliselt pakuti, et suurtel kiirustel enam Newtoni klassikaline mehaanika ei kehti, ning ega tõesti ei kehtigi. Ilma selle teadmiseta ei töötaks meie GPS-navigeerimine.

Majandusteoreetikud üritavad aru saada, kuidas üks või teine inim- või inimväline faktor võiks tulevikus mõjutada majandusnäitajaid; hasartmängurid peavad vähemalt üritama ennustada, mis kaardid on teistel peos või jagajal pakis; insenerid peavad suutma ette kujutada ettekujutamatuid tegureid, mis nende uhket konstruktsiooni ohustada või mõjutada saaksid – kõike seda saab teha ainult matemaatiliselt. Nii ongi matemaatika ka meie silm tulevikku.

Muidugi ei ole kõik meie ennustused alati õiged, aga matemaatika südametunnistus jääb puhtaks – eksimused on meie oma eeldustes ja mudelites ja neid eksimusi lubab matemaatika ise ka hinnata.

Tänapäeval on populaarseks saanud ka tõenäosuslikud mudelid, kus me  tunnistame, et täpselt ennustada ei olegi võimalik – oskame ainult ennustada, kui tihti üks või teine sündmus võiks juhtuda. Näiteks kui aus sõber viskab ausat münti, võiksime ennustada, et umbes pooltel juhtudel jääb ülespoole kiri [lk 392].

Matemaatika ei ole valmis

Nagu nägime, võimaldab matemaatika päris paljut kirjeldada, kontrollida, ennustada. Siiski on ka üsna palju seda, mida me veel ei mõista ning mida matemaatika ei hooma.

Näiteks on tänapäeva matemaatika endiselt hädas keeruliste ja paljuosaliste süsteemide ning protsesside – nagu näiteks ühe keharaku töö või meie aju töö või maailmamajanduse – kirjeldamisega. Neist arusaamine eeldab suurt katselist tööd, aga küllap ka uut ja põnevat matemaatilist raamistikku.

Ka matemaatikas endas on veel palju lahendamata küsimusi ja mõistatusi. Paljusid neist on keeruline sõnastada, aga nii mõnedki näivad esmapilgul väga lihtsad. Näiteks ei tea me isegi, kui palju leidub algarve (arvud, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega), mille vahe on kaks. Arvupaarid 3 ja 5, 5 ja 7, 29 ja 31 sobiksid ja usutakse, et sellised paarid ei saa kunagi otsa, ent tõestada seda 2013. aastaks keegi veel ei oska. Või siis ei oska me öelda, kas meie praegune kirjeldus vedelike liikumisest – niinimetatud Navier Stokes’i võrrand, on üldsegi matemaatiliselt sobilik. Me ei tea, kas võrrandile leidub alati sobilik lahend.

Paljudele tundub, et matemaatika on raske – isegi ületamatult raske – ja et see raskus on midagi muud kui raskus endale pähe õppida keerulisi kunstnikunimesid, aastaarve, rodude viisi riikide pealinnu või hoopiski kirjeldada elusat rakku bioloogiatunnis.

Matemaatikat teeb ilmselt juba keeruliseks levinud kujutlus, et ühed oskavad matemaatikat ja teised ei oska. Pigem on õige, et ühtedele meeldib matemaatika rohkem ja teistele vähem, just nii nagu on ka kirjanduse, lauatennise või koorilauluga. Ja muidugi, kellele meeldib matemaatika rohkem, tegeleb sellega samuti rohkem ning on lõpuks selles ka edukam.

Aga see, mis meile meeldib, võib muutuda üleöö (või pigem üle aastate) ja kui ükskord hommikuvalguses leiate, et matemaatika teile siiski mokkamööda võiks olla, pole mõtet karta – tegelikult on matemaatika samamoodi õpitav nagu kõik muu.

Siiski on matemaatikas ka mõned isemoodi raskused ning neist raskustest on kasulik aru saada.

Üks matemaatika eripära ja raskus peitubki ehk selles, et pähe õppida õnnestub vähe ja sellest ei ole tihti otsest kasu. Kui õpite pähe ühe võrrandi lahendi, ei aita see lahendada mõnda teist võrrandit; kui õpite pähe ringi pindala valemi, ei aita see leida kolmnurga pindala. Ja ometigi on matemaatikas erinevaid küsimusi, mida esitada saab, teiste ainetega võrreldes vahest kõige rohkemgi.

Nii on matemaatika õppimiseks tarvis mingit muud strateegiat. Alustuseks on vaja aru saada matemaatiliste objektide ning arutelude vahelistest seostest ja selgeks õppida teatud üldiseid meetodeid, mis ütlevad, kuidas leida pindala või lahendada võrrandeid. Need meetodid on vahel täitsa kokaraamatu moodi, kuid mida põnevamaks lähevad ülesanded, seda enam tuleb hakata retsepte kasutamise käigus muutma – lisada juurde soola, pipart või tihedamini uusi matemaatilisi mõtteid.

Sellist improviseerimist saab aga õppida ainult katsetamisega ja sellest pole sugugi hullu, kui mõni lahendus alguses vale rada mööda otsustab minna, olulisem on julgus neid proovida.

Teisest matemaatika raskusest oleme juba juttu teinud ja teeme järgmises osas veel [lk 42]. See peitub matemaatikute kirjasõnas, asjaolus, et matemaatiline tähistus ja keel erineb teatud määral igapäeva keelest. See lihtsustatud keel teeb matemaatikat lihtsamaks ja võimaldab matemaatikale tema täpsust ja üheselt mõistetavust.

Lisaks on osa matemaatika enda ilust peidus just selles, et tema tõestused ja tähistused on võimalik kirja panna ümbritsevast sõltumatult, lakooniliselt ja puhtalt. Ainult nii saavutavad matemaatilised argumendid oma võime kirjeldada ühtaegu nii erinevaid ja mitmekoelisi olukordi: x-dest ja y-test koosnev võrrand räägib teile tegelikult kuussada muinaslugu, need peab aga igaüks ise juurde mõtlema.

Aju vajab aga matemaatilise stiili, matemaatiliste sümbolite ja keelega pisut harjumist.

Nii kaua kui tuleb kogu aeg järele vaadata, mida ikkagi tähendab võrrandis istuv x, sümbol > või mis täpselt on tuletis, toimib matemaatika justkui sõnaraamatu abil. Kes sõnaraamatu abil välisriigis vestelda on proovinud, teab, kui vaevaliseks see osutub – tervikliku teksti loomiseks tuleb sõnu juba unepealt vallata, muidu on lause algus lause lõpuks ununenud ja mõtet väljendada ei suudagi.

Kolmas matemaatika raskus peitub ilmselt selles, et teda on keeruline õpetada. Ühelt poolt tahaksid õpetajad alati tundi kindlasti põnevaks teha – näidata ilusaid pilte ja seostuvaid katseid. Sellega riskib ta aga, et lihtsad ja selged matemaatilised argumendid jäävad ilusate juttude ning kaunistuste varju. Nii alustatakse tihti rangelt matemaatilisest sisust ja varju jäävad hoopis seosed eluga.

Muidugi, ideaalis toimuks õppetöö risti-rästi, vahele elulisi lugusid, vahele matemaatilist selgust, ent see vajab väga palju aega. Kooliprogrammis on aga matemaatika jaoks aega aina vähem, samas teadmisi, mida edasi tahetakse anda, aina enam.

Nii antaksegi tihti edasi matemaatilised teadmised nende kõige kompaktsemas vormis – objektide nimed, definitsioonid, arvutusvõtted, ilma pikemalt selgitamata, kust ikka tulevad need nimed, definitsioonid, meetodid. Võrrandite, teoreemide tagamaad jäävad tumedaks ning nad ei seostu muu kui tahvliga. Mõnele ei ole see probleem ning piisabki ainult matemaatilisest sisust, mõnele teisele on aga eluline kontekst ja mõttelugu hädavajalik. Ilmselt tuleb siis selle jaoks aega leida ka väljaspool kooli ning ehk on abiks ka käesolev raamat.

Kuidas neist raskustest üle saada? Tuleb julge olla ja tuleb endale ning matemaatikale aega anda. Matemaatika tahab, et temaga tegeletaks iga päev natukene. Tuleb mängida matemaatikaga ja seeläbi harjuda tema stiili ning keelega. Tuleb lahendada õpetaja antud ülesandeid ja endale ise ülesandeid juurde mõtelda. Tuleb lahendada ülesandeid, mida oskate, ja proovida neid, mida ei oska. Tuleb otsida seoseid ja seoste vahelisi seoseid. Tuleb pabereid sodida ja tindiga mitte kokku hoida. Ja usu või mitte – seda kõike on võimalik teha lõbuga!

Üks on kindel, kui Sulle endale meeldib matemaatika ning temaga tegeled, meeldid varsti ka ise matemaatikale. Igal juhul ei pea matemaatika nautimiseks kindlasti saama kohe matemaatikuks. Nii nagu juba lihtsad, aga tunnetatud kitarriakordid teevad lõkke ääres kõrvale head, võiks mõttemustritele head teha ka natuke lihtsat, aga ilusat matemaatikat.

Õhtuõpiku väljaandmist toetasid 451 lahket hooandjat. Neist kõige innukamatel palusime ka selgitada, miks nad ikka meid nii lahkelt toetasid. Nii kogusime mõned isiklikud mõtisklused matemaatikast ja loodame, et nad mõjuvad omakorda innustavalt ka lugejale.

Matemaatika aitab ajust aru saada

Ajuprotsessid on aluseks kõigele, mis me tahame, mõtleme, tunneme. Aju määrab selle, kes ja millised me oleme. Aga praeguseni on üsna mõistatuslik, kuidas kõik need vaimsed protsessid ajus tekivad. Seega on aju tähtis uurimisobjekt, kui tahame mõista iseennast. Ajust arusaamiseks on tarvis matemaatikat. Ajuandmete uurimiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid ja nende andmete statistiline analüüs põhineb matemaatilistel alustõdedel. Kuid mis peamine, ajust arusaamiseks on tarvis teooriat aju tööprintsiipide kohta, mis suudaks selgitada ja ennustada meie vaimseid protsesse. Sellised teooriad põhinevad matemaatikal. Seega pole käesolev raamat, „Matemaatika õhtuõpik”, sugugi mitte ainult investeering kõrgemasse eksamihindesse või paremasse arusaamisesse matemaatikast, vaid loob aluse ka paljude teiste esialgu näiliselt matemaatikast kaugete nähtuste paremaks mõistmiseks.

Jaan Aru
Frankfurdi Max Plancki Aju-uuringute Instituudi doktorant

Universum on kirjutatud matemaatika keeles

Füüsikuna on mul äärmiselt hea meel sellise raamatu nagu „Matemaatika õhtuõpik” ilmumisest. Kahtlemata on ka „puhtal matemaatikal” omad võlud ja neistki võib raamatu huviline lugeja aimu saada, aga matemaatika tähtsus on palju laiem. See on keel, milles on kirja pandud kaasaegne loodusteadus, füüsika sealhulgas ja eriti. Pole imestada, et üks moodsa füüsika alusepanijatest – Sir Isaac Newton – oli ühtlasi ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse looja, viimaseta muutuksid Newtoni kuulsad seadused rakendusväärtuseta metafoorideks. Matemaatilised mudelid ja meetodid leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus- ja ennustusjõu.

Galileo Galilei on ligi nelisada aastat tagasi kirjutanud: „Filosoofia on kirja pandud suurde raamatusse, mis pidevalt seisab avatuna me silme ees (ma pean silmas Universumit), aga me ei saa seda mõista enne, kui oleme selgeks õppinud keele ja tunneme tähestikku, mille abil see kirjutatud on. See on kirjutatud matemaatika keeles, mille tähtedeks on kolmnurgad, ringid ja teised geomeetrilised kujundid, ilma milleta on inimlikult võimatu mõista kirjapandust ainustki sõna, ilma milleta ekseldakse pimedas labürindis.” (Il Saggiatore, 1623) Head lugema õppimist! Head lugemist! Ja ei pea üks õpik olema ju igav, tüütu ja raskesti mõistetav – „Matemaatika õhtuõpik” pole seda kindlasti mitte.

Jaak Kikas
Tartu Ülikooli Füüsika Instituudi direktor

Matemaatika on teadmistepõhise ühiskonna alus

Matemaatika on mind võlunud alates lapsepõlvest. Ehkki kooliajal oli tegemist ühe minu lemmikõppeainega, on matemaatika saatnud mind läbi elu, olles olnud kaaslaseks nii ülikooliõpingutes kui igapäevases tööelus.

Matemaatika on fundamentaalne ja väga põnev, mille olulisust hariduses ning teadmistes on raske üle hinnata. Võimaldades kirjeldada nähtusi universaalses ja kõigile üheselt mõistetavas keeles, kuulub matemaatiline kirjaoskus hea hariduse juurde ning on targa inimese repertuaari lahutamatu osa.

Matemaatika on aluseks ühiskonnale tervikuna, nii kasutavad seda igapäevaselt insenerid, õpetajad, ärimehed, arstid jne. Ilma matemaatikaalaste oskusteta ei ole võimalik oma teadmisi süstematiseerida ega neid reeglipäraselt edendada.

Numbrimaailmas orienteerumine on sedavõrd oluline, et vead matemaatilises mõtlemises võivad põhjustada korvamatut kahju. Selle väite illustreerimiseks võib tuua hiljutised sündmused seoses meie suusasangarile esitatud väidetava dopingusüüdistusega. Ehkki dopingutesti viga on sisuliselt biokeemiline, oli selle kirjeldamine ja üheselt arusaadavaks tegemine võimalik vaid läbi matemaatilise kirjaoskuse. Inimkonna ajaloos on teisigi selliseid näiteid, kus puudulikud teadmised matemaatikast põhjustavad kas arusaamatusi, eksimusi või otsest kahju. Samas, head matemaatilised oskused annavad informatsiooni, mida saab kasutada konkurentsieelise  tekitamiseks.

Võib väita, et teadmistepõhise ühiskonna vundamendiks on matemaatikat hästi tundvad liikmed. Seega, eeskujulik matemaatiline kirjaoskus on väravaks arenenud ühiskonda.

On tervitatav, et traditsiooniliste matemaatikaõpikute kõrvale on tulnud selgelt eristuva lähenemisega raamat, tuues numbrite ilu- ja võlumaailma huvilistele senisest uudsema nurga all lähemale.

Sulev Kõks
Tartu Ülikooli arstiteaduskonna füsioloogilise genoomika professor ja füsioloogia vanemteadur

Matemaatika ei ole ainult krõnksud

Paljude jaoks paistab matemaatika olevat sünonüümne nende krõnksude ja imelike tähtedega, mida põhikooli ja keskkooli matemaatikatundides pähe õppima sunniti. Sellest on aga tohutult kahju, sest tegeliku matemaatikaga on sel umbes sama vähe pistmist kui hiina hieroglüüfidel neis kirjutatud teoste sisuga.

On selge, et kirjatüki täiel määral nautimiseks on vaja tunda selle kirjutamise keelt kõigis selle nüanssides. Sama selge on aga ka see, et suurem osa teose sisulisest ja kirjanduslikust väärtusest on võimalik edasi anda läbi selle osava tõlkimise.

Koolimatemaatika keskendub paraku aga just selle keele õpetamisele ja nii jääbki sisuline tähendus õpilaste jaoks tihti vormi poolt varjatuks. Erinevalt tavalistest õpikutest, mis sarnanevad sisult tihti just klassikaliste keeleõpikutega, on selle raamatu eesmärgiks olla pigem „tõlge”, tutvustades matemaatilise mõtteloo arengut ja selle põhiideid, näidates keelt selle juurde üksnes möödaminnes.

Loodan, et selle tõlke kaudu avaneb ka lugejale pilt sellesse lummavasse ideede maailma, mida mina ning raamatu autorid „päris” matemaatika nime all armastavad. Kui veab, annab see teos ehk mõnele motivatsiooni ka keeleõpinguid jätkata ning lõpuks neid teoseid ka originaalis lugema õppida.

Margus Niitsoo
Tartu Ülikooli arvutiteaduse õppejõud

Matemaatiline intuitsioon aitab rakendajat

Mind on vist alati matemaatikast endast enam paelunud, kuidas see on tegelikult kasulik hoopis teistele valdkondadele. Oma eriala valides tahtsin aru saada, kuidas ikkagi arvuteid õpetatakse midagi sellist tegema, mida inimene soovib saavutada arvuti abil. Selle juures oli vaja aru saada ka arvuti enda töö põhimõtetest ehk näiteks lihtsast matemaatilisest loogikast. Õnneks ma ei kartnud matemaatikat ja mõtlesin, et kui teised on hakkama saanud, siis pean ka mina saama.

Hiljem, otsides omakorda IT-le rakendusi, jäi ette bioloogia, kus oli hakatud tootma tolle aja mõttes suuri andmestikke. Siis sai matemaatikast uuesti sõber, mis aitas lahendada uusi probleeme. Ja mälusoppidest tuli vahel võtta välja oskusi, mida kunagi gümnaasiumis või ülikoolis omandasime.

Ma arvan, et matemaatikal ongi kaks selget suunda – üks, mis kompab matemaatika enda piire ja teine, mis rakenduste kaudu võtab matemaatikat kasutusse. Õppides võib tunduda, et võetakse arvesse vaid matemaatika enda huve. Kuid tegelikult aitab matemaatiline intuitsioon kõige rohkem just rakendajaid, kõikide teiste erialade esindajaid. Loodan, et õpik aitab just neid teisi leidma oma sinasõprust matemaatika õppimisega ning olukordade jaoks, kus matemaatika nõuab tavalisest veidi rohkem tähelepanu.

Jaak Vilo
Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituudi juhataja

Avades mõne matemaatikuõpiku, on esmane vaatepilt üsna segane: vähe sõnu, palju sümboleid, jooni ja skeeme ning mis kõige hullem, nad kõik on omavahel puseriti.

Näiteks võib matemaatika õpikus kenasti ette tulla lause: „Võrrandi x² – 5x + 6 = 0 lahendid on x = 2 ning x = 3”  ning selle otsa on joonistatud veel  ka järgmine kõverik:

Kui nüüd ei tea, mida tähendab võrrand, mis asjaloom on see x, mida peetakse silmas lahendi all ning mida paganat on sellel imelikul joonel kõige sellega pistmist, võibki kõik jätta üsna maavälise mulje ning südamerahuks tuleb õpik hoopis kinni panna juba enne, kui sisu kallale on jõutud.

Nii hull lugu matemaatikaga siiski pole. Tõesti, matemaatikal on oma oskussõnad nagu näiteks võrrand, lahend, funktsioon või muutuja, mis tähistavad teatud matemaatilisi objekte või teisendusi. Need objektid ei eksisteeri küll alati reaalsel füüsikalisel kujul, aga siiski saab neist tihti üsna loomulikult mõelda.

Näiteks kui õpetaja räägib tasandist, võime mõelda lihtsalt paberilehele, lauapinnale või tasasele maastikule, olgugi et matemaatikas on tasandil täpsem tähendus. Samuti on ju raske öelda, mis on arv kolm füüsikalises maailmas, aga temast mõtelda pole raske – kutsu oma kolm sõpra külla!

Tundub, et oluline ongi tunda nii matemaatiliste mõistete rangeid kirjeldusi kui lihtsaid viise ning intuitsiooni nendest mõtlemiseks. Käesolevas osas tutvustame matemaatika alusmõisteid – muutujat, võrdust, hulka ja funktsiooni. Nendest arusaamine ning nendega harjumine on edaspidi suureks abiks.

Lisaks oskussõnadele leiab matemaatikast palju tähti nagu a, x, y või n ning palju sümboleid nagu näiteks =, <, +, – ja ∞.

Sümbolid tuleb lihtsalt ära õppida, tähtede tähendus oleneb aga situatsioonist. Üldiselt kasutatakse tähti muutujate tähistamiseks [lk 48]. Muutujaid võiks muidugi tähistada ka sõnadega, aga tähtede kasutamine hoiab aega kokku. Lisaks aitavad tähed eraldada matemaatilist arutelu algsest elulisest kontekstist, muutes seeläbi tihti mõtlemist lihtsamaks ning laiemalt rakenduvaks.

Näiteks kui meile on öeldud, et klassis on poisse kolme võrra rohkem kui tüdrukuid, siis matemaatikud kirjutaksid selle järgmiselt:

Miks nii? Võime öeldu ümber sõnastada nii: kui tüdrukute arvule veel kolm juurde liita, siis oleks neid sama palju kui poisse. Fraasi „sama palju” tähistatakse matemaatiliselt sümboliga = ja liitmist muidugi sümboliga +. Seega saame:

Ent see on ju ometigi suurem kirjavaev kui $p=t+3$?

Pealegi on lühemas kujus selge, et sarnaselt saaks kirjeldada ka olukorda, kus poiste ja tüdrukute asemel on hoopis prussakad ja tarakanid.

Üksikute tähtedega võrrandid ei ole niisiis ainult kirjavaeva, vaid ka mõttevaeva kokkuhoidmiseks – võrrandiga ei pea enam siduma mingit konkreetset elulist situatsiooni ja võib tegeleda ainult tema matemaatilise sisu ja tõdedega.

Matemaatilist teksti liigendavad ja ilmestavad pisikesed matemaatilised žanrid: räägitakse näiteks definitsioonist, väitest, tõestusest, teoreemist. Vahel satuvad veel seltsi ka sõnad nagu lemma või hüpotees. Järgnevalt kirjeldame, mida ühelt või teiselt neist žanritest oodata võiks.

Definitsioon

Definitsiooni all peetakse silmas mingi objekti matemaatiliselt täpset kirjeldust. See täpne kirjeldus võib aga olla antud mitmel erineval viisil, erinedes nii lihtsalt lauseehituselt kui ka sisulisemalt.

Näiteks võib positiivseid paarisarve defineerida järgmiselt (ei maksa end hirmutada lasta sõnade „definitsioon” või „defineerima” kalgist kõlast!).

Definitsioon 1: Positiivsed paarisarvud on arvud 2, 4, 6, 8, …

Definitsioon 2: Positiivne paarisarv on naturaalarv, mis jagub kahega.

Definitsioon 3: Iga positiivse paarisarvu saame, kui liidame arvule 0 juurde lõpliku arvu kordi arvu 2.

Need kõik kolm definitsiooni on samaväärsed – ehk iga arv, mis on näiteks definitsiooni 2 järgi paarisarv, on ka definitsioonide 1 ja 3 järgi paarisarv.

Võib tekkida küsimus, miks me peaksime defineerima sama asja mitut moodi? Esimese põhjusena võib esile tuua, et erinevad definitsioonid aitavad meil samast objektist mitut moodi mõelda ja nii saame selle olemusest paremini aimu. Näiteks arvude peatükis defineerime ringjoone lausa viiel erineval moel ning iga erinev viis kannab endas ka pisut erinevat tähendust [lk 96]. Lisaks võivad erinevad definitsioonid viia ka erinevate matemaatiliste arutelude ehk tõestusteni – mõnest definitsioonist lähtudes on tõestused lihtsamad kui mõnest teisest lähtudes. Lõpuks võivad erinevad definitsioonid viia lausa erinevate väideteni. Näiteks võib integraali [lk 340] defineerida mitmel matemaatilisel moel ja olenevalt definitsioonist võivad erinevate funktsioonide integraalid ka erineda! Hästi valitud definitsioonid lihtsustavad matemaatilist arutelu tublisti ja on ilusa matemaatilise maailma aluseks.

Väide

Väide tähendab matemaatikas sama, mida tavakeeleski. Väide võiks olla näiteks: „4 on paarisarv” või „5 on paarisarv”. Vastupidiselt tavaelu väidetele ei saa aga matemaatiliste väidete õigsuse üle lõputult vaielda – iga matemaatiline väide on kokkuvõttes kas tõene või väär.

Väidetega seoses võiks tähelepanu pöörata ka sellele, kui mitmekülgselt käivad matemaatikud ringi sõnaga „siis“. Kasutusel on väljendid „siis” ja „siis ja ainult siis” ehk „parajasti siis”. Nad tähistavad seda, kuidas teatud väited omavahel seoses on.

Näiteks vaatame kolme väidet.

1. Abu on klassi kõige pikem poiss.
2. Abu on poiss.
3. Kõik Abu poistest klassikaaslased on temast lühemad.

Kui kehtib esimene väide, SIIS kehtib ka teine väide – kui Abu on klassi kõige pikem poiss, siis kindlasti on Abu ka poiss. Samas kui kehtib teine väide, siis esimene väide ei pruugi kehtida: kui Abu on poiss, siis see ei tähenda, et ta oleks tingimata kõige pikem poiss. Seega SIIS lubab ühesuunalist järeldamist.

Kui aga lisame teisele väitele veel kolmanda, siis üheskoos on nad esimesega võrdväärsed. Selle kohta ütleme, et esimene väide kehtib PARAJASTI SIIS või samamoodi SIIS JA AINULT SIIS, kui samaaegselt kehtivad teine ja kolmas väide. Seega „parajasti siis” lubab kahesuunalist järeldamist ja näitab, et väited on samaväärsed.

Tõestus

Nagu mainisime, on matemaatilised väited kas tõesed või väärad. Matemaatiliselt veenvat argumenti, mis väite tõesust või väärust põhjendab, nimetataksegi tõestuseks. Tõestust kasutatakse samas tähenduses ka igapäevaselt, aga matemaatikute rangustasemele teised valdkonnad siiski vastu ei saa. Siiski on ka matemaatikute endi rangusstandardid aja jooksul muutunud.

Näiteks argumentide eest, mida üks 18. sajandi matemaatik pidas rangeks matemaatiliseks tõestuseks, ei antaks praegu kindlasti matemaatikaeksamitel maksimumpunkte.

Tõestust peaks olema põhimõtteliselt võimalik kirja panna ka matemaatilise loogika täpses ja lakoonilises keeles, pika sümbolitemölluna. Natuke pikemalt räägime sellest hulkade peatükis [lk 61]. Õnneks päris nii rangeks enamasti aga ei minda ning peamiselt on ka matemaatilised tõestused siiski sõnalised arutelud, mis lähtuvad teatud aksioomidest, definitsioonidest ja tõestest väidetest ning teevad siis mitmeid järeldussamme.

Hoolimata sellest, et sõnal tõestus on ranguse maitse, on tõestuste leidmine vägagi loominguline protsess. Vahel viib tõestuse teekond algsetest väidetest ja eeldustest väga kaugele, enne kui ringiga taas lõppväiteni tagasi jõuab. Erinevad tõestused aitavad paremini mõista matemaatilist maailma, aga ka seal, kus matemaatika on eluga tihedalt seotud, aitavad tõestused mõtlemisele kaasa. Tõestusi saab omavahel võrrelda ja hinnata; neid saab luua, parandada ja kritiseerida nagu ikka ühele kenale loomingule kombeks.

Ka siit raamatust leiab mitmeid tõestusi, vahel on nad matemaatiliselt rangemad, vahel vähem ranged. Näiteks arutleme, miks arvu √2  ei saa väljendada kahe täisarvu suhtena kujus ^a⁄_b [lk 87] või miks kehtivad teatavad matemaatilised suurväited ehk teoreemid: trigonomeetria peatükis jõuame nii siinus- [lk 222] kui ka koosinusteoreemini [lk 224]. Esimene tõestus tuleb aga esile juba järgmises alapeatükis.

Teoreem

Teoreem on ehk matemaatika kõige austusväärsem žanr. Teoreemiks nimetatakse väidet koos matemaatiliselt täpse tõestusega. Õigupoolest julgetakse enamasti teoreemiks nimetada ainult piisavalt ägedaid väiteid koos oma ägedate tõestustega. Teoreemile antakse tihti ka tema avastaja nimi – kuigi peab tunnistama, et paljudel nimelistel teoreemidel pole nimeandjaga siiski suurt pistmist.

Üks kuulus teoreem on järgmine.

Teoreem: Leidub lõpmatult palju algarve. (Eukleides)

Sulgudes seisev „Eukleides” tähistab tõestuse autorit ja tihti nimetataksegi seda teoreemi Eukleidese teoreemiks.

Meenutame, et algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult enda ja ühega – nagu näiteks 2, 3 ja 5. Arvud 4 ja 6 aga pole algarvud, sest 4 = 2 · 2 ja 6 = 2 · 3. Algarvud on mingis mõttes kõikide teiste arvude baasiks. Neid ennast ei saa tegurdada, aga kõik teised arvud võime esitada algarvude korrutisena. Näiteks võime algarvude korrutisena kirjutada 8 = 2 · 2 · 2 ja 21 = 7 · 3.

Üritame lugejat selles teoreemis järgnevalt ka veenda. Meenutame, et  arutlust, mis veenaks ka kõige skeptilisemat matemaatikut, nimetatakse tõestuseks ning sisuliselt annamegi siin tõestuse.

Tõestus:

Alustuseks märgime, et algarve kindlasti leidub – näiteks 2, 3 ja 5 on algarvud ja nii mõnigi veel. Oletame, et oleme leidnud juba n erinevat algarvu p₁, p₂, ..., p_n. Kas leidub mõni veel? Kuidas teda leida?

Uus algarv ei tohiks kindlasti jaguda ühegagi juba teadaolevatest arvudest. Kõige lihtsam oleks siis vaadata arvu A, mis on ühe võrra suurem kui kõikide seni leitud algarvude korrutis:

Nii ei saa see arv kindlasti jaguda ühegagi juba leitud algarvudest, sest nendega jagamisel jätab ta jäägi 1.

Kui see arv ei jagu enam ühegi teise arvuga peale ühe ja iseenda, ongi tegemist ühe uue algarvuga. Nüüd, kui tegemist ei ole algarvuga, siis nagu meenutasime, saab ta kirjutada erinevate algarvude korrutisena. Ükski neist algarvudest ei ole meile veel aga teada!

Nii olemegi leidnud vähemalt ühe uue algarvu. Veelgi enam, ükskõik kui palju algarve me juba ei teaks, võime iga kord kasutada sama argumenti ja leida vähemalt ühe veel. Seega ongi algarve lõpmatult palju.

Selle väite ja tõestuse peale olevat tulnud Eukleides, kuulus Vana-Kreeka matemaatik, kes armastas geomeetriat ja arve. Tänaseks on sellele teoreemile juba kümneid tõestusi ja õigupoolest teame algarvude kohta nüüd palju rohkem. Teame näiteks üsna täpselt, kui palju leidub mingist kindlast arvust, näiteks tuhandest väiksemaid algarve. Palju küsimusi on aga endiselt ka vastamata.

Kuidas teile meeldiks, kui teil oleks rahatäht, millele kirjutatud väärtust saate kogu aeg muuta? Meeldiks? Siis meeldib teile ka muutuja mõiste matemaatikas.

Muutuja ongi lihtsalt üks matemaatiline objekt, mille väärtus võib muutuda ja mille väärtust võime muuta. Tihti esineb ta mingi kummalise lühikese nimega nagu x, y, z või n – matemaatikud juba niisama tinti ei raiska.

Muutujaid kasutatakse väga erinevates rollides. Tegemist on üsna üldise ja tihti lihtsustamise eesmärgil sisse toodud mõistega. Kuidas ja mis suhtes muutuja täpselt muutub, sõltub konkreetsest kontekstist ning mõnikord kutsutakse teda hoopis mõne teise nimega.

Muutuja, võrdused ja võrrandid

Muutujaid võib kohata võrduste ja võrranditega tegeledes. Kusjuures võrrandis on lihtsalt meile veel tundmatu suurus seotud teiste, meile hästi teadaolevate suurustega. Näiteks

kohta võib sõbrale öelda, et tegemist on võrrandiga muutuja x suhtes või võrdusega juhul, kui muutuja x väärtuseks on 3.

Muutuja on võrrandite kontekstis meie otsitav objekt – selline arv, millele kahte liites saame viie. Tema väärtus on meile alguses teadmata ja nii võikski teda nimetada ka „tundmatuks”.

Keerulisemate, nii-öelda üldkujus võrrandite korral aitab muutuja kui objekti sissetoomine vältida segadust.

Üldkujus võrrand on näiteks

Kui keegi ütleb, et x on selle võrrandi muutuja, siis teame, et otsime just x-ile sobivaid väärtuseid ning teised tähed tähistavad ainult teatavaid kordajaid. Konkreetsel juhul võime tundmatu x leidmiseks võrrandi mõlemalt poolt lahutada arvu a ning leida,

See on üldkujus võrrandi lahend.

Milleks meile üldse üldkujus võrrandid? Nad teevad elu lihtsamaks, aidates lahendada korraga palju erinevaid võrrandeid.

Näiteks ülaltoodud üldkujus võrrandi abil lahendasime ühekorraga ära kõik kolm järgnevat võrrandit:

Esimesel juhul peame valima lihtsalt a = 2, b = 4 ja saame lahendiks x = 2. Teisel juhul valime a = 3, b = 6 ja vastus on x = 3 ning kolmandal juhul annab a = 9, b = 14 valik lahendi x = 5.

Loomulikult võiksime tundmatu võrrandis tähistada ka tähega a ning kordajaid hoopis tähtedega x ja y. Sel juhul peaksime aga iga kord võrrandi juures hoolikalt täpsustama, mis on tundmatuks. Kokkulepe, et just x peaks enamasti olema tundmatu rollis, teeb matemaatika lugemise lihtsalt kergemaks ja kiiremaks. Kui meeldiv on näiteks lugeda järgmises kujus ruutvõrrandit ja tema lahendivalemit?

Kuna selline tähistus hirmutab ja tekitab parasjagu segadust, üritame raamatus kõike tähistada võimalikult levinud sümbolitega.

Muutuja ja funktsioonid

Muutujad tulevad esile ka funktsioonidest rääkides.

Funktsiooni peatükis kirjeldame, et funktsioonist võib mõelda kui teatud masinast, mis võtab muutuja ning teeb temaga mingi operatsiooni või teisenduse. Vahel kutsutakse teda ka funktsiooni argumendiks [lk 64].

Näiteks öeldakse, et ruutfunktsioon on ühe muutujaga funktsioon ehk masin, mis võtab muutuja ja korrutab teda iseendaga. Kui anname muutujale väärtuse 3, saame vastuseks 9, andes muutujale väärtuse 5, saame vastuseks 25.

Ristküliku pindala valem

on aga juba kahe muutujaga funktsioon: võime ju muuta mõlemat ristküliku külge ja pindala aina aga muutub.

Muutuja ja summad

Muutuja võib esile tulla ka pikkades keerulistes summades või integraali nimelises monstrumis [lk 340], aidates matemaatikul end kompaktsemalt ja täpsemalt väljendada.

Kui matemaatik tahab kokku liita arvud ühest kümneni, väljendab ta ennast aga nii:

mida loeme järgnevalt: summeerime üle kõikide arvude i, alates arvust  1  kuni arvuni 10 välja:

Seda hirmsat kõverikku ei maksa sugugi karta. Tegemist on suure kreeka sigma ehk meie S-iga, mis näeb välja nagu ohutu liblikas. Meie jaoks on ta aga lihtsalt kokkuleppeline tähistus summeerimise jaoks.

Näiteks

või

Neile, kes on veidi programmeerinud, on see muidugi vägagi   selge – ka arvutitele meeldivad muutujad. Selle asemel, et kirjutada välja summa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, ütlete arvutile, et liida kokku kõik arvud i, mis on vahemikus 1, ..., 10, ning kasuta liitmisel abimuutujat n, mille algväärtus on 0. Näiteks kirjutaks informaatik programmeerimiskeeles Python nii:

n = 0
for i in range(0,11) :
n = n + i
print(n)

Muutujateks oleks siin jupis nii „i” kui „n”. Esimesel real antakse muutujale väärtuseks 0. Järgmine rida ütleb, et muutujat tuleb muuta 1-st 10-ni (arve 0 ja 11 ei arvestata). Kolmas rida ütleb, et muutujale n tuleb iga kord juurde liita i väärtus. Nii ongi n-i väärtus algul 0, siis liidetakse n-ile juurde 1 ning n-i väärtuseks saabki 1. Järgmine kord on i väärtus 2 ja see liidetakse n-ile juurde ning uueks väärtuseks on 1 + 2 = 3. Lõpuks on n-i väärtus 55 ning see kuvatakse ekraanil.

Võrdsus on igapäevane mõiste. Räägitakse võrdsetest valikutest, võrdsetest võimalustest, võrdsetest vahetustest. Seega ei ole üllatav, et võrdsus kuulub ka matemaatiliste põhimõistete alla. Matemaatika tahab aga täpsust. Mida me võrdsuse all täpsemalt silmas peame?

Teisisõnu, kui ütleme, et kaks puud on võrdse jämedusega või et kahel meeskonnal on tabelis võrdne seis või et kahte õpetajat kuulati võrdse huviga, siis mis ühendab sõna võrdne kõigis neis fraasides?

Natuke järele mõeldes tundub, et pea igas kontekstis käsitleme teatud omadusi või objekte võrdsetena, kui neid võiks omavahel ära vahetada, nii et keegi vahetusele jälile ei saaks.

Muidugi sõltub äravahetatavus päriselus detailide rohkusest, mida arvestame: kaks head õpetajat on äravahetatavad, kui meid huvitab ainult see, kui palju õpilasi neid põnevil kuulab. Kui aga arvesse võtta ka jutu sisu või nende juuksevärv, siis on neid ilmselt igati võimalik eristada.

Matemaatiline võrdsus on väga sarnane. Tahame võrdseks pidada objekte, mille äravahetamine ei muudaks mitte kübetki. Jällegi peame aga hoolsad olema ja kindlaks määrama, milliseid omadusi silmas peame. Matemaatiliselt pannakse säärane arvude võrdsus kirja matemaatilise võrduse abil.

Näiteks kahte arvu tahame lugeda võrdseteks, kui kõikides seostes teiste arvudega ning kõikide tehete suhtes käituvad nad täpselt ühtemoodi.

Näiteks on võrdsed arvud ²⁄₃ ja ⁶⁄₉, kuigi nad näevad välja erinevad. Samuti on matemaatikas arv 1 ja lõpmatu perioodilise esitusega arv 0,999 ... võrdsed, ent nende kümnendesitused on ju erinevad! Seda võib endale selgitada mitmel moel. Kui arvud 1 ja 0,999 ... oleksid erinevad, siis peaksid need arvud erinema mingi nullist erineva arvu võrra. Aga ükskõik kui väiksele arvule 0,999 ... juurde liidame, saame ikkagi ühest suurema aru. Samuti võib tunduda mõistlik, et

Ka paljude teiste objektide jaoks on nende võrdsus saanud eraldi nimetuse. Näiteks kahte kolmnurka, mida võime teineteise peale kattuvalt asetada ja mis seega on iga geomeetrilise teisenduse suhtes võrdsed, nimetatakse kongruentseteks kolmnurkadeks. Neil on täpselt võrdsed küljed ja nurgad.

Mõnikord huvitab meid aga ainult kolmnurkade kuju ja mitte nende täpne suurus. Kolmnurki, mida võime suurendamise ja vähendamise teel teineteiseks muuta, nimetatakse sarnasteks kolmnurkadeks.

Üks matemaatika eesmärke on leida lihtsaid tingimusi, mille korral kaks objekti on võrdsed. Nagu nägime, ei ole arvude puhul nende kümnendesitus ega ka murdesitus sobivaks kriteeriumiks. Näiteks kolmnurkade puhul selgub aga, et kahe kolmnurga võrdsuseks piisab kõigi kolme külje võrdsusest ning nende sarnasuseks kolme nurga võrdsusest.

Nagu mainisime, võime arvude võrdsuse kirja panna matemaatilise võrduse abil. Matemaatilise võrduse tähistamiseks kasutatakse lühikeste rööbaste moodi märki „=”.  Näiteks võime eelnevalt väidetud arvvõrduse kirja panna kujus

Matemaatilise võrduse kasutus on muidugi laiem kui ainult arvud: arvude asemel võivad olla ka näiteks arvavaldised. Arvavaldis ei ole midagi keerulist – seal võivad arvude kõrval olla ka mõned tähed, mis võivad tähistada erinevaid arve, ja tehtemärgid.

Näiteks on arvavaldis 1 + 1 ja seega sobib ka võrduseks 1 + 1 = 2.           

Keerulisem arvavaldis on näiteks a + 3b, kus a ja b võivad tähistada suvalisi arve. Nad on seega muutujate rollis [lk 48] – nende väärtus võib meie suva järgi muutuda. Kui a tähistab arvu 1 ja b arvu 2, võime kirjutada võrduse a + 3b = 7. Seejuures peame meeles hoidma, mis ikkagi arvude ja väärtused parasjagu on. Nende väärtuseid muutes ei pruugi võrdus ju enam kehtida!

Tõese võrdusega seotud arvud või arvavaldised on iga arvutuse suhtes äravahetatavad: ükskõik mida me kahe võrdusmärgiga seotud arvu või avaldisega ei teeks, siis niikaua kui kohtleme neid täpselt samal viisil, jäävad tulemid alati võrdseks.

Näiteks võime tõsta eeltoodud võrduse märgi mõlemad pooled ruutu: (1 + 1)² = 2² või lisada mõlemale poolele arvu 5 : 1 + 1 + 5 = 2 + 5. Võrdus jääb nii esimesel kui teisel juhul endiselt kehtima.

Võrdusmärgi tänapäevase tähise võttis kasutusele Walesi matemaatik Robert Recorde 16. sajandil – ta oli lihtsalt tüdinenud välja kirjutamast sõnapaari „on võrdne”. Sedasama võrdusmärki kasutatakse ka paljude teiste matemaatiliste objektide võrdsuse tähistamiseks, näiteks kohtame teda juba järgmises peatükis, kus ta tähistab hulkade võrdsust.

Nagu nägime, on võrdus matemaatiline mõiste, mis aitab meil mõttekäiku täpsustada.

Võrdused teevad üldiselt elu lihtsamaks.Võrdusmärgiga seotud avaldised või arvud või muud matemaatilised objektid on täpselt samad. Seega võime kasutada igas olukorras meile sobivat, lihtsamat esitust.

Näiteks kui teame, et a² – b² = (a – b) · (a + b), annab see meile hea kavala mooduse teatud arvude korrutamiseks: Kui  palju on 8 · 12? Muidu vajab see omajagu pearaginat, aga kui kirjutame 8 = 10 – 2  ning 12 = 10 + 2 , näeme, et 8 · 12 = (10 – 2) · (10 + 2). Eeltoodud võrduse põhjal on see aga võrdne arvuga 10² – 2². Kuid 10 · 10 = 100 ja 2 · 2 = 4, seega 8 · 12 = 96!

Seega nagu kirjandustunnis tahetakse, et otsiksite ühele sõnale  sünonüüme, et end ilusamini väljendada, tasub alati otsida ka matemaatilisele objektile võrdseid objekte ja samaväärseid kirjeldusi. See teeb tihti matemaatika tegemise lihtsamaks: näiteks vahel soovime sama arvu näha kujus 823543, vahel aga kujus 7⁷ – kumb esitus meeldib Sulle rohkem?

Võrdused on kasulikud ka kitsamate matemaatiliste tarkuste edasiandmisel.

Arvutustarkused ja samasus

Võrduse abil võib lühidalt esitada igasugu erinevaid arvutustarkusi, mida vahel kutsutakse ka samasusteks, et rõhutada nende igavest ja ajatut kehtimist.

Näiteks a + b = b + a väljendab, et ükskõik millise kahe arvu summa ei olene liidetavate järjekorrast. Seda nimetatakse matemaatikas kommutatiivsuseks. Tõepoolest, kui a = 2, b = 4, kordame juba eeltoodud tarkust: 2 + 4 = 4 + 2.

Kuulus teisendamisnipp

näitab, et ükskõik millise kahe arvu summa ruudu võime leida, kui liidame kokku nende arvude ruudud ja lisame sellele veel arvude kahekordse korrutise. Kas valem pole mitte lühem kui eelmine lause? Või on toredam hoopis järgmine geomeetriline kirjeldus?

Viimase pildi keskmine liige näitab, et ab ja ba on võrdsed ning nende kokkuliitmisel tekibki 2ab.

Kuna eelmine joonis on väga tore, siis tõestame ka korrutamise jaotumise ehk distributiivsuse

sarnase graafilise meetodiga:

Nagu igapäevakeeleski, tähendab ka matemaatikute jaoks hulk mingite objektide kogumit. Näiteks moodustavad hulga kõik kartulid kastrulis, kõik õpilased klassis või kõik kassid vanaema keldris.

Hulgale kehtib ainult üks tingimus – ühedki kaks hulga elementi ei tohi olla võrdsed.

Matemaatikuid huvitavateks hulkadeks on näiteks kõikide naturaalarvude, negatiivsete reaalarvude, mingit võrrandit rahuldavate arvude või ka täisnurksete kolmnurkade hulk.

Hulkasid keskkoolis põhjalikumalt ei käsitleta – tegemist on ju nii lihtsate objektidega! Otsustasime siinkohal neist siiski rääkida, sest olgugi et lihtsad, on nad kogu matemaatika aluseks.

Hulka kirjeldatakse tihti tema elemente loogeliste sulgude vahele üles loetledes. Näiteks kõik numbrid moodustavad hulga

Kuna igas lõigus ei ole mõtet kogu hulka välja kirjutada, antakse hulkadele tihti nimed. Enamasti tähistatakse hulkasid suurte tähtedega: näiteks võime öelda, et

Hulga elementidel puudub igasugune ambitsioon või kohustus end järjestada – nad on kõik võrdväärsed hulga liikmed. Seega oleksime võinud A elemendid loetleda ka mõnes muus suvalises järjekorras nagu näiteks

Hulka võib kirjeldada ka mõne tingimuse abil. Eeltoodud hulka oleksime näiteks võinud kirjeldada järgmiselt:

või lihtsalt

Paarisarvude hulka võime aga kirjeldada nii:

Lühendatult võib kirjeldus võtta ka järgmise kuju:

või kogenud matemaatikafänni kätetöös muutuda hoopis minimalistlikuks:

Seda avaldist peaks lugema järgnevalt: P on hulk, mis koosneb täisarvudest n nii, et n jagub kahega.

Andes hulgale A erinevaid kirjeldusi, kasutasime juba ühte lihtsat, aga  tähtsat hulkade omadust: kaks hulka on võrdsed parajasti siis, kui neis on täpselt samad elemendid. Ehk teisisõnu hulgad on võrdsed parajasti siis, kui kõik elemendid, mis asuvad ühes hulgas, asuvad ka teises ning vastupidi.

Üritame järgnevalt vastata selle peatüki eksistentsiküsimusele: mis kasu on aga sellisest lihtsast objektide kogumist nagu hulk ja miks ta siia põhimõistete alla on sattunud? Veelgi enam, miks me räägime temast nii pikalt?

Tükkide sidumine

Esiteks koosneb peaaegu kõik väiksematest osadest. Nii võib peaaegu kõike juppideks lahti võtta ning nende juppide abil kirjeldada. Näiteks pallivõistkond koosneb tema mängijatest, lause sõnadest, õhk erinevatest molekulidest, aatomituum prootonitest ja neutronitest ja nii edasi. Selliste kirjelduste taga võib juba näha hulkasid.

Sarnaselt tulevad hulgad mängu ka matemaatiliste objektide kirjeldamisel: näiteks ringjoont võib kirjeldada kui kõikide punktide hulka, mis asuvad ühest kindlast punktist – ringjoone keskpunktist – võrdsel kaugusel.

Just see alternatiivne kirjeldus selgitab, miks saame sirkliga ilusaid ringjooni joonistada. Kui asetame sirkli ühe haara ringjoone keskpunkti, siis liigutades teist haara joonistame järjest tollest keskpunktist võrdsel kaugusel olevaid punkte.

Korraga käitlemine

Teiseks tahame tihti midagi ette võtta paljude objektidega korraga.

Näiteks tahab õpetaja hinde panna kõikidele klassi õpilastele või mesilane tolmeldada kõiki ümbruskonna õienuppe. Nii võime rääkida hindamisest või tolmeldamisest kui operatsioonist, mida võib ette võtta kõikide õpilastega või kõikide õienuppudega.

Matemaatikas on hea, kui oskame iga kolmnurgaga seada vastavusse tema pindala või kõikide reaalarvude jaoks leida nende ruutude väärtuseid. Selliseid mõtteid saame täpselt ja matemaatiliselt kirja panna just hulkade abil, defineerides mingi tegevuse – või täpsemalt funktsiooni – kõikidel hulga elementidel.

Näiteks arvu ruutu võtmine on operatsioon, mis valib kõikide reaalarvude hulgast mõne arvu ning seab temaga vastavusse selle arvu korrutise iseendaga. See kõik on tihedalt seotud funktsioonidega ning nende niinimetatud määramis- ja muutumispiirkondadega [lk 67].

Hulgad on matemaatika aluseks

Kolmandaks – ja võibolla kõige üllatavamalt – osutuvad hulgad teatud mõttes kogu matemaatika aluseks.

Kui on rohkesti järjekindlust ja parasjagu kavalust, võib hulkade toel kirjeldada kõiki matemaatilisi objekte ja operatsioone. Nii ongi matemaatika seni kõige levinum vundament ehitatud just hulkadele. Kõik matemaatilised tulemused peaks teoreetiliselt saama ümber tõlkida keelde, kus ainsad objektid on hulgad ning nendega ümberkäimiseks on kümmekond karmi reeglit. See on oluline, kuna sellises keeles kirjutatud argumentide õigsust suudab kontrollida lisaks õpetajale juba ka arvuti – nii on igasugusel vaidlusel ots ja lõpp, arvuti teab täpselt! Tegelikult suudab arvuti juba isegi teatud lihtsamaid argumente sellises väga täpses ja formaalses keeles ka välja mõelda. Siiski on vähegi keerulisemate arutelude hulkade keelde ümber tõlkimine paras vaev ning matemaatikud on esialgu veel leidlikumad uute tulemuste tõestajad kui arvutid. Järgnevalt näitame, kuidas mõnda matemaatilist objekti hulkade abil kirjeldada. Meie raamatu piires neil kirjeldustel küll suurt olulisust pole, kuid võibolla on lihtsalt põnev lugeda.

Näiteks võib hulkade abil kirjeldada kõiki funktsioone [lk  64]. Ruutfunktsiooni – masinat, mis seab igale reaalarvule vastavusse tema ruudu – võime kirjeldada järjestatud arvupaaride hulgana:

Idee on siin mõelda, et iga arvupaari esimese liikmega seatakse vastavusse teine liige.

Kui vaatleksime funktsiooni y = x² ainult täisarvude nullist seitsmeni, võksime kirjeldava hulga ka elementhaaval välja kirjutada:

Naljakal kombel on mõne lihtsama matemaatilise objekti kirjeldamiseks aga tarvis kauem mõelda. Näiteks kuidas kirjeldada arvu 4 ainult hulkade abil, arvudest rääkimata? Selleks on mitu viisi. Kirjeldame siin ühte võimalikku viisi.

Arv 1 seatakse vastavusse ilma ühegi elemendita tühja hulgaga: Ø. Tühjast hulgast võib mõelda kui tühjast kilekotist.
Arv 2 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 1 vastav hulk ehk tühihulk. Seega võime seda hulka kirjeldada sümbolites kui {Ø}. Oleme oma tühjale kilekotile ümber pannud veel ühe kilekoti – kokku kaks kilekotti.
Arv 3 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 2 vastav eelmises punktis leitud hulk. Tema kirjelduseks on {{Ø}}. Kilekott, mille sees on kilekott, mille sees on kilekott – kokku kolm kilekotti.
Arv 4 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 3 vastav hulk matemaatilise tähistusega {{{Ø}}} ehk neli kilekotti.

Nii võib muidugi jätkata ja kirjeldada kõiki naturaalarve 1, 2, 3, 4... hulkade või tõepoolest... kilekottide abil. Iga kilekoti lisamine ehk uue hulga tekitamine kandis endas arvu üks juurdeliitmise ideed.

Need on ainult kaks väljavalitud näidet, aga ka keerulisemaid objekte saab hulkadega esitleda. Selliselt mõeldes on hulgad ikka üsna ägedad: peaksid võimaldama kirjeldada kõike, mida matemaatikas teame.

Võibolla on tore ka teada, et tänaseks ei ole hulgad enam ainus kasutusel olev matemaatikale vundamendi ladumise viis. Kasutada võib ka teist tüüpi, pisut võimsamaid objektide kogumeid – kategooriaid. Kategooria ei koosne enam üksnes erinevatest objektidest, vaid sisaldab ka seoseid nende objektide vahel.

Hulgad on matemaatikutele ka paradokside näol palju peavalu toonud.

20. sajandi algupoolel tekitas pahandust inglise filosoof ja matemaatik Bertrand Russell järgmise lihtsa küsimusega:  kas mõni hulk võiks olla ka iseenda element?

Võibolla arutles ta umbes nii.

Kui mul on hulga koostamiseks vabad käed, võin ju nõuda, et minu hullumeelse hulga iga element oleks selline hulk, mis ei ole iseenda element.

Kas sel juhul mu hullumeelne hulk ise on enda elemendiks?

Kui ta oleks enda element, siis ta peaks olema selline hulk, mis ei ole iseenda element – huhuu, päris vastuoluline!

Kui ta aga on selline hulk, mis ei ole iseenda element, siis ta peaks vastupidi just kuuluma hullumeelsesse hulka ehk olema iseenda element! Ka vastuoluline!

Ma ei saagi sellele küsimusele vastata, katastroof!

Katastroof või mitte, mõtteainet pakkus see paradoks paljudele. Lõpuks leiti ka lahendus – igasugu kummaliste paradokside vältimiseks ei tohi lihtsalt lubada täielikult vabu käsi hulkade koostamisel.

Üldiselt selle üle aga muretsema ei pea – kõik hulgad, millest koolimatemaatikas räägitakse, on tõepoolest ka kõige karmimate nõuete järgi matemaatilised hulgad. Võib vahest lihtsalt meelde jätta, et ka alguses väga lihtsad ja selged mõisted võivad enda varjus peita igasuguseid riukaid.

Mida teha, kui on kakskümmend seitse sõpra ja kõigi nende sünnipäev on tarvis meeles pidada? Ei olegi eriti midagi vaja teha – tuleb lihtsalt lahti võtta arvuti või mõne suhtlusvõrgustiku kalender ja sinna sünnipäevad sisestada. Nii on kuskil sügaval arvuti sisimas iga inimesega vastavusse seatud tema sünnipäeva kuupäev.

Sisuliselt rakendasime äsja ühte funktsiooni! Nimelt üks funktsioon seab iga objektiga vastavusse mingi muu objekti ja täpselt ühe objekti – mitte rohkem ega vähem – ning meie seadsime iga sõbraga vastavusse tema sünnipäeva.

Samamoodi võiksime mõelda, et kalender ise on funktsioon – seab iga kuupäevaga vastavusse õige nädalapäeva!

Muidugi on palju olukordi, kus sellist reeglit kohe järgida ei saa – näiteks ei saaks me iga kuupäevaga vastavusse seada ainult ühte inimest, kellel sel kuupäeval sünnipäev on, sest samal kuupäeval on ju sünnipäev väga mitmel erineval inimesel. Sel juhul ei ole lahti midagi hullu, aga funktsioon matemaatilise kirjeldusena siia lihtsalt kohe ei sobi. Hiljem näeme, et pisut kavaldades võime ka selles olukorras funktsioone kasutada.

Funktsioonist saab mõelda väga mitut moodi. Kirjeldasime juba, kuidas funktsiooni näha teatud kindlat tüüpi nimekirjana. Võibolla lihtsamgi veel on ette kujutada, et funktsioon on teatud tüüpi masin, mis haarab endasse ükshaaval erinevaid objekte, teeb nendega abrakadabra ning seejärel väljastab nad jällegi ükshaaval, mõnikord hoopis tundmatul kujul.

Tore näide elulisest funktsioonist on õiglaselt tiksuv taksomeeter. Kui alustamistasu on 2,5 eurot ja iga kilomeeter maksab 0,5 eurot, siis taksomeeter on masin, mis korrutab kulunud kilomeetrite arvu 0,5-ga ning liidab pärast 2,5 eurot juurde.

Matemaatikakesksem funktsioon on näiteks ruutfunktsioon: sisestate masinasse ühe arvu, seal korrutatakse see arv hookuspookuse abil iseendaga ja väljastatakse tulemus. Sellele masinale võiks peale kirjutada „ruutfunktsioon”, et ta teiste masinatega segamini ei läheks.

Mõni geomeetriline masin võiks näiteks võtta sisendiks kolmnurki ning väljastada nende pindala või ümbermõõdu. Masinale, mis võtab sisendina kolmemõõtmelisi kujundeid, litsub neid suure vasaraga tasandile kokku ning väljastab algse kujundi kahemõõtmelise kujutise, võime anda uhke nime „projektsioon”. See on masin, mis näiteks teeb maakaarte, surudes meie kena ümara maakera kahemõõtmelisele paberile.

Analoogia funktsiooni ja masina vahel on hea ja intuitiivne, kuid matemaatika tarvis on vaja mõte ka täpsesse vormi seada.

Selle jaoks on meil tarvis lihtsalt täpsustada, milliseid objekte meie masin sisendina võtta saab ning milliseid ta väljastab. Kui nüüd meenub, et üldine objektide kogum matemaatikas on hulk, võibki anda funktsiooni range definitsiooni.

Funktsioon hulgast A hulka B on eeskiri, millega hulga A iga elemendiga seatakse vastavusse täpselt üks hulga B element.

Tihti tähistatakse funktsioone näiteks tähega ƒ.

Näiteks arvu ruutu võtmine on funktsioon, sest ta seab igale reaalarvude hulga elemendiga r vastavusse ühe teise reaalarvude hulga elemendi r². Matemaatiliselt kirjutaksime

Määramispiirkond ja muutumispiirkond

Hulka A nimetatakse ka määramispiirkonnaks, ehk siis funktsioon on määratud kõikide hulga A elementide jaoks. Ta koondab endasse kõikvõimalikud masina sisendobjektid.

Meie definitsioonis ei pea iga hulga B element olema tegelikult masina väljundobjektiks – hulk B moodustab potentsiaalsete väljundobjektide hulga. Näiteks arvuruudud on ju alati mittenegatiivsed, kuid meie definitsioonis täitis ka hulga B rolli reaalarvude hulk. Tihti on lihtsalt raske otsustada, mida täpselt masin ikka väljastada otsustab, isegi kui teame, mis tüüpi need objektid umbkaudu on. Näiteks kui meie funktsioon seab iga maailma majaga vastavusse tema aastase soojakulu, siis on kõik vastused kindlasti mittenegatiivsed reaalarvud, aga raske on ette öelda, milliseid arvväärtusi me tulemustena näha saame.

Siiski suudame vahel täpselt kindlaks määrata kõikvõimalikud objektid, mida masin tõepoolest väljastada oskab. Sellist hulga B alamhulka nimetatakse muutumispiirkonnaks.

Näiteks kolmnurga pindala funktsiooni määramispiirkonna moodustavad kõikvõimalikud kolmnurgad ja muutumispiirkonna positiivsed reaalarvud.

Sissejuhatuses toodud sünnipäevade funktsiooni määramispiirkonnaks olid kõik sõbrad ning muutumispiirkonnaks kõikvõimalikud kuupäevad.

Samuti mainisime sissejuhatuses, et kuupäevadega inimesi vastavusse seades me funktsiooni ei saaks. See on tõsi, aga seda ainult eeldusel, et tahame oma muutumispiirkonnaks just inimeste hulka – sel juhul tõesti pole funktsioon hästi defineeritud, samal kuupäeval on sünnipäev väga paljudel.

Samas aga, kui meil on tõesti suur kihk funktsiooni kirjeldusena kasutada, siis võiksime iga kuupäevaga vastavusse seada hoopis kõik inimesed, kellel on sel päeval sünnipäev. Teisisõnu muudaksime funktsiooni muutumispiirkonda: enam ei oleks muutumispiirkonna elementideks inimesed, vaid hoopis kõikvõimalikud inimeste alamhulgad. Nii saaksime igati toreda funktsiooni ning süda võib rahul olla.

See kehtib ka üldisemalt: tihti võime muutumispiirkonda laiendades saada mittefunktsioonist igati viisaka funktsiooni.

Nii nagu on eri tüüpi, hoopis isesuguste omadustega masinaid, nii on ka erinevate omadustega funktsioone. Kokku on funktsioone väga palju ning nende kõigiga ei saa ühtmoodi ringi käia. Teatud omaduste põhjal õnnestub funktsioone aga natukene liigitada ja klassidesse seada – nii nagu näiteks soo või vanuse põhjal liigitatakse ka inimesi, et teada, mida neile reklaamida tasuks või milliseid riideid neile müüa sobiks. Ei maksa ehmuda, kui mõnikord on eri tüüpi funktsioonidele antud päris keerulised nimed.

Üksühene vastavus ja pöördfunktsioon

Näiteks osutuvad oluliseks funktsioonid, mis seavad iga määramispiirkonna objektiga vastavusse täpselt ühe muutumispiirkonna objekti. Selliseid funktsioone kutsutakse ka üksühesteks vastavusteks.

Toredaks teeb need funktsioonid asjaolu, et sel juhul võime funktsiooni ka ümber pöörata ja muutumispiirkonna iga objektiga vastavusse seada ka täpselt ühe määramispiirkonna objekti.

Selline vastupidine vastavusse seadmine kannabki pöördfunktsiooni nime. Võime mõelda, et sümboolselt tähendab see järgmist:

Lihtne näide on funktsioon, ƒ(r) = 2r mis korrutab iga reaalarvu kahega. Tema pöördfunktsioon peab iga reaalarvu kahega jagama.

Näiteks sobiks ka meie taksomeetri funktsioon, sest juhul, kui ajatasu juures pole, saame makstud summa järgi täpselt arvutada ka läbitud kilomeetrite arvu. Peab muidugi olema hoolikas, et see makstud summa oleks alustustasust suurem ehk asuks taksomeetri funktsiooni muutumispiirkonnas.

Suur osa funktsioone siiski üksühesed vastavused pole. Näiteks funktsioon, mis annab inimese sisestamisel välja tema sünnipäeva, ei ole üksühene vastavus, sest samal kuupäeval on paljudel inimestel sünnipäev. Enamasti ongi üksühesuste takistuseks see, et nad seavad määramispiirkonna eri objektidega vastavusse muutumispiirkonna ühe ja sama objekti.

Nii ei ole ruutfunktsioon üksühene vastavus, kuna ta seab sama arvu vastavusse nii pluss kui ka miinus ühega. Samuti ei ole üksühene vastavus kolmnurga pindala, kuna mitmel erineval kolmnurgal võib ju olla täpselt sama pindala.

Pöördfunktsioone saame siiski tihti defineerida, kui kitsendame oma vahemikku või teisisõnu teeme mõned valikud.

Näiteks võiksime ruutfunktsiooni pöördfunktsiooni defineerida nii, et valime alati positiivse ruutjuure. Sel juhul vaataksime ruutfunktsiooni justkui ainult positiivsetel reaalarvudel defineeritult. Tema pöördfunktsiooni leidmiseks peaksime justkui x- ja y-telje rollid ära vahetama. Nüüd jookseb funktsiooni argument mööda y-telge ning funktsiooni väärtus mööda x-telje posiitivset osa.

Kaval viis sellest mõtlemiseks on järgmine: pöördfunktsiooni leiame täpselt siis, kui peegeldame graafikut sirgest x = y:

Pöördfunktsioone kohtame pikemalt näiteks trigonomeetriliste funktsioonide juures, kus just seesama üksühesuse mure välja tuleb [lk 205].

Funktsioonide esitamiseks on väga palju erinevaid viise ning olenevalt olukorrast on mugavam kasutada ühte või teist või kolmandat, mõnikord mitut korraga.

Tabeli või nimekirjana

Üks lihtsamaid võimalusi on funktsioone esitada nimekirja või tabelina: anname lihtsalt igale sisendile vastava väljundi. See on üsna kompaktne viis, kui funktsiooni määramispiirkond on tilluke ja samas pole väärtustel suurt  struktuuri. Näitena sobib sissejuhatuses toodud joonis või näiteks ka sagedustabel, kuhu kirjutame, kui mitu päeva selle aasta ilusas juunis olid päikselised, vihmased või vahepealsed.

Valemina

Teine levinud viis on funktsiooni esitamine valemina. Näiteks on seeläbi defineeritud enamik reaalarvulisi funktsioone. Lihtne näide on ruutfunktsioon:

Algoritmina

Funktsioone võib esitada ka algoritmiliselt ning eriti osutub see oluliseks just asjaajamisel arvutitega. Järgmisel lehel näitame, kuidas algoritmina kirja panna faktoriaal ehk esimese n arvu korrutis [lk 382].

Sõnaliselt

Vahel on kõige lihtsam funktsioone esitada hoopis verbaalselt. Näiteks võiksime võtta funktsiooni, mis seab iga kolmnurgaga vastavusse tema pindala, või funktsiooni, mis seab iga inimesega vastavusse tema pikkuse.

Graafiliselt

Tihti on kasulik funktsioone esitada graafiliselt. Eelkõige on see seotud reaalarvuliste funktsioonidega, mille määramis- ning muutumispiirkond on reaalarvud.

Sageli võib reaalarvuliste funktsioonide uurimise taandadagi graafiku uurimisele. Ja kuigi malli ja joonlauaga täpseid vastuseid ei saa, siis geomeetrilistest argumentidest ja intuitsioonist on võimalik päris palju kasu lõigata.

Selles raamatus näeme, kuidas geomeetriliselt on võimalik leida ruutvõrrandi lahendivalem [lk 275] või meelde jätta trigonomeetrilisi teisendusi [lk 242] või hoopis lahendada lineaarvõrrandisüsteeme [lk 187]. Ka sellistel keerulistel operatsioonidel nagu tuletise ja integraali võtmine on olemas ilusad geomeetrilised tõlgendused [lk 326].

Siinkohal toome näiteks funktsioonide 

ning 

graafikud ja näeme, et nad lõikuvad täpselt kahes reaalarvulises punktis. Proovige seda algebraliselt näidata!

Mitmest sisendist olenevaid funktsioone on juba keerulisem graafiliselt kujutada. Osas 7 kasutame aga näiteks joonist, mis näitab, kuidas hoo pealt veepommi viskamisel sõltub optimaalne viskenurk korraga viske- ja hookiirusest [lk 338].

Programmeerijatele on funktsioonid igapäevased tööriistad. Arvutiprogrammid ongi tegelikult erinevate väikeste funktsioonide kogumid, mis teevad täpselt määratud sisenditega täpselt määratud protseduure.

Kõige lihtsamad funktsioonid on vahest tabelarvutuse programmides, millest kuulsaim on Microsoft Excel. Seal võib mõnda kasti kirjutada „=A1+B1", mis ütleb arvutile, et selle kasti väärtuseks näidatakse kastide A1 ja B1 summat. Tegemist on funktsiooniga, mille sisendiks on kaks arvu ja väljundiks üks.

Toome ka ühe näite funktsioonist, mis arvutab faktoriaali n! [lk 382]. Tuletame meelde, et faktoriaal on lihtsalt järgnev korrutis

Arvuti võiks seda programmeerimiskeele Python abil leidma panna umbes nii:

def factorial(n) :
f = 1
while (n > 0) :
f = f * n
n = n – 1
return f

Jooksutades seda funktsiooni käsuga factorial(5), saaksime vastuseks järgmise tulemuse: 120.

Arvutite keelest arusaamiseks ning neile käskluste jagamiseks peab teadma-tundma sealset sõnavara.

Antud juhul defineerime, mida teeb funktsioon nimega factorial ning seejärel anname talle käsu jooksutada seda funktsiooni sisendiga 5. Ideeliselt peaks see funktsioon seejärel siis  lihtsalt korrutama kokku arvud 5, 4, 3, 2, 1.

Selle funktsiooni kirjapanek on järgmine.

Funktsiooni esimesel real antakse muutujale ƒ väärtus 1. Siia hakkamegi salvestama faktoriaali väärtust. Järgmise käsuga palume arvutil jooksutada järgmist kahte rida nii kaua, kuni muutuja n väärtus on suurem 0-st.

Esmalt korrutatakse ƒ läbi muutuja n väärtusega.

Teisalt vähendatakse muutuja n väärtust ühe võrra.

See tähendab, et korrutame ƒ-i läbi alguses n enda väärtusega, siis n – 1-ga, siis n – 2-ga täpselt nii kaua, kuni oleme läbi korrutanud ka ühega – väiksemaks me muutujal n tänu kolmandale koodireale enam minna ei lase.

Lõpuks ütleb viimane rida lihtsalt, et funktsioon peaks leitud väärtuse küsijale ka väljastama.

Nii mõnigi kord tulevad programmeerimiskeeltes esile ka funktsioonid, mis ei annagi väljundit, vaid lihtsalt teevad mõned kerged muudatused. Neist oleks võibolla segaduse vältimiseks siis lihtsam mõelda kui „protseduuridest“.

Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse N-iga.

Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad matemaatilised objektid,  lihtsad, aga tähtsad. Kuna nad tulevad esile kohe, kui loendama hakkame, ei saa nendest maailma kirjeldamisel üle ega ümber.

Oma loomulikkuse tõttu on nad ka matemaatikas üheks keskseks objektiks ja nende uurimine pole veel sugugi päris lõppenud!

Naturaalarvude  matemaatiline  kirjeldamine

Naturaalarvud võib üles ehitada ühe arvu – arvu 1 – ning ühe tehte – arvu 1 liitmise baasil. Iga naturaalarvu võime leida, kui ühte piisava arvu kordi iseendaga kokku liidame. Arvu 10 saamiseks peame näiteks arvule 1 veel 9 arvu 1 juurde liitma.

Nii leidub igast naturaalarvust veel ühe võrra suurem naturaalarv. Näiteks isegi kui meil on juba 1000 sõpra, võiksime leida veel ühe sõbraliku selli Tiibeti mägedest ning meil olekski juba  1001 sõpra – ka teda peame oskama arvestada!

Seega kõige suuremat naturaalarvu ei leidugi. See arusaam võib alguses tunduda natuke üllatav, aga teiselt poolt: kas on mingi põhjus, miks peaks leiduma kõige suurem arv? Nii kohtame ka esimest korda lõpmatust – naturaalarve peab kokku olema lõpmatult palju.

Naturaalarve võib kirjeldada ja defineerida ka mitmel muul moel. Näiteks võite hulkade peatükist lugeda, kuidas naturaalarve kirjeldada ainuüksi hulkade abil [lk 61].

Tasub ilmselt veel ära märkida, et mõnikord loetakse ka 0 naturaalarvude hulka, tähistamaks olukorda, kus veel midagi loendatud pole. See on aga rohkem maitse küsimus, nii et lugeja võib täiesti vabalt ise otsustada, kas 0 on naturaalarv või pole. Meie positsioon on aga selge: alustasime ju raamatus esinevate osade loendamist just nullist.

Naturaalarvude tähistamine

Naturaalarvud on väga loomulikud, nad on erinevates kultuuriruumides sõltumatult kasutusele võetud ja välja on arenenud erinevad tähistused. Järgnevalt tutvustame nendest ka mõnda levinumat.

Kümnendsüsteem

Meile on kombeks naturaalarve tähistada kümne numbri abil  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9.

Kuna kasutame täpselt kümmet erinevat sümbolit, siis sellist tähistust nimetataksegi kümnendsüsteemiks. Kümnendsüsteemis ehitame kõik arvud üles ühelistest, kümnelistest, sajalistest (kümme korda kümme), tuhandelistest (kümme korda kümme korda kümme)  ja nii edasi – kümnete meri.

Näiteks arv 128 tähendab lahtikirjutatult 1 · 10 · 10 + 2 · 10 + 8

ning arv 9301 tähendab 9 · 10 · 10 · 10 + 3 · 10 · 10 + 0 · 10 + 1.

Arvu astme peatükis [lk 110] näeme, et võime ühelised, kümnelised, sajalised ja nii edasi kõik kirjutada arvu kümme astmete abil – lisame 10 ülemisse paremasse nurka tema astendaja, mis ütleb, mitu korda arvu 10 kokku korrutame:

Nii võime arvu 9301 kirjutada veelgi kompaktsemalt:

Kahendsüsteem

Arvutitekogus toimub arvutamine aga kahendsüsteemis – kõik arvud kirjutatakse kahe numbri 0 ja 1 abil ja arve loendatakse mitte kümneliste, vaid kaheliste kaupa. Näiteks arvu 3 kuju kahendsüsteemis on 11, kuna 3 = 1 · 2 + 1, arv 5 on kujus 101 kuna 5 = 1 · 2 · 2 + 0 · 2 + 1 ning arv 8 on kujus 1000, kuna 8 = 1 · 2 · 2 · 2. Sarnaselt kümnendsüsteemiga võime seega iga naturaalarvu kirjutada üldkujus arvu 2 astmete abil.

Enne juba käsitletud arvu 9301 võime seega kahendsüsteemis kirja panna pisut pikemalt:

Teisisõnu on kahendsüsteemis arvu 9301 kujuks 10010001010101.

Kindlasti tuleks küsida: miks ikkagi arvutites kõik  kahendsüsteemis toimub? Põhjus on väga proosaline – kahendsüsteemis on meil vähim erinevaid sümboleid, mida kuidagi masinavärgis tähistama peaks. Kõige lihtsam ongi arvutit üles ehitada „lülititest”, millel on täpselt kaks olekut – kas sees või väljas. Need vastavad siis väärtustele 1 ja 0. Nii on kahendsüsteemis lihtsam arve salvestada ja lihtsam ka tehteid teha. Mõelge ise, on ju endalgi kahte ühte ja nulli omavahel lihtsam kokku liita kui näiteks seitset ja viit.

Ainus raskus võrreldes kümnendsüsteemiga on arvude lugemine – arvud lähevad kiiresti maru pikaks. Meil igapäevaelus oleks see probleem, aga arvuti võib ju ekraanile meie jaoks midagi mugavamat kuvada.

Rooma numbrid

Roomlased vedasid aga naturaalarvude tähistamiseks hoopis kummalisi kriipse: näiteks meie ühte tähistati kriipsuga I, meie 12 kriipsudega XII ja meie 49 kriipsudega IL.

Proovige leida reegleid Rooma numbrite liitmiseks või veel hullem, korrutamiseks. Näiteks liidaksid roomlased arve 69 ja 145 kokku järgnevalt.

LXIX + CXLV

1. Tuleb asendada kõik „lahutavad liikmed”:

LXVIIII + CXXXXV

2. Kokku panna:

LXVIIIICXXXXV

3. Sorteerida:

CLXXXXXVVIIII

4. Kombineerida  gruppidesse:

CCXIIII

5. Asendada lahutavad liikmed tagasi:

CCXIV

Veendute ilmselt üsna kiiresti, et sellise arvusüsteemiga on peaaegu võimatu aritmeetikat teha. Ning tõepoolest, roomlased oma matemaatilistelt teadmistelt või tegudelt ajaloos just silma ei paista.

Teisendamine

Oletame, et teie mitte eriti hea sõber on otsustanud põikpäiselt kasutada kahendsüsteemi ja väidab teile, et olete talle võlgu täpselt 101010 eurot. Loetuna kümnendsüsteemis oleks see päris märkimisväärne summa, nii et ilmselt tasub üritada arv kahendsüsteemist kümnendsüsteemi üle viia. Kuidas seda teha?

Kõik on tegelikult juba eelnevalt välja toodud. Kirjutame kõigepealt välja,  mida 101010 kahendsüsteemis tähendab: 101010 = 2⁵ + 2³ + 2. Edasi kirjutame lihtsalt kõik toodud kahe astmed kümnendesitluses: 2⁵ = 32, 2³ = 8, 2 = 2. Lõpetuseks peame saadud arvud (nüüd kümnendesitluses) oma tavaliste liitmisnippidega kokku liitma: saame vastuseks 42.

Naturaalarvud on juba väga toredad, aga nendega tuleb esile ka mõningaid probleeme.

Naturaalarve saame omavahel liita ja summaks on alati naturaalarv: näiteks 3 + 4 = 7 või 2 + 10 = 12. Liitmisest võib siin väga vabalt mõelda lihtsalt loendamise raames: keegi annab teie kolmele õunale neli lisaks või näiteks lisaks teile ja kassapidajale siseneb äkiliselt poodi veel 10 tantsulist.

Tore oleks, kui saaksime ka kuidagi kirjeldada olukorda, kus neli õuna jälle tagasi küsitakse või kus 10 tantsulist jälle poest välja kepslevad. Ütlete kohe, et selleks on muidugi lahutamine: 7 – 4 = 3 või 12 – 10 = 2.

Tekib aga probleem: kui mul on ainult 3 õuna, ei saa mult nelja õuna ära võtta ja kui poes on ainult 2 inimest, ei saa sealt 10 ära minna. Seega osasid arve justkui ei saakski omavahel lahutada.

Veider! Mis on need arvud, mis võiksid tähistada midagi, mis on vähem kui mitte midagi?

Ja kuigi pakuti juba varakult välja, et tegelikult võiksid eksisteerida ka arvud 3 – 4 ning 2 – 10, ei tahetud nendega pikka aega leppida. Neid peeti ebaloomulikeks. Mida peaks tähendama see –1, mida mõni pakkus 3 – 4 vastuseks, või –8, mida pakuti 2 – 10 vastuseks? Kui miski eksisteerib, on teda ju vähemalt üks? Kuidas saab olemas olla mitte millestki veel väiksem kogus?

Tänapäeval kahjuks teab mõni seda liigagi hästi, mida negatiivsed arvud tähistada võivad – näiteks võlga! Katsetage internetis oma pangakontoga, ta võib kergesti sattuda ka miinusesse, kui raha liiga agarasti kulutada. Arvust –1 võibki näiteks mõelda kui õunavõlast vanemale vennale...

Sellega, et negatiivsed arvud on täiesti mõistlikud ja isegi loomulikud, lepiti aga alles 19. sajandil. Enne seda kutsuti neid küll absurdseteks, küll räpasteks ja tihti keelduti nendega igasugusest läbikäimisest. Tegelikult on ju negatiivsete arvudega siiski toredam ja ilusamgi – nende abil ei jää arvsirge poolikuks, vaid on kenasti alguse ja lõputa.

Arvude liitmisest ja lahutamisest võimegi mõelda kui arvsirgel paremale või vasemale poole liikumisest – liites neli, liigume neli sammu paremale; lahutades seitse, seitse sammu vasemale. Kõiki täisarve võime omavahel liita ja lahutada ning alati jälle vastuseks täisarvu saada.

Täisarvude hulka tähistatakse Z-iga.

Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu! Tõepoolest, lihtne on võrdselt jagada kuus õuna kolme sõbra vahel – annad kõigile kaks. Ent kuidas võrdselt jagada üht suurt arbuusi kolme sõbra vahel?

Meil on muidugi vastus olemas, igale sõbrale tuleb anda kolmandik arbuusist. Probleem on aga, et kolmandik ei ole täisarv – peame jagamise jaoks arve veel mängu juurde tooma. Piisab  sellest, kui  võtame appi kõik  arvud, mis saame  täisarvude jagamisel nullist erinevate täisarvudega.

Selliseid arve nimetatakse ratsionaalarvudeks – nad on kujus ^p⁄_q, kus p ja q on täisarvud. Ratsionaalarvud on näiteks ²⁄_3, ^-1⁄_2, ²³¹⁄₁₀₀,  aga ka kõik täisarvud, sest näiteks 2 = ²⁄₁.

Murrujoone peal olevat arvu nimetatakse murru lugejaks ja murrujoone all asuvat arvu murru nimetajaks. Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q.

Hakates arvjoonele usinalt ratsionaalarve kirja panema, märkame, et neid on väga palju ja nad asuvad arvteljel ütlemata tihedalt. Tegelikult asub iga kahe ratsionaalarvu vahel alati veel üks ratsionaalarv: näiteks arvude –2 ja –1 vahel asub arv –1,7, arvude 2 ja 2,4 vahel 2,31. Üldisemalt, iga kahe suvalise ratsionaalarvu a ja  b vahel asub ju nende aritmeetiline keskmine 

Taandatud murrud ja tehted

Ütlesime, et kõik ratsionaalarvud saame, kui jagame täisarve nullist erinevate täisarvudega. Nii saame tegelikult liiga palju arve – paljud neist on omavahel võrdsed. See on küll väga lihtne, aga oluline tähelepanek.

Tõepoolest, kuna kahe arbuusi jagamisel kuueks võrdseks tükiks on tükid sama suured kui ühe arbuusi jagamisel kolmeks võrdseks osaks, ei ole mitte kõik täisarvude omavahelisel jagamisel saadud arvud erinevad, näiteks ²⁄₆ = ¹⁄₃.

Kuna mitmed murrud on omavahel võrdsed, oleks tore leida neile kõigile üks parim esindaja. Selleks on murru taandatud esitus. Murru taandatud esituse saamiseks jagame murru nimetaja ja lugeja kõikide nende ühiste teguritega läbi: nii ongi näiteks ratsionaalarvude ¹⁄₃ , ²⁄₆ ja ⁴⁄₁₂ kõikide ühiseks taandatud kujuks ¹⁄₃ .

Ratsionaalarvudega on veelgi ohutum ja sujuvam ringi käia kui täisarvudega. Nimelt võime kõiki ratsionaalarve omavahel lisaks liitmisele-lahutamisele ka korrutada ja jagada (siiski mitte nulliga!) ning saame alati jällegi tulemuseks ratsionaalarvu.

Kümnendesitus

Ratsionaalarvudel leidub ka esitus kümnendsüsteemis, kasutusele tuleb lihtsalt võtta komakohad.

Näiteks ½ = 0,5, ¹³⁄₈ = 1,625 ning ¹⁄₃ = 0,(3), kus sulgudes olev kolm tähistab, et number 3 jääb lõpmatult korduma.

Selgub, et iga ratsionaalarvu saabki esitada kümnendsüsteemis kas lõpliku arvu komakohtadega nagu ¹⁄₈ = 0,125 või lõpmatult korduma jäävate komakohtadega: näiteks ¹⁄₇ = 0,(142857) ja ¹⁄₁₂ = 0,08(3). Teisel juhul esile tulevaid kümnendesitusi nimetatakse perioodilisteks.

Järgnevalt selgitame natuke lähemalt, miks ratsionaalarvud on just nimelt kas lõpliku või perioodilise kümnendesitusega. Näitame esmalt, et iga lõpliku või perioodilise kümnendesitusega arv on ratsionaalarv:

Oletame, et meil on lõpliku kümnendesitusega arv.

Sel juhul võime arvu korduvalt 10-ga korrutades komakohtadest lahti saada. Näiteks kui arvul on kaks komakohta nagu arvul 0,25, peame seda täisarvu saamiseks korrutama 10-ga täpselt kaks korda – konkreetsel juhul on saadavaks täisarvuks 25. Ja edasi võime juba lihtsalt avaldada arvu 0,25 kahe täisarvu jagatisena, kui jagame võrrandi mõlemad pooled 100-ga läbi.

Oletame, et meie arv on perioodiline kümnendesitus.

Nüüd võime korduvalt kümnega korrutades komakohta liigutada nii palju, et pärast koma jääks alles ainult perioodiline osa. Kui näiteks periood algab üks koht pärast koma, peame korrutama kümnega. Näiteks arvu 0,8(32) korral saame arvu 8,(32).

Edasi võime aga jätkata kümnega korrutamist nii kaua, kuni algab perioodilise osa teine tsükkel. Kui perioodi pikkus on kaks, peame juba saadud arvu veel 100-ga korrutama. Konkreetsel juhul saaksime siis arvu 832,(32).

Lahutades nüüd teisest arvust esimese, jääb alles täisarv – perioodiline osa pärast komakohta taandub ju täpselt välja. Edasi saame juba lihtsalt avaldada arvu 0,8(32) ratsionaalarvuna.

Miks vastupidi igal ratsionaalarvul peaks just kirjeldatud kümnendesitus leiduma, on juba pisut kavalam ja jääb siinkohal tõestamata.

Oluline on ka ära märkida, et kümnendesitus ei ole alati ühene. Näiteks matemaatilise võrduse peatükis [lk 52] näitame, et 1 = 0,(9).

Ratsionaalarvudega saame loendada, liita ja lahutada, korrutada ning jagada. Tundub, et seda on juba päris palju. Üllatuslikult võime aga endiselt välja tulla geomeetrilise konstruktsiooniga, mille kirjeldamiseks ratsionaalarvudest ei piisa.

Ühikruudu diagonaali pikkus ei ole ratsionaalarv!

Joonistame ilusa ühikruudu ja leiame selle ühikruudu diagonaali pikkuse.

Tähistades seda diagonaali d-ga, teame näiteks Pythagorase   teoreemist, et d² = 2. Loomulik küsimus on: kas d on ikka ratsionaalarv?

Oletame, et d on tõesti ratsionaalarv: sel juhul võime d kirjutada taandatud kujus ^p⁄_q , kus p ja q on täisarvud ning neil ei ole ühiseid tegureid. Saame, et p² = 2q².

Aga nüüd on ju võrdusmärgist paremal pool paarisarv, seega peab ka  vasemal olema paarisarv. Kui p² on paarisarv, siis ei saa p paaritu olla, sest paaritu arv ruudus annab paaritu arvu. Järelikult ka p on paarisarv ja võime p kirjutada kujul p = 2a.

Seega võime p² kirjutada kui (2a)² = 4a². Asendades selle esialgsesse valemisse saame 4a² = 2q². Jagades kahega läbi, jääb alles 2a² = q².

Nüüd on aga vasem pool paaris ning seega peab ka q jaguma kahega. See on aga vastuolus meie eeldusega, et ^p⁄_q oli taandatud murd. Seega ei saa d kuidagi olla ratsionaalarv, sest muidu jõuame loogilise vastuoluni. Seega on ta hoopis niinimetatud irratsionaalarv!

Irratsionaalarvud

Oh seda häda, kui Antiik-Kreekas sellele riukale jälile saadi. Nende jaoks olid proportsioonid ehk täisarvude suhted looduse üheks aluseks ning nii ei tahtnud nad sugugi leppida sellega, et leidub geomeetrilisi objekte, mille pikkust ei õnnestugi proportsioonide ehk täisarvude suhete abil kirjeldada. Räägitakse, et mõni matemaatik pidi selle avastuse tõttu lausa elust ilma jääma. Siiski jäädi matemaatikale truuks ja tänaseks ei nähta sellistes irratsionaalarvudes enam suurt ohtu ei tervisele ega ühiskonnale. Tegelikult lepiti nendega hoopis enne kui negatiivsete arvudega – nad tundusid küll kummalised, aga neile oli ometi võimalik looduses ja geomeetrilises ettekujutuses vastet leida.

Irratsionaalarvudeks nimetataksegi kõiki arve arvteljel, millel ei ole esitust kujus ^p⁄_q. Paljud neist on esitatavad täis- või ratsionaalarvude juurtena [lk  111], näiteks

ja ka 

on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks π ja e. Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks teadmata, kas π^e on ratsionaalarv või irratsionaalarv.

Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõpmatult pikk. Näiteks arvu π esimesed 20 kohta on 3,14159265358979323846…, aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem  –  neid tuleb lõpmatult palju.

Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud kokku moodustavad reaalarvude hulga, mida tähistatakse arvuga R.

Kui ratsionaalarvud saime üles ehitada täisarvudest, siis kõikide irratsionaalarvude täpne matemaatiline konstrueerimine on juba veidi keerulisem. Võime küll irratsionaalarvudest mõelda kui arvudest, mida saame kirjutada lõpmatu ja mitteperioodilise kümnendesituse abil, aga kuidas neid liita või korrutada? Õigupoolest jõudsid matemaatikuid rahuldava range kirjelduseni alles 19. sajandil ning selle jaoks võib kasutada piirväärtuseid [lk 319].

Praeguseks on aga tore irratsionaalarvude sissetoomisest mõeldagi geomeetriliselt: irratsionaalarvud täidavad ratsionaalarvudest arvteljele jäänud auke, nende liitmine tähendab – nagu ratsionaalarvude liitminegi – lihtsalt arvtelje nihutamist.

Reaalarvudega saab kõik igapäevatoimetused korda aetud... kui just ei taha igal õhtul leida ruutvõrrandile x² = –1 lahendit.

Tõepoolest, ükski reaalarvu ruut ei ole ju negatiivne.  Näiteks 1 · 1 = 1 ning ka (–1) · (–1) = 1 ehk meie ruutvõrrandi lahendiks ei kõlba 1 ega ka –1. Lihtsam on seda vahest näha isegi ruutfunktsiooni graafikult:

Seega, kui tahame tõesti, et saaksime välja kirjutada lahendit ka ruutvõrrandile x² = –1 või ruutvõrrandile x² + x + 1 = 0 või näiteks ka neljanda astme võrrandile x⁴ + x² = –3, peame tingimata oma arvusüsteemi veel kord laiendama ja veel rohkem arve kasutusele võtma.

Eelnevat võib ümber sõnastada ka järgmiselt: nägime, et reaalarvude abil saame leida kõik arvud x nii, et x² = a iga mittenegatiivse a jaoks. Kui nüüd tahame aga lahti saada tingimusest „mittenegatiivne“, siis peamegi sisse tooma kompleksarvud.

Kui lubada natukene mõttel lennata, siis võiksime õigustatult võrrandi

lahendiks pakkuda

Tõepoolest, kuna ruutjuure võtmine ning ruutu võtmine taandavad teineteise välja, võime kirjutada

Seega, lubades ruutvõrrandi lahendiks ka uut leiutist √–1, oleme laiendanud arvusüsteemi. Üllataval kombel piisab sellest laiendusest mitte ainult peatüki alguses toodud võrranditele, vaid tegelikult absoluutselt kõikidele polünoomvõrranditele [lk 266] lahendite leidmiseks!

Imaginaararv i ja  komplekstasand

Irratsionaalarvude lisamisel toppisime reaaltelje kõik augud täis. Kuhu need kompleksarvud siis mahtuda võiksid?

Märkame, et isegi kui tõmbame paberile ühe aukudeta sirge, jääb paberile veel ruumi kui palju – sirgest üles ja alla jääb mõlemale poole tühjus. Kompleksarvud täidavad kogu selle tühjuse, nad täidavad arvudega terve paberilehe.

Nii on kompleksarvud mingis mõttes kahemõõtmelised arvud: võib öelda, et neil on reaalmõõde ja imaginaar- ehk kompleksmõõde, mille toob kaasa uus sissetoodud arv √–1. Kohe selgitame!

Seda arvu nimetataksegi imaginaararvuks ja kuna teda on tüütu kogu aeg välja kirjutada, anname talle tähiseks i. Nimi imaginaararv tuleneb just sellest, et i tundus vähemalt esialgu eksisteerivat ainult matemaatikute endi ettekujutuses ja mitte välises maailmas.

Meenutame, et arvu 1 võib pidada reaalmõõtme ühikuks – seda kokku liites või suurendades-vähendades liigume mööda horisontaaltelge. Sarnaselt on i kompleksmõõtme ühikuks, teda liites või suurendades liigume mööda vertikaaltelge. Ta asub nullpunktist sama kaugel kui reaaltelje ühik.

Nii on teised komplekstelje punktid antavad kujus 2i; 0,3i; 14i ja nii edasi.

Kõikvõimalikud kompleksarvud saame, kui vaatame arve kujus c = a + bi, kus a ja b on reaalarvud. Reaalarvu a kutsutakse kompleksarvu c reaalosaks ja b-d tema imaginaarosaks.

Joonistame komplekstasandile näiteks punktid 3, 3i, 3 + 3i, –2 + i.

Iga reaalarvu korral võime rääkida tema suurusest ehk absoluutväärtusest – peame silmas talle vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist [lk 120]. Samamoodi võime ka iga kompleksarvu korral rääkida tema suurusest – talle komplekstasandil vastava punkti kaugusest nullpunktist. Seda kaugust võib muidugi leida Pythagorase teoreemi abil.

Aga kompleksarve pole ju olemas!

Nagu ennist rääkisime, oli matemaatikutel ja kogu inimkonnal suuri raskusi negatiivsete arvudega – alles paarsada aastat tagasi lepiti, et tegemist on ikkagi täiesti mõistlike ja loomulike arvudega, millega tegelemine ei ole sugugi jumalateotus.

Selles valguses on kompleksarvude mõistlikkuse ja loomupärasuse kahtlustamine igati mõistetav. Järgnev tabel, kus võrdleme negatiivseid arve ja imaginaararve, võiks siiski veenda, et ka kompleksarve pole mõtet karta.

Küsimusele, kas arv 4 + 5i eksisteerib, on muidugi raske vastata, kuid sama raske on öelda, kas arv 4 või 5 eksisteerib. Siiski on kompleksarvud leidnud reaalarvude kõrval tänapäevases maailma ja looduse kirjelduses oma kindla koha.

Tehted kompleksarvudega

Selgub, et kompleksarvud on väga toredad ja nendega saab teha kõike, mida reaalarvudega, ja veel rohkematki.

Liitmine ja lahutamine

Kompleksarve saab liita ja lahutada, tuleb lihtsalt liita ja lahutada eraldi reaal- ja imaginaarosa: näiteks (1 – i) + (2 + 2i) = 3 + i. Nagu reaalarvude liitmisest võib mõelda kui liikumisest ühes või teises suunas reaalteljel, võib ka kompleksarvude liitmisest mõelda geomeetriliselt. Seekord liigume lihtsalt komplekstasandil, vastava arvu samme reaaltelge mööda, vastava arvu imaginaartelge mööda.

Korrutamine ja jagamine

Kompleksarve saab edukalt ka korrutada ja isegi jagada. Tulemuseks on endiselt alati kompleksarv. Näiteks

ning

Kompleksarvudega korrutamisel on ka ilus geomeetriline tõlgendus – tasandil pööramine.

Näiteks oletame, et meile on antud kompleksarv  1 + 2i ning  tahame leida uut kompleksarvu, mis on selle arvu suhtes 45-kraadise nurga all vastupäeva.

Tuleb välja, et sellise kompleksarvu leidmiseks võime lihtsalt algset arvu korrutada mistahes kompleksarvuga, mis on 45-kraadise nurga all reaaltelje suhtes: näiteks arvuga 1 + i.

Seda kõike ei pea muidugi joonise põhjal uskuma. (Ei tohigi uskuda!) Õnneks kinnitab aga algebra kenasti meie väiteid. Tõepoolest, korrutamise võime välja kirjutada järgmiselt:

Ning nagu jooniselt näeme, asub –1 + 3i täpselt 45-kraadise nurga all 1 + 2i suhtes, küll tõesti parasjagu nullpunktist kaugemal. See tuleneb lihtsalt sellest, et korrutamisel ei piisa ainult nurkade liitmisest, vaid tuleb omavahel korrutada ka kaugused.

Imaginaararvuga korrutamisel on järelikult tegemist ainult pöördega  90° – tema kaugus nullist on ju täpselt 1 ühik. Nii liigub arv 1 arvuga i korrutamisel täpselt i-ks, arv 1 + i aga i-ga korrutamisel täpselt –1 + i-ks. See pakub ka arvuga –1 korrutamisele uue tõlgenduse: arvteljel oli –1 arvuga korrutamise tõlgenduseks peegeldus nullpunktist, nüüd aga teades, et –1 = i², võime komplekstasandil arvuga –1 korrutamisest mõelda ka kui 180 kraadisest pöördest.

Mõnel arvul on matemaatikas päris omamoodi roll. Esimese näitena tulevad pähe näiteks arvud null ja üks.

Null torkab silma, sest käitub korrutamisel ja liitmisel teistest erinevalt: korrutades mistahes arvu nulliga, saame vastuseks nulli, ning liites mistahes arvule nulli, saame sama arvu, mis enne. Samamoodi on üks isemoodi, sest korrutades ükskõik mis arvu ühega jääb see arv samaks ning ühe kõik astmed on tema endaga võrdsed.

Ajalooliselt on mainimist väärt arvuks kindlasti ka √2, mis näitas, et ratsionaalarvudest pole maailma kirjeldamiseks sugugi küllalt [lk 87].

Miks mitte välja tuua ka imaginaararvu, mille abil laiendasime reaalarve kompleksarvudele [lk 89] või iluideaaliks loetud kuldlõike arvu

Käesolevas peatükis räägime aga pikemalt kahest teisest põnevast ja kuulsast arvust, millest ei saa üle ega ümber ka koolimatemaatikas. Tutvustame tegelasi: π ja e.

Arv $\pi$ seostub kõigile meile ilmselt ringjoonega. Nii alustamegi arvuga $\pi$ tutvumist väikese mõtisklusega ringjoonest.

Kuidas mõelda ringjoonest?

Ringjoon on ilus matemaatiline objekt, millele ei ole muidugi raske leida ka pärismaailmas vastet. Nii nagu igapäevaelus kohtame ringikujulisi objekte väga erinevates olukordades, saab ringjoonest ka matemaatiliselt mitut moodi mõelda.

Sirkli abil

Hulkade juures [lk 60] mainisime juba ühte viisi ringjoone kirjeldamiseks: ringjoont võib kirjeldada kui kõikide tasandipunktide (x;y) hulka, mis asuvad ühest välja valitud punktist (ringi keskpunktist) võrdsel kaugusel. See selgitab, miks saame ringjoont joonistada just nimelt sirkli abil.

Kõige ümmargusem

Eelnev ei ole siiski ilmselt esimene kirjeldus, mille peale mittematemaatik tuleks. Eelkõige jääb ju ringjoone juures meelde tema ümarus ja sümmeetria. Näiteks õhku tõstetud jalgratta ratast võib lõpmatult ümber tema telje pöörata ja me märkame ainult kodarate liikumist – ratas ise oleks justkui paigal.

Tuleb välja, et ka sellest vaatlusest lähtudes on võimalik ringjoon rangelt ja matemaatiliselt korrektselt defineerida: ringjoon on ainus kahemõõtmeline suletud joon, mida võime ükskõik kui palju pöörata, ilma et tema kuju muudaksime. Matemaatilisemalt: ringjoon on kõige rohkemate (pöörd)sümmeetriatega kujund.

Pindala ja ümbermõõdu suhe

Kui lambakarjusel oleks vaja lammastele ehitada tara, nii et sama materjalihulga ehk ümbermõõdu korral saaks kasutada võimalikult suurt rohumaad ehk pindala, siis saab ta jällegi täiesti ausa ringi.

Füüsikute kombel

Füüsikud seevastu ütleksid ilmselt, et ringjoon on ainus trajektoor tasandil, mida mööda liikudes on alati kiirendus ja kiirus risti. Sel juhul muudab kiirendus ainult kiiruse suunda ja mitte tema suurust. Tekib ilus ühtlane ringliikumine.

Näiteks on enamik satelliite Maa ümber ringliikumises. Täpselt ringikujulise orbiidi tekitamiseks tuleb siiski kiirus hoolega valida. Füüsikud tulevad sellega hästi toime. Näiteks komeedid seda aga ei oska ja tiirlevad ümber Päikese väga väljaveninud ellipsit mööda.

Parameetrilise võrrandi kaudu

Ülikoolis matemaatikaga kokku puutudes võib aga kohtuda veel hoopis uutmoodi ringjoone definitsiooniga. Nimelt saab iga kõverjoont tasandil vaadelda kui ühe funktsiooni väärtuseid. Õigesti valitud funktsioon kirjeldab täpselt ringjoone kuju ning funktsiooni argument tähistab siis intuitiivselt lihtsalt meie asupaika ringjoonel. Ringjoone kirjeldamiseks peame kasutama funktsioone siinus ja koosinus, millest on juttu ka trigonomeetria peatükis [lk 230].

Ringjoone kõiki punkte (x;y) kirjeldava parameetrilise võrrandi saame, kui muudame funktsiooni sisendit t nullist kuni $2\pi$-ni ning arvutame x-i ja y-i järgnevalt:

Nõnda saadud kirjeldust nimetatakse parameetriliseks võrrandiks.

Kõik ülaltoodud viis ringjoone definitsiooni on matemaatiliselt võrdväärsed. Seega pole vist sugugi liig öelda, et ringjoon on üks mitmekülgne ja ilus matemaatiline objekt. Ringjoon loob seoseid matemaatikas ja on kesksel kohal kogu looduse kirjeldamisel. Ringliikumine oli ideaaliks juba vanadel kreeklastel ja selle valguses on muidugi päris tore, et isegi liikluse planeerijad on otsustanud, et kõige ohutumad ristmikud on just ringristmikud.

Ringjoon ja π

Teame, et kui näiteks ruudu külge kümme korda suurendada, suureneb sama palju kordi ka tema ümbermõõt. Teisisõnu on tema ümbermõõdu ning küljepikkuse suhe alati sama arv – neli. Sama kehtib ka kõikide teiste korrapäraste hulknurkade korral. Tegemist on üldisema reegliga – lihtsad joonelemendid suurenevad või vähenevad suumides täpselt sama palju. Tuleb välja, et ka ringjoone ümbermõõdu ja diameetri suhe on alati üks ja seesama arv. Just seda arvu kutsumegi π-ks.

Nagu irratsionaalarvude juures juba mainisime, on π irratsionaalarv ehk teisisõnu tema kümnendkohti ei saa kunagi välja kirjutada, sest neid on lõpmata palju ja nad ei hakka kunagi perioodiliselt korduma. Komakohti natuke lähemalt uurides tundub, et π komakohtades ei ole ka ühtegi mustrit ega seaduspära – kõiki numbreid paistab esinevat ühe palju ja täiesti juhuslikult läbisegi.

π väärtuse leidmine

Arvu π täpset väärtust ei ole sugugi lihtne arvutada. Babüloonlased kasutasid juba 19. sajandil eKr π-d, mille väärus oli ²⁵⁄₈, mis on kõigest 0,5% vale õigest väärtusest. Sarnaseid π ligikaudseid väärtusi on olnud kõikidel iidsetel tsivilisatsioonidel.

Kõik need ümardused on päris lähedal π tegelikule väärtusele ja sellisest täpsusest piisas näiteks igati ehituskonstruktsioonide tarvis. Praktiliste rakenduste jaoks ümardame meie koolis π väärtuseks umbes 3,14 ning Ameerika Ühendriikides kasutatakse näiteks ümardust ²²⁄₇. Võib tekkida kohe küsimus: kumb ümardus on täpsem?

Siiski jääb õhku üks veelgi huvitavam küsimus: kuidas aga arvutada π täpne arvuline väärtus? Või õigemini, kuidas leida järjest rohkem π komakohti?

Kuna π on võrdne iga ringjoone ümbermõõdu ja diameetri suhtega, võime vabalt valida ringjoone, mille diameeter on võrdne ühega. Sel juhul on meil π arvutamiseks vaja teada veel vaid ümbermõõtu. Koolis õpetatakse muidugi, kuidas ümbermõõtu leida π abil, aga sellest ei ole meile sugugi abi, kui me π väärtustki veel ei tea.

Archimedes oli teadaolevalt esimene, kes leidis 250. a eKr hea viisi ringi ümbermõõdu ja seega π arvulise väärtuse leidmiseks. Auväärt mõtleja hakkas lihtsalt ringjoone ümber ja sisse joonistama järjest rohkemate nurkadega korrapäraseid hulknurki. Nagu jooniselt näha, muutuvad need hulknurgad järjest sarnasemaks ringjoone endaga. Korrapäraste hulknurkade ümbermõõtu on aga lihtne leida ja nii ongi võimalik järjest täpsemalt ka π väärtust välja arvutada.

Archimedes ise viitsis kindlaks määrata ainult, et π asub arvude 3,14084 ja 3,142857 vahel. Siiski teoreetiliselt saaksime tema meetodil π välja arvutada soovitud täpsuseni.

India matemaatik Madhava Sangamagrama leidis 600 aastat tagasi toredalt lihtsa valemi, millega võiks π defineerida hoopis erineval viisil:

Kuna liidetavad selles summas muutuvad järjest väiksemaks, võime ka selle valemiga järjest täpsemalt π väärtust leida.

Arvu π väärtust võime samuti hinnata geomeetrilise tõenäosuse abil, sellest aga pikemalt tõenäosuse osas [lk 402].

Tänapäeval kasutatakse π komakohtade väljaarvutamiseks loomulikult arvuteid ning hetkel on teada rohkem kui 10 000 000 000 000 π komakohta. Selleks kasutatakse John Machini poolt 1706. aastal avastatud valemi analooge:

π komakohtade päheõppimine

Arv π on paljudele tundunud maagilise arvuna ja nii on läbi ajaloo pähe õpitud ka π komakohti. Legendi järgi õppis isegi näiteks Isaac Newton16 π komakohta pähe. Siiski vabandas ta hiljem rahva ees, et sellise lollusega oma aega raiskas. Praeguseks teavad mõned (nii paberiteta kui paberitega) hullud peast juba üle 100 000 π komakoha.

Kas π on õigesti defineeritud?

Kogu selle maania puhul on irooniline, et äkki oleks võinud π defineerida natukene teistmoodi. Selle asemel, et ringi ümbermõõt jagada läbi diameetriga, võinuks ju ringi ümbermõõdu läbi jagada hoopis näiteks raadiusega.

Nii defineeritud arvu π₁ väärtus oleks võrdne kahekordse π väärtusega. See oleks mitmes mõttes isegi ilusam: näiteks oleks siis veerand ringjoone kaarest tõesti pikkusega ¼π₁ ja mitte kummaline ½π ning siinuse ja koosinuse [lk 214] perioodi pikkuseks oleks kenasti π₁ ja mitte 2π. Veelgi enam, siis meenutaks ka ringi pindala uus valem: ½π₁r² füüsikast tuntud valemeid näiteks kineetilise energia või konstantse kiirendusega läbitud teepikkuse leidmiseks.

Muidugi, vaesed π peastlugejad peaksid siis jälle nullist alustama...

Sarnaselt arvuga π tähistab e ühte kindlat arvu –

Täies uhkuses teda siia kahjuks kirja panna ei saa, kuna tegemist on irratsionaalarvuga [lk 87].

Õigupoolest pole see ka täpne arvude järjestus, milles matemaatikud suurt ilu näeksid. Arvu e tähtsus ja ilu seisneb pigem tema mitmenäolisuses. Ta vaatab välja mitmest erinevast matemaatika harust ja loob nende vahel üllatavaid seoseid.

Kus e esile tuleb?

Arv e tuleb kõige tihedamalt esile eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi raames. Nimelt on just astmel e kõige parem mõelda eksponentsiaalfunktsioonist [lk 284] ja alusel e kõige loomulikum logaritmida [lk 295].

Ta on tuntud ka selle poolest, et peidab ennast paljudes valemites. Juba selles peatükis näeme neist nii mõndagi, näiteks kuidas e-d defineerida lihtsalt korrutamise ja liitmise abil.

Väljaspool raamatut patseerib e veel mujalgi. Näiteks tuleb välja, et kompleksarve võib esitada e abil hoopis mugavamas kujus ning et ka trigonomeetrilisi funktsioone on signaalide analüüsimisel kasulik esitada just e toel. Lisaks astub e üllatuslikult esile veel näiteks tõenäosusteoorias. Võib vist öelda küll, et e on üsna laia ampluaaga sell ja matemaatikas seetõttu tähtsal kohal.

Mitu moodi e kirjeldamiseks ja defineerimiseks

Arvu π peatükki alustasime mitme erineva ringjoone matemaatilise kirjeldusega. Tuleb välja, et ka arvul e on arvukalt erinevaid kirjeldusi. Järgnevalt toome neist esile kaks ja üritame neid ka intuitiivselt siduda.

Arv e läbi liigprotsendi

Oletame, et tekib võimalus vara hoiule panna õige lahkete inimeste panka, mis võimaldab aastasele hoiusele küsida kas

100% intressi aastas
50% intressi pooles aastas
25% intressi kvartalis

Milline neist valikutest kõige kasulikum oleks? Või oleks hoopis kasulik küsida igaks päevaks ¹⁄₃₆₅· 100% intressi ja lahke inimese lahkust veel kuritarvitada?

Et olukorrast täpsemalt mõelda, on mugav oletada, et alushoiuseks on näiteks unts kulda.

100% intressi aasta kohta tähendab, et aasta lõpuks on täpselt 2 untsi kulda.

50% intressi poolaastas tähendab, et poole aasta möödudes on hoius juba 1,5 untsi kulda. Järgneva poolaastaga lisandub sellele veel 50% juba olemasolevast kogusest ja kokku on aasta lõpus juba 2,25 untsi kulda.

25% intressi kvartalis tähendab, et veerandaasta lõpuks on hoius 1,25 untsi kulda. Poolaasta lõpuks lisandub veel 25% ehk kokku oleks tolleks hetkeks 1,5625 untsi kulda. Kolme kvartali lõpuks koguneb juba 1,953125 untsi kulda ning aasta lõpus võib rõõmustada 2,44140625 untsi kulla üle.

Tundub, et kuigi kõigil kolmel juhul on intresside summa kogu perioodil sama, on palju tulusam intresse tihedamalt saada.

Kas sellel tulususel on ka mingi piir või võib üle aasta saada miljonäriks?

Aastas on umbes 3,154 · 10⁷ sekundit. Jagades aasta sekundilisteks perioodideks ning saades intressi iga sekundi järel, koguneb aasta lõpuks

untsi kulda.

Hoolikas lugeja märkab, et saadud kogus on juba väga lähedal sissejuhatuses toodud arvu e väärtusele – esimesed kuus komakohta kattuvad.

Selgubki, et ükskõik kui tihedalt me intresse maksame, leidub aasta koguintressil ülempiir, mis rakendub, kui intressi makstakse pidevalt [lk 317] ehk veelgi kiiremini kui iga nanosekund. Seesama ülempiir ongi võrdne e-ga! Just eelnevast arutelust lähtub ka matemaatika tunnis kohatav kompaktne valem:

Tõepoolest, oletame, et aasta on jagatud n perioodiks. Iga perioodi lõpuks suureneb kullahunnik

korda. Seega esimese perioodi lõpuks on kulda

untsi, teise perioodi lõpuks

untsi ning aasta lõpuks

untsi.

Piirprotsessis, kus n-i väärtus muutub lõpmatult suureks, saabki

väärtusest täpselt arv e.

Arv e läbi funktsioonide

Selgub, et seda pideva intressiga kasvuprotsessi kirjeldab eksponentsiaalfunktsioon kujus e^x [lk 280], kus x-ga tähistame siin harjumatult aega. See funktsioon on väga eriline teiste funktsioonide seas, sest igal hetkel on tema kasvukiirus ehk tuletis võrdne funktsiooni enda väärtusega. Teiste sõnadega jääb funktsiooni e^x tuletiseks sama funktsioon ehk e^x.

Tuleb välja, et kõik toodud tingimust rahuldavad funktsioonid ongi kujus Ae^x, kus A on mõni suvaline reaalarv. Kui A just null pole, on iga sellise funktsiooni jaoks tema suhteline kasv ühes ühikus ehk suhe

võrdne täpselt e-ga. Tõepoolest, võime kirjutada

Selle tähelepaneku abil võime ka e defineerida: valime ühe funktsiooni ƒ(x), mille tuletis on jälle ƒ(x) ise, ning seejärel defineerime e kui selle funktsiooni suhtelise kasvu ühes ühikus

Faktoriaal ja e*

Eelmise kirjeldusega on seotud ka arvu e defineerimine ainult liitmise ja korrutamise kaudu kujus:

Kui kasutame faktoriaali [lk 382] ja kirjutame näiteks 3! = 1 · 2 · 3 ning lisaks veel summavahemiku kõverikku [lk 50], näeb see valem päris ilus ja kompaktne välja:

Kas pole päris üllatav? Kuidas seda selgitada?

Täpne selgitus on üsna tehniline ja eeldab arusaama nii tuletise [lk 320] kui polünoomi [lk 266] mõistest.

Tuletame alustuseks meelde polünoomide ilusa omaduse [lk 268]. Nägime, et iga funktsiooni saab teatud mõttes väga täpselt kirjeldada hästi valitud polünoomiga.

Kas on ehk isegi võimalik leida polünoomi, mille tuletis on igas punktis peaaegu võrdne tema endaga?

Teame, et iga astmefunktsiooni xⁿ tuletis on nx^n–1. Seega kui polünoomis on liige axⁿ, peab seal olema ka liige nax^n–1, sest muidu poleks algne polünoom ja tuletise võtmisel saadud polünoomi võrdsed. Vastupidi, kui polünoomis on liige ax^n–1, peab olema ka liige

Oletame nüüd, et polünoomis on konstantne liige 1. Siis peab kindlasti leiduma ka liige x, edasi liige

ja nii edasi.

Näeme, et me ei saa kunagi lõpetada, sest muidu ei oleks tuletis võrdne funktsiooni endaga. Siiski võime välja kirjutada kõikide nende liikmete summa

See summa ei ole küll enam polünoom ja ei ole selge, kas ta üldse on mõistlik objekt (näiteks võiks ju iga x-i korral väärtus olla lõpmatult suur). Igal juhul puhtalt formaalselt saame tuletise operatsiooni rakendades tulemiks täpselt sama summa.

Õnneks on matemaatika ilus ja tuleb välja, et see summa on igati mõistlik. Tal on tõepoolest iga reaalarvulise x-i korral kindel väärtus ning see on võrdne täpselt funktsiooni e^x väärtusega, mida enne juba mainisime. Nii võimegi kirjutada

Rahvasuu

Eesti keeles on kõige sagedasem täht a, aga nii inglise, saksa kui ka prantsuse keeles on selleks täheks e. Ja kuigi vaevalt et seda võiks pidada märgiks nende rahvaste suuremast matemaatika armust, on e just matemaatikutele armsaim täht.

Ka meie armastame teda nõnda palju, et ei suutnud loomata jätta väikest rahvalaulu:

Sa kõnnid nurmel
ja kajab vastu
linnurahva hüüd
lee-lo-lee,
uhkeim matemaatikas on e!

Sa istud klassis
õpetaja kriit
loomas võrrandeid
lee-lo-lee
tahvlilt vastu laulab e!

Sa oled pangas
ja Sulle vaikselt sosistatakse
lee-lo-lee
Su raha kasvab, täna e-d!

Sa kõnnid linnas
ja kajab vastu
linnarahva hüüd
lee-lo-lee,
miks kurat õppima pean e-d?

Käesolevas peatükis oleme maininud korrutamise ühikut – arvu üks, liitmise ühikut – arvu null, eksponentsiaalse kasvamisega seotud arvu e, ringi ja geomeetriaga seotud π-d ning reaalarvudest kompleksarvudesse viivat imaginaararvu i.

Kas need arvud on omavahel kuidagi seotud? Esialgu tundub, et ei tohiks küll olla. Siiski näitab järgnev valem matemaatika võimet pakkuda ilu ja üllatusi:

Seda valemit peavad paljud (üsna õigustatult!) matemaatika kõige ilusamaks valemiks. Näiteks on 20. sajandi suurim füüsik, Nobeli auhinna laureaat Richard Feynman kutsunud seda „meie juveeliks” ning „üheks tähelepanuväärseimaks valemiks kogu matemaatikas”.

Arvu astmele on hea hiilides läheneda läbi analoogia korrutamisega. Mida tähendab korrutamine? Kirjutame välja kaks näidet:

Seega vähemalt neil lihtsatel juhtudel pole korrutamine küll mitte midagi uhkemat kui üksluine korduv liitmine.

Mis aga juhtuks, kui vahetame „+” märgi „ ·” märgi vastu? Saame tehted

ning seega... üksluise korduva korrutamise.

Seda üksluist korduvat korrutamist nimetataksegi astendamiseks. Et lahti saada ka kirjutamisvaevast, tähistame

ja ütleme, et võtame arvu 3 astmesse 4 ning arvu 5 astmesse 6. Nelja ja kuut kutsutakse sellises olukorras astendajateks ning kolme ja viit astendatavaks ehk astme aluseks.

Kas see ongi kõik?

Muidugi mitte, võib tekkida mitmeid küsimusi.

1. Kas astendamisel on vastupidine tehe, nagu näiteks liitmisel on lahutamine?
2. Mis juhtuks, kui astendada komakohti sisaldavate arvudega nagu 0,5 või ¹⁄₃?
3. Kas saame astendada ka negatiivse arvu või nulliga?

Neile küsimustele üritamegi järgemööda läheneda. Kuna küsimusi on palju ning nende peale mõtlemine näitab päris hästi matemaatika arengut, siis jagub seletusi mitmetele lehtedele: head lugemist!

Nagu korrutamise vastandtehteks on jagamine, on astendamise vastandtehteks juurimine.

Tõepoolest, arvu 12 jagamisest kolmega võime mõelda kui küsimusest: millist arvu on vaja kokku liita täpselt kolm tükki, et saada vastuseks 12?

Muidugi on vastuseks 4, sest $4+4+4=12$.

Kui võtame arvust 81 neljanda juure, on analoogseks küsimuseks: millist arvu on vaja kokku korrutada täpselt neli tükki, et saada vastuseks 81?

Vastus on 3, sest $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$.

Juurimist tähistatakse mitmes erinevas kujus. Näiteks neljandat juurt 81-st võib tähistada kahel viisil järgmiselt:

81 ning 81^¼

Kuigi puhtalt peale vaadates võivad need kaks tähistust tekitada väga erinevaid emotsioone, on vastuseks mõlemal juhul muidugi 3.

Teine tähistus on ehk informatiivsem, sest ta vihjab ka järgnevale analoogiale korrutamisega: nii nagu jagamisest kolmega saame mõelda kui korrutamisest arvuga ¹⁄₃, samuti võime ka neljanda juure võtmisest mõelda kui astendamisest astendajaga ¹⁄₄.

Juurimise korral tuleb olla ka ettevaatlik: nagu juba arvude peatükis nägime, ei leidu ühtegi reaalarvu, mis annaks endaga korrutades tulemuseks mõne negatiivse reaalarvu nagu –1 või –4 või –100. Seega ei ole võimalik negatiivsetest arvudest reaalarvulist ruutjuurt ega ühtegi teist paarisarvulist juurt võtta.

Kui kasutusele võtta kompleksarvud [lk 89], siis enam sellist muret ei ole – võib kõike rahu ja rõõmuga juurida.

Natukene ajalugu

Matemaatilises mõttes juurimisega tegeleti juba 3700 aastat tagasi Babüloonias. Vana-Kreekas muutus aga olukord matemaatikute jaoks eluohtlikuks.

Nimelt nagu juba irratsionaalarvude juures [lk 87] mainisime, avastasid Pythagorase järeltulijad, et ühikruudu diagonaali pole võimalik kirja panna täisarvude suhtena, ehk teisisõnu √2 ei ole ratsionaalarv, vaid irratsionaalarv.

Ega keegi päris täpselt ei tea, kuidas kõik just juhtus, aga räägitakse, et esimesena märkas ruudu diagonaali irratsionaalsust keegi härra Hippasus Metapontu. Ühe legendi järgi olevat see leid olnud lausa Kreeka riiklik saladus ning kui vaese Hippasuse arutelu enam teisiti ümber lükata ei osatud, uputati ta merre.

Meie tänapäevase sümboli √ leiutas 1525. aastal Christoph Rudolff, kes on ka + ja – märkide autor. Kas oskad näha mõnd head põhjust, miks kasutusele on võetud just sellised märgid ja mitte teistsugused?

Ratsionaalarvulise astendajaga tutvumiseks on hea alustada jälle analoogiast korrutamisega ja mõelda, mida tähendab ratsionaalarvudega korrutamine. Oluline on meelde tuletada, et korrutamisel pole tehete järjekord oluline.

Näiteks korrutades arvu 12 arvuga ¾, teame, et võime seda teha mitmel viisil. Võime esmalt jagada 12 arvuga 4 ning seejärel korrutada arvuga 3:

või korrutada 12 arvuga 3 ja seejärel alles jagada arvuga 4:

Seega võimegi ratsionaalarvudega korrutamisest mõelda kui lihtsalt järjestikusest täisarvudega korrutamisest ja jagamisest.

Täpselt samamoodi võime lahti mõtestada ka ratsionaalarvuga astendamise – tegemist on järjestikuse täisarvuga astendamise ja juurimisega. Ka sel korral pole astendamise ja juurimise järjekord oluline.

Näiteks tehtest 81^¾ võime mõelda järgmiselt.

Esiteks pärime arvu 81 neljanda juure ning seejärel võtame saadava arvu kolmandasse astmesse:

või võtame kõigepealt arvu 81 astmesse kolm ning seejärel alles küsime, mis on selle suure arvu neljas juur:

Vastus tuleb muidugi sama, aga esimesel juhul on tema leidmine (vähemalt peast arvutades) palju lihtsam – eks katsuge võtta arvu 81 astmesse 3.

Muidugi on parem, kui sellist pikka ja tüütut mõttekäiku iga kord pikalt läbi ei pea tegema, aga see muutub automaatseks päris kiiresti – vaja on ainult pisut arvutada ja harjutada.

Üritame järgmiseks mõelda, kas ka negatiivne astendaja annab midagi mõistlikku. Ehk teisisõnu, mida võiks tähendada näiteks 4^–3? Kuidas sellest mõelda?

Tegelikult ei ole siingi midagi keerulist: kui positiivne astendaja tähendas korduvat korrutamist, siis negatiivne astendaja tähendab mingis mõttes korduvat jagamist.

Näiteks

Ehk teisisõnu võtame kolmandasse astmesse arvu 4 pöördarvu, milleks on ¼.

Märgates nüüd, et pöördarvust võime mõelda kui arvust astmel –1, ning tuletades meelde, et asendamisel tehete järjekord ei loe, võime lihtsalt ka mõelda, et 4^–3 ei ole midagi muud kui lihtsalt arvu 4³ pöördarv.

Nullist erinevast astmest mõtleme kui korduvast korrutamisest või korduvast jagamisest. Mida tähendab aga astendaja null? Astendaja null võiks siis tähendada, et me ei võtagi ühtegi arvu, mida omavahel kokku korrutada või jagada. Mis võiks olla sellise tühja tehte väärtus?

Üks viis on mõelda, et astmesse null võtmine peaks olema väga sarnane mingi väga väikese astendaja kasutamisega: näiteks arvu

kasutamisega. Ratsionaalarvuliste astendajatega aga oskame juba ringi käia ning võime leida, et näiteks

Kahtlaselt lähedal arvule 1, kas pole?

Tuleb välja, et ükskõik, mis arvu me võtame astmesse 0, saame vastuseks 1. Selle taga on muidugi ka kena matemaatiline põhjendus, millest võite lugeda lisapeatükist [lk 117].

Irratsionaalarvuliste astendajate jaoks ei ole senisest intuitsioonist suurt kasu – näiteks on päris raske vastata küsimusele, mitu korda ma pean korrutama arvu 2, et saada arv 2^π või arv e^e.

Siiski on neistki võimalik rangelt ja täpselt mõtelda, tuleb lihtsalt muuta oma vaatenurka. Sellest võib täpsemalt juba lugeda eksponentsiaalfunktsiooni peatükist [lk 280]. Teatud mõttes on tegemist täpselt samasuguse aukude täitmisega nagu ratsionaalarvudelt reaalarvudele üle minnes – seekord ei ole augud ainult arvteljel, vaid on eksponentsiaalfunktsiooni graafikul. Oluline on märgata, et seda saab teha ainult positiivsete aluste korral – negatiivsete aluste korral jäime juba ratsionaalarvuliste astmetega hätta, rääkimata siis irratsionaalarvulistest astmetest.

Praktikas võime irratsionaalarvuliste astmetega käituda samamoodi nagu astme null korral – otsime lihtsalt mõne ratsionaalarvulise astendaja, mis on meie irratsionaalarvule piisavalt lähedal. Täpselt nii käituvad ka arvutid – irratsionaalarve nad nagunii salvestada ei oska.

Efektiivne astendamine

Naturaalarvuliste astmete võtmine on üpriski igapäevane tegevus (kui mitte isiklikult Sulle, siis kindlasti mõningatele teadlastele ja ka arvutitele).

Näiteks 3³ arvutamiseks on vaja 2 korrutamistehet 3 · 3 = 9 ning 9 · 3 = 27.

Mitme tehtega saaks aga arvutada 3¹⁰⁰? Kas tõesti läheb selleks 99 tehet või on võimalik leida mõni kiirem viis?

Selgub, et on olemas ka kiirem viis. Selle kiirema viisi tabamiseks tuleb märgata, et järjest arve ruutu tõstes jõuame päris kiiresti kõrgete astmeteni:

Nüüd on idee kirjutada 100 selliste astmete summadena, mida võime ruutuvõtmise abil leida: 100 = 64 + 32 + 4  ja seega saamegi välja arvutada 3¹⁰⁰:

Kokku lugedes näeme, et vajasime ainult 8 korrutustehet 99 asemel.

Hoolas lugeja märkab, et astendajad, mille astmeid oskame kiiresti välja arvutada, on kõik kujus 2^m. Teisisõnu peame kiire astendamise jaoks kirjutama lihtsalt astendaja tema kahendesituses: näiteks 100 = 2⁶ + 2⁵ + 2². Kahendesitusest rääkisime pisut pikemalt arvuhulkade juures [lk 80].

Päikese mass on umbes 1989000000000000000000000000000000 kg ning elektroni mass on umbes 0,0000000000000000000000000000009109 kg.

Neid arve on suhteliselt keeruline lugeda ning veel hullem, kui peaks näiteks arvutama, mitu korda on Päikese mass suurem kui elektroni mass. Kuna peame tihti tegelema väga suurte ja väga väikeste arvudega, siis on lihtsam väga suuri ja väga väikseid arve esitada standardkujus: a · 10ⁿ, kus a on mingi arv ühe ja kümne vahel. Kümne astendaja n näitab selles kujus arvu suurusjärku.

Näiteks Päikese mass on standardkujus 1,989 · 10³⁰ kg ning elektroni mass on 9,109 · 10^–31 kg. Nüüd on ka tunduvalt kergem leida, mitu korda on Päike raskem kui elektron:

ehk ligi 60 suurusjärku!

Üritame järgnevalt ka natuke matemaatiliselt motiveerida, miks kõikide arvude nullis aste peaks ikkagi olema ühega võrdne.

Mõtleme korra uuesti korrutamisest – tuletame meelde, et mistahes arvu nulliga korrutamine annab vastuseks nulli. Sellest, miks nulliga korrutamine peaks nulli andma, võib mõelda mitmel moel.

Üks viis on öelda, et meile meeldiks, kui korrutamine ja liitmine saaksid omavahel hästi läbi. Tahaksime, et võiksime näiteks kenasti sulge avada ja kirjutada:

Seda korrutamise ja liitmise kokkusobimist nimetatakse ka uhkelt korrutamise ja jagamise distributiivsuseks. Tegelikult kasutate seda igapäevaselt, näiteks 7 · 5 + 3 · 5 = 10 · 5 = 50.

Kui nüüd võtaksime aga arvu x võrdseks nulliga ja arvu y näiteks kahega, saaksime, et

Nüüd on mõlemal poolel liige 2 · z ja seega peab parema poole üleliigne liige 0 · z olema võrdne nulliga. Arvu kaks valisime aga täiesti suvaliselt, seega tõesti nulliga korrutamisel peaks iga arv andma tulemuseks nulli.

Millist ilusat omadust tahaksime astendamiselt? Me tahaksime, et ta saaks korrutamisega hästi läbi. Kui korrutame sama arvu läbi esmalt n korda ja seejärel m korda, peab tulemus olema võrdne arvuga, mille saame siis, kui korrutame arve kohe kokku m + n korda ehk teisisõnu tahame, et z^m · zⁿ = z^m+n. Aga kui nüüd võtame m-i võrdseks nulliga ja z-i võrdseks 2-ga, saame 2⁰ · 2ⁿ = 2⁰⁺ⁿ = 2ⁿ.

Seega kuna ainult ühega korrutades saame täpselt sama arvu, peab 2⁰ olema võrdne ühega! Ja muidugi jällegi oleksime võinud ju arvu kaks asemel võtta (peaaegu) ükskõik mida muud – seega astendades suvalist arvu nulliga saame vastuseks ühe.

Null astmel null

Eelnev arutelu pole siiski päris korrektne – end eelmises lõigus sulgudes peitev „peaaegu” käib arvu 0 kohta. Nimelt kui võtaksime eelnevas arutelus arvu z võrdseks nulliga, saaksime tehte 0⁰ · 0ⁿ = 0ⁿ. Kuna aga 0ⁿ on võrdne nulliga vähemalt iga n > 0 jaoks (korrutame ju lihtsalt positiivse koguse nulle kokku), ei saa me sellest tehtest midagi öelda 0⁰ väärtuse kohta.

Selgub, et ajalooliselt ongi 0⁰ matemaatikutele suurt peavalu valmistanud, ühel nõul pole olnud ka päris suured matemaatikud. Ka täna leidub veel kaks vastasleeri: ühed ütlevad, et 0⁰ ei olegi defineeritud, ja teised on veendunud, et see peab olema võrdne ühega. Milles on probleem?

Ühelt poolt peaks 0⁰ olema võrdne arvuga, mille saame, kui avaldises 0^x muudame positiivset arvu x järjest väiksemaks. Kuna 0ⁿ on iga positiivse n-i jaoks võrdne nulliga, siis peaks ka 0⁰ olema võrdne nulliga.

Teiselt poolt peaks aga 0⁰ olema võrdne ka arvuga, mille saame, kui avaldises x⁰ muudame positiivset arvu x järjest väiksemaks. Eelneva põhjal teame, et x⁰ on võrdne ühega iga nullist erineva x jaoks. Seega peab ka 0⁰ olema võrdne ühega.

Kuna meil on matemaatiliselt 0⁰ defineerimiseks kaks erinevat võimalust, mis omavahel sugugi kokku ei sobi, ei tundu sugugi ülekohtune teda mittedefineeritavaks pidada. Siiski leidub neid, kes arvavad, et meil on piisavalt põhjuseid arvamaks, et 0⁰ = 1.

Kusjuures kõik on vähemalt selles päri, et kui üldse 0⁰ arvuna defineerida, siis peaks tema väärtuseks saama justnimelt 1 ja mitte näiteks 0 või hoopis mõni muu arv.

Esiteks, nagu juba mainisime, tahaksime kinni hoida juba meile tuntud tehetest ja valemitest. Kui valiksime ükskõik millise teise väärtuse, siis võiksime leida mõne valemi – nagu näiteks ennist kasutatud a^(m+n) = a^m · aⁿ –, mis enam selle valiku korral kahjuks ei kehtiks. Kui võtame juba selles samas valemis a = 0, m = 0, n = 0, näeme, et 0⁰ · 0⁰ = 0⁰ . Seega, kui otsustame defineerida arvu 0⁰, peab selle arvu ruut olema tema endaga võrdne. Ehk ta ei tohiks olla ükski teine arv peale arvude 1 ja 0, mida kohtasime võimalike variantidena juba eelnevas arutelus.

Valides aga järgnevalt valemiks

mis kehtib alati kui a > 0, näeme, et 0⁰ väärtuseks ei tahaks hästi sobida isegi arv 0. Muidu oleks ju üks valemi pool 0, ent teisel pool üritaksime jagada nulliga, ja see meile muidugi ei meeldi. Seega, kui 0⁰ on arv, siis olgu ta arv 1.

Lisaks toetab kokkulepet 0⁰ = 1 pisut ka tõlgenduslik pool. Näiteks meiegi mõtlesime astendajast 0 kui tühjast tehtest ja sel juhul ei tohiks ju vahet olla, mis astme aluseks on – tühi tehe jääb alati tühjaks tehteks ning peaks olema ka sama väärtusega. Kõik teised arvud astmel 0 on aga võrdsed ju täpselt 1-ga.

Kokkuvõttes, ega ei teagi, kuidas on parem – kas jätta segaduse vältimiseks 0⁰ defineerimata või talle siiski anda mugavuse tõttu väärtus 1?

Joonistame arvtelje, lööme sinna naelaga keskele nulli, võtame nöörijupi ning tähistame kaks arvu a ja –a. Need arvud on nullpunktist samal kaugusel. Seda kaugust nullpunktist nimetatakse arvu absoluutväärtuseks.

Seega arvude 1 ja –1 absoluutväärtus on 1, kuna nad asuvad mõlemad nullpunktist täpselt ühiku kaugusel, ning samamoodi on arvude π ja –π mõlema absoluutväärtus π.

Kuna arvu absoluutväärtus tähistab kaugust, ei saa ta muidugi olla negatiivne.

Arvu absoluutväärtust tähistatakse, asetades arv püstkriipsude vahele. Näiteks |1| = 1 ja |– 1| = 1. Võibki mõelda, et kriipsud suruvad miinuse kokku.

Matemaatiliselt võib arvu absoluutväärtuse defineerida nii:

kui x on positiivne, siis |x| = x,

kui x on negatiivne, siis |x| = –x,

kui x on võrdne nulliga, siis |0| = 0.

Kui leiame iga reaalarvu jaoks tema absoluutväärtuse, saame järgmise graafiku – funktsiooni |x| graafiku.

Oluline on võibolla ka märgata, et kuigi defineerisime arvu absoluutväärtuse kui tema kauguse nullist, võime absoluutväärtuse abil kirjeldada tõesti kõikide arvude vahelisi kauguseid. On ju arvude x ning y vahelise kauguse leidmine täpselt võrdne nende vahe x – y (või miks ka mitte y – x) kaugusega nullpunktist.

Selgub, et nii mõnigi kord oleneb arvude käitumine rohkem nende absoluutväärtusest kui nende täpsest asetusest arvteljel.

Oletame näiteks, et hakkame ühte arvu iseendaga korrutama. Kui selle arvu absoluutväärtus on suurem kui 1, satume nullist järjest kaugemale, kui aga arvu absoluutväärtus on 1-st väiksem, läheneme järjest nullile. Järgnevatel graafikutel oleme võtnud neli arvu x₀, õ₀,y₀ ja z₀ ja hakanud neid iseendaga korrutama. Kahe esimese absoluutväärtus on ühest suurem ning nii suunduvad iseendaga korrutamisel saadud arvud nullist järjest kaugemale. Kahe viimase absoluutväärtus on ühest väiksem ning nende korrutised koonduvad nulli suunas.

Saadud arvude järjendeid kutsutakse geomeetriliseks jadaks ja nendega kohtume veel lähemalt [lk 131]!

Arvu absoluutväärtus tuleb esile ka füüsikas, kus tihti huvitab meid mitte ühe või teise objekti positsioon, vaid hoopis objektide vaheline kaugus. Samamoodi võime mõelda ka kiirustest. Kui oleme ise näiteks keset pikka sirget teed ja lööme enda kõrvale nullpunkti, on meie poole liikuvatel objektidel negatiivne kiirus. Selle kiiruse suurust näitab siis tema absoluutväärtus.

Arvu absoluutväärtusega saab kirja panna ka võrrandeid [lk 168].

Näiteks võrrand kujus

tähendab, et otsitakse väärtusi x, mis on arvust 1 kaugusel 2. Absoluutväärtustega võrrandit käsitleme veidi pikemalt juba raamatu neljandas osas [lk 202].

Arvujada mõistet võib selgitada pikkade sõnadega, aga alustame parem näidetega.

paarisarvude jada ehk aritmeetiline jada vahega kaks

suvaline lõplik üheksaliikmeline täisarvude jada

lõpmatu konstantne jada

arvule π lähenev ratsionaalarvude jada

geomeetriline jada teguriga kolm

Fibonacci arvude jada

Jada ongi tavaline arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust hulgast arvudest või lausa lõpmatult paljudest. Kui hakkad lihtsalt arve ritta seadma, ongi tulemuseks arvujada. Igaüks võib muidugi kirja panna oma lemmikjada ja kinkida selle südamekaaslasele sünnipäevaks ning kui ka seda juhtub harva, on jadad siiski nii päriselus kui matemaatikas levinud ja olulised objektid.

Näiteks võib õppelaenu igakuistest tagasimaksetest mõelda kui arvujadast ja ka vihmaste päevade arv igas aastas tekitab arvujada.

Jadade kohta võib esitada erinevaid matemaatilisi küsimusi ning selgub, et neil küsimustel on ka täiesti elulised tähendused. Mis on jada kümnes liige ehk mis on mu kümnes laenu tagasimakse? Mis on jada kuuekümne esimese liikme summa või kui palju päevi sadas esimese kuuekümne aasta jooksul? Kas on võimalik öelda, mis on kõikide jada liikmete summa?
 
Üldjuhul võivad need küsimused osutuda üsna keerulisteks. Nii huvitavadki matemaatikuid algul lihtsamad juhud, mille korral nad kõikidele küsimustele vastata oskavad. Ka see on põnev, sest

• esiteks võib nii leida ideid ka keerulisemate olukordade jaoks
• ning teiseks selgub, et tihti ongi kõk elus ettetulevad jadad tegelikult matemaatiliselt üsna lihtsad.

Need lihtsamad jadad tulevad ette kooliprogrammis ja järgnevalt tutvustamegi neid lühidalt.

Kõige lihtsamad jadad on konstantsed ja lõplikud jadad. Lihtsuselt järgnevad aritmeetilised jadad. Nendel jadadel on iga kahe järjestikuse liikme vahe võrdne. Järgnevas näites on see vahe –3. Seda vahet kutsumegi jada vaheks ja tähistame tihti d-ga.

Aritmeetilise jadaga teevad ihnuskoid algust algkoolis – pannes iga nädal kõrvale kogu antud taskuraha. Nii moodustavad nende iganädalased rahakogused aritmeetilise jada ja koolis õpivad nad ennustama, millal võiksid miljonäriks saada. Peab kahjuks tunnistama, et aritmeetiline jada kasvab sellise eesmärgi tarvis pisut liiga aeglaselt.

Aritmeetilise jada jaoks on eeltoodud küsimustele lihtne vastuseid leida.

Näiteks teades jada esimest liiget oskame lihtsalt kirja panna ka teise liikme: liidame esimesele liikmele vahe juurde. Nii saamegi, et näiteks jada sajanda liikme võime leida esimese liikme põhjal talle lihtsalt 99 korda vahet juurde liites ehk matemaatiliselt: a₁₀₀ = a₁ + 99 · d. Siin tuleb märgata, et võtsime salamahti kasutusele uue tähistuse: a₁₀₀ all mõtleme jada sajandat liiget.

Üldkujus võime jada n-nda liikme a_n kirjutada kujul

Jada summa valemi leidmiseks tuleb märgata, et kahte jada, millest üks suureneb ja teine väheneb sama arvu võrra, on kerge kokku liita. Näiteks kui tahame leida jada summat, mille liikmed on ühest sajani, võime jada lihtsalt kokku liita tema ümberpööratud versiooniga, mille liikmed on sajast üheni.

Tulemiks on konstante jada, milles on täpselt sada liiget, iga neist väärtuseks 101. Kuna ümberpööratud jada liikmete summa on võrdne algse jada liikmete summaga, järeldub tehtud tähelepanekust ka esimese 100 arvu summa:

Leidmaks üldkujus aritmeetilise jada

esimese n liikme summavalemit, peame talle lihtsalt juurde liitma jada

Kasutades seejärel eelnevat arutelu, saame tulemuseks:

Kui soovid, et valem oleks lühem, siis ei pea viimast liiget välja kirjutama:

Nimetus

Viimaks on õigustatud ka uudishimu: kust õige pärineb nimi „aritmeetiline jada“? Täpset vastust meil lugejale pole. Üks võimalus on öelda, et aritmeetiline jada on seotud aritmeetilise keskmisega: kolmest järjestikusest aritmeetilise jada liikmest on keskmine liige äärmiste aritmeetiliseks keskmiseks [lk 198].

Teine võimalus on mõelda aritmeetikast laiemalt. Nimelt võib mõelda, et kõige lihtsamas vormis tegeleb aritmeetika naturaalarvude liitmise, korrutamise ja võimaluse korral ka lahutamise, jagamisega. Kui nüüd vaatame lõpmatult pikka aritmeetilist jada, mille esimene liige on null ning vahe d, siis saame arvud kujus 0; d; 2d; 3d; 4d; …. Lihtne on näha, et sellise aritmeetilise jada arve omavahel liites ja korrutades saame alati tulemuseks jälle sama aritmeetilise jada liikme. Seega mingis mõttes võime teha aritmeetilise jada liikmetega aritmeetikat! See pole muidugi suur ime, kui mõelda, et toodud aritmeetiline jada on peaaegu naturaalarvude koopia, ainult arvuga d läbikorrutatult.

Kui võtta malelaud (8 × 8 ruutu) ning asetada esimesele ruudule üks riisitera, teisele juba kaks riisitera ja igale järgnevale ruudule kaks korda rohkem riisiterasid kui eelnevale, siis mitu tera on lõpuks malelaual kokku?

Legendi kohaselt tutvustas male leiutaja oma uut mängu kohalikule valitsejale. Valitseja oli uue mänguga väga rahul ning lubas leiutajal endale valida ka väärilise tasu. Mees, kellel tarkust puudu ei tulnud, sõnas kuningale: „Auväärt kuningas, ma paluksin endale niipalju riisiterasid, kui on kokku malelaual asetades esimesele maleruudule ühe, teisele kaks, kolmandale neli ning igale järgnevale veel kaks korda enam riisiteri.” Valitseja, kes polnud matemaatika ega matemaatiliste veidrustega sina peal, nõustus kiirelt ettepanekuga, pidades seda vahest isegi solvavalt vähenõudlikuks. Niisiis käskiski ta varahoidjal riisiterade hulga välja arvutada ning leiutajale üle anda. Varahoidjal läks aga terve nädal lubatud riisikoguse leidmiseks. Kui valitseja päris viivituse põhjust, siis varahoidja näitas talle arvutuse lõpptulemust ning selgitas, et sellist tasu ei suudaks kuningas ka oma elu jooksul välja käia. Nüüd oli valitsejale selge, mis leiutajaga pihta hakata: ta lasi nutika mehe nutika pea maha lüüa, et seeläbi igasugustele ülekavaldajatele koht kätte näidata.

Terade arv malelaua ruutudel on järgnev:

Mis on selle jada 64. liige?

Mis on jada 64 esimese liikme summa?

Kui aritmeetilises jadas leitakse iga järgmine liige, liites eelnevale teatud kindla arvu, siis praegu leiame iga järgmise jadaliikme, korrutades eelmist liiget mõne kindla arvuga – meie konkreetsel juhul on selleks arvuks kaks. Selliseid jadasid nimetatakse geomeetrilisteks jadadeks ning arvu, millega iga järgnevat läbi korrutatakse, jada teguriks.

Kui tähistame jada kordajat q-ga ning jada liikmeid nagu ikka tähistusega a_n, saame analoogiliselt aritmeetilise jada juhuga a₂ = a₁ · q, seejärel a₃ = a₂ · q = a₁ · q · q, … ning üldisel kujul

Nii võime ka välja arvutada, et malelaua viimasel ruudul peab olema a₆₄ = 1 · 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 riisitera, mis on umbes 200 miljardit tonni riisi.

Geomeetrilise jada summa valem

Geomeetrilise jada summa valemi leidmiseks on taas kord vaja vaid ühte tähelepanekut ja head kannatust sümbolitemölluga.

Meenutame, et korrutades suvalise jada liikme a_i arvuga q, saame jada järgmise liikme a_i+1. Seega on jada esimese liikme  n summa a₁ + a₂ + … + a_n ainult q korda erinev summast a₂ + … + a_n+1, mis on sama jada n liikme summa alates teisest liikmest.

Kuna need jadad erinevad aga ainult kahes liikmes – esimeses neist esineb a₁ ja ei esine a_n+1 ning teises esineb a_n+1, aga ei esine a₁ –, siis on nende jadade summade vahe täpselt võrdne a₁ – a_n+1-ga.

Seega tähistades geomeetrilise jada esimese n liikme summat jällegi S_n abil, võime eelneva arutluse kirja panna kompaktsemalt nii:

Jagades mõlemad pooled läbi q–1-ga, jõuame valemini

mis kasutades jada üldliikme valemit annab tulemuseks

Hääbuv geomeetriline jada

Kui geomeetrilise jada tegur on absoluutväärtuselt väiksem kui üks, nimetatakse saadud jada hääbuvaks geomeetriliseks jadaks.

Näiteks jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆ … on hääbuv jada teguriga ¹⁄₂. Mis on sellise jada kõikide liikmete summa?

Kuna kokku on sellises jadas liikmeid lõpmata palju, võiks ju arvata, et seda summat ei annagi hästi arvutada – ta võiks ju ka olla lõpmatult suur, nii suur, et teda ühe arvuga väljendada ei saagi. Selgub siiski, et tegemist on alati lõpliku ning tihti isegi mitte väga suure arvuga.

Selle probleemiga on tihedalt seotud ka vanakreeka filosoofi Zenoni paradoks, mis väidab järgmist: kui aeglasemale startijale on antud võidujooksus edumaa, siis ei saa kiirem jooksja kunagi aeglasemast jooksjast ette jõuda. Nimelt enne, kui kiirem jooksja aeglasest möödub, peab ta esiteks jõudma punkti, kust aeglasem alustas. Selleks hetkeks on aga aeglasem jooksja juba edasi, järgmisesse punkti jõudnud. Nüüd peab kiirem jooksja enne möödumist hoopis sellesse punkti jõudma. Ja jälle on aeglasem edasi jõudnud. Nii võime lõpmatult jätkata, kuna iga kord, kui kiirem jooksja jõuab aeglasema eelmisesse punkti, on too sealt juba lahkunud.

Ometigi teame, et kiiremad jooksjad mööduvad aeglastest – sellest siis ka põhjus, miks seda arutlust paradoksiks kutsutakse. Võib-olla suudate pärast selle peatüki läbitöötamist näha, miks see „intuitiivne” argument siiski päris hästi paika ei pea.

Pirukad ja hääbuva geomeetrilise jada summa

Vaatleme nüüd enne toodud jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆; … pisut lähemalt.

Võime sellest jadast ka muinasjutuliselt mõelda. Oletame, et täpselt kilomeetri kaugusel asub pirukaputka, mille poole hiilib saabasteta kass. Jõudnud poolele teele, on tal läbitud pool kilomeetrit ja läbida jäänud samuti veel pool kilomeetrit. Tähistagu jada esimene liige selle esimese jalutuse pikkust:a₁ = ¹⁄₂ km.

Luuranud hetke, otsustab ta hiilida veel poole jäänud maast – see tähendab pool poolest kilomeetrist ehk veerand kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse a₂ = ¹⁄₄ km.

Piilunud veel kord ümberringi ja hinganud sügavalt sisse, otsustab kass kõndida veel poole järele jäänud maast – veel poole veerandist kilomeetrist ehk kaheksandiku kilomeetrit. Tähistame selle jalutuse a₃ = ¹⁄₈ km.

Nii ongi iga edasiliikumine vastavuses ühe jada liikmega ja jada summa on vastavuses kokku läbitud distantsiga. Aga pirukaputkani oli alguses täpselt üks kilomeeter ja seega, kuna kass putkast kaugemale kindlasti ei jõua, ei saa ka jada summa olla suurem kui üks. Tegelikult on see summa täpselt üks, sest pirukaputkani jääv maa muutub nii olematuks, et saabasteta kass paneb tingimata mõne piruka ka nahka.

Seda, et jada summa on lõplik, võib muidugi selgitada ka kasutades eelnevas tärniga osas leitud jada liikmete summa valemit:

Nüüd kui q < 1, siis on see valem igati lõpliku väärtusega ning lisaks kahaneb qⁿ astendaja n kasvades järjest väiksemaks ning läheneb kiiresti nullile.

Nii võime tegelikult näha, et kõikide liikmete summa läheneb arvule

Täpsemalt on S jada S_n piirväärtus [lk 310].

Jada ¹⁄₂; ¹⁄₄; ¹⁄₈; ¹⁄₁₆ jaoks on a₁ = ¹⁄₂ ja q = ¹⁄₂ ning seega on tõesti selle jada summa täpselt 1.

Nimetus

Aritmeetilise jada nime põhjendasime osati hüüdlausega „Aritmeetilise jadaga saab teha aritmeetikat!“. Oleks ju väga tore, kui geomeetrilise jadaga saaks teha geomeetriat... ja mingis mõttes saabki! Nimelt võib mõelda, et alustame ühest teatava pikkusega lõigust ja kõik edasised liikmed lihtsalt suurendavad seda teataval määral. Seega on geomeetriline jada seotud ühe lihtsaima geomeetrilise teisenduse – skaleerimise ehk suurendamise ja vähendamisega.

Kuigi lihtne mõte, võib see vaateviis siiski osutuda kasulikuks. Näiteks pirukapoe külastuse juures illustreerisimegi jada a_n = ¹⁄₂ⁿ summa lõplikkust ka geomeetriliselt.

Muidugi on lisaks sellele ka geomeetriline jada seotud geomeetrilise keskmisega – jällegi on kolmest järjestikusest liikmest keskmine äärmiste geomeetriliseks keskmiseks [lk 198].

Nagu juba sissejuhatusest näha, leidub ka teisi põnevaid jadasid, mille omaduste kallal on matemaatikud palju pead murdnud. Toome neist mõned matemaatikutele meelepärased näited.

Algarvude jada

Meenutame, et algarvudeks kutsutakse arve, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega. Esimeses osas näitasime, et algarvusid on lõpmatult palju [lk 46]. Algarvude jada algab nii:

Algarvudega on endiselt seotud palju veel lahendamata küsimusi. Näiteks ei ole teada, kas leidub lõpmatult palju kaksikalgarve – algarvude paare, mis erinevad teineteisest kahe võrra. Sellisteks paarideks oleks näiteks (3; 5) või (197; 199). Suurimal leitud paaril on tänaseks kümnendesituses 200700 numbrit!

Huvitav hiljuti tõestamist leidnud teoreem väidab, et algarvude jadade sees võib leida soovitud pikkusega aritmeetilisi jadasid. Teisisõnu, on võimalik leida nii 10, 1000 kui 20 350 liikmega aritmeetiline jada, mille kõik liikmed on algarvud. Proovige kasvõi leida 4 liikmega aritmeetiline jada, mille liikmed on algarvud!

Algarvude pöördarvude jada

Huvitavaks osutub ka algarvude pöördarvude jada

Selle jada muudab huvitavaks tema liikmete summa ääretult aeglane, kuid visa suurenemine. Ükskõik mis arvu jaoks võime alati leida teise arvu n, nii et algarvude pöördarvude jada n esimese jada liikme summa oleks mõeldud arvust suurem.

Samas aga suureneb see jada nii aeglaselt, et näiteks kui soovime, et esimese n liikme summa oleks kokku 7, peab selleks summeerima ligikaudu 10^{10 000 000} jada liiget!

See jada on ka ilus näide sellest, kuidas arvutitega tehtavad katsed võiksid meid eksiteele viia. Algarvude pöördarvude jada kasvab nii aeglaselt ning iga arvutiga tehtud eksperiment veenaks meid, et jada summa ei saa kuidagi olla lõpmatult suur.

Ometigi on matemaatiliselt võimalik näidata, et jada summa on lõpmatult suur.

Naturaalarvude pöördarvude ruutude jada

Selle jada kõikide liikmete kokkuliitmine annab jälle ühe üsnagi üllatava seose:

Kas oskate leida mõne põhjuse, miks naturaalarvude pöördarvude ruutude summa peaks olema seotud ringi pindalast tuntud arvuga π?

Selle huvitava seose leidis üks läbi aegade suurimaid matemaatikuid Leonhard Euler 1735. aastal.

Huvitaval kombel ei rahuldanud tema tõestus teisi tolleaegseid matemaatikuid ning läks veel kuus aastat pärast avastust, enne kui ta suutis ka teisi selle seose tõesuses veenda.

Fibonacci jada

Fibonacci jada iga järgnev liige tekib kahe eelneva liikme liitmisel. Jada alustamiseks tuleb meil seega lihtsalt määrata kaks esimest liiget

Kõik järgnevad liikmed saame seejärel lihtsalt välja arvutada.

Näiteks

ja nii edasi. Üldkujus võiksime kirjutada Fibonacci jada liikmeid siduva võrrandi

Fibonacci arvud tulevad esile erinevates ja üllatavates kohtades. Üks lihtsam ülesanne, mille lahendavad Fibonacci arvud, on järgmine:

Kui mitu erinevat võimalust on n astmega trepist ülesronimiseks, hüpates korraga alati kas ühe või kaks astet edasi? Näiteks kolmeastmelisest trepist on võimalik üles minna kolme moodi: 1 + 1 + 1, 1 + 2 või 2 + 1, neljaastmiselisest viit moodi jne.

Üllatavalt palju rakendatakse Fibonacci arve viimasel ajal informaatikas: nende abil üritatakse tekitada juhuslikke arve, leida uusi otsingualgoritme ning luua isegi andmestruktuure. Kahtlustatakse, et Fibonacci jada on kasutatud ka muusika komponeerimiseks ning hoolikas loodusvaatleja leiab Fibonacci jadaga seotud spiraale ja mustreid ka kosutaval matkal.

Lisaks selgub, et Fibonacci järjestikuste liikmete suhe läheneb ühele kindlale arvule. Veelgi enam, see arv pole mingi suvaline arv, vaid niinimetatud kuldlõike suhtarv

Kuldlõike suhtarv on leidnud läbi ajaloo palju austust ja lugupidamist. Tema nimetus tuleb sellest, et ta peaks olema aluseks ilusaimatele proportsioonidele. Näiteks arvatakse, et just kuldlõige annab ristküliku jaoks kõige ilusama pikkuse ja laiuse proportsiooni. Seetõttu on nii mõnigi autor otsustanud ka oma raamatu välja anda just nendes proprotsioonides.

Siinkohal lõpetame veel tänaseks lahendamata matemaatilise küsimusega. Kas eksisteerib lõpmata palju Fibonacci arve, mis on algarvud (esimesed sellised arvud: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597)? Arvatakse, et vastuseks on jah, aga seda tõestada ei osata. Huvitav, mis selles nii rasket on?

Väike mõistatus neile, kellel on aega ja agarust ülearu:

Antud on ühe jada algus:

Mis on jada järgmine liige?

Kui eelmise peatüki lõpetasime väikese mõistatusega, siis seekord alustame väikese mõistatusega: mis on pildil?

Tahtsite vastata nooled? Ei, matemaatiku, füüsiku ning hoolsa koolijütsi jaoks on need hoopis vektorid!

Vektoritest võibki lihtsalt mõelda kui nooltest. Nagu iga noolt, iseloomustab vektoreidki teatav suund ja teatav pikkus. Vektorid osutuvad oluliseks, kuna nende abil võib kirjeldada objekte, mille puhul on olulised nii nende suund kui tugevus.

Näiteks professionaalsed tuulelohetajad (või purjetajad) on kindlasti uurinud kohaliku piirkonna tuulte kaarti – sealsed paljud nooled, mis kirjeldavad tuulte suunda ja tugevust, on tuulevektorid.

Samuti on füüsikutel kombeks rääkida jõuvektoritest: kui ikkagi kellegagi kätt surute, tuleb jõudu avaldada nii teatud tugevusega kui ka õiges suunas.

Iga liikujat võib aga iseloomustada kiirusvektoriga: igas punktis liigub ta mingis suunas mingi kiirusega.

Kahemõõtmeline vektor ei ole midagi muud kui lihtsalt reaalarvude paar – näiteks (1; 3). Kolmemõõtmeline vektor on tavaline reaalarvude kolmik – näiteks $(3;0;2)$.

Kena näide kümnemõõtmelisest vektorist on igal juhul (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) ja mis on kahe tuhande üheteistkümne mõõtmeline vektor, pole vist ka keeruline välja nuputada... kuigi võib olla keerulisem kirja panna.

Et seost nooltega meelde tuletada, tähistatakse vektoreid ka tavaliselt tähe ja noolekesega, nagu näiteks

Näiteks vektor $\overrightarrow{a}$ = (3; 2).

Muidugi ei keela keegi näiteks liikumisvektorile nimeks panna

ainult kirjavaeva oleks nii rohkem.

Arvulise kirjapaneku ja visuaalse mõtte vahelist seost illustreerib järgmine joonis. Kahemõõtmelist vektorit kirjeldavad kaks arvu (mida kutsutakse koordinaatideks) näitavad, kui kaugele ulatub nool kahes ristuvas suunas. Kolmemõõtmelise vektori korral oleks meil juba vaja kolme ristuvat suunda, neljamõõtmelise joonistamine läheks juba raskeks...

Vektorile on väga lihtne intuitiivne selgitus – nooleke pikkuse ja suunaga. Ometi  on vektoril kui matemaatilisel objektil palju erinevaid omadusi, teda võib mitmel moel teisendada ning temaga teha erinevaid tehteidki.

Sellest lähtuvalt on kogu see alapeatükk täis uusi mõisteid ja trikikesi, millest ühe korraga läbinärimine võib olla üsna väsitav. Nii soovitamegi vaadata kõiki järgnevaid kirjutusi ühe- või kahekaupa ja iga omaduse, teisenduse ja tehte juures võtta kõrvale mõni konkreetne näide, nägemaks, et midagi keerulist kogu peatükis siiski pole.

Võrdsed vektorid

Kui oleme defineerinud mõne uue matemaatilise objekti, siis on esimene loomulik küsimus: millal on kaks sellist objekti võrdsed? Ehk millal on kaks vektorit võrdsed?

Õnneks on vektorite puhul vastus üsna ilmne ja lihtne. Kui mõelda vektorist kui mitmest ritta seatud arvust, on üsna kärmelt selge, mida peaksid tähendama võrdsed vektorid: kõik vektori koordinaadid peavad olema võrdsed.

Vektori pikkus

Vektori $\overrightarrow{a}$ pikkust |$\overrightarrow{a}$|arvutame täpselt nagu punkti kaugust nullpunktist. Seega kahemõõtmelise vektori pikkuse võime välja arvutada nii nagu ikka täisnurkse kolmnurga  hüpotenuusi.

Juhul kui vektor on kolmemõõtmeline, peame seda arutluskäiku rakendama lihtsalt kaks korda. Siin on näide vektoriga

Vektorite liitmine

Vektorite liitmisest saame mõelda mitmel viisil. Vektoreid on vaja liita näiteks siis, kui tahame kokku liita mitu erinevat ühele objektile mõjuvat jõudu.

Esmalt võime liitmisest mõelda arvulise esituse abil. Sel juhul teeme seda koordinaatide kaupa: näiteks

Samas võime vektorite liitmisest mõelda ka geomeetriliselt. Summavektori leidmiseks peame lihtsalt liidetavad vektorid teineteise järele seadma.

Summavektor viib niisiis esimese vektori  alguspunktist  teise lõpp-punkti. Toodud jooniselt on hästi näha, miks geomeetrilist liitmist kutsutakse ka „rööpküliku reegliks”.

Toodud geomeetriline mõtteviis annab hea tõlgenduse juhule, kui näiteks kolme või nelja või kuue vektori summa on null.

Tõepoolest, kui kolme vektori summa on null, siis peab kolmanda  vektori  lõpp-punkt olema esimese vektori alguspunktiks ning joonisele tekib kolmnurk. Näiteks kui meil on vektorid (–3; 1), (1; –1) ja (2; 0), siis kokku liites saame tõesti nullvektori 

Samamoodi kui näiteks nelja vektori summa on null, defineerime selle abil nelinurga, ja kui kuue vektori summa on null, siis kuusnurga.

Hoolikas lugeja muidugi märkab, et oleme siin natuke luisanud. Kui võtame vektorid (1; 0), (1; 0) ja (–2; 0) siis ei teki ju siiski kolmnurka, sest kõik vektorid on samal sirgel.

Õnneks ongi see pisiasi ainus, mis saab muidu nii ilusa seose untsu ajada.

Nullvektor,  vastandvektor

Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites saame tulemuseks selle arvu enda. Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvektor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvektor on siis muidugi (0; 0; 0). Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvektori: vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori. Näiteks vektori (1; 2) vastandvektor on (–1; –2).

Vektorid ja korrutamine

Vektoreid võime reaalarvudega korrutada. Sellest võib jällegi mõelda vektori koordinaatide abil: korrutame lihtsalt iga koordinaati reaalarvuga.

Samas on olemas ka geomeetriline mõtteviis: vektorit reaalarvuga korrutades pikendame või lühendame vektoreid. Kui reaalarv, millega vektorit korrutame, on negatiivne, siis muudame lisaks veel vektori suuna vastupidiseks.

Seega ei ole väga raske korrutada vektoreid reaalarvudega. Aga kas vektoreid saab ka omavahel korrutada?

Vastus on jällegi jah, aga selle jaoks peame natuke loobuma oma senisest arusaamast korrutamise kohta. Õigem oleks siis võib-olla öelda, et neid saab omavahel „korrutada“.

Õigupoolest saab vektoreid omavahel korrutada mitmel moel, aga kuna ükski neist ei ole päris analoogne arvude korrutamisega, on neile antud ka eraldi nimetused: 1) skalaarkorrutis ja 2) vektorkorrutis. Kahe vektori skalaarkorrutis annab tulemuseks lihtsalt reaalarvu, vektorkorrutis aga jälle ühe uue vektori.

Omaette küsimus on muidugi, miks peaksime tahtma vektoreid üldse omavahel „korrutada”. Matemaatiliselt on see soov üsna loomulik, kuna kõik hästi valitud teisendused ja tehted kannavad endas lootust luua rohkem seoseid erinevate matemaatika harude vahel ning seega võivad viia parema arusaamani kogu matemaatikast.

Õnneks leidub praktilisele lugejale siiski ka eluline vastus: nimelt nagu varsti näeme, on füüsikutel nii skalaarkorrutise kui vektorkorrutise jaoks olemas igati intuitiivne ja looduslik tõlgendus: skalaarkorrutis näitab, mil määral füüsikalised suurused töötavad ühe eesmärgi nimel. Näiteks kui üht keha liigutatakse teatavas suunas ühe jõu abil, siis skalaarkorrutis annab meile teada, kui palju tehti keha liigutamisel kasulikku tööd. Vektorkorrutis omakorda aitab kirjeldada, mil määral üks või teine jõud suudab kehasid pöörlema panna.

Lisaks selgub, et skalaar- ja vektorkorrutis osutuvad oluliseks arvutigraafikas. Nimelt võib nende abil taandada kõiksugu geomeetrilised teisendused nagu pöörded, peegeldused puhtalt koordinaatidega arvutustele, millega arvutid kenasti toime tulevad.

Lõpetuseks  võib  õhku  jääda  muidugi  küsimus:  kas  vektoreid kuidagi omavahel „jagada" ka saab?

Seekord saame lõpuks vastata „ei“, vähemalt skalaarkorrutise ja vektorkorrutise jaoks jagamistehet ei leidu. Põhjus on üsna proosaline – kui me fikseerime ühe vektori, siis leidub terve hulk teisi vektoreid, mis temaga „korrutades” annavad täpselt sama skalaar- või vektorkorrutise. Näiteks vektoriga (1; 0; 0) annavad skalaarkorrutise null kõik vektorid kujus (0; a; b) . Need moodustavad aga kogu y–z tasandi ja me ei suuda nende hulgast jagamistehte vastust välja valida!

Skalaarkorrutis

Kui intuitiivselt kannab skalaarkorrutis samasuunalisuse mõtet, siis matemaatiliselt võib skalaarkorrutisest mõelda ja teda defineerida [lk 44] kahel viisil. Need kaks viisi on ka igati samaväärsed. Seda samaväärsust tuleks matemaatiliselt tõestada, aga siinkohal piirdume siiski ainult nende kahe viisi tutvustamisega.

Skalaarkorrutis läbi koordinaatide

Üks viis skalaarkorrutise defineerimiseks on koordinaatide põhine: kahe vektori skalaarkorrutise saame, kui esmalt korrutame kahe vektori vastavad koordinaadid ning seejärel liidame kõik saadud korrutised omavahel kokku.

Tähistades skalaarkorrutist silmapaistva punktiga, võime kirjutada näiteks:

Huvitav on märgata, et nii defineeritud korrutustehte tulemuseks on reaalarv.

Ei ole sugugi lihtne kohe aru saada, miks selline üsna lihtne definitsioon võiks samaaegselt ka huvitav või kasulik olla. Teatavat lootust annab juba teadmine, et võime teda samahästi defineerida ka hoopis teisel viisil.

Skalaarkorrutis läbi vektorite vahelise nurga

Skalaarkorrutis seob ka kavalalt vektorite vahelise nurga ja nende pikkused. Ta on võrdne vektorite pikkuse ning nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Kuigi sel moel on koordinaatidega antud vektorite vahelist skalaarkorrutist raskem leida, pakub see definitsioon hea viisi, kuidas skalaarkorrutisest näidete abil pisut aimu saada.

Märkame, et sellest definitsioonist lähtuvalt võime skalaarkorrutist vaadelda kui vektori $\overrightarrow{a}$ pikkuse korrutist selle osaga vektorist $\overrightarrow{b}$, mis näitab vektoriga $\overrightarrow{a}$ samas suunas.

Seega

• kui üks vektoritest on nullvektor, siis skalaarkorrutis on 0, sest nullvektori pikkus on null,
• ühe vektori korrutis iseendaga annab täpselt vektori pikkuse ruudu, sest nurk vektorite vahel on 0° ja cos0° = 1 – vektorid näitavad täiesti samas suunas,
• kui kaks vektorit on omavahel risti, siis on nende skalaarkorrutis null, sest cos90° = 0.

Üldisemalt näemegi, et kahe vektori skalaarkorrutis on maksimaalne, kui vektorid on samasuunalised. Hakates vektorite vahelist nurka suurendama, skalaarkorrutis väheneb ning tema väärtus on minimaalne siis, kui vektorid on vastassuunalised.

Fakt, et skalaarkorrutist saab defineerida kahel moel, muudab tema omaduste tõestamise üsna mugavaks – vähemalt ühes kujus on iga omadust lihtne tõestada.

Samuti on erinevad kujud kasulikud erinevates probleemides: pikkuste ja nurga abil antud kuju on füüsikute lemmik, samal ajal kui arvutigraafikas on lihtsam kasutada skalaarkorrutise leidmist koordinaatide abil.

Skalaarkorrutis ja füüsika

Suur osa füüsikalistest suurustest on samuti suuruse ning suunaga – näiteks liikumine toimub ju teatud suuna ja kiirusega ning jõud mõjuvad mingis suunas ja mingi tugevusega. Skalaarkorrutis tuleb mängu füüsikaliste suuruste kombineerimisel.

Näiteks kui vanasti kasutati hobuseid, et paati mööda jõge edasi viia, siis oli kõige targem hobust paralleelselt mööda jõeäärt talutada võimalikult kalda lähedalt.

Sellest võib mõelda skalaarkorrutise abil. Kui paat piki jõge liigub, võime tema liikumist kirjeldada kiirusvektoriga. Hobune avaldab talle tõmbamisega jõudu, mida kirjeldame jõuvektoriga. Nende vektorite omavaheline skalaarkorrutis annab nüüd ajaühikus tehtava kasuliku töö ehk võimsuse. Intuitiivselt kannab skalaarkorrutis endas teadmist, et paadi edasiliikumisele aitab kaasa ainult jõu kiirusvektori suunaline komponent. Seda võiks kutsuda kasulikuks jõuks. Tõepoolest, kui hobune tõmbaks paati risti jõega, oleksid jõuvektor ja kiirusvektor risti, skalaarkorrutis oleks null ja hobune paadi edasiliikumises rolli ei mängiks. Mida lähemal hobune jõele jalutab, seda paralleelsem on kiirusvektoriga ka jõuvektor, seda suurem skalaarkorrutis, seda suurem kasulik jõud.

Mõned skalaarkorrutise omadused ja Pythagorase teoreem*

Skalaarkorrutisel on tavalise korrutamisega mitmeid sarnaseid omadusi.

Esiteks võime koordinaatkuju abil kergesti näidata, et ka skalaarkorrutis on distributiivne: teisisõnu, iga kolme vektori 

jaoks kehtib

Näiteks kahemõõtmeliste vektorite $\overrightarrow{a}$ = (a₁; a₂) korral võime kirjutada koordinaatkuju definitsiooni abil:

Samamoodi näeme emmast-kummast definitsioonist, et skalaarkorrutis on kommutatiivne, ehk vektorite järjekord skalaarkorrutise võtmisel ei loe:

Samas meenutame, et nurga abil antud definitsioonist järeldasime, et ristiolevate vektorite skalaarkorrutis on null ning vektori skalaarkorrutis tema endaga on võrdne vektori pikkuse ruuduga.

Kasutades nüüd neid kahte omadust, võime näiteks tuletada Pythagorase teoreemi.

Olgu antud täisnurkne kolmnurk, mille küljevektorid $\overrightarrow{a}$ ja $\overrightarrow{b}$ on risti  –  ehk siis 

Samas nägime ennist, et kolmnurga küljevektorite jaoks kehtib ka

ehk 

Võtame nüüd mõlema poole skalaarkorrutise iseendaga ja saame:

Kasutades peatüki alguses toodud esimest skalaarkorrutise omadust näeme, et vasema poole väärtus on

Kuid

ning