Astronoomia

Käesolev raamat on välja kasvanud Peeter Tenjese poolt paljude aastate jooksul Tartu Ülikoolis loetud kahest kursusest: astronoomia tulevastele füüsika ja loodusainete kooliõpetajatele ning globaalfüüsika astronoomia osa füüsika eriala tudengitele. Hiljem jätkas õpetajatele astronoomia kursuse lugemist Kaido Reivelt. Loengute materjale on autorite poolt selle õpiku jaoks loomulikult oluliselt täiendatud ja ajakohastatud. Jooniste vormistamisel oli abiks Nils Austa. Õpik on suunatud koolidele − nii füüsika kui ka teiste loodusainete õpetajatele, kes vajavad või soovivad abi oma astronoomiaalaste teadmiste süvendamisel, kuid miks mitte ka innukamatele gümnasistidele.

Õpiku materjalid jagunevad kaheks − põhitekstiks ja lisadeks. Põhitekst peaks olema täiesti mõistetav ilma lisade poole pöördumata ning seal sisalduvad mõisted ja valemid ei välju gümnaasiumi tasemest. Lisad on täiendavaks lugemiseks ja kohati esineb seal ka tuletisi ja integraale sisaldavaid valemeid. Selles osas on õpik loodetavasti kasulik ka erinevate erialade bakalaureuse ja magistriastme üliõpilastele.

Iga alapeatüki lõpus on kordamisküsimused ja mõned ülesanded. Kordamisküsimustele võiks vastata pärast teksti lugemist, pöördudes vajadusel taas teksti juurde tagasi. Ülesannetel on olemas ka lahenduskäigud. Need leiab, kui vajutada nupule "Vasta" ja sealt edasi alumises vasakus nurgas "Lahendus".

Täname õpiku retsensente xxx ja xxx, kes tegid õpiku algsetele versioonidele mitmeid kasulikke märkuseid. Täname ka Dr. Maret Einastot, Lauri Juhan Liivamägi ja Rain Kipperit, kes andsid kasutada oma seminariettekannetes ja mitmetes loengutes kasutatud materjale. Täname kõiki üliõpilasi, kes on aegade jooksul meie loenguid kuulanud, kontrolltöid ja eksamitöid kirjutanud − kõikidest küsimustest ning nii õigetest kui ka valedest vastustest on meile olnud abi.

Valminud Hariduse Infotehnoloogia Sihtasutuse IT Akadeemia programmi ja Haridus- ja teadusministeeriumi eestikeelsete kõrgkooliõpikute programmi toel.

Erineval tasemel astronoomia-alaseid eestikeelseid raamatuid on mitmeid. Toome siin ära vaid ligikaudu gümnaasiumi tasemele vastava kirjanduse, mis katavad enam-vähem süstemaatiliselt kõik teemad.

• "Tähistaevas. Entsüklopeedia", Koolibri, 2009, 576 lk  − mahukas ja igati hea raamat, mis ei ole otseselt õpik, kuid katab siiski süstemaatiliselt kõik vajalikud teemad. Arvatavasti on seda aga praegu juba poodidest raske leida.
• Heikki Oja, "Põhjanael", Valgus, 2001, 160 lk  − soome keelest tõlgitud gümnaasiumitele sobilik õpik lisamaterjalina. Arvatavasti on seda aga samuti praegu juba poodidest raske leida.
• http://opik.obs.ee/sisukord.html − igati sobilik täiendav materjal. Maht on väiksem kui käesoleval õpikul, kuid siiski täiendav.

Kuulsate astronoomiat mõjutanud teadlaste kohta on väga head materjalid:

• Tõnu Viik, Henn Käämbre, "Teaduse ajaloost. Noppeid." https://opik.fyysika.ee/index.php/book/section/37467
• Ivar Piir, "Füüsika ajalugu." https://opik.fyysika.ee/index.php/book/view/63 

Ingliskeelseid, saksakeelseid ja muudes keeltes õpikuid on üsna palju. Nad on üldreeglina väga head. Nende muretsemisel on hea eelnevalt lugeda raamatute tutvustustest, kas nad on nn "algebra based" või "calculus based". Esimesed sisaldavad küllaltki vähe valemeid ning need valemid on mõistetavad ka füüsikas ja matemaatikas tugevatele põhikooli lõpetanutele. Teise liigi raamatutes olevad valemis sisaldavad mitmel puhul ka funktsioonide tuletisi ja integraale ning need vastavad ülikoolide loodusteaduste erialade bakalaureuse tasemele.

15.11.2022 Alustasin uue ringi paranduste sisse viimist.

28.11.2022 Parandused on sisse viidud. Muutus õpiku struktuur - 1. peatükk on jagatud kolmeks väiksemaks tükiks, 3. ja 4. peatükk kaheks, nii et endise 7 peatüki asemel on nüüd õpikus 11 peatükki. Terminoloogias muutsime läbivalt orbitaalperioodi tiirlemisperioodiks ning Jupiteri-sarnased planeedid on nüüd nimetatud hiidplaneetideks. Lisatud on mitmeid videosid, nii simulatsioone kui ka loenguid (loengud läksid lisamaterjalide alla). Pikemalt on lahti kirjutatud teemad Keemiliste elementide süntees ja Neptuuni-tagune maailm.

Pea kogu kahekümnenda sajandi vältel oli astronoomia kohta kasutusel kaks eraldi terminit − astronoomia ja astrofüüsika. Astrofüüsika all mõeldi teadussuunda, milles uuritakse tähtede siseehitust ja tähtedevahelist gaasikeskkonda kirjeldavaid füüsikalisi protsesse. Astronoomia oli siis kõik ülejäänu, st neid kahte terminit eristati. Tänapäeval käsitletakse astronoomiat ja astrofüüsikat valdavalt sünonüümidena. See tähendab, et astronoomile on hädavajalikud head teadmised nii füüsikast kui ka matemaatikast.

Ehkki astronoomia on sisuliselt üks füüsika valdkondi, on sellel siiski ka omad spetsiifilised jooned. Erinevalt tavapärasest füüsikast, keemiast, molekulaarbioloogiast jne ei ole astronoomias võimalik korraldada eksperimente. Astronoomias on võimalik ainult vaadelda ja sedagi tihti vaid hästi kaugelt ja ühe nurga alt. See on tõsine probleem.

Teine eripära ja ühtlasi ka raskus on tõsiasi, et enamik kosmoses toimuvaid protsesse on inimese eluea ning teleskoopide ja fotograafia kasutusajaga võrreldes väga aeglased. Näiteks on kaksiktähtede tüüpilised tiirlemisperioodid mitu kuni mitutuhat aastat, Päikese tiirlemisperiood ümber Linnutee keskme on umbes $200$ miljonit aastat, Päikese stabiilse arengu pikkus on umbes $10$ miljardit aastat. Sisuliselt näeme me oma evolutsioneeruvast Universumist vaid ühte „hetkelist" ülesvõtet.

Ent teisalt viitavad kõik olemasolevad andmed sellele, et füüsika on põhimõtteliselt kõikjal sama ja me saame kasutada kogu füüsika teadaolevat arsenali. Palju aitab ka matemaatilise statistika meetodite kasutamine. Näiteks võib sageli eeldada, et mingid kosmilised objektid (meenutage pilti elliptilisest galaktikast) on ruumis täiesti juhuslikult orienteeritud ning saame siis sellel eeldusel arvutada, milline peaks statistiliselt olema nende objektide mingite omaduste jaotus. 

Astronoomilised objektid on väga heaks täienduseks Maa laboritele. Universumis leidub selliseid aine olekuid, mis on Maal täiesti kättesaamatud. Näiteks:

• Vaakum. Mõnedes gaasududes on aine nii hõre $({10}^{-21}kg/m^3$ ehk $1$ osake $c{m}^3$ kohta), et parimateski maistes vaakumkambrites ei ole see saavutatav (saadud on vaid ${10}^{-9}kg/m^3$). Aine hõreduse tõttu ilmuvad gaasududes nt „keelatud" spektrijooned.
• Tihedus. Neutrontähtede tihedus on $\sim {10}^{18}kg/m^3,$ mis on Maal kättesaamatu. Aine olekut ülisuurte tiheduste tingimustes on võimalik uurida vaid neutrontähti uurides. Neutrontähtede füüsika võimaldab lisaks ka näiteks üldrelatiivsusteooria efektide eksperimentaalset kontrolli.
• Magnetväljad. Tohutult tugevad magnetväljad neutrontähtedes $\left({10}^{8}T\right),$ mis ületavad märgatavalt laborites saadud suurimaid hetkelisi induktsioone $\left({10}^{3}T\right).$
• Energiad. Kosmiliste kiirte osakeste maksimaalne energia on ${10}^{20}eV,$ mis ületab oluliselt suurimate maiste kiirendite võimalusi ${10}^{13}eV.$

Lisaks on astronoomiliste objektide vahendusel võimalik määrata mitmete füüsikaliste suuruste võimalikke muutumispiire. Nt on gravitatsioonikonstandile saadud muutumise ülempiir $0,1\%$ miljardi aasta jooksul (2015. aasta andmed), Jupiteri magnetvälja analüüsist on saadud ülempiir footoni võimalikule seisumassi väärtusele  $m_{\gamma }<{10}^{-21}{m}_e$ jne.

Astronoomia objektide kauguseid ei suuda me palja silmaga vaadeldes tajuda. Seetõttu kujutame me kosmost ette „taevasfäärina” – mingit suvalist raadiust omava sfäärina, mille keskpunktiks on vaatleja ja millel asuvate taevakehade nurkkaugused vastavad nende tegelikele omavahelistele nurkkaugustele vaatleja silmist ehk siis sisuliselt Maalt vaadatuna. Kui seisame lagedal väljal, siis näeme vaid poolt taevasfäärist. Otse meie pea kohal olevat taevasfääri punkti nimetatakse seniidiks ning kujuteldavat joont, mis poolitab meie jaoks taevasfääri, nimetatakse horisondiks. Need on intuitiivselt kergelt arusaadavad mõisted. Seniidi vastassuunas asuvat taevasfääri punkti (jääb loomulikult allapoole horisonti) nimetatakse nadiiriks. Nende mõistetega puutume peatselt kokku alapunktis 1.3 Koordinaadid tähistaeval.

Selgel ööl, mil majade tuled ei sega, võime näha umbes $3000$ tähte – seda ei ole just eriti palju.

Inimese silm ja aju püüavad näha seoseid ja kujundeid objektide vahel, mis ei ole tegelikult seotud. Nii on inimesed juba ammustest aegadest ühendanud heledamad tähed mitmesugustesse konfiguratsioonidesse, mida nimetatakse tähtkujudeks ja milledele antiikajal anti mütoloogiaga seotud nimetused. Kuna taevasfääril kauguse mõõde puudub, siis asuvad sageli ühe tähtkuju tähed üksteisest tegelikult vägagi erinevatel kaugustel.

Tähtede näivad konfiguratsioonid taevas ei oma seega füüsikalist sisu. Need aitavad meil omavahelistes jutuajamistes vaid taevasfääril orienteeruda. 1928. aastal fikseeriti rahvusvaheliselt $88$ tähtkuju täpsed piirid. Iga tähtkuju heledamaid tähti nimetatakse kreeka tähe lisamisega vastava tähtkuju ladinakeelsele nimele, nt α Centauri, γ Sagittae jne. Enamasti kasutatakse siis tähtkuju nimetuse kolmetähelist lühendit, nt α Cen. Need standard-lühendid fikseeriti rahvusvaheliselt 1922. aastal. Tähtkuju heledaimale tähele omistatakse enamasti α, heleduselt järgmisele β jne. Näiteks Lüüra tähtkuju heledaim täht on α Lyr. Kuid see ei ole alati nii. Kui tähtkuju koosneb vaid nõrgematest ja ligikaudu sarnase heledusega tähtedest, siis võib järjestus olla erinev. Käiteks Kalade (lad. Pisces) tähtkuju heledaimate tähtede tähistused on $\eta$ ja γ, täht α Psc on täpsete mõõtmiste alusel heleduselt alles kuues. Umbes $200$ tähele on antud ka omaette nimed, nt Veega, Siirius, Deneb jt.

Erinevad rahvad on aegade jooksul nimetanud tähtkujusid ja heledamaid tähti erinevalt, nt seesama Orion on vanade eestlaste taevakaartidel Koot ja Reha, täht Siirius oli Orjatäht. Plejaadide tähtkuju oli vanade eestlaste jaoks Sõel, jaapanlaste jaoks on see Subaru. Infot tähtkujude kohta leiab Rahvusvahelise Astronoomiauniooni kodulehelt.

Juba antiikastronoomid teadsid, et tähed näivad taevas ööpäeva jooksul liikuvat, kuid tähtede omavahelised suhtelised asukohad jäävad muutumatuks, st taevasfäär näib liikuvat tervikuna.

Taevasfäär näib ööpäevaste tsüklitena pöörlevat ümber punkti, mida nimetatakse taevapooluseks ehk lihtsalt pooluseks. Taevasfääri näiv pöörlemine on tingitud loomulikult Maa pöörlemisest. Taeva põhjapoolus $P$ on see, mis asub Maa põhjapooluse kohal. Vastassuunas on taeva lõunapoolus $P\text{'}$. Taevapoolused on punktid, milles Maa pöörlemise telje pikendus „lõikub” taevasfääriga. Juhuslikult on küllaltki hele täht Põhjanael praegu põhjapoolusele üsna lähedal (vaid $45\text{'}$ kaugusel). Põhjanael ei ole mitte kogu aeg asunud põhjapooluse lähedal, sest selle asukoht taevas muutub aeglaselt (hiljem tuleb sellest lähemalt juttu). Pooluse nurkkõrgus horisondist vastab antud koha geograafilisele laiusele (joonis 1). Seega paikneb Tartus Põhjanael horisondist $58,5^{\circ }$ kõrgusel.

Täpselt põhjapooluse ja lõunapooluse vahel paikneb taevaekvaator, mis on Maa ekvaatortasandi pikendus.

Poolusele lähemate tähtede puhul näeksime ööpäeva jooksul nende täispööret ümber pooluse, poolusest kaugemad tähed aga tõusevad idast, liiguvad üle taeva ja loojuvad läänest, st me näeme vaid osa nende täielikust liikumisest. Esimesi nimetatakse loojumatuteks tähtedeks, teisi loojuvateks. See liikumine ümber pooluse on meie jaoks praegu pidevalt korduv perioodiline liikumine.

Lisaks sellele nö ööpäevasele liikumisele lisanduvad veel ka aastased ja pikemad muutused. Aastaste muutumiste põhjus on Maa tiirlemine ümber Päikese, mistõttu nt kevadel ja sügisel domineerivad taevas erinevad taevapiirkonnad (tähtkujud).

Et määrata tähistaeva objekte täpsemalt, on vaja taevasfääril defineerida koordinaadid.

Horisondilised koordinaadid on intuitiivselt lihtsad – tavaline geograafiline asimuut ja kõrgus horisondist  (joonis 2). Siin kasutatakse juba meile tuttavaid mõisteid seniit, nadiir ja horisont. Kõike seda on loomulikult võimalik ka matemaatiliselt rangelt määratleda, seda me siin aga ei tee. Näiteks eristatakse matemaatilist horisonti (merepinnalt võetud puutujatasandi lõikejoon taevasfääriga) ning näivat horisonti (vaataja silmi läbiva puutujatasandi lõikejoon taevasfääriga) jne.

Niisiis on asimuut $A$ nurk lõuna− (või põhja) suuna vahel horisondi tasandis, kõrgus $h$ on nurk tähe suuna ja horisondi vahel ning horisondilised koordinaadid on $(A,h)$. Asimuudi nurka loetakse enamasti lõunasuunast ning kellaosuti liikumise suunas.

Öö jooksul tõusevad tähed ida poolt, jõuavad suurima kõrguseni ning laskuvad (loojuvad) läände. Suurima kõrguseni jõudmist nimetatakse kulminatsiooniks. Nende tähtede puhul, mis antud laiuskraadil ei looju, eristatakse ülemist ja alumist kulminatsiooni.

Niimoodi defineeritud koordinaadid aga muutuvad pidevalt ning lisaks sellele on need ka lokaalsed, st sõltuvad vaatleja asukohast (igal vaatlejal on ju erinev horisont).

Ekvaatorilised koordinaadid. Kui tahame konstrueerida koordinaate, mis oleksid sõltumatud tähistaeva pöörlemisest ja vaatleja asukohast, siis tuleb koordinaadid siduda pöörlemisega. Lähtume taevaekvaatorist $EE\text{'}$ ja sellele vastavast taevaekvaatori tasandist (joonis 3). Üks sobiv koordinaat on tähe nurkkaugus taevaekvaatori tasandist pooluse $P$ suunas: kääne $\delta$. Seega omab taevaekvaator käänet $0^{\circ }$, taeva põhjapoolus käänet $+{90}^{\circ }$ ja lõunapoolus käänet $-{90}^{\circ }$ . Teine koordinaat peab olema nurk piki taevaekvaatorit. Ehkki matemaatiliselt võttes on ükskõik, milline punkt taevasfääril piki ekvaatorit fikseerida nullpunktiks, on selleks punktiks siiski valitud nn kevadise võrdpäevsuse punkt ${\rm Y}$ – suund, kus ekliptika (vt edaspidi) lõikub taevaekvaatoriga ehk lihtsamalt Päikese asukoht kevadisel pööripäeval. Teiseks koordinaadiks, otsetõusuks $\alpha$, nimetatakse nurka selle nn nullsuuna ning taevaekvaatorile projekteeritud tähesuuna vahel*. Ekvaatorilised koordinaadid on seega $(\alpha ,\delta )$.

Need koordinaadid tähistaeva ööpäevasel pöörlemisel ei muutu (niivõrd kuivõrd Maa pöörlemise telg ei muutu) ja on sõltumatud vaatleja asukohast.

Päikese poolt mõjuv gravitatsioonijõud tingib aga Maa pöörlemistelje ja sellega seotud pooluse asukoha aeglase muutumise (güroskoobi efektist tingitud pretsessioon – meenutage vastavaid valemeid). Selle tulemusena kirjeldab pooluse asend taevasfääril $25770$ aasta jooksul ringi raadiusega umbes ${23.5}^{\circ }$ – see on nurk Maa pöörlemistelje ja Maa orbiidi tasandi normaali vahel (joonis 4). Ka kevadpunkt muutub aeglaselt. Pooluse ja kevadpunkti liikumise tõttu kiirusega umbes ${50}^{\prime \prime }$ aastas muutuvad ka tähtede koordinaadid, mistõttu on tihti vaja täpsustada, millise aja koordinaatidega on tegemist.

Jälgides taevast terve aasta vältel näeme, et Päikese asend taevasfääril nihkub teiste tähtede suhtes, kirjeldades aasta jooksul täisringi (nihkumine toimub läänest itta). Ühtlasi näeme, et see täisring on taevaekvaatori suhtes umbes $23,5^{\circ }$ nurga võrra kallutatud ning seda nimetatakse ekliptikaks (joonis 5.) Päike läbib oma teekonnal piki ekliptikat 13 tähtkuju. Nendest 12 tähtkuju omasid muistsetele astroloogidele erilist tähendust ja neid nimetatakse enamasti vana tava kohaselt sodiaagi tähtkujudeks. Sodiaagi jagamine 12 võrdseks osaks pärineb umbes 5. sajandi lõpust e.m.a. Babüloonia astronoomidelt. Maokandja tähtkuju, mis asub Amburi ja Skorpioni vahel, Päike sellel ajal praktiliselt ei läbinud ning lisaks, 12 oli ka kena number.

Ekliptika kalle taevaekvaatori suhtes tähendab, et Päikese kõrgus taevaekvaatorist (kääne $\delta$) muutub aasta jooksul $+{23}^{\circ }{27}^{\prime }$ kuni $-{23}^{\circ }{27}^{\prime }.$ Lüües lahti näiteks 2023. aasta Tähetorni Kalendri, võime lugeda Päikese ja Kuu koordinaatide tabelist, et Päikese kääne on (piirdudes enamasti kraadi täpsusega): 

jaanuaris $-{23}^{\circ }--{17}^{\circ },$

märtsis $-8^{\circ }-+4^{\circ }{8}^{\prime },$

aprillis $+4^{\circ }{31}^{\prime }-+{15}^{\circ },$

juunis $+2^{\circ }{3}^{\prime }-{23}^{\circ }{10}^{\prime },$

augustis $+{18}^{\circ }-+8^{\circ }{39}^{\prime },$

septembris $+8^{\circ }{17}^{\prime }--2^{\circ }{47}^{\prime },$

detsembris $-{21}^{\circ }{47}^{\prime }--{23}^{\circ }{6}^{\prime }.$

Näeme, et märtsis ja septembris on olnud ajad, mil Päikese kääne oli null. Need on nn võrdpäevsuse ajad ja nendest tuleb peagi juttu.

Selline Päikese asendi nihkumine tähtede suhtes toimub seetõttu, et lisaks oma pöörlemisele Maa ka tiirleb ümber Päikese. Kuna Maa pöörlemistelg on kallutatud Maa tiirlemise tasandi suhtes ${66}^{\circ }{33}^{\prime },$ siis on Maa tiirlemise tasand (ehk ekliptika tasand) Maa geograafilise ekvaatori tasandi suhtes ${90}^{\circ }-{66}^{\circ }33\text{'}={23}^{\circ }27\text{'}$ nurga all (joonis 6).

Põhjanaela kõrguse alusel (p. 1.2) on meil nüüd võimalik järeldada järgmist. Niisiis, antud geograafilisel laiusel $\psi$ on taevaekvaator horisondiga nurga all $({90}^{\circ }–\psi ),$ Tartu puhul, mille geograafiline laius on $58,5^{\circ },$ on see seega $31,5^{\circ }.$ Leiame nüüd Päikese maksimaalse ja minimaalse kõrguse horisondist. Meenutades joonist 5, näeme, et kui tahame leida Päikese kõrgust horisondist, siis tuleb saadud nurgale (ehk taevaekvaatori kõrgusele horisondist) liita Päikese maksimaalne ja minimaalne kõrgus taevaekvaatorist. Seega on Tartus Päikese maksimaalse ja minimaalse kulminatsiooni ajal  Päikese kõrgus horisondist 

Esimene arv, $55$ kraadi, vastab Päikese kõrgusele suvise pööripäeva keskpäeval; teine arv, $8$ kraadi, vastab Päikese kõrgusele talvise pööripäeva keskpäeval. 

Kuna Päikese maksimaalsed kõrgused horisondist on määratud asukoha geograafilise laiusega, siis on selge, et maakeral on geograafilised laiused, kus teatud perioodil Päike ei tõusegi üle horisondi või ei langegi allapoole horisonti. Nt tingimusest $90-\psi -23,5<0$ saame, et $\psi >66,5$ ehk põhjapool seda laiuskraadi Päike ei tõuse teatud perioodi vältel üle horisondi. Veidi edasi mõeldes on sarnaselt võimalik järeldada ka, et neil laiuskraadidel ei lasku Päike teatud perioodi vältel allapoole horisonti. Seda laiuskraadi (ja vastavat laiuskraadi lõunapoolkeral) nimetatakse polaarjooneks.

Lähtudes ülaltoodust, mõtisklege Päikese kõrguse üle ekvaatoril. Kas Päike on kogu aeg keskpäeval seniidis, on ta vaid pööripäeval (kui, siis millis(t)el) seniidis, ei ole kunagi seniidis?

Kuu liigub taevasfääril samuti ligikaudu ekliptika lähedal - erinevused on kuni $5$ kraadi. Kuu liigub taevasfääril tähtede suhtes kiirusega umbes ${12}^{\circ }$ ööpäevas, mis tähendab, et ta liigub taevasfääril oma läbimõõduga $(0,5$ kraadi) võrdse vahemaa umbes ühe tunniga. Kuna ekliptika oli Maa orbiidi tasand, siis võime järeldada, et Kuu orbiidi tasand on Maa orbiidi tasandiga umbes $5^{\circ }$ nurga all. Kuna Kuu liigub ligikaudu ekliptika lähedal, siis muutub selle kulminatsiooni kõrgus samamoodi nagu Päikeselgi (meenutame, et Päikese kõrgus Tartus oli ligikaudu $8$ kraadist kuni $55$ kraadini), kuid orbiidi kallet arvestades on kõikumised suuremad.  

Päikese järgi aja mõõtmisest

Aeg ja selle mõõtmine

Aega mõõdame Päikese järgi: meie ajaarvamise aluseks on aeg mingist ühest kulminatsioonist järgmise samasuguse kulminatsioonini ehk $24$ tunnine päikeseööpäev. Millist kulminatsiooni kellaaja arvestuse nullpunktiks võtta on põhimõtteliselt ükskõik. Kui on $24$ tunnine kellaaja tähistus, siis on nullpunktiks tavaliselt kesköö, ehk alumine kulminatsioon. Kui on $12$ tunnine tsükkel koos AM ja PM lisandusega, siis on nullpunktideks nii alumine kui ülemine kulminatsioon, kuid ööpäev on ikkagi fikseeritud mingi ühe ja sama kulminatsiooniga. Ent tähtede asendid ei kordu täpselt ööst öösse. Mingil kindlal kellaajal igal ööl tundub taevasfäär eelmise ööga võrreldes veidi piki horisonti nihutatud olevat. Selle nihke tõttu on tähtede järgi mõõdetud ööpäev (aeg, mille järel asuvad tähed taevasfääril taas täpselt samas kohas) – sideeriline ööpäev – päikeseööpäevast erineva pikkusega.

Maa osaleb samaaegselt kahes liikumises: Maa pöörleb ümber oma telje ja tiirleb samal ajal ümber Päikese. Vaatame joonist ja fikseerime Maal ühe punkti, mis on antud hetkel suunatud täpselt Päikesele. Vaatame aga olukorda siis kui Maa on teinud tapselt ühe pöörde ümber oma telje. Kuna samaaegselt on Maa liikunud ka oma orbiidil veidi edasi, siis see fikseeritud punkt ei vaata enam Päikesele. Maa peab seetõttu pöörlema veel veidi edasi ehk siis pisut rohkem kui ${360}^{\circ },$ et Päike jõuaks tagasi täpselt endisesse asendisse taevas. Seega on ajavahemik keskpäevast keskpäevani (päikeseööpäev) veidi rohkem kui üks tõeline pöörlemise periood. (sideeriline ööpäev). Meie planeet teeb $365$ päevaga tiiru ümber Päikese, mistõttu vastav lisanurk on ${360}^{\circ }/365=0,{986}^{\circ }.$ Kuna Maa läbib sellise nurga orbiidil $3,9$ minutiga, siis ongi päikeseööpäev sideerilisest ööpäevast $3,9$ minutit pikem (ehk sideeriline ööpäev on umbes ${23}^t{56}^m$ pikk).

Kuna inimeste elurütmi mõjutab esmajoones Päike, baseerub meie harjumuspärane aja mõõtmine siiski Päikese näival liikumisel ehk päikeseajal, mitte sideerilisel ajal. Päikeseööpäev, ehk lihtsalt ööpäev on jaotatud $24$ võrdseks tunniks (ja sealt edasi minutiteks ja sekunditeks). Kahjuks aga ei kulge tegelik päikeseaeg (ehk siis Päikese näiv liikumine) ühtlases tempos. Selle üheks põhjuseks on tõsiasi, et Maa orbiit ei ole mitte ringjoone vaid ellipsi kujuline (vt edaspidi) ning ka Maa liikumiskiirus oma orbiidil ei ole konstantne. Seega ei ole ka Päikese näiva liikumise kiirus konstantne – aasta vältel on ööpäevade pikkus veidi erinev (meenutage täheaja ja päikeseaja erinevuse põhjust). Teine asjaolu, mis päikeseaja kulgu mõjutab, on Maa pöörlemistelje kalle Maa orbiidi suhtes. Päikeseaja määramiseks kasutatakse taevaekvaatori koordinaate, kuid Päike liigub mööda ekliptikat. See tähendab, et Päikese liikumine piki ekliptikat tuleb projekteerida taevaekvaatorile. Selline projektsioon aga muutub, olles näiteks veidi erinev kevadel/sügisel ja suvel/talvel. Et saada ühtlaselt kulgevat päikeseaega, toodi sisse fiktiivse keskmise Päikese mõiste: see liigub piki taevaekvaatorit ühtlase nurkkiirusega ja teeb ühe aastaga täistiiru. Täistiiruks kuluvat aega nimetatakse troopiliseks aastaks ja see ongi meie elus kasutatav standardsuurus ja ühtlaselt kulgev aeg. Troopiline aasta on $365,2422$ Päikese-ööpäeva. Tegeliku Päikese ja fiktiivse Päikese liikumiste aegade erinevus on kuni $16$ minutit.

Päikese liikumine ja aastaajad

Ekliptika punkt, kus Päike asub taevaekvaatorist kõige kaugemal põhja pool (Päikese kääne on $+23,5$ kraadi), kannab nimetust suvine päikeseseisak. Jooniselt on näha, et Maa orbiidi selles punktis on meie planeedi põhjapoolus kõige lähemal Päikesele. See juhtub tavaliselt 21. juuni paiku – täpne kuupäev muutub aastast aastasse, kuna päevade arv aastas ei ole täisarv. Maa põhjapoolkeral asuvad punktid veedavad sellel päeval pikima osa ööpäevast päikesevalguses. Nii vastab suvise päikeseseisaku punkt ehk suvine pööripäev põhjapoolkera pikimale päevale ja lõunapoolkera lühimale päevale. Kuus kuud hiljem on Päike oma lõunapoolseimas punktis (Päikese kääne on $-23,5$ kraadi) ehk talvises päikeseisakus (umbes 21. detsembril) ja see on lühim päev põhjapoolkeral ning pikim päev lõunapoolkeral. Need kaks asjaolu – Päikese kõrgus horisondi kohal ja päeva pikkus – määravad aastaajad. Põhjapoolkeral on Päike suvel kõrgeimal horisondi kohal ja päevad on pikad, nii et temperatuur on tavaliselt palju kõrgem kui talvel, mil Päike on madalal ja päevad on lühikesed.

Kaks punkti, kus ekliptika lõikub taevaekvaatoriga, on võrdpäevsuse punktid. Nendel päevadel on päev ja öö ühepikkused. Kui Päike laskub põhjapoolkeralt lõunapoolkerale, siis on sügisene võrdpäevsus (umbes 21. septembril); kui vastupidi, siis on kevadine võrdpäevsus (umbes 21. märtsil). Ajavahemik ühest võrdpäevsuse hetkest järgmise võrdpäevsuseni – $365,242$ päeva – on tuntud kui troopiline aasta.

Analoogselt sideerilise ööpäevaga on kasutusel ka sideerilise aasta mõiste. Aeg, mille jooksul Maa teeb täistiiru ümber Päikese kannab minetust sideeriline aasta. Võib öelda, et ühe sideerilise aasta järel on antud kellaajal tähistaeva pilt taas endine, st nt samad tähtkujud kulmineerivad tähistaevas. Üks sideeriline aasta on $365,256$ tavalist päeva, st umbes $20$ minutit pikem kui troopiline aasta.

Päeva pikkus on defineeritud sellega, et Päike on ülalpool horisonti. Kui Päike liigub allapoole horisonti, ei lähe seetõttu siiski koheselt pimedaks. Põhjuseks on Päikese valguse hajumine atmosfääris. See tähendab, et on nn hämarik. Eristatakse kolme sorti hämarikku. Kui Päike on allpool horisonti $0$ kuni $6$ kraadi, nimetatakse seda aega tsiviilseks hämarikuks – tuleb hakata kasutama kunstlikku valgustust. Kui Päike on allpool horisonti $6$ kuni $12$ kraadi, nimetatakse seda nautiliseks hämarikuks – nimetus pärineb meresõitudel navigeerimisest. Kui Päike on allpool horisonti $12$ kuni $18$ kraadi, nimetatakse seda astronoomiliseks hämarikuks – see on seotud astronoomiliste vaatluste teostamisega. Edasist aega nimetatakse astronoomiliseks pimeduseks.

Tegelikult asuvad taevakehad ju ruumis (mitte taevasfääri kera tasandil) ja vaja on ka kolmandat koordinaati – kaugust Maast.

Üks meetod kauguste mõõtmiseks on triangulatsioon. See põhineb tavalisel geomeetrial ja on ka maapealsetes uuringutes laialdases kasutuses. Triangulatsioon moodustab esimese lähtealuse keerulises kosmose objektide kauguste mõõtmiste süsteemis, mis kokkuvõttes annab meile kosmilise kauguste skaala.

Teades kahest erinevast asukohast teostatud mõõtmisest vaatenurki objektini ja nende mõõtmiste teostamise vahekaugust, baasjoont, on lihtne arvutada välja ka kaugus objektini. Kuna nurkade mõõtmise täpsus ei saa kunagi olla kuitahes hea, on suuremate kauguste mõõtmiseks vaja pikemat baasjoont. Maiste mõõtmiste puhul on võimalik paigutada kaks teleskoopi teine teisele poole maakera ja mõõta siis nendest kohtadest objekti koordinaadid taevas mingite teiste objektide suhtes. Baasjooneks on siis Maa läbimõõt. Vaatleja näeb siis enamasti, et objekt on kahel erineval fotol kaugete tähtede suhtes pisut nihkunud. Mida suurem on nihe, seda lähemal on objekt. 

Nagu äsja märkisime, nihkumise nurkade mõõtmistäpsuse parandamiseks on hea kasutada võimalikult pikka baasjoont. Seetõttu kasutatakse sageli baasjoonena Maa poole aasta võrra erinevaid asukohti tiirlemisel ümber Päikese. Astronoomias nimetatakse parallaksiks tavapärselt poolt nihkumise nurgast. Kui sellele vastav baasjoon on Maa orbiidi keskmine raadius ehk $1\text{a}\ddot{\text{u}},$ siis nimetatakse vastavat parallaksi aastaparallaksiks. 

Teades kaugust objektini, on võimalik arvutada välja ka teisi vajalikke suurusi. Näiteks saab kaugust teades ja lihtsat täisnurkse kolmnurga tangentsi valemit kasutades arvutada objekti nurkraadiuse alusel selle objekti tõelise raadiuse. 

Nagu märgitud, tähistaeva objektide (esmajoones tähtede) parallakside ehk kauguste määramine triangulatsiooni abil on üldise kosmilise kauguste skaala alus. Seetõttu on astronoomias sellele ka suurt tähelepanu pööratud. Euroopa Kosmoseagentuur on suure hulga tähtede parallakside määramiseks ehitanud kaks spetsiaalset satelliiti - Hipparcos ja Gaia. Vt ka punkt 5.1.1 Tähtede kaugused ja liikumine.

Kuu on meie lähim naaber. Nagu Päikegi liigub see tähtede suhtes taevasfääril. Erinevalt Päikesest tiirleb Kuu ka tegelikult ümber Maa. Kui vaadelda seda süsteemi Maa põhjapooluse suunast, tiirleb Maa ümber Päikese vastupäeva (kellaosuti vastassuunas). Ka Kuu tiirleb ümber Maa samas suunas.

Maa orbiit ümber Päikese ei ole aga täiuslik ring, millest tulenevalt muutub Maa kaugus Päikesest $147$ ja $152$ miljoni km vahel. Kuu kaugus Maast muutub $356$ ja $407$ tuhande km vahel − laseriga mõõdetakse Maa−Kuu vahelist kaugust praegu $1cm$ täpsusega! Kuna Päikese tõeline läbimõõt on umbes $1,39$ miljonit km, Kuu läbimõõt $3470km,$ siis on kerge leida, et Päikese keskmine näiv läbimõõt on $32,6^{\prime }.$ Kuu näiv läbimõõt muutub vahemikus $29,3^{\prime }-33,5^{\prime }$ (keskmiselt $31,0^{\prime }).$ Kuu orbiidi tasand on Maa orbiidi tasandiga võrreldes umbes $5^{\circ }$ nurga all (nurk muutub $4^{\circ }{58}^{\prime }$ kuni $5^{\circ }{20}^{\prime }).$

Kuna Maa tiirlemine ümber Päikese ja Kuu tiirlemine ümber Maa on korrapärased perioodilised liikumised, siis muutub meie jaoks ka Kuu väljanägemine korrapäraselt. Kuu faas on määratud süsteemi Kuu−Maa−Päike konfiguratsiooniga ehk Päikese, Maa ja Kuu vahelise nurgaga ja see näitab kui suur osa Kuu pinnast on Maalt vaadatuna Päikese poolt valgustatud. Alustame näiteks Kuu loomisest ehk noorkuust: noorkuu ei ole taevas nähtav, sest Päikese poolt valgustatud osa jääb Maalt vaadatuna Kuu vastaspoolele. Seega on Päikese, Maa ja Kuu vaheline nurk $0^{\circ }$. Kuu liigub aga oma orbiidil edasi ning vastav nurk muutub. Seega suureneb iga päevaga ka nähtav osa Kuust ja seda nimetataksegi Kuu kasvavaks sirbiks. Nädal peale noorkuud on Päikese, Maa ja Kuu vaheline nurk ${90}^{\circ }$, näha poolt Kuu kettast ja seda nimetatakse esimeseks veerandiks. Järgmise nädala vältel Päikese, Maa ja Kuu vaheline nurk endiselt  jätkab kasvamist, jõudes kaks nädalat pärast noorkuud ${180}^{\circ }$ – kogu Kuu ketas on nähtav ning see on täiskuu. Edasised kaks nädalat on Kuu kahanev, Päikese, Maa ja Kuu vaheline nurk $180$ kraadist edasi kuni $360$ kradini, läbides kolmanda (ehk viimase) veerandi ja jõudes taas noorkuuks.

Vt animatsiooni: 

Niisiis, tegelikkuses loomulikult Kuu oma mõõtmeid ja kuju ei muuda – kogu Kuu ketas on olemas kogu aeg. Erinevalt Päikesest ei kiirga Kuu ise valgust vaid ainult peegeldab Päikese valgust. Pool Kuu pinnast on alati valgustatud, ent me ei pruugi kogu seda valgustatud osa näha. Täiskuu ajal me näeme tõesti kogu valgustatud osa, ent noorkuu ajal on Maa poolt näha just mittevalgustatud osa. Kuna Kuu ja Päikese näivad nurkläbimõõdud on ligikaudu sama suured, siis näeme ilusaid kaarekujulisi kasvavaid ja kahanevaid sirpe. Üks mõiste ka filmisõpradele – Kuu valgustatud ja valgustamata osa piirjoont nimetatakse terminaatoriks. Terminaator on seega sisuliselt öö ja päeva vaheline piirjoon Kuul. Tuntud filmi kontekstis siis pimeduse ja valguse piir. Kuna Kuul atmosfäär puudub, siis on üleminek järsk (hämarikku ei ole).

Kui vaadata Kuu tõusmise ja loojumise kellaaegu, siis võib täheldada, et antud maakohas Kuu tõuseb iga päev  veidi hiljem, kulmineerub hiljem ja loojub hiljem. (See, kuipalju hiljem, varieerub mõnedest minutitest kuni enam kui pooleteise tunnini.) Seetõttu on näiteks olemas ka ajad, mil Kuu tõuseb hommikul ja loojub õhtul ehk siis oleks sisuliselt näha vaid päeval. Nendel aegadel on Kuu sirp ka üsna väike ja loomulikult ei ole seetõttu päevavalguses Kuud näha. Varajases õhtutaevas on Kuu kasvava faasi ajal, hommikutaevas kahaneva faasi ajal (lähtudes Maa pöörlemise ja Kuu tiirlemise suundadest mõelge, miks see nii on). 

Kuu tõeline tiirlemise periood (kui vaataksime Maad ja Kuud kaugelt eemalt, tähtede juurest) ehk sideeriline kuu on $27,3$ päeva. Maalt vaadatuna jõuab selle aja jooksul Kuu samasse kohta taevasfääril (tähtede suhtes). Aega, mis kulub kogu faaside tsükli läbimisele (nt noorkuust noorkuuni), nimetatakse sünoodiliseks kuuks ja see on veidi pikem – umbes $29,5$ päeva. Sünoodiline kuu on veidi pikem sideerilisest kuust samal põhjusel miks päikese-ööpäev oli sideerilisest ööpäevast veidi pikem: kuna Maa tiirleb ümber Päikese, peab Kuu oma orbiidil samasse faasi jõudmiseks täistiirust veidi rohkem tegema. Meie tavaline keskmine kalendrikuu on tõenäoliselt inspireeritud Kuu näiva perioodi ehk sünoodilise kuu pikkuse alusel.

Päikese, Maa ja Kuu vastastikused asendid määravad ära selle, kui suurt osa Päikese poolt valgustatud Kuust me Maalt vaadatuna parajasti näeme (nt noorkuu vs täiskuu). Selle valgustatud osa suuruse ja suuruse muutuse suuna (kasvav või kahanev) alusel määratletakse Kuu faas. Sama Kuu faas kordub iga $29,5$ päeva tagant.

Maa faasid Kuul

Lahendus

Millised võiksid olla Maa faasid Kuul ja kuidas Maa kuutaevas näha on (tõuseb ja loojub või seisab paigal)?

Märkisime juba, et huvitava juhuse tõttu on Kuu ja Päikese nurkläbimõõdud taevas üsna sarnased − Päikese keskmine näiv läbimõõt on $32,6^{\prime }$ ja Kuu näiv läbimõõt on $31,0^{\prime }$. Seetõttu on meil võimalik näha päikesevarjutusi. Need leiavad aset ajal, mil Kuu asub täpselt Maa ja Päikese vahel (joonis 7.1).

Peame aga silmas pidama, et Kuu ei tiirle mitte Maa orbiidi tasandis vaid umbes $5^{\circ }$ võrra kallutatud orbiidil. Ekliptika ja Kuu orbiidi tasand lõikuvad piki ühte sirget. Ainult siis, kui Kuu ja Päike asuvad samaaegselt ka sellel sirgel või sellele sirgele väga lähedal, on võimalik päikesevarjutus. Mida tähendab selles lauses „väga lähedal”? See tähendab, et Kuu ja Päikese keskpunktide vaheline kaugus peab olema alla ${32}^{\prime }$ (et nende näivad kettad kasvõi servapidi kokku puutuks). Selline ilus joondumine toimub iga poole aasta tagant ning kui teha joondumiste täpne arvestus, siis kestab joondumine umbes kuu aega (täpsemalt 34,5 päeva), mida nimetatakse varjutuste hooajaks. 

Kui joondumine on ideaalne, toimub täielik päikesevarjutus ning nähtavale ilmuvad planeedid ja mõned heledamad tähed, sest Päikese valgus on praktiliselt täiesti kadunud. Näha on ka Päikese nõrka välist atmosfääri ehk krooni. Osalise päikesevarjutuse ajal ei läbi Kuu teekond täpselt Päikese keskpunkti ja vaid osa Päikese pinnast on varjatud. Ent seegi on huvitav. See, kuidas me mingit antud varjutust näeme, sõltub siiski ka meie asukohast maakeral − kui asume täisvarju piirkonnas (kui seda üldse on), siis näeme täielikku päikesevarjutust, kui asume poolvarju piirkonnas, siis näeme osalist päikesevarjutust. Täisvarju piirkonda nimetatakse umbraks, poolvarju piirkonda prenumbraks. Rõngakujulise päikesevarjutuse puhul, nagu ülalpool märkisime, täisvari meieni ei jõua isegi siis, kui asume varju keskel ning maapinnal on vaid poolvarju piirkond. 

Täielik päikesevarjutus on näha vaid väikesel osal Maa päevapoolest. Arvestades Kuu ja Päikese läbimõõte ja kauguseid on võimalik leida, et Kuu täisvarju läbimõõt on maksimaalselt $270km$ (sageli siiski alla $200km,$) mistõttu selle sattumine sinna, kus me oleme, on harv sündmus. Kuu vari libiseb üle Maa, sest Maa pöörleb ümber oma telje ja Kuu tiirleb ümber Maa. Täisvarju faas kestab antud maakohas üsna lühikest aega − kõige rohkem 7−8 minutit, enamasti 3−5 minutit, kuna Maa pöörleb ja meie ühes Maaga. Kuu poolvarju laius on oluliselt suurem, umbes $7000km$ (ligikaudu kahekordne Kuu läbimõõt). Mida kaugemal poolvarju keskkohast me asume, seda väiksem osa Päikese pinnast on Kuu poolt kaetud. Koos poolvarjuga on varjutuse kogukestvus paar tundi. 

Kuu varju pikkus on keskmiselt $374$ tuhat km ning see varieerub oluliselt ning üsna keeruliselt. Seetõttu ei pruugi täisvarju koonuse tipp alati Maani jõuda, täisvarju ei olegi ning tegemist on nn rõngakujulise varjutusega (joonis 7.1 vasakpoolne alumine skeem) − Kuu varju ümbritseb kitsas päikevalguse rõngas. Umbes pooled päikesevarjutused on rõngakujulised.

Kuid on olemas veel üks päikesevarjutuse liik −​​​​​​​ hübriidvarjutus. See on üsna haruldane ja huvitav ning see esineb vaid mõni kord sajandis. See on kombinatsioon rõngakujulisest ja täielikust varjutusest, millest siis ka nimetus. Kui hübriidvarjutuse vari liigub üle Maa, siis  algab see rõngakujulise varjutusega, mis muutub siis oma teekonnal täielikuks varjutuseks ja sageli seejärel tagasi rõmbakujuliseks varjutuseks. Ehk siis, kui vaatleja näeb varjutust hommikul või õhtul, siis näeb ta rõmgakujulist varjutust, kui aga näeb seda keskpäeval, siis on see tema jaoks täielik päikesevarjutus. Põhjuseks on see, et Maa pinna ja Päikese vahekaugus on veidi erinev erinevates Maakera punktides (serv või keskkoht).

Kui Kuu ja Päikese joondumine on ideaalne, siis on jälgitav täielik päikesevarjutus ning ilmuvad nähtavale planeedid ja mõned heledamad tähed, sest Päikese valgus on praktiliselt täiesti kadunud. Näha on ka Päikese hõredat ja nõrka välisosa ehk krooni.	Kui Kuu on päikesevarjutuse ajal liiga kaugel, mistõttu selle ketas ei kata Päikese ketast täielikult, näeme Kuu varju ümbritsevat kitsast päikesevalguse rõngast. Seda nimetatakse rõngakujuliseks varjutuseks.

Kui Maa asub Päikese ja Kuu vahepeal, blokeerib Maa Kuu jaoks Päikese valguse, pimendades nii Kuu ketta, mistõttu me näeme kuuvarjutust (joonis 7.2). Kuu liigub oma orbiidil läbi Maa varju ja me näeme Maa kaarekujulise varju serva üle Kuu pinna libisemas. Varjutatud Kuu piirkond omandab tumepunase varjundi, mis on tingitud Maa atmosfääris toimuvast Päikese valguse hajutamisest (punane hajub vähem) ja mis atmosfääris murdununa osalt siiski satub Kuu pinnale. Tavaliselt on Päikese, Maa ja Kuu joondumine ebatäpne, mistõttu Kuu ei lähe Maa täisvarjust läbi ehk Maa täisvari ei kata kunagi Kuud täielikult. Seda tuntakse osalise kuuvarjutusena. Osalise kuuvarjutuse puhul on seega mingi osa Kuu kettast tavapärase väljanägemisega, varjutatud osa aga tumepunane ning siiski pisut näha. Seetõttu ei ole osaline kuuvarjutus nii muljetavaldav nagu on osaline päikesevarjutus. Mõnikord läheb aga Kuu Maa täisvarjust tervikuna läbi, st varjutatud on terve Kuu ketas ja seega on tegu täieliku kuuvarjutusega. Ka täieliku kuuvarjutuse puhul on Kuu varjatud osa siiski tumepunasena näha, ehkki mitte selgelt. 

Täielik kuuvarjutus kestab nii kaua, kui palju vajab Kuu aega Maa varju läbimiseks – Maa nurkläbimõõt on Kuu omast umbes $2,5$ korda suurem ja seega on ka täisvarju kestmise aeg pikem – mitte üle umbes 100 minuti. Varjutus algab kogu Maa öise poolkera jaoks füüsikaliselt samaaegselt (kohalik aeg muidugi erineb) ja kestab sama aja. Terve ööine poolkera näeb kuuvarjutust.

Niisiis on päikese- ja kuuvarjutused antud maakohas küllaltki haruldased. Täpne arvutus annab meile tulemuseks, et igal aastal esineb kindlasti vähemalt kaks päikesevarjutust ent võib-olla ka neli (heal juhul isegi viis). Need on nähtavad aga üsna piiratud aladel. Kuuvarjutuse jaoks puhul leiame aga, et igal aastal ei pruugi kuuvarjutust olla. Kuna kuuvarjutus on aga näha kõikjal, siis keskmiselt näeb inimene umbes 50 varjutust eluea jooksul.

Enne arvutite aega oli varjutuste prognoosimine omaette tõsine töö, tänapäeval on arvutite abil võimalik varjutusi arvutada väga täpselt väga pikaks ajaks ette. Vaadake päikesevarjutuste toimumisi ja andmeid nende kohta nt http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html.

Planeetide näiv liikumine on keerukam kui tähtede liikumine, kuid juba aastaks 800 e.m.a. olid olemas küllalt head Veenuse, Jupiteri ja Marsi vaatluste seeriad. Vaatlustest nähtus, et planeedid võivad liikuda taevasfääril tähtede suhtes nii ühte- kui teistpidi.

Näiva liikumise järgi kuuluvad ühte rühma Merkuur ja Veenus, teise rühma kõik ülejäänud planeedid. Merkuur võib asuda Päikesest ülimalt ${28}^{\circ }$ nurkkaugusel, Veenus ${47}^{\circ }$ kaugukaugusel. Ülejäänud planeedid võivad asuda Päikesest igasugusel nurkkaugusel. Planeedid võivad liikuda kord ühte-, kord teistpidi. Näivate trajektooride „silmused” võivad olla küllalt erineva kujuga. Kui planeedi teekonna suund muutub, näib planeet justkui peatuvat ja vastavat aega nimetataksegi seisakuks.

Planeetide selliste trajektooride seletamiseks mõtles Kreeka astronoom Hipparchos välja epitsüklite süsteemi (joonis 8). See seletas planeetide „tagurpidi” liikumist ja ka nende veidi suuremat heledust sellel ajal. Hipparchose ideid kasutas umbes $250$ aastat hiljem Ptolemaios, kes paigutas Maa mitte deferendi keskele vaid keskkohast veidi eemale. Sellega saavutati planeedi liikumise ebaühtlane nurkkiirus. Ptolemaios tegi ka teisi täpsustusi ning tema konstrueeritud mudelid olid $5^{\circ }$ täpsusega. Ptolemaiose geotsentriline maailmasüsteem sai laialt tuntuks ja püsis kõigutamatuna $1400$ aastat.

Alles 1543. aastal ilmus trükist Koperniku (1473−1543) töö, milles Ptolemaiose süsteemi oli oluliselt modifitseeritud − Maa asemel oli süsteemi tsentris Päike. Kopernik töötas oma mudeli kallal ligi $20$ aastat, ent lõpuks ei andnud ka tema mudel suuremat täpsust kui Ptolemaiose mudel ning see oli tal kogu aeg probleemiks. Planeetide ebaühtlase kiiruse seletamiseks pidi ka Kopernik sisse tooma mitmeid väikesi epitsükleid. Koperniku epitsüklite põhjuseks oli ringorbiitide eeldus ning tema epitsüklid olid väiksemad kui Ptolemaiose omad. Ent lisaks tema õigele eeldusele, mille kohaselt planeedid tiirlevad tegelikult ümber Päikese, oletas Kopernik korrektselt ka seda, et tähed asuvad väga kaugel (muidu peaks olema täheldatav nende aastaparallaks) ja et Maa pöörleb ümber oma telje.

Koperniku mudelis seletuvad planeetide tagurpidi liikumised kergelt projektsiooni efektina, sest planeetidel on orbiitidel erinevad kiirused. Koperniku mudelis oli planeetide „tagurpidi'' liikumine näiv, Ptolemaiose mudelis aga tõeline (joonis 8.2).

Enne kui vaatleme planeetide orbiite täpsemalt, toome ära mõned mõisted. Vastavalt nende asendile Maa suhtes nimetatakse Merkuuri ja Veenust siseplaneetideks ning kõiki ülejäänuid välisplaneetideks. Kui välisplaneet asub Maad ja Päikest ühendaval sirgel ning Päikese taga, nimetatakse seda asendit planeedi ühenduseks; kui aga Maa taga, siis planeedi vastasseisuks ehk opositsiooniks. Loomulikult on planeedi vaatlemiseks parim aeg just vastasseisu aeg, sest planeet on Maale kõige lähemal ja ta on näha pimedal ajal kõige kauem (joonis 9). Siseplaneedil vastasseisu ei ole ent ühendusi on kaks. Kui siseplaneet asub täpselt Päikese ja Maa vahel, on tegemist alumise ühendusega; kui Päikesest teisel pool, siis ülemise ühendusega. Asendeid, kus siseplaneet on Päikesest maksimaalselt eemaldunud, nimetatakse elongatsioonideks. Need on siseplaneedi parimad vaatlusajad. Meenutame, et siseplaneedid Merkuur ja Veenus võisid asuda Päikesest ülimalt ${28}^{\circ }$ ja ${47}^{\circ }$ kaugukaugusel − need on just elongatsiooni asenditele vastavad nurkkaugused.

Järgmist sammu planeetide liikumise selgitamisel oli võimalik teha alles pärast seda, kui kogunenud olid põhjalikud vaatlusandmed. 16. sajandi parim astronoom-vaatleja, Tycho Brahe (1546−1601), saavutas planeetide liikumise jälgimisel ja koordinaatide määramisel 21 aasta vältel täpsuse vähemalt $1^{\prime }$ või rohkemgi. Tycho Brahe vaatlustulemusi asus tõlgendama Johann Kepler (1571−1630). Esmalt leidis ta, et kõikide planeetide orbiitide tasandid läbivad Päikest, kuid võivad üksteise suhtes olla kergelt erinevate nurkade all.

Marsi trajektoori kirjeldamiseks proovis Kepler mitmeid erinevaid mudeleid, kuni lõpuks sõnastas:

Detailsel Marsi orbiidi uurimisel sõnastas Kepler seaduse:

Vaid sellisel juhul kirjeldab mudel vaatlusi vaatlusvigade ($1^{\prime }$) piires. Vähimat kaugust ellipsi fookusest nimetatakse periheeliks, suurimat kaugust afeeliks (vt joonis 10). Kuna pindalad on võrdsed, ent afeel on suurem kui periheel, siis saame siit kohe järeldada, et planeedi kiirus periheelis on suurem, kui afeelis.

Hiljem laiendas Kepler oma tulemusi ka teistele tuntud planeetidele (Merkuur, Veenus, Maa, Marss, Jupiter ja Saturn). Arvestades planeetide suhtelisi asendeid ja kiiruseid orbiitidel, õnnestus Kepleril selgitada planeetide näivate heleduste ja liikumiskiiruste selliseid nüansse, mida ringorbiitide puhul isegi epitsükleid arvestades ei osatud. 

Lõpuks leidis Kepler ka, et:

Meenutame, et sideeriline tiirlemisperiood on nö „tõeline" tiirlemisperiood ehk siis selline, nagu planeedi tiirlemine ümber Päikese paistaks eemalt („tähtede" juurest) vaadatuna.

Eriti lihtsaks muutub Kepleri kolmas seadus siis, kui valime aja ühikuks (Maa) aasta ja pikkusühikuks astronoomilise ühiku ehk siis, kui võrdleme mingi planeedi liikumist Maa liikumisega. Üks astronoomiline ühik on Maa orbiidi suurema pooltelje pikkus – sisuliselt ligikaudu Maa ja Päikese vaheline kaugus ehk  $149597870700m$ (ligikaudu $150$ miljonit kilomeetrit). Nendes aja ja kauguse ühikutes võime kirjutada Kepleri kolmanda seaduse suvalise planeedi jaoks kujul 

kus $P$ on planeedi sideeriline tiirlemisperiood ja $a$ on selle suure pooltelje pikkus. See seadus annab, et planeetide „aasta” $P$ suureneb kiiremini kui selle orbiidi mõõde $a$. Näiteks Saturn asub kaugusel $9,5$aü, kuid selle periood on $30$ aastat.

Kepleri seadused valemites

Planeedi orbiidiks on ellips, mille ühes fookuses on Päike. Ellipsi üldvalem ristkoordinaatides $(x,y)$ on

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

kus $a$ ja $b$ on ellipsi pikem ja lühem pooltelg. Ellipsi lapikust iseloomustatakse sageli selle ekstsentrilisusega $e,$ mis defineeritakse kui

$e=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}.$

Planeetide liikumise korral avalduvad planeetide kaugused Päikesest  $r$ kujul

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \psi }.$

 

See on ellipsi võrrand polaarkoordinaatides; hüperbooli puhul tuleb lugejat korrutada $-1$-ga. Nurga $\psi$ nimi on tõeline anomaalia.

Niimoodi defineeritud elliptilistel orbiitidel on keha kiirused periheelis ja afeelis

$v_p^2=\frac{GM}{a}\left(\frac{1+e}{1-e}\right),$

$v_a^2=\frac{GM}{a}\left(\frac{1-e}{1+e}\right)$

ja nende suhe on

$\frac{v_p}{v_a}=\frac{1-e}{1+e}.$

Neis valemites on $G$ gravitatsiooni konstant ja $M$ on ellipsi fookuses oleva keha mass. Kuna ellipsi ekstsentrilisus on alati $e<1$, on kiirus periheelis alati suurem kui afeelis. Väga elliptiliste orbiitide puhul võib see erinevus olla üsna suur.

Lõpuks leidis Kepler, et planeetide sideeriliste tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad üksteisesse nii nagu nende orbiitide suurte pooltelgede pikkuste kuubid (Kepleri 3. seadus)

$\frac{P^2}{a^3}=k,$

$\frac{P_1^2}{P_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}.$

Tabelis toodud andmetest on näha, et planeetide orbiidid on üsna ringilähedased (eksentrilisus on väike). Erandiks on Merkuur, mille ekstsentrilisus on nii suur, et Merkuuri kaugus Päikesest efeelis on tervelt 1,5 korda suurem kui periheelis. Tabelist on käha, et Kepleri 3. seadus kehtib hästi ehk siis, et parempoolseimas veerus toodud numbrid on üsna sarnased ühega. Põhjustest tuleb juttu peagi, kui räägime täpsustustest Kepleri seadustesse.

Tabel 1

Planeetide orbiitide suurte pooltelgede pikkused $a$ (astronoomilistes ühikutes), tiirlemisperioodid $P$ (aastates), ekstsentrilisused $e$ ja Kepleri 3. seaduse konstantide $k$ väärtused

	$a$	$P$	$e$	$\frac{P^2}{a^3}$
Merkuur	$0,387$	$0,241$	$0,206$	$1,002$
Veenus	$0,723$	$0,615$	$0,007$	$1,001$
Maa	$1,000$	$1,000$	$0,017$	$1,000$
Marss	$1,524$	$1,881$	$0,093$	$1,000$
Jupiter	$5,203$	$11,86$	$0,048$	$0,999$
Saturn	$9,555$	$29,42$	$0,054$	$0,998$
Uraan	$19,19$	$83,75$	$0,047$	$0,993$
Neptuun	$30,07$	$163,7$	$0,009$	$0,986$

Kepleri seadused on otseselt tuletatavad lähtudes Newtoni seadustest (sh gravitatsiooniseadusest). Toome siinkohal näitena ühe lihtsa illustratsiooni: ringorbiitide eeldusel on kolmanda seaduse tuletamine väga kerge. Võrdsustades kesktõmbejõu gravitatsioonijõuga, saame

kus $M$ on Päikese mass. Avaldades kiiruse ringorbiidi tiirlemisperioodi kaudu $v=2\pi r/P$,  saame Kepleri 3. seaduse kujul

Kirjutades selle seose planeedi 1 jaoks ja planeedi 2 jaoks (tiirlemisperioodile ja orbiidi raadiustele lisame indeksid 1 ja 2) ning jagades saadud seosed, saame

Nende seoste alusel on võimalik määrata ka nt planeetide masse. Kuna eeldasime ringorbiite, on saadud seos ligikaudne.

Newtoni liikumisseadused ja gravitatsiooniseadus andsid Kepleri seadustele teoreetilise selgituse. Newtoni teooriast tulenesid ka Kepleri esimese ja kolmanda seaduse täpsustused. Osutus, et planeedid ei tiirle täpselt Päikese ümber. Nii Päike kui ka planeet tiirlevad nende ühise masskeskme ümber. Kuna Päike ja planeet tunnevad võrdset ja vastassuunalist gravitatsioonijõudu (Newtoni kolmas seadus), siis peab ka Päike planeedi gravitatsioonilise mõju tõttu liikuma. Päike on aga planeedist niivõrd palju raskem, et süsteemi planeet–Päike süsteemi ühine masskese asub Päikesele oluliselt lähemal kui planeedile. 

Seetõttu on Kepleri seadus ka üsna täpne. Niisiis, täpne Kepleri esimene seadus on:

Kui massid on võrreldavad, asub masskese nende objektide vahel – paigas, kus asub ka mõlema objekti trajektooride fookus. Kui ühe keha mass on suurem, asub masskese sellele kehale lähemal ja selle keha orbiit on ka väiksem. Kui masside erinevus on selline nagu Maa ja Päikese puhul, mahub Päikese orbiit Päikese sisemusse. Kuid Jupiteri puhul asub süsteemi Jupiter–Päike süsteemi masskese Päikesest pisut väljaspool.

Päikesesüsteemi masskeset nimetatakse barütsentriks. Selle liikumine ruumis Päikese suhtes on kujutatud joonisel.

Ka Päikese ja planeedi puhul on Kepleri kolmanda seaduse parandus väike. Muude kehade puhul võib see olla aga oluline. Newtoni teooria põhjal on võimalik näidata, et täpne seos planeedi orbiidi suure pooltelje $a$ (mõõdetud astronoomilistes ühikutes) ja planeedi tiirlemisperioodi $P$ (mõõdetud aastates) vahel on  

kus $M_{\text{kogu}}$ on kahe keha kogumass ja ühik ${\text{M}}_{\odot }$  tähistab Päikese massi (tavapärane tähistus). Märkame, et Kepleri kolmanda seaduse üldstruktuur säilib, ehkki võrdeteguri täpne väärtus ei ole kõikide planeetide puhul sama. Kuna aga Päikese mass on kõikide planeetide massidest palju suurem, on võrdetegur küllalt heas lähenduses sama. Lisaks, Kepleri seadused ei arvesta ka teiste planeetide mõju.

Kepleri seadused võimaldavad konstrueerida päikesesüsteemi suhteliste mõõtmete mudelit kuid ei ütle midagi tegelike mõõtmete kohta. Kuna Kepler kasutas baasjoonena Maa orbiiti, avalduvad kaugused samuti vaid suhteliste mõõtmetena Maa orbiidi suhtes. See on sama, nagu meil oleks Eesti kaart, millel oleks antud kõik kaugused Tartu – Tallinn kauguse ühikutes, ent nende väärtused kilomeetrites puuduksid. 

Kahjuks ei ole võimalik määrata Päikese parallaksi kasutades baasjoonena Maa läbimõõtu. Päike on selleks liiga hele ja liiga suur. Enne 20. sajandi algust olid täpseimad astronoomilise ühiku määramised tehtud Merkuuri ja Veenuse triangulatsiooni abil ajahetkel, mil need läksid täpselt Päikese ja Maa vahelt läbi. Kuna Päikese eest läbiminekut saab määrata väga täpselt, kasutati seda planeedi täpse asendi määramiseks taevas. Seda vaatlust saab teostada aga Maa erinevates punktides ja seejärel lihtsa geomeetria abil arvutada ka kaugus planeedini. Näiteks on taevasfääril Veenuse asukoha nihe siis, kui ta on Maale kõige lähemal, vaadelduna Maa vastasservadest, umbes $1^{\prime }$ – see on teleskoopidega kergelt mõõdetav. Kasutades parallaksi definitsiooni ja võttes baasjooneks Maa raadiuse, saame, et see nihe vastab kaugusele $44$ miljonit km. Kepleri 3. seaduse abil Veenuse ja Maa jaoks on nüüd Maa kaugus Päikesest ehk astronoomiline ühik juba lihtsalt arvutatav ja vastuseks on $150$ miljonit km.

Kaasajal on absoluutset mastaapi võimalik täpsemini määrata radari abil, kus raadiosignaal peegeldub planeedilt tagasi. Teades valguse kiirust on kaugus lihtsasti arvutatav. Just Veenuse abil on tehtud astronoomilise ühiku kõige täpsemad määramised. 

Kepleri seaduste tuletamine (lihtsustatud versioon)

Eeldame lihtsustatult, et Päike ei liigu (st et süsteemi masskese on Päikese keskel).

Kepleri esimene seadus 

Lähtume energia ja impulsi jäävuse seadustest. Olgu planeedi mass $m$ ja Päikese mass $M$. Siis süsteemi koguenergia $E$ on kineetilise ja (negatiivse) gravitatsioonilise potentsiaalse energia summa

$E=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{GMm}{r},$

kus $r$ on planeedi kaugus Päikesest ja $v$ on planeedi liikumise kiirus. Planeedi impulssmoment avaldub vektorkorrutisena

$\overrightarrow{L}=m\left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}\right)$

ehk rakendades nurga siinuse definitsiooni

$L=mvr\sin \alpha =mvh,$

kus $h=r\sin \alpha$ on planeedi kiirusvektori sihilt tõmmatud ristkaugus Päikesele (vt joonis) ja $\alpha$ on raadiusvektori ja kiirusvektori vaheline nurk. Jooniselt on näha, et $h\le r$.

Asendades teise avaldise esimesse (st asendades kiiruse), saame 

$\frac{L^2}{-2mE}\frac{1}{h^2}-\frac{GMm}{-E}\frac{1}{r}=-1.$

 

$\frac{\left[\right(L/m{)}^2/(-2E/m)]}{h^2}-\frac{\left[GM/\right(-E/m\left)\right]}{r}=-1.$

Tavapäraste polaarkoordinaatide $(r,\theta )$ asemel on siin koordinaatideks $(r,h)$. Energia $E$ võib siin olla negatiivne või positiivne.

Seda me siin ei näita (see nõuab lehekülje jagu geomeetrilist tuletamist), kuid osutub, et tavaline ellipsi võrrand nendes uutes koordinaatides $(r,h)$ avaldub kujul

$\frac{b^2}{h^2}-\frac{2a}{r}=-1$

ning hüperbooli võrrand kujul

$\frac{b^2}{h^2}-\frac{2a}{r}=+1.$

Suurused $a$ ja $b$ on tavapärased ellipsi suure ja väikese pooltelje pikkused, hüperbooli puhul ei ole nende tõlgendused nii piltlikud. Matemaatikahuviline lugeja võib koordinaatide $(r,\theta )$  ja $(r,h)$ kohta lugeda https://en.wikipedia.org/wiki/Pedal_equation  (seal on $h$ asemel võetud tähistuseks $p$).

Kuna planeetide liikumisel on koguenergia $E$ negatiivne, siis annab energia ja impulssmomendi jäävus ellipsi võrrandi ning liikumine toimub mööda elliptilist orbiiti. Võrreldes meie saadud võrrandit äsjaviidatud ellipsi võrrandiga on võimalik kergelt saada ka ellipsi pooltelgede pikkuste avaldised

$a=\frac{GM}{-2E/m},b=\frac{L}{m}\frac{1}{\sqrt{-2E/m}}.$

Kui koguenergia $E$ on positiivne, siis toimub liikumine mööda hüperbooli. Kui $E=0,$ siis vastab see üleminekule ellptiliselt orbiidilt hüperboolsele orbiidile ehk liikumisele mööda parabooli (vaadake allpool kirjeldatud koonuslõikeid). Eelpool toodud tuletuskäigus ei ole vaja kohe algul lihtsalt energiaga $E$ läbi jagada.

Kepleri teine seadus

Eelpool toodud jooniselt on võimalik kergelt ette kujutada, et kui planeet nihkub aja $dt$ jooksul nurga $d\theta$ võrra, siis selle aja $dt$ jooksul raadiusvektori poolt kaetud sektori pindala on $dA=r^{2}d\theta /2.$  Peame näitama, et $dA/dt$ on konstant. Niisiis,

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r\frac{rd\theta }{dt}=\frac{1}{2}r{v}_{\theta }=\frac{1}{2}rv\sin \alpha =\frac{1}{2}vr\sin \alpha =\frac{1}{2}vh=\frac{L}{2m}$

ning see on tõesti konstant. See on otseselt seotud impulssmomendi jäävusega.

(3) Kepleri kolmas seadus

Kepleri teine seadus oli, et ajaühikus kaetud sektori pindala $dA/dt$ on konstant. Kui rakendame seda kogu orbiidile, siis on pindalaks kogu ellipsi pindala $A$ ja aeg on planeedi tiirlemise periood $T$ ehk me võime kirjutada 

$\frac{A}{T}=\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}.$

Kuna ellipsi pindala on $A=\pi ab$, siis saame 

$T=\frac{2\pi ab}{L/m}.$

Ellipsi lühikese pooltelje pikkuse $b$ avaldis oli meil varem saadud. Teisendame seda veidi

$b=\frac{L}{m}\sqrt{\frac{m}{-2E}}=\frac{L}{m}\sqrt{\frac{a}{GM}}.$

Nüüd saame perioodi avaldise

$T=\frac{2\pi }{\sqrt{GM}}{a}^{3/2}$

ehk

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3.$

Planeetide orbiidid ja koonuslõiked

Saime Kepleri esimese seaduse tuletamisel, et keha orbiidiks on kas ellips või hüperbool. See jääb kehtima ka siis, kui vastav tuletuskäik täpselt läbi teha ning mitte eeldada, et Päikese mass (või tsentraalkeha mass) on väga palju suurem liikuva keha massist. Elliptiline orbiit hõlmab erijuhtumina ka ringorbiiti (ellipsi pooltelgede pikkused on võrdsed) ning piirjuhtu elliptilise ja hüperboolse orbiidi vahel. 

Osutub, et kõikide liikumiste puhul, kus jõud on pöördvõrdeline kauguse ruuduga, on punktmassi orbiit üks neljast koonuslõikest – ring, ellips, parabool või hüperbool. Vastavate kõverate parve võib võtta abstraktselt matemaatilisena, kuid neid saab ka lihtsalt geomeetriliselt illustreerida koonuslõigete abil (vt joonist).

Milline orbiit igal konkreetsel juhul realiseerub, sõltub liikumise algtingimustest (energiast ja liikumise suunast). Kui planeedi koguenergia on negatiivne ehk potentsiaalse energia absoluutväärtus on suurem kui kineetiline energia, siis on orbiit ellips, kui koguenergia on null, siis on parabool. Kui koguenergia on positiivne (ehk kineetiline energia on suurem, kui potentsiaalse energia absoluutväärtus, siis on orbiit hüperbool. Kuna nii ideaalne ringorbiit kui ka täpne piirjuht paraboolse orbiidi näol vajavad oma realiseerumiseks ülihead algtingimuste “häälestumist”, siis reaalselt esinevad kosmiliste objektide liikumisel vaid elliptilised ja hüperboolsed orbiidid. Nagu nägime, planeetide orbiidid päikesesüsteemis on üsnagi ringilähedased, kuid nad on siiski elliptilised. 

Kepleri seadused kirjeldavad mingi väiksema massiga keha liikumist oluliselt massiivsema keha gravitatsiooniväljas. Kepleri seaduste põhjendus tuleneb Newtoni gravitatsiooniteooriast ja liikumisseadustest, mille alusel on Kepleri seaduseid võimalik üldistada nt ka sarnaste massidega kehade liikumisele. Kepleri seadused on:

(1) planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike;

(2) Planeedilt Päikeseni tõmmatud kujuteldav joon katab võrdsetes ajavahemikes võrdse pindala;

(3) Planeetide sideeriliste tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad üksteisesse nii nagu nende orbiitide suurte pooltelgede kuubid.

Gravitatsiooniseadus, mis kirjeldab planeetide orbiite Päikese ümber, kirjeldab ka planeetide kaaslaste ja tehiskaaslaste orbiite. Kõik Maa ümber liikuvad tehiskaaslased liiguvad orbiitidel, mis on määratud Maa gravitatsioonijõu ja raketi stardil antud algkiiruse poolt. 

Mõned kosmoselaevad võivad omandada piisavalt kiirust, et Maa gravitatsiooniväljast lahkuda ja mitte kunagi siia tagasi pöörduda. Sellist kiirust tuntakse paokiiruse nime all.

Ringkiiruste ja paokiiruste vahepealsete kiiruste puhul jääb keha elliptilisele stabiilsele orbiidile tiirlema. Kehade puhul, mis omavad paokiirusest suuremat kiirust, öeldakse, et nende liikumine ei ole suletud ja orbiit ei ole enam ellips. Sellisel juhul on trajektoor hüperbool. Kui Kepleri esimeses ja teises seaduses vahetada sõna ellips sõnaga hüperbool, siis kehtivad endiselt need seadused ka sellel puhul. Kepleri kolmas seadus ei saa aga kehtida põhjusel, et hüperbooli puhul ei saa rääkida perioodist. 

Paokiirusest, matemaatiliselt

Ümber mingi sfäärilise massijaotusega objekti liikumise ringkiirus defineeritakse seosega

$v_r^2\equiv R\frac{d\Phi }{dR},$

kus $\Phi$ on gravitatsioonipotentsiaal ja $R$ on kaugus objekti (näiteks Maa) keskpunktist. Arvestades, et antud juhul on potentsiaaliks punktmassi potentsiaal

$\Phi =-\frac{GM}{R},$

milles massina $M$ tuleb mõista kaugusest $R$ sissepoole jääva osa massi, saame peale tuletise võtmist, et ringkiirus kaugusel $R$ on

$v_r=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$

Meenutame veelkord, et $M$ on siin kaugusest $R$ sissepoole jääva osa mass. Näeme, et ringkiirus (ringorbiidil liikumise kiirus) on seda suurem, mida suurem on tsentraalne mass ning muutub (kahaneb) pöördvõrdeliselt ruutjuurega kaugusest. See valem kehtib ka juhul, kui mingi osa objekti massijaotusest asub kaugemal kui $R.$ Ainus nõue on sfääriliselt sümmeetriline massijaotus. Paneme ka tähele, et tulemus ei sõltu tiirleva keha massist. Kuid eeldatakse, et tiirlev keha on punktmass (kui tiirlev keha ei ole punktmass, siis vt p. 3.4).

Kuna ringkiirusega liikuv objekt (nt kosmoselaev) ei kuku Maale tagasi, on seda kiirust hakatud nimetama esimeseks kosmiliseks kiiruseks. Maa jaoks on selle väärtus $7,8km/s.$ Selle arvutamisel on massiks võetud Maa mass ja raadiuseks Maa raadius. Eeldasime, et kosmoselaev tiirleb küllalt lähedal Maa pinnale. Üsna kõrgel tiirlevate GPS-satelliitide puhul tuleb $R$ all mõista nende satelliitide kaugust Maa keskpunktist ja nende puhul on ringkiirus oluliselt väiksem (u $4km/s).$ 

Euroopa Liidu navigatsioonisüsteemi Galileo navigatsioonisatelliit.	Galileo navigatsioonisüsteem koosneb kokku $30$ satelliidist, mis paiknevad maapinnast $23000km$ kõrgusel. Galileo täpsus on oluliselt parem kui praegusel GPS-süsteemil.

Iga keha omab mingit paokiirust. Nii nagu ringkiirus, nii ka paokiirus ei sõltu eemalduva keha massist, olles sama näiteks õhu molekuli ja kosmoseaparaadi jaoks. Näeme, et sõltuvus tsentraalkeha massist on samasugune, kui oli ringkiiruse puhul.  Näeme ka, et mida kaugemal me kehast asume, seda väiksem on paokiirus, st seda kergem on lahkuda.

Teine kosmiline kiirus on määratletud kui kiirus, mis on vajalik Maa gravitatsioonist vabanemiseks ehk keha liikumiseks lõpmata kaugele (ignoreerides peale Maa kõiki teisi kehasid). Selle kiiruse saame kergelt arvutada energia jäävusest, võttes alg- ja lõppunktiks vastavalt Maa ja lõpmatuse. Kuna lõpmatuses on nii kineetiline kui potentsiaalne energia nullid, siis peame nõudma, et ka algpunktis peab koguenergia ehk potentsiaalse ja kineetilise energia summa olema null

$\frac{m{v}^2}{2}+(-\frac{GMm}{R})=0.$

Peale testkeha massiga $m$ taandamist ja avaldades sealt kiiruse, saame Maa gravitatsioonist vabanemise kiiruseks

$v_{\text{pao}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Sellist mingi keha gravitatsioonist vabanemise kiirust nimetataksegi paokiiruseks. Näeme, et saadud kiirus on ringkiirusest $\sqrt{2}$ korda suurem. Maa puhul on paokiirus ehk teine kosmiline kiirus $11,2km/s$. Meenutades Kepleri seaduste osa, näeme, et see vastab paraboolse orbiidi kiirusele.

Ulmekirjanduses esineb ka mõiste kolmas kosmiline kiirus. See on kiirus, mis on vajalik Päikesesüsteemi gravitatsiooniväljast vabanemiseks ehk siis lennuks teiste tähtede juurde. Sealjuures eeldatakse, et stardipunktiks on Maa ning et vastav kiirus peab olema minimaalne kiirus. See tähendab, et eeldatakse, et võimalik on kasutada ka Maa tiirlemiskiirust, kuid ületada tuleb ka Maalt vabanemise energia. Sellisel juhul tuleb kolmanda kosmilise kiiruse väärtuseks $16,7km/s.$

Neljas kosmiline kiirus on selline kiirus, mis on vajalik meie Galaktikast lahkumiseks.

Kuidas on võimalik energia jäävuse seaduse alusel saada valem paokiiruse arvutamiseks? Võrrelge näiteks, milline võiks olla paokiiruste erinevus Maal ja Kuul (arvutusi ei ole vaja teha).

Kui me ei käsitle kehasid punktmassidena, siis peame arvestama, et gravitatsioonijõud, mis mõjuvad keha erinevatele osadele, on erinevad. Mingile ruumilisele kehale mõjuvate gravitatsioonijõudude erinevust nimetatakse loodeliseks jõuks.

Vaatame esmalt Maa ja Kuu vastasmõju. Kuna gravitatsioonijõud sõltuvad kahe objekti vahelisest kaugusest, on Kuu gravitatsiooniline mõju tugevam sellele Maa küljele, mis asub Kuule lähemal. See gravitatsioonijõudude vahe Maa lähikülje ja Maa keskpunkti vahel on vaid umbes $3\%$, ent tekitab märgatava loodelise kühmu. Maa muutub veidi väljavenitatuks, kusjuures selle pikem telg on Kuu poole suunatud.

Loodeliste jõudude tugevuse valem sarnaneb tavalise gravitatsioonijõu valemile, kuid selle nimetajas on kaugusest sõltuvus kuubis (gravitatsioonijõu erinevuse saamiseks tuleb jõu avaldisest tuletis võtta):

Ükski keha looduses ei ole absoluutselt jäik ning seetõttu põhjustavad jõudude erinevused kehade deformatsioone. Deformeeruvad nii Maa kivimid kui ka vesi. Suurimat deformatsiooni tunneb ookean (tõus), sest vedelikku on kergem liigutada. Ka Maa vastaspunktis Kuu suhtes tekib tõus. Seal on Kuu tõmme nõrgem ja vesi jääb Maa keskpunkti tõmbega võrreldes veidi maha. Seega tekivad tõusud antud asukohas kaks korda ööpäevas.

Nii Kuu kui ka Päike tekitavad Maal loodelisi jõude. Ehkki Päike asub Maast $375$ korda kaugemal kui Kuu, on see umbes $27$ miljonit korda massiivsem, mistõttu selle tekitatud loodelised jõud moodustavad Kuu tekitatust umbes pool. Seetõttu esineb tegelikult kaks loodelist kühmu – üks Kuu-suunaline ja teine Päikese-suunaline, ning nende vahekord muutub kuu ja aasta jooksul. Kui Maa, Kuu ja Päike asuvad samal joonel, siis looded võimendavad teineteist ja seega esinevad suurimad tõusud ja mõõnad noorkuu ja täiskuu ajal. Sisemeredes (nt meie Läänemeres) on tõusud vaid mõned kuni kümmekond sentimeetrit, ookeaniäärsetes kitsastes lahtedes aga isegi tublisti üle $10$ meetri.

Maa pöörleb ümber oma telje tähtede suhtes $23$ tunni ja $56$ minutiga – $1$ sideeriline ööpäev. Ent näiteks teatud tüüpi korallide uurimised (päevased ja aastased kasvumärgid) osutavad, et see ei ole alati nii olnud ning et Maa pöörlemine aeglustub pidevalt. Pool miljardit aastat tagasi oli ööpäeva pikkus umbes $22$ tundi ja aasta sisaldas peaaegu $400$ päeva.

Maa pöörlemise aeglustumise peamiseks põhjuseks on Kuu loodelised jõud. Tegelikult ei ole Maa kuju deformatsioon suunatud täpselt Maa-Kuu joont pidi. Hõõrdumise tõttu pinnases ja ookeanides on Maa kuju muutumisel inerts ning Maa pöörlemine veab tõusu-mõõna endaga näivalt kaasa ning selle kühm (loodepais) on Maa-Kuu joone suhtes Maa pöörlemise suunas veidi nihutatud. Kuu gravitatsiooniline tõmme püüab seda aga takistada (st pöörata loodepaisu enda suunas), st see aeglustab Maa pöörlemist (vt joonist). 

Loodeliste jõudude toimega on seletatav ka Kuu aeglane kaugenemine Maast. Kuna Maa pöörlemiskiirus tasapisi aeglustub, kuid süsteemi Maa - Kuu kogu impulssmoment peab olema jääv, siis peab eelnimetatud aeglustumise kompenseerima Kuu tiirlemisega seotud impulssmomendi kasv. Kuu eemaldub meist kiirusega $3,8cm$ aastas (Kuu kauguse mõõtmise täpsus on vähem kui 1 cm).

Nii nagu Kuu pidurdab Maa pöörlemist, nii pidurdab Maa ka Kuu pöörlemist ning oluliselt tugevamalt! See pidurdamine oli väga kiire, kestis vaid mõned miljonid aastad. Pidurdamine lõpeb, kui pöörlemine jõuab tasakaalulisse seisundisse, kus pöörlemise periood on võrdne tiirlemise perioodiga. Sellisel juhul kõneldakse sünkroonsest pöörlemisest. Seetõttu ongi Kuu pööratud Maa poole kogu aeg sama küljega. Sünktoonset pöörlemist esineb Päikesesüsteemis veel mitmel juhul (vt p. 11).

Eelpool kirjeldatud maakera kuju deformatsiooni Kuu ja Päikese gravitatsiooni tõttu saab üldistada ka teistele kehadele. Vaatame mingit väiksemat keha suurema keha gravitatsiooniväljas. Väikest keha hoiab koos tema enda gravitatsioonijõud. Kuid kui see keha on väga lähedal suuremale kehale, siis võib juhtuda, et suurema keha poolt mõjuv loodeline jõud on suurem kui väikest keha koos hoidev gravitatsioonijõud ning loodeline jõud mitte ainult ei venita väiksemat keha välja, vaid purustab selle tükkideks. 

Seega on iga planeedi ja tema kaaslase jaoks on olemas teatud kriitiline kaugus, millest seespool kaaslane puruneb. Seda kaugust nimetatakse Roche piiriks, vastavate valemite tuletaja Edouard Roche nime järgi. Kui planeedi ja selle kaaslase tihedused on ligikaudu samad, siis on Roche piir umbes 1,4 planeedi raadiust. Täpsem valem Roche piiri jaoks on

Siit on võimalik näiteks arvutada, et kui Kuu tuleks Maale lähemale, kui $1,4(5,5/3,3{)}^{1/3}\cdot 6400=10600km$, siis ta puruneks. 

Maa jaoks on Roche piir $18500km$. Meie olema maapinnal vaid $6400km$ kaugusel Maa tsentrist ja seega ilmselt Roche piiri sees. Miks me ei lagune ära? Võrrelge ka Kuu poolt tekitatud gravitatsioonijõudude tugevust inimese keskkohale ja inimese keha mingile äärepunktile. 

Meie teadmised mingi planeedi, tähe või galaktika kohta tulevad nende objektide poolt kiiratud elektromagnetkiirguse tõlgendamisest teadaolevate füüsikaseaduste alusel. Nähtav kiirgus on vahemikus umbes $400-700nm.$ Pikemate lainepikkuste pool asuvad infrapuna- ja raadiokiirgus. Infrapunakiirgust adume soojusena. Väiksematel lainepikkustel asuvad ultraviolett-, röntgen- ja gammakiirgused. 

Atmosfääri läbipaistmatuse tõttu jõuab vaid väike osa astronoomiliste objektide kiirgusest maapinnani. Kuna erinevad atmosfääri gaasid neelavad erinevaid lainepikkuseid, sõltub atmosfääri läbipaistmatus üsna keerulisel moel lainepikkusest. Näiteks veeaur $\left(H_{2}O\right)$ ja hapnik $\left(O_2\right)$ neelavad raadiolaineid lainepikkusega alla sentimeetri, veeaur ja süsinikdioksiid $\left(C{O}_2\right)$ neelavad tugevalt infrapunast kiirgust. Ultraviolett-, röntgen- ja gammakiirguse läbitulekut atmosfäärist takistab kõrgel Maa atmosfääris asuv osoonikiht. Nähtavat kiirgust takistavad ajuti pilved. Väga kõrgel, umbes $100km$ kõrgusel asuv ionosfäär takistab pikalainelise, üle $10m$ raadiokiirguse läbitulekut. Joonisel on kujutatatud atmosfääri läbipaistmatus (vertikaalteljel) sõltuvana lainepikkusest (horisontaalteljel). Sada protsenti vastab täielikult läbipaistmatule atmosfäärile. Kokkuvõttes eksisteerivad vaid mõned lainepikkuste vahemikud, milledele atmosfäär on kas täielikult või ligikaudu läbipaistev ja need on optiline piirkond, mõned infrapuna lainepikkuste piirkonnad ning raadiokiirguse piirkond. 

Kõik makroskoopilised kehad kiirgavad oma temperatuurile vastavat pidevat kiirgust kindla spektraaljaotusega. See kiirgusintensiivsuse sõltuvus sagedusest on musta keha kiirgusjaotus (ehk ka Plancki kiirgusjaotus). Reaalselt ei ole ükski keha täpselt sellise energiajaotusega. Ent tihti on see hea lähendus.

Must keha on objekt, mis mitte ei peegelda ega hajuta sellele langevat valgust vaid neelab ja seejärel taas kiirgab sellele langenud valguse. Musta keha kiirgus sõltub ainult musta keha temperatuurist $T$ ja on pidev spekter. Musta keha spektraalset kiirgusvõimet (spektrit) sageduse $\nu$ jaoks on võimalik kirjeldada Plancki valemiga

kus $h=6,626\times {10}^{-34}J\cdot s$ on Plancki konstant, $c$ on valguse kiirus ning $k$ Boltzmanni konstant. $B$ on nn Plancki funktsioon, selle ühik on $\left[J{s}^{-1}{m}^{-2}H{z}^{-1}s{r}^{-1}\right]$. Musta keha kiirgust nimetatakse ka soojuslikuks kiirguseks.

Suurust $B$ nimetatakse kiirgusintensiivsuseks ja nagu selle ühikust näha, sõltub kiirgusintensiivsus üldjuhul ka suunast. Kui suunast sõltuvust ei ole (isotroopsus), võib suuna järgi ära integreerida (vastav integraal on $\pi$). Integreerides ka üle sageduste, saame energiavoo $F$, mis avaldub kujul

See valem on tuntud Stefan−Boltzmanni seaduse nime all ning $\sigma =5,67\times {10}^{-8}W{m}^{-2}{K}^4$ on Stefan−Boltzmanni konstant. Kui sageduste järgi ei ole integreeritud, nimetatakse seda monokromaatseks vooks. Energiavoo ühik on  $\left[J{s}^{-1}{m}^{-2}\right],$ monokromaatse voo ühik on $\left[J{s}^{-1}{m}^{-2}H{z}^{-1}\right].$ Pangem tähele, et energiavoog on pindala ühiku kohta.

Kui temperatuur suureneb, nihkub musta keha kiirgusjaotus suuremate sageduste (ehk väiksemate lainepikkuste) suunas: mida kõrgem on temperatuur, seda sinisem on kiirgus. Hästi madala temperatuuri puhul on kiirgus infrapunaste lainepikkuste alas. Näiteks keha, mille temperatuur on $300K,$ kiirgab infrapunast kiirgust. Kui temperatuur on $1000K,$ on ka enamus kiirgusest infrapunases piirkonnas, ent väike osa satub juba ka nähtavasse tumepunasesse piirkonda. Temperatuuri $4000K$ juures hakkab värvuse maksimum nihkuma punasest piirkonnast kollasesse. Alates temperatuurist $7000K$ nihkub maksimum sinisesse piirkonda. Seda kirjeldab matemaatiliselt Wieni nihkeseadus: kiirguse maksimumi lainepikkus on pöördvõrdeline temperatuuriga ehk maksimumi lainepikkuse ja temperatuuri korrutis on konstantne

Konstant selles valemis $2,9\cdot {10}^{-3}m\cdot K.$ Lainepikkuste maksimumi nihe on näha musta keha kiirgust illustreerival joonisel.

Maapealsed kehad ei oma väga suuresagedusliku kiirguse kiirgamiseks piisavalt kõrgeid temperatuure. Paljud kosmilised objektid kiirgavad aga olulise koguse ultraviolett-, röntgen- ja isegi gammakiirgust. Ehkki Päikese kiirgusmaksimum asub näiteks optilises piirkonnas, on päikesekrooni kiirgus valdavalt röntgenpiirkonnas. Erinevad lainepikkused annavad üksteist täiendavat informatsiooni ehk siis, kui uurime Päikest röntgenkiirguses, saame päikesekrooni kohta teada, milline on selle tihedus, temperatuur, aine liikumised; kui uurime Päikest optilises piirkonnas, saame andmeid Päikese "pinna" (ehk fotosfääri) kohta, milline on selle struktuur, liikumised ja muud omadused. Kõigest sellest tuleb selles õpikus edaspidi palju juttu. 

Musta keha kiirgusjaotust kasutatakse objekti temperatuuri määramiseks. Nii on Päikese temperatuur kiirgusjaotuse järgi üsna täpselt määratav $5770K,$ väga külmade gaasipilvede temperatuur tuleb $60K$ (kiirgus valdavalt raadiopiirkonnas), noorte tekkivate tähtede ümbriste temperatuur on $600K$ (kiirgus infrapunases), heledaimad kuumad tähed omavad temperatuure kuni $50000K.$ Kuna nende objektide kiirgusjaotus ei vasta täpselt musta keha kiirgusjaotusele (vt Päikese kiirgusjaotuse joonist), siis nimetatakse neid temperatuure sageli efektiivseteks temperatuurideks. Musta keha spekter eeldab ju, et keha omab ühte fikseeritud temperatuuri, kuid tähtede (sh Päikese) kiirgusjaotus on summa mingi antud tähe erinevate piirkondade (veidi) erineva temperatuuriga kiirgustest. Sellest saame rohkem teada peatükkidest, kus kirjeldame Päikest ja teisi tähti.

Olgu mingi üsna külm gaasipilv. Mis tekitab siis selle musta keha kiirguse pideva spektri? Klassikaline näide õõnsuse ja selles oleva väikese ava kohta praegu ei sobi. Niisiis, olgu gaasipilv temperatuuriga $60K,$ mis asub teda ümbritsevas footonväljas. Kui tegemist on musta kehaga, peavad gaasi aatomid olema oma ümbrusega soojuslikus tasakaalus, muidu ei oleks tegu musta kehaga. Ehk siis, ka aatomeid ümbritsev footonväli peab olema samuti temperatuuriga $60K$, vastasel juhul üks neist kas soojeneks või jahtuks. Aatomid omavad nende temperatuurile vastavat Maxwelli kiiruste jaotust. Aatomid on pidevas liikumises ning mööduvad üksteisest piisavalt lähedalt, et nende elektronkatted oleksid üksteisega kulonilises mõjutuses (tõukuksid). Seetõttu aatomite trajektoorid muutuvad, nende energiad muutuvad. Energiate muutused avalduvad footonite kiirgamisega. Tulemuseks ongi pidev spekter, sest muutub aatomi energia, mitte üksiku elektroni energia aatomis. 

Kui aatom või molekul läheb ühelt energiaseisundilt teisele energiaseisundile üle, kiiratakse või neelatakse teatud lainepikkusega footon. Kui aatomi energia väheneb $\Delta E$ võrra, kiirgab aatom footoni, mille sagedus on antud valemiga

Sarnaselt: kui aatom neelab footoni sagedusega $\nu$, suureneb selle energia $\Delta E$ võrra.

Aatomite erinevad olekud omavad erinevaid energiaid. Siiski ei saa mitte igasuguste energiatasemete vahel toimuda üleminekuid ja footonite kiirgamisi. Lubatud üleminekute valimeid on mugav väljendada nn valikureeglitega. Tavaliselt antakse valikureeglid kõige tõenäolisema ehk nn dipoolkiirguse kohta.

Väga ligikaudu võib öelda, et mida suurema järjearvuga on aatom, seda keerukam on selle spekter. Täpsemalt määrab spektri keerukuse siiski viimasel elektron-allkihil asuvate elektronide arv.

Aatomeid on võimalik ergastada kiirguslikult või põrkeliselt. Kiirguslik ergastamine toimub siis, kui aatom neelab footoni, kusjuures footoni energia peab vastama täpselt energiatasemete vahelisele energiale, mistõttu pidevasse spektrisse tekib sellisel juhul vastav neeldumisjoon. Põrkeline ergastus tekib, kui vaba osakene (elektron või teine aatom) põrkub aatomiga ja annab osa oma kineetilisest energiast aatomile.

Kui aatom läheb ergastatud seisundist mingisse madalama energiaga seisundisse, kiiratakse footon. On võimalik aga ka põrkelisele ergastusele vastupidine protsess, milles ergastatud aatom põrkub mingi osakesega ja ergastuse energia läheb teise osakese kineetiliseks energiaks.

Välises elektri- ja magnetväljas toimub täiendav energiatasemete lõhenemine (Starki efekt ja Zeemani efekt). Spektris vastab sellele mingite spektrijoonte lõhenemine mitmeks lähedalasuvaks jooneks. Astronoomias on olulisem Zeemani efekt. See võimaldab spektrijoonte lõhenemise alusel arvutada magnetväljade tugevusi (vt näiteks Pt 7.2.1).

Kosmiliste objektide kiirgust uuritakse spektrograafide abil, milles valgus läbib spektrograafi pilu, ümmargust ava või paljusid avasid, misjärel see suunatakse peeglite abil difraktsioonvõrele ning edasi mingile detektorile.

Spektrograafi üheks oluliseks omaduseks on nn spektraallahutus ehk vähim lainepikkuste eristatavus, mida iseloomustatakse suurusega  $\lambda /\Delta \lambda$. Nt spektrijoonte lainepikkustest Doppleri efekti abil kiiruseid arvutades annab see astronoomias kasutatavate spektrograafide puhul kiiruste määramise täpsuse parimal juhtul isegi kuni umbes $0,2-0,4m/s$ (see sõltub mitmetest detailidest, nagu ekspositsioon, statistiline töötlus jne.

Eristatakse pidevaid spektreid ja joonspektreid. Kui näiteks tekitada sädelahendus puhtas vesinikus, hakkab see gaas helenduma ehk kiirgama. Kiirguse spekter koosneb üksikutest diskreetsetest joontest tumedal taustal. Need on emissioonjooned e kiirgusjooned. Kui lasta Päikese valgus läbi spektrograafi, esinevad pideva spektri sees kitsad tumedad ribad. Neid jooni nimetatakse neeldumisjoonteks. Üldiselt kiirgab piisavalt tihe gaas kõikidel lainepikkustel ja omab seega pidevat spektrit. Hõre kuum gaas kiirgab heledaid emissioonjooni. Õhuke külm gaas neelab pidevast spektrist teatud lainepikkusi ja omab seega neeldumisjooni pideva spektri taustal.

Kiirgusjooned tekivad, kui kiirgava aine aatomid on eelnevalt ergastatud olekus. Enamik spektrijooni astronoomias on neeldumisjooned, st aatomid on oma põhiolekus. 

Spektris esinevate joonte ja nende intensiivsuste järgi saab teha kindlaks jooni tekitava aine keemilist koostist, tihedust ja temperatuuri. Joonte intensiivsust iseloomustatakse nn ekvivalentlaiuse mõistega, milles spektrijoone tegelik kuju on taandatud täisnurkseks kujuks ning tegemist on siis vastava täisnurkse kuju laiusega.

Tähtedes on kõrge temperatuuri tõttu aatomid ioniseeritud ja seega on nende kiirgusspekter pidev. Ent tähtede suhteliselt külmades välisosades võivad aatomid säilitada mõned või isegi kõik elektronid. Need on valdavalt põhiolekus ning saavad neelata teatud lainepikkustega footoneid. Tõenäosus, et neile lainepikkustele vastavad tähe seestpoolt tulevad footonid jõuavad meieni, on seega väiksem. Neile lainepikkustele vastavad footonid on pärit seega pigem tähe pinnalähedasematest kihtidest kui teiste lainepikkuste footonid. Pinnale lähedasemad kihid on aga külmemad, mistõttu kiirgusvoog nendel lainepikkustel on väiksem. See avaldud pidevas spektris tumedamate "ribadena" ehk neeldumisjoontena.

Ühildades mõõdetud spektrijooned laboratooriumites mõõdetud joontega, on võimalik kindlaks teha tähe välisosade keemiline koostis. Näiteks on Päikese nähtavas spektris tuhandeid neeldumisjooni; ligi $800$ neist on tingitud vaid raua erinevatest ionisatsiooni ja ergastuse seisunditest (raual on $26$ elektroni ja see pakub väga palju erinevaid üleminekuvõimalusi).

Joonte intensiivsus sõltub kiirgavate/neelavate aatomite arvust, st tihedusest. Ent intensiivsus sõltub ka temperatuurist – temperatuur määrab kui palju aatomeid võib antud aatomülemineku algseisundis asuda. Näiteks: kuna Päikese atmosfääri temperatuur on küllalt väike (u $6000K),$ on vaid vähesed vesiniku aatomid ergastatud seisundis. Meenutaga füüsika kursusest, et esimene ergastus vesiniku aatomis nõuab energiat $10,2$ eV, mis vastab lainepikkusele $121,5$ nm. Meenutades varem toodud Päikese pideva spektri joonist näeme, et nendel lainepikkustel on Päikese kiirgus juba üsna nõrk. Seetõttu on Päikese spektris vesiniku aatomite esimeselt ergastatud seisundist lähtuvad jooned (Balmeri seeria jooned) nõrgad. Kõrgema temperatuuriga tähtedel on aga Balmeri seeria jooned hoopis tugevamad ja vastavalt on põhiseisundilt lähtuvad Lymani jooned nõrgemad, sest enamik vesiniku aatomeid ongi juba ergastatud. Kui temperatuur muutub nii kõrgeks, et vesinik on ioniseeritud, ei ole mingeid vesiniku jooni enam näha.

Arvestades, et spektrites on tihti väga paljude erinevate elementide jooni, on selge, et spektraalanalüüs on üheks astronoomia komplitseerituimaks valdkonnaks.

Heisenbergi määramatuse printsiibi üldistusest mingi oleku eluea kohta tuleneb, et spektrijoonel on mingi loomulik laius

kus $\Delta t$ on oleku eluiga. Tüüpilise ergastusseisundi eluiga on ${10}^{-8}$ sekundit. Siit tulenev loomulik joone laienemine nt Balmer $\alpha$-joonele $(656,3nm)$ on umbes $4\cdot {10}^{-5}$ nanomeetrit. See on väga väike laius.

Mitmed füüsikalised protsessid laiendavad joone profiili. Uurides vaadeldud spektrijoont, me saame tuletada mõningad karakteristikud tähe kiirguse kohta.

Soojuslik ehk Doppleri laienemine. Vaadates kiirgavat objekti ning liikudes ise mingi kiirusega antud objekti suhtes näeme, et objekti kiirgusspekter on nihutatud. Objektist eemaldudes näeme, et nihe on punase poole, objektile lähenedes on nihe aga sinise poole. Sellist liikumisest tingitud vaadeldava sageduse (lainepikkuse) muutust nimetatakse Doppleri efektiks. Ei ole oluline, kas liigub kiirgaja või kiirguse vastuvõtja – tähtis on suhteline kiirus. Seejuures on oluline vaid kiirus piki vaatejoont (me ei vaata siin relativistlikke efekte). Soojuskiiruse kiirgajad – aatomid ja molekulid – on pidevas soojuslikus liikumises ja nende kiiratud jooned nihutatud vastavalt nende liikumiskiirustele. Soojusliikumisest põhjustatud Doppleri laienemine sõltub gaasi temperatuurist. Suurema temperatuuriga gaasis liiguvad osakesed kiiremini, mistõttu nendes on efekt suurem. Neutraalse vesiniku aatomite keskmine kiirus on $6000K$ juures on näiteks umbes $12km/s,$ vastav Doppleri laienemine tuleb

Seega soojuslik laienemine Balmeri $\alpha$ joonele on umbes $2,6\cdot {10}^{-2}$ nanomeetrit ehk joone loomulikust laiusest oluliselt suurem.

Põrkeline laienemine. Põrkelise laienemise all mõistame mitte otseseid põrkeid, vaid üldisemalt naaberaatomite mõju. Starki efekti vahendusel mõjutavad aatomi energiatasemeid laetud naaberosakesed (ioonid ja elektronid). Põrked mõjutavad ka aega, mida aatom mingil energiatasemel veedab ning see on seotud spektrijoone laiusega (mõjutab joone loomulikku laiust). Naaberaatomid määravad aatomkeskkonna rõhu, mis samuti mõjutab spektrijoonte laiust. Kokkuvõttes, paljud häired teiste osakeste poolt põhjustavad joone laienemise. Kuna joone laienemine on seda suurem mida lähemal osakesed üksteisele asuvad, saame ka otsese sõltuvuse osakeste tihedusest.

Zeemani efekt. Kui aatom paigutada magnetvälja, siis jagunevad selle energiatasemed mitmeks alamtasemeks. Kui me ei suuda lõhenenud komponente eristada, paistab see meile ühe laienenud spektrijoonena. Laienemise määr sõltub magnetvälja tugevusest. Zeemani efekti abil on varasemalt määratud näiteks magnetväljade tugevus päikeseplekkides (vt pt. 7.2.1).

Teised laienemismehanismid. Märgime ära veel kolm makroskoopilist laienemise mehhanismi, mis baseeruvad Doppleri efektil. Suured turbulentsed liikumised tähe pinnal tingivad turbulentse laienemise. Tulemus on sarnane soojusliku laienemisega, ent laienemise määr ei ole temperatuuriga määratud. Teiseks: kui tähe atmosfäär paisub, siis põhjustab juhuslike liikumiste summa jälle joone laienemise, sest atmosfäär liigub meie poole. Kolmandaks mehhanismiks on tähe pöörlemine: kui täht pöörleb, siis selle üks pool läheneb meile ning teine eemaldub meist. Doppleri efekti tõttu on spektrijooned lähenevalt poolelt nihutatud veidi väiksemate lainepikkuste ppoole ja kaugeva osa omad punasele poole. Kuna nihked on küllaltki väikesed, siis avaldub see tähe spektris ühtse spektrijoone laienemisena. See on näha siis igas joones ning selle põhjal saab hinnata ka tähe pöörlemist (perioodi).

„Eksperimenti” nimetatakse astronoomias vaatluseks ja „eksperimendi aparatuur” koosneb tavaliselt järgmistest komponentidest. Esmalt satub nt tähelt tulev elektromagnetkiirgus teleskoopi, seejärel läbib mingi vaheaparaadi (spektrograaf, polarimeeter vm) ning seejärel kiirgust registreeriva seadme (fotoplaat, CCD vm) ning viimaks loetakse registreeritud signaalid arvutisse. Arvuti abil algab juba vaatlustest saadud andmete töötlus.

Teleskoope kasutatakse peamiselt kolmel suurel eesmärgil:

• et koguda suure pinna ja pika aja jooksul kiiratud valgust taevaobjektilt, et uurida sel viisil väga nõrkasid objekte;
• et suurendada objektide vaatlemise nurklahutust;
• et määrata objektide täpne asend taevas.

Kõige levinumad on teleskoobid, mis registreerivad optilist kiirgust. Ent üha suuremat tähtsust on hakanud omandama ka raadioteleskoobid, röntgenteleskoobid, gammateleskoobid, neutriinokiirguse ja gravitatsioonikiirguse vastuvõtjad (kaks viimast erinevad tavapärastest teleskoopidest juba niivõrd, et nende puhul seda nime ei tarvitatagi). 

Optiliste teleskoopide tähtsus tuleneb asjaolust, et peaaegu kõik tähed kiirgavad enamuse oma kiirgusest optilistel lainepikkustel. Mitte−optilised teleskoobid võimaldavad uurida gaasi, tolmu ja aktiivsusega seotud ning kosmoloogilisi protsesse.

Optilised teleskoobid jagunevad kaheks: reflektorid ja refraktorid. Esimesel puhul on valgust koondav element nõguspeegel, teisel puhul lääts. Peegel ja lääts on selliselt kujundatud, et kõik optilise teljega paralleelsed kiired (sõltumata kiire kaugusest teljest) koonduksid ühte punkti, mida nimetatakse peafookuseks. Enamik astronoomias kasutatavad suuri teleskoope on reflektorid e peegelteleskoobid.

Teleskoope kasutatakse tihti mingist taevaalast (nn teleskoobi vaateväljast) kujutise saamiseks. Valgus mingist kaugest objektist (nt täheparvest) jõuab meieni peaaegu paralleelse kiirtekimbuna. Nagu märgitud koonduvad teleskoobi teljega paralleelsed kiired peafookusesse. Kui kiired on teleskoobi teljega väikese nurga all, koonduvad vastavad kiired fookusest veidi erinevasse punkti. Seda punktide kogumit (peafookuses ja risti optilise teljega) nimetatakse fokaaltasandiks. Niimoodi tekib fokaaltasandis uuritava taevaala kujutis.

Jooniselt on näha, et fokaaltasandis tekkiva kujutise suurus on määratud läätse/peegli fookuskaugusega $f$ 

mis väikeste nurkade puhul on 

Seda diferentseerides saame mastaabi fokaaltasandis

Kujutis tänapäeva suurte teleskoopide peafookuses on tegelikult üsna väike − suurusjärgus $1cm$ (nt võttes teleskoobi vaateväljaks $4\text{'}$ ja fookuskauguseks $10m$). Seda kujutist saab aga täiendava läätsega (okulaariga) suurendada − töötab seega nagu luup − ja salvestada see suurendatud kujutis kas fotoplaadile või mingile digitaalsele infokandjale või vaadata lihtsalt niisama.

Toome siia ühe võrdluse. Oletame, et vaatame palja silmaga seda $4\text{'}$ taeva osa. Kuid see on ju sama, kui vaadata seda objektiivi tekitatud $1cm$ suurust kujutist vaadata $10$ meetri kauguselt (nurkläbimõõt on samuti $4\text{'}$). Ent me ei pea ju peafookuses tekkinud kujutist nii kaugelt vaatama! Me võime seda vaadata lähemalt ja (okulaariga) suurendatult. Selles seisnebki teleskoobi nurksuurenduse aspekti kasu.

Toome nüüd sisse objektiivi ja okulaari fookuskaugused, $f_{ob}$ ja $f_{ok}$, vastatavalt. Teleskoobi nurksuurendus $m$ on objektiivi ja okulaari fookuskauguste suhe

Seda illustreerib järgnev joonis.

Nagu valemist näga, siis põhimõtteliselt võime me väga väikese fookuskaugusega okulaaride abil kujutist ükskõik kui palju kordi suurendada, ent teatud piirist alates ei ole suurendusel enam mõtet, sest me ei näe enam uusi detaile (vt pt 4.2.3) ning segama hakkab ka õhu värelemine. 

Tavaliste okulaaride vaateväli on umbes 50 kraadi. Oletame, et me tahame vaadata Plejaadide täheparve, mille mõõtmed on umbes 2 kraadi. See tähendab, et nurksuurendus ei tohiks olla rohkem kui $50/2=25$ korda, muidu ei mahu Plejaadid vaatevälja enam ära. Kui objektiivi fookuskaugus on näiteks 2000 mm, siis ei tohi okulaari fookuskaugus olla väiksem kui 80 mm, muidu ei mahu Plejaadid korraga vaatevälja ära. Tavalistel poest ostetavatel teleskoopidel ongi harilikult mitu erineva fookuskaugusega objektiivi (või on neid võimalik juurde osta) − hea oleks ju, kui iga uuritav objekt oleks just enam-vähem vaatevälja suurune. Näiteks Kuu kraatrid on oluliselt väiksema nurkläbimõõduga ja nende puhul on hea kasutada palju väiksema fookuskaugusega okulaare.

Refraktoritega saadud kujutised omavad siiski teatud hädasid. Kõigepealt kromaatiline aberratsioon st erineva lainepikkusega kiired murduvad erinevalt ja omavad seega veidi erinevaid fookuskauguseid. Tõsi, refraktoreid saab sellest parandada, kui ehitada objektiiv koosnevana kahest erineva murdumisnäitajaga klaasist. Sellest on reflektorid vabad ja see on üks nende eeliseid. Teiseks: osa valgusest − eriti UV ja IR − neeldub läätsedes (jällegi peeglite eelis). Kolmandaks: suured läätsed on väga rasked ja oma raskuse mõjul nende täpselt konstrueeritud kuju moondub (peeglite puhul on see mure samuti olemas, ent oluliselt väiksem). Neljandaks: läätsedel on kaks täpset lihvimist vajavat külge, peeglitel vaid üks. Need kõik on peegelteleskoopide eelised ja enamus suuri teleskoope kaasajal ongi reflektorid. Suurim refraktor on 1897. a. kasutusele võetud Yerkes'i Observatooriumi $1,02$ meetrine refraktor (kasutusel seniajani!), ent suurimad reflektorid on tänapäeval $10$-meetrised ja projekteerimisel veelgi suuremad − suurim on praeguste plaanide kohaselt Euroopa Lõunaobservatooriumi teleskoop ELT  (Extremely Large Telescope) peapeegli läbimõõduga $39m.$

Peegelteleskoope saab konstrueerida mitmel viisil. Erinevus on selles, kuhu paigutatakse mõõteaparatuur. Peafookusesse suurt hulka mahukat aparatuuri paigutada on ebamugav. Seetõttu kasutatakse tihti sekundaarpeeglit, millega koonduv valguskimp suunatakse teleskoobi torust välja, sest seal on sellega mugavam töötada. Sekundaarpeegel on sageli kumer, kuna tihti soovitakse peapeegli fookust viia teleskoobist väljapoole.

Kasutades sekundaarpeeglit võib eristada kolme põhikonstruktsiooni (neid on tegelikult rohkem): Newtoni, Cassegraini ja Coude (joonis).

Newtoni teleskoobis kallutatakse valgus 90^o võrra kõrvale ja suunatakse okulaari, mis asub teleskoobi eesosas toru küljes. See on väga levinud konstruktsioon väiksemate peegelteleskoopide puhul, mida kasutavad amatöörastronoomid.

Teise võimalusena peegeldatakse peapeeglist peegeldunud valgus sekundaarpeegli poolt tagasi ja see valgus väljub teleskoobist peapeegli keskele tehtud väikese augu kaudu. Sellist konstruktsiooni nimetatakse Cassegraini teleskoobiks. Peafookuse taga asuvat punkti, kuhu tähe valgus lõpuks koondub, nimetatakse Cassegraini fookuseks. Sinna saab paigutada raskemat aparatuuri. Selline on Eesti suurima, Tõravere $1,5m$ teleskoobi ehitus. Ka väiksemate, amatöörteleskoopide puhul kasutatakse Cassegraini fookust, sest selline toru on lühike ja seda on mugav transportida.

Keerulisemates konstruktsioonides kasutatakse peegeldumist ka mitmes peeglis. Nagu Cassegraini konstruktsiooniski, peegeldatakse teise peegli abil valgus peapeegli poole tagasi. Ent seejärel kallutatakse kolmanda, palju väiksema peegli abil see valgus teleskoobi toru tagaosasse tehtud augu kaudu kõrvale ning välja, et seda laboriruumis edasi uurida. Seda teleskoobi tüüpi tuntakse Coude'i monteeringu nime all. Eraldiasuv ruum võimaldab sinna paigaldada väga rasket ja täpselt häälestatud aparatuuri, mida ei saa paigutada ei peafookusesse ega ka Cassegraini fookusesse. Valgus suunatakse coude-ruumi teleskoobi toru toetava monteeringu ühendustelje ja teleskoopi toetava samba kaudu, nii et ekspositsiooni ajal valguskiire teekond ei muutu. Nende fookuste puhul võib tunduda imelik, et teleskoobi torusse − peafookuse lähedale − paigutatakse mingi sissetulevat valgust varjav sekundaarpeegel. Sellega läheb ju osa sissetulevast valgusest kaotsi. Kahju ei ole aga eriti suur. Arvutagem, kui suur on kadu, kui nt $5$ meetrise teleskoobi sisse paigutatakse nt $0,3$-meetrine sekundaarpeegel. Teleskoobi peapeegli pindala on $19,6m^2,$ sekundaarpeegel varjutab ära vaid $0,07m^2.$ Kahju ei ole suur.

Suurte peegelteleskoopide moonutuste vaba vaateväli on väike. Vaid peegli teljega väikese nurga alt sisenevad kiired koonduvad ligikaudu ühte punkti.

Näiteks paraboloidse peegli puhul suurte nurkade puhul ühtset fookuspunkti ei eksisteeri (punkt moondub koma kujuliseks) − fookus on nurga funktsioon. Moonutuste vaba piir on suurtel teleskoopidel vaid mõni kaareminut. On ka veel teisi moonutusi.

Kui paraboloidne peegel asendada hüperboloidse pinnaga (koos hüperboloidse sekundaarpeegliga), tekib oluliselt suurem moonutuste vaba vaateväli (Ritchey−Chrétieni süsteem).

Sfäärilise peegli puhul mitmeid probleeme ei ole, ent nendega kaasneb jällegi nn sfääriline aberratsioon: peegli teljest erinevatel kaugustel sisenevad paralleelsed kiired koonduvad erinevatesse punktidesse.

Sfäärilisest aberratsioonist on vabad nn Schmidti teleskoobid, (eestlase) Bernhard Schmidti nime järgi. Nendes kasutatakse teatud eripärase kujuga korrektsioonläätse, mis kompenseerib moonutused. Sellega saadakse vaateväli kuni $4-5$ kaarekraadi. Ent selle teleskoobi kujutis ei ole mitte tasandiline vaid veidi kõver, mistõttu seda ei saa enam okulaariga suurendada. Tekkiv kujutis on $10-30cm$ suurune ning peafookuses kasutatavad fotoplaatide või CCD-maatriksite suurused on samas suurusjärgus ning nad on painutatud selle kõvera fokaalpinna järgi. Schmidti teleskoope kasutatakse suurte taevaülevaadete tegemiseks. Näiteks 1960-70ndate aastatel tehtud kuulus Palomari taevaülevaade oli tehtud Palomari Observatooriumi Schmidti teleskoobiga. Meile lähim Schmidti teleskoop asub Lätis Baldone observatooriumis.

Väiksemate teleskoopide puhul on populaarne Schmidti teleskoobi modifikatsioon, nn Schmidt-Cassegraini teleskoobid. Seal on peafookuse keskosasse paigutatud lisaks väike (enamasti) kumerpeegel, mis suunab sinna sattunud valguskiires tagasi Cassegraini fookusesse. Pangem tähele, et tegemist on kumerpeegliga, mis vastab selles osas just fokaalpinna kumerusele. Amatöörastronoomide seas on Schmidt-Cassegraini teleskoobid üsna populaarsed.

Mida suurem on teleskoobi peegel (või objektiivlääts) seda rohkem valgust see kogub ja seda kergem on objekti kiirguslike omaduste mõõtmine ja uurimine. Astronoomilise objekti, nt tähe, vaadeldav heledus on võrdeline teleskoobi peegli pindalaga ja seega peegli läbimõõdu ruuduga. Seega kogub $5$-meetrine teleskoop sama aja jooksul $25$ korda rohkem footoneid kui $1$-meetrine teleskoop. Või näiteks silmatera läbimõõt pimedas vaatlemisel on umbes $7mm,$ Tõravere suurima teleskoobi peegli läbimõõt on $1500mm.$ Footonite kogumise võimelt erinevad nad aga

korda. Võime seda sõltuvust tõlgendada ka aja abil, mis on vaja piisava signaali saamiseks mingil kiirgusdetektoril. St $5$-meetrine teleskoop tekitab kujutise $25$ korda kiiremini kui $1$-meetrine teleskoop, sest see kogub footoneid $25$ korda kiiremini. Teisiti öelduna on $1$ tund vaatlusaega $1$-meetrise teleskoobiga ligikaudu võrdne $2,4$-minutilise säriajaga $5$-meetrise teleskoobiga.

Teleskoobi valgust koguvat jõudu iseloomustav parameeter on valgustatus $J$ ehk energia hulk ajaühikus kujutise pinnaühiku kohta (siin eeldame, et kujutis ei ole punktobjektist, vaid omab reaalseid mõõtmeid). Valgustatus on võrdeline teleskoobi sisendava läbimõõdu ruuduga. Ent kujutise lineaarmõõtmed olid võrdelised fookuskaugusega, kujutise pindala seega fookuskauguse ruuduga. Valgustatus on seega pöördvõrdeline fookuskauguse ruuduga. Fookuskauguse ja teleskoobi ava läbimõõdu suhet nimetatakse fokaalsuhteks või ka suhteliseks avaks (fotograafiast tuntud mõiste) ning see on oluline teleskoopi iseloomustav parameeter

Valgustatus on seega

Nt Tõravere suurima teleskoobi fokaalsuhe/suhteline ava on $16$, mis on üsna suur number, st kujutiste valgustatus on üsna väike ning kaugete ja nõrkade galaktikate vaatlemiseks see ei sobi. Valgustatus iseloomustab kõige paremini seda, kui kaua tuleb footoneid koguda, et saada antud heledusega kujutis.

Näiteks Kecki Observatooriumi teleskoobi peapeegli läbimõõt on $10m$ ja fookuskaugus $17,5m.$ Fokaalsuhe on seega $1,75$. See kirjutatakse sageli  kujul $f/1,75.$ Seega Kecki teleskoop annab väga hea valgustatuse ning sellega on väga hea uurida nõrku süvataeva objekte, näiteks kaugeid galaktikaid. 

Suurte teleskoopide teine eelis on lahutusvõime. Lahutusvõime ehk nurklahutus iseloomustab võimet eristada kahte üksteise lähedal paiknevat objekti. Teleskoobi lahutusvõimet piirab difraktsioon. Kui paralleelne kiirtekimp siseneb teleskoopi, levivad lained difraktsiooni tõttu veidi laiali, muutes nende koondamise täpsesse fookusesse võimatuks isegi ideaalse peegli kuju puhul. Nii ei ole reaalne fookus mitte matemaatiline punkt vaid difraktsioonpilt sellest punktist.

Optika kursuses näidatakse, et difraktsioonist tingitud läätse (peegli) nurklahutus on