Optika põhikursus

Raamatukogudes on olemas lai valik inglise- ja venekeelseid hea tasemega optika õpikuid, kuid säilitamaks eesti keelt teaduskeelena, on ilmselt vajalikud ka füüsika baaskursuste eestikeelsed versioonid.

1979. aastal ilmus I.V. Saveljevi kolmeköitelise Füüsika üldkursuse optikat sisaldava kolmanda osa tõlge eesti keelde. Nimetatud õpiku sisu rahuldas täielikult tehniliste kõrgkoolide vajadused ja kattis ligikaudu 75% ulatuses ka tollajal kehtinud füüsika eriala programmi. Paraku, tänaseks on muutunud baasfüüsika õppeaja kestus ja programmid ning Saveljevi õpik ei kajasta ka olulisi uusi optika teadussaavutusi ja rakendusi.

Uuem, 2012. aasta Halliday baasfüüsika õpiku tõlge eesti keelde katab optikas vaid osaliselt probleemide ringi, mis vastab Euroopa füüsikahariduse standarditele.

Oluliseks lisafaktoriks, mis tingib uue õpiku olemasolu, on klassikalise loengupidamisviisi asendumine lektori-tudengi aruteluga; õpik võiks olla karkassiks, millel see arutelu baseerub.

Õpiku struktuur kujunes välja aastakümnete jooksul peetud loengute alusel ja on mõjutatud minu õpetajate ning kolleegide poolt. Viimati mainituist olen eriti tänulik Hans Korgele ja Koit Timpmannile.

Jaan Kalda esimeste peatükkide detailseid sisulised, vormistuslikud ja keelelised märkused olid kasulikud ka järgnevate peatükkide kujundamisel.

Nils Austa andis joonistele esinduslikuma ilme.

Nüüd siis jõuab tehtu põhihindajate - lektorite/tudengite – kätte, kes leiavad kindlasti rea vajakajäämisi.

Tagasisidet oodates,

Matti Laan
Veebruar 2020
Matti.Laan@ut.ee

Saateks parandatud ja täiendatud väljaandele

Tänu 2020. aasta kevadel lektoritelt/tudengitelt saadud tagasisidele ja Jaan Kalda poolt lõpuleviidud retsensioonile tehti õpikus mitmeid vormilisi, keelelisi ja ka sisulisi muudatusi. Katrin Laasi panuseks oli 7. peatüki retsenseerimine. Olen kõigile neile tänulik.

Minu eriline tänu kuulub toimetajale Kaido Reiveltile.

Matti Laan
Veebruar 2021
matti.laan @ut.ee

Füüsikaline optika tegeleb valgusega seonduvate protsessidega: valguse teke, levik ja vastasmõju ainega. Optika tähtsus ei piirdu vaid füüsikaga ja erinevate tehnoloogiliste lahendustega, valgus on põhiline ühendustee meie ja maailma vahel.

Tavaelus intuitiivselt mõistetavad sõnad omandavad füüsikas nii mõnigi kord teistsuguse tähenduse. Lisaks, mingi nähtuse ajalooliselt kord juba kasutuselevõetud nimetus ei pruugi vastata tänapäevasele arusaamale sellest nähtusest. Nii et – ettevaatust!

Optikas tuleb silmas pidada järgmist.

Valguskiir ei ole matemaatiline sirge. Rääkides valguskiirest tuleb arvestada, et

• Valguskiire ristlõige on alati lõplik, sest vastasel juhul oleks tema energiatihedus lõpmatu. Seega energeetiliste seoste leidmisel iseloomustame valguskiirt ka tema ristlõike pindalaga.
• Valguskiir annab energia leviku suuna
• Valguskiirest räägime ka siis, kui mängu tulevad valguse lainelised omadused nt rääkides mitmekiirelisest interferentsist peame silmas, et liituvad rohkem kui kaks lainet.

Valguse polarisatsioon ja aine polarisatsioon ei ole kokkulangevad mõisted. Valguse elektromagnetlaine mudelis iseloomustab polarisatsioon elektrivälja vektori geomeetrilist orientatsiooni. Aine polarisatsioon on aga seotud aine aatomite/molekulide dipool-momendiga, mis võib olla nii permanentne kui ka välise mõjutuse (sh valguse) poolt indutseeritud.

Tihtipeale iseloomustatakse ühte ja  sama mõistet/nähtust erinevate nimetustega nt „paralleelne kiirtekimp“ ja „tasalaine“ iseloomustavad üht ja sama valguse levikuviisi.

Erinevate suuruste tähistamisel  on püütud järgida traditsioonilist üldlevinud raamatute märgistust. Suures enamuses on tähistusteks vastava inglisekeelse sõna esitäht nt „$F$“ – force, „$v$“ – velocity, mõnikord on tagapõhjaks ka saksa, ladina või kreeka keel. Tabelis T 1.1 on esile tõstetud füüsikas kasutatavad kreeka tähed, nende tundmine kuulub füüsiku hariduse juurde.

Tabelis T1.2 on toodud suurustevahelist seost väljendavad matemaatilised märgid koos kommentaaridega.

Selles õpikus kasutame SI-s sätestatud ühikuid. Praktikas on kasutusel on ka nn süsteemivälised ühikud, optikas on neist tähtsaim pikkusühik ongström, $1$Å$={10}^{-10}m=0,1nm$

Tabelis T1.3 on rahvusvaheliste lepetega kooskõlastatud erinevate ühikute eesliited.

Tabelis T 1.4 on tähtsamad konstandid  tänaseks teadaoleva usaldusväärsete komakohtade arvuga. 

Tihtipeale suudab õigesti mõistetud joonis anda rohkem teavet kui mitu pikka lauset.

Kujutava geomeetria jooniste puhul püütakse võimalikult hästi edastada objekti proportsioone ja tehnilised joonised on võimalikult detailsed, kuid füüsika joonised peavad eelkõige edastama arutlus- ja/või arvutuskäigu idee. Sel põhjusel ei pruugi mingi joonise detailide proportsioonid vastata tegelikkusele ja lisaks  on joonisel kujutatud vaid antud probleemi lahendamiseks hädavajalikud detailid.

Ristkoordinaadistiku teljed valitakse nii, et nad moodustaksid parempoolse kolmiku: vaadates z-telje suunas, peab x-telje pööramine y-telje peale toimuma kellaosuti liikumissuunas, Jn 1.1.

Enamikel juhtumitel on 3-mõõtmelised nähtused, Jn 1.2A, esitatud  2- mõõtmeliste  lõigete, Jn 1.2.B, või projektsioonidena, seega  horisontaalne joon sel joonisel on lahutuspinna $ABCD$ lõikejoon langemistasandiga. Kui on võimalus mitmeti mõistmiseks, on joonisele lisatud ka koordinaattelgede orientatsioon. Joonistel kujutatakse valguse levikusuunda kiirena. 

Harjumuspäraselt on nurkade mõõtühikuks kraad, kuid nii harmooniliste võnkumiste kui ka lainete  hetkväärtusi määrava  faasi puhul on füüsikas eelistatumaks ühikuks radiaan, T1.5.

Meie õpikus puudub ülevaade füüsika ajaloost ja seda mitmel põhjusel. Esiteks jõuab guugeldamisega kergesti mingi nähtuse ajaloolise tagapõhjani ja teiseks on olemas Ivar Piiri eestikeelne füüsika ajalugu ja seda nii paberkandjal kui ka e-õpikuna. Ja kolmandaks – kursuse ülesehitus ei järgi ajaloolist teed.

Füüsika, sh optika, areng on kõike muud kui rahumeelne samm-sammult kulgev protsess. 20. sajandi füüsika superstaarile Albert Einsteinile omistatakse ütlus „füüsika on ideede draama“ ja kohati on selle draama  jälgimine võrreldav hea kriminaalromaaniga. Füüsika  ideelised kokkupõrked ei ole ainult inimestevahelised, vaid nad on ka ühe indiviidi peas. Arusaadavamaks muutub see dramaatilisus siis, kui on tekkinud arusaamine probleemist endast – see on veel üks põhjus, miks loobusime ajaloolisest ülevaatest.

Valgusnähtused on seletatavad, eeldades, et mikromaailmas valitseb lainelis-korpuskulaarne dualism. Loomulikult on dualism vaid meie makromaailma kogemustel baseeruvates kujutlustes, Jn 1.5, loodus ei tea sellest midagi.

Valguse dualismi ilminguks on see, et osasid eksperimentaalseid tulemusi on võimalik kirjeldada valguse lainemudelitega, osasid aga on lihtsam seletada korpuskulaarmudeliga.

Valguse lainelisi omadusi kirjeldab kõige täielikumalt elektromagnetlaine mudel, kuid paljudel juhtudel annab  tema lihtsustatud   variantide rakendamine võrdväärse tulemuse. Laineoptika lähenduses jäävad  kõrvale  valguse elektromagnetilised omadused, säilib valguse laineline iseloom. Kiirteoptika (≡ geomeetrilise optika) kirjeldab nähtusi, mille puhul  on vaja vaid energia levikusuunda.

Kvantoptika kirjeldab adekvaatselt valguse ja aine vastasmõju tuues sisse seda vastasmõju kirjeldavad fenomenoloogilised suurused. Kvantväljateooria ühendab laine- ja kvantoptika, Jn 1.6.

Meie optikakursuses on esiplaanil valguse lainemudel. Esmalt uurime elektromagnetlaine üldiseid  omadusi ja seejärel siirdume optika spetsiifiliste probleemide lahendamisele. Seal kus võimalik, kasutame laineoptika lähendust. Kiirteoptika selle õpiku raamidesse ei mahu. Õpiku viimane peatükk on pühendatud kvantoptikale.

Toodud näiteülesannete põhieesmärgiks on anda ettekujutus erinevate suuruste arvväärtustest.

Lisainfo põhitekstile on nelja liiki linkides.

• Selgitavad kommentaarid (K).
• Viited õpiku eri osadele (vt ...)
• Matemaatilised abivalemid (M)
• Viited persoonidele (P).

Õpiku kirjutamisel on infot hangitud paljudest allikatest, kuid praegu on võimatu taastada, mis osa millisest allikast on võetud. Sel põhjusel on loobutud korrektsest viitamisest ja peamiste kasutatud raamatute loetelu on toodud õpiku lõpus.

Käesoleva kursuse konspekt tekstina kiirteoptika käsitlust ei sisalda, järgnevas anname vaid seda puudutava põhivara. Teadmised ja oskused omandame läbi praktikumide.

XVII sajandil hakkas kujunema eksperimentaalne meetod füüsikas st mingi väite tõesuse kriteeriumiks sai eksperiment.  Selleks ajaks baseerus optika neljal tulemusel, mille kirjeldamisel kasutame tänapäeva terminoloogiat.

Valguse sirgjooneline levik Homogeenses keskkonnas levib valgus mööda sirgjoonelist teed. Selle väite tõestuseks on teravate servadega varju teke esemest, mis on ekraani ja  väikeste mõõtmetega valgusallika vahel, Jn 1.3A.  

​Teiseks valguse sirgjoonelise leviku näiteks on kujutise teke pimekambris (≡ camera obscura), 1.3B. Pimekambris on valguse teel tõke, milles on väike ava.  Valguskiir, mis lähtub eseme AB mingist punktist ja läbib ava, tekitab ekraanil E selle punkti kujutise.

Valguse kiirtekimpude sõltumatus Mingi valguse kiirtekimbu levik keskkonnas on sõltumatu sellest, kas selles ruumipiirkonnas  on teisi valguse kiirtekimpe. Sellest piirkonnast väljuv kiirtekimp ei ole mõjutatud teiste kiirtekimpude olemasolust.

Peegeldumisseadus Olgu kahe keskkonna $1$ ja $2$  lahutuspinnaks tasapind, millele langeb kaldu valguskiir, mis osaliselt peegeldub tagasi esimesse keskkonda, Jn 1.4 A.

Langemisnurgaks nimetatakse nurka $\alpha$ langemispunktist tõmmatud pinnanormaali ja langeva kiire  vahel. Peegeldumisnurgaks nimetatakse nurka  $\beta$ pinnanormaali ja peegelduva kiire vahel. Langemistasand on üheselt määratud langeva kiire ja pinnanormaaliga, ta on alati risti keskkondade lahutuspinnaga.

Peegeldumisseadus koosneb kahest osast

• Peegelduv kiir on langemistasandis
• Peegeldumisnurk on võrdne langemisnurgaga, $\alpha =\beta$

Murdumisseadus Valgus, langedes kahe keskkonna lahutuspiirile, murdub osaliselt teise keskkonda, 1.4B. Murdumisnurgaks $\gamma$ nimetatakse nurka pinnanormaali ja murduva kiire vahel.

Murdumisseadus koosneb kahest osast

• Murduv kiir on langemistasandis
• Langemisnurga siinuse ja murdumisnurga siinuse suhe on konstantne, $\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=N_{21}$ (Snelliuse seadus), kus $N_{21}$ on teise keskkonna suhteline murdumisnäitaja esimese suhtes

Kõigil loetletud seaduspärasustel on oma piiritletud kehtivuspiirkonnad, mille paneme paika edasises kursuse käigus.

Selles õpikus kasutame elektrivälja iseloomustamiseks kahte vektorit $E$ ja $D$ ning magnetvälja jaoks vektoreid $B$ ja $H$ K 2.1. 

Elektromagnetismis jõutakse nelja Maxwelli võrrandini induktiivsel teel, lähtudes üksikjuhtudest ja neid järk-järgult üldistades. Läbime need teed kiirkorras.

Vastavalt Coulombi katsetele mõjub keskkonnas dielektrilise läbitavusega $\epsilon$ oleva kahe laengu $q$ ja $Q$ vahel jõud, mis on võrdeline nende laengute korrutisega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga $F\propto \frac{qQ}{\epsilon r^2}$. Laengud on algebralised suurused ja samamärgiliste laengute puhul on tegemist tõukejõuga, erimärgilised laengud aga tõmbuvad. Võrdetegur jõu avaldises oleneb kasutatavast ühikute süsteemist, SI-s on võrdeteguriks $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$. Vastavalt lähimõju printsiibile saab punktis $P$ asuvale (proovi)laengule $q$ mõjuda jõud vaid siis, kui jõu tekitaja on ka selles ruumipunktis. Praegusel juhtumil on jõu põhjustajaks laengu $Q$ poolt tekitatud elektrostaatiline elektriväli

ja seega mõjub proovilaengule jõud $F=qE$. Elektrostaatilist välja iseloomustavad jõujooned algavad positiivsel laengul ja lõpevad negatiivsel laengul või lõpmatuses. Coulombi seaduse üldistuse järgmine aste on Gaussi teoreem, vastavalt millele elektrivälja nihkevektori $D=\epsilon {\epsilon }_{0}E$ voog läbi suletud pinna $S$ võrdub laengute $Q_i$ algebralise summaga selle pinna sees.

Asendades diskreetsete laengute summa laengutihedusega $\rho$ ja minnes üle diferentsiaalkujule, saame

Selle seose paremal poolel on põhjus ja vasemal tagajärg: elektrostaatilise välja allikaks on laeng. Selline põhjuse-tagajärje vahekord kehtib ka järgnevate võrrandite v2.2-v2.4 puhul.

Kuna magnetlaenguid ei ole , siis

ja

Kui magnetvoog ${\Phi }_M$ läbi pinna $S$, mida ääristab juhtiv kontuur $l$, muutub ajas, siis vastavalt Faraday elektromagnetilise induktsiooni seadusele indutseeritakse selles kontuuris elektromotoorjõud $\text{EMJ}=-\frac{d{\Phi }_M}{dt}$. Kuna elektromotoorjõud on kontuuri ulatuses laengu ümberpaigutamiseks tehtav töö ja $d{\Phi }_M=BdS$, ($B$ – magnetiline induktsioon) omandab seadus kuju

Vastavalt Maxwelli üldistusele pole kontuuri olemasolu vajalik – kui mingis ruumipiirkonnas magnetväli muutub, siis tekib seal elektriväli, mille tsirkulatsioon on nullist erinev. Selle seaduspära diferentsiaalkuju on

ehk sõnades: pööriselise elektrivälja allikaks on ajas muutuv magnetväli.

Seda fakti, et vooluga juhtme ümber tekib magnetväli, väljendab Ampere’i seadus. Kui keskkonna magnetiline läbitavus on $\mu$ ja magnetvälja tugevus

siis magnetvälja tugevuse tsirkulatsioon kontuuris $l$ võrdub juhtivusvoolude $l_i$  algebralise summaga läbi pinna $S$, mida see kontuur ümbritseb

Juhul, kui piirduda vaid selle seosega, tekib vahelduvvoolu voolamisel läbi kondensaatori vastuolu: kuigi juhtivusvoolu kondensaatori plaatide vahel pole, eksisteerib ka seal magnetväli. Vastavalt Maxwellile on seal magnetvälja allikaks nihkevool tihedusega $\partial D/\partial t$ ja me saame  täiendatud Ampere’i seaduse diferentsiaalkujul

($j$ –juhtivusvoolu tihedus), mis  sätestab, et pööriselise magnetvälja allikaks on nii juhtivus- kui ka nihkevool.

Maxwelli neljast võrrandist koosnev süsteem, v 2.1 – v 2.4, on kasutu seni, kuni pole teada ainevõrrandid, mis seovad omavahel elektrinihke ja elektrivälja tugevuse vektorid, $D=f\left(E\right)$, magnetvälja tugevuse ja magnetilise induktsiooni vektorid, $H=f\left(B\right)$, ning voolutiheduse ja elektrivälja tugevuse vektorid, $j=f\left(E\right)$.

Neid seostepaare iseloomustavad makroskoopilised karakteristikud, dielektriline läbitavus $\epsilon$, magnetiline läbitavus $\mu$ ja juhtivus $\sigma$, on põhimõtteliselt leitavad, kui keskmistada kiirusega $u$ liikuvale laengule $q$ elektri- ja magnetväljas mõjuv jõud

üle aine vabade ja seotud laengukandjate.

Sõltuvalt aine karakteristikutest $\epsilon ,\mu ,\sigma$, võib keskkond olla

Homogeenne  või mittehomogeenne (nt $\epsilon$ sõltub koordinaatidest)

Isotroopne või anisotroopne (nt murdumisnäitaja on erinevates suundades erinev)

Lineaarne või mittelineaarne (nt valguse neeldumine sõltub tema intensiivsusest)

Statsionaarne või mittestatsionaarne (nt neeldumine sõltub  valguse toime  ajast)

Edaspidi on põhitähelepanu pööratud valgusnähtustele HILS keskkonnas, ka anisotroopiale on pühendatud üks peatükk. 

Laine on mingis ruumipiirkonnas tekitatud häirituse levik ruumi.

Loengudemonstratsioonides kasutatakse tihtipeale lainete visualiseerimiseks veevanni, Jn 2.1A. Kui lainevanni läbipaistvat põhja läbiv paralleelne kiirtekimp langeb lainelisele veepinnale, siis kumerpindadel murdumise tulemusena tekivad veepinna kohal  heledamad ja tumedamad piirkonnad, mida on võimalik optilise süsteemi abil projekteerida ekraanile. Foto Jn 2.1B fikseerib veepinnal leviva lainepaketi, mille tekkepõhjuseks oli varasemal ajahetkel pipetist veepinnale langev tilk.

Kirjeldame nüüd ühe laineharja levikut lihtsaimal ühedimensionaalsel juhul.

Toimugu punktis $z=0$  sinusoidaalsed võnkumised $s=s_0\sin \left(2\pi vt\right)$, Jn 2.2, ja momendil $t$ olgu tegemist laineharjaga, mille järjekorranumber on $n$. Laine levikul korduvad need võnkumised teatud ajalise nihkega kaugemates ruumipunktides. Kui laineharjal $n$ kulub kaugusel $z_P$ olevasse ruumipunkti P levikuks aeg $t_P$, siis  võib kirjutada  $s_P=s_0\sin \left(2\pi f{t}^{\prime }\right)$ kusjuures $t^{\prime }=t-t_P$. Kui $v$ on laineharja numbriga $n$ levikukiirus (faasikiirus), saame

Alati, kui mingi suvalise  funktsiooni argument ($\equiv$faas) on esitatav kujul $t-z/v$ (ehk kujul $z/v-t$, $vt-z$ või $z-vt$), on meil tegemist lainega, mis levib z-telje positiivses suunas.  Sellist argumenti omavat funktsiooni nimetatakse lainefunktsiooniks. Kui argumendis on aja- ja ruumimuutuja mõlemad positiivse (või mõlemad negatiivse) märgiga, levib laine ruumikoordinaadi kahanemise suunas („vasakule“).

Üldjuhtumil peab lainefunktsioon rahuldama lainevõrrandit, mis on teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Olgu konkreetsuse mõttes tegemist sinusoidaalse lainega. Võtame funktsioonist $s$ teist järku osatuletise esmalt aja järgi 

ja siis koordinaadi järgi

Asetades saadud tulemused  võrrandisse (2.5), saame oodatud samasuse. 

Näitame nüüd, et ühe järeldusena Maxwelli võrranditest peaks eksisteerima elektromagnetlaine. Algul lähtume üldistest kaalutlustest ja seejärel teeme sedasama matemaatika abil. Olgu meil juhe, milles on vool voolutihedusega $j\left(t\right)$, Jn 2.3A. Vastavalt valemile v 2.4 tekitab vool juhtme ümber magnetvälja $H\left(t\right)$. Kuna magnetväli muutub ajas, siis indutseeritakse v 2.3 järgi lähipiirkonnas elektriväli $E\left(t\right)$ ja pöördudes jälle v 2.4 poole, näeme muutuva magnetvälja teket. Selline korduv, iseennast alalhoidev protsess ei vaja levikuks mingisugust spetsiifilist keskkonda.

Elektromagnetlaine eksistentsi matemaatiliseks tõestuseks eeldame, et meil on HILS keskkond ja on tegemist dielektrikuga, $\sigma =0\to j=0$, ning ruumlaengud puuduvad, $\rho =0$. Kirjutame nüüd valemid v 2.3 ja v 2.4 lahti komponentide kaupa

Lihtsustamaks uuritavaid võrrandeid, olgu meil tegemist juhuga, kus antud ajahetkel $t$  on tasandi $z=\text{const}$ kõigis punktides elektri- ja magnetvälja  väärtused samad, Jn 2.3B. Järgmisel ajahetkel ja/või mingis teises tasandis  omavad elektri- ja magnetväli teisi väärtusi. Seega kõigis süsteemi v 2.6 võrrandites on tuletised $\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}=0$ ja seega

Saadud lihtsustunud võrrandid on piisavalt läbipaistvad, et teha  mõningaid järeldusi. Esmalt, v 2.7 kolmas rida näitab, et z-telje sihilised $E$ ja $H$ komponendid $E_z$ ja $H_z$ ei osale välja levikus. Esimeses ja teises reas olevad võrrandipaarid aga osundavad, et põhjuslik seos on vaid teineteise suhtes risti olevatel $E$ ja $H$ komponentidel, $E_x=f\left(H_y\right)$ ja $H_y=f\left(E_x\right)$, kuid $E_x$ ei ole põhjustatud $H_x$ muutustest ja vastupidi. Sama kehtib muidugi ka $E_y$ ja $H_y$ vahekorra kohta. See leid lubab teha täiendava lihtsustuse – olgu elektriväli orienteeritud x – telje sihis $E=E_x$ ja kuna $E_y=0$, siis ka $H_x=0$. Seega eksisteerib vaid magnetvälja y-komponent $H=H_y$ ehk $E\perp H$. Järele jääb vaid kaks võrrandit

Diferentseerides neist ülemist võrrandit koordinaadi ja alumist – aja järgi , saame mõlemas võrrandis magnetvälja jaoks segatuletiste  $\frac{{\partial }^{2}H}{\partial t\partial z}$ avaldised ja  võrdsustades need, saame

Kui nüüd võtta v 2.8-s esimeses võrrandis tuletis aja järgi ja teises koordinaani järgi, saame magnetvälja jaoks võrrandiga v 2.9 identse tulemuse. Võrrelda saadud tulemust lainevõrrandi üldkujuga  v 2.5, siis näeme , et eesmärk on saavutatud: elektromagnetväli levib  z-telje suunas, kusjuures laine faasikiirus on

(K 2.5) Vaakumis, kus, $\epsilon ,\mu =1$, on elektromagnetlaine (EML) faasikiiruseks

mis langeb kokku eksperimendis mõõdetud valguse kiirusega vaakumis.  Faasikiirus keskkonnas on

kus $n$ on keskkonna murdumisnäitaja.

Võrrandid v 2.7 kirjeldavad lainet, mis levib z-telje positiivses suunas , kusjuures elektri- ja magnetvälja vektor on risti laine levikusuunaga, $E\perp v$, $H\perp v$. Põhjuslikus seoses olevad elektri- ja magnetvälja komponendid on risti ka omavahel, $E\perp H$. Erijuhtu, kus laine levikul $E$ (seega ka $H$, kuna $H\perp E$) muutub vaid ühes fikseeritud tasandis, nimetatakse lineaarselt polariseeritud laineks. Elektrivälja $E$ sihiga ja levikusuunaga määratud tasand on polarisatsioonitasand.

Pinda, millel asetsevad kõik laine samafaasi (nt laineharja $n$) punktid, nimetatakse lainefrondiks. Joonisel Jn2.3B on lainefrondiks tasapind, tegemist on tasalainega.

Lainet, mille hetkväärtus muutub siinus- või koosinusfunktsiooni järgi, nimetatakse harmooniliseks: funktsioonid

 ja

kirjeldavad harmoonilist elektromagnetlainet. Sagedus $f$ (täisvõngete arv sekundis) on seotud perioodiga $T$ (ühe täisvõnke sooritamise aeg), $f=1/T$. Optikas kasutatakse enameelistatult ringsagedust,  $\omega =2\pi f$. Kui $\omega =\text{const}$, on tegemist monokromaatilise lainega. Arvestades, et lainepikkus on vahemaa, mida laine läbib ühe perioodi jooksul, $\lambda =vT$, teisendame lainefunktsiooni faasi

Tuues sisse lainearvu mõiste,  

on faas kirjutatav kujul $\omega t-kz$. Monokromaatilise elektromagnetlaine elektrivälja tugevuse lainefunktsiooni võib esitada kas siinusfunktsioonina või koosinusfunktsioonina

Mõlemad lainefunktsiooni trigonomeetrilised esitused oleksid samaväärsed, kui lisaksime neisse avaldistesse ka algfaasid. Magnetvälja lainefunktsioon on esitatav samuti kujul v2.13.

Faasikiirus $v$ on konstantse faasi, $\omega t-kz=\text{const}$, edasikandumise kiirus. Kuna faasiavaldise diferentsiaal on $\omega dt-kdz=0$, siis saame faasikiiruseks

Harmooniline laine on perioodiline nii ajas kui ka ruumis. Vastavalt seostele v2.12 näeme, et fikseeritud ruumipunktis, $z=\text{const}$, muutub faas perioodiga $T$ ja fikseeritud  ajahetkel  $t=\text{const}$ on lainefunktsiooni ruumiliseks perioodiks lainepikkus $\lambda$. 

Harmoonilise laine

geomeetrilises esituses arvestatakse, et tema projektsioon vertikaalteljele, Jn 2.4A, langeb kokku nurkkiirusega $\omega$ vastupäeva pöörleva vektori, mille  pikkus  on $E_0$, projektsiooniga. Hetkel $t=0$ on vektori ja x-telje vaheline nurk  $\varphi$ (algfaas). Näitena saab Jn 2.4B abil leida  kahe sama sagedusega laine liitumisel tekkiva summaarse laine $E_{0\Sigma }$ amplituudi ja faasi ${\varphi }_{\Sigma }$. 

Kui lainete amplituudid on  $E_{01}$ ja $E_{02}$ ning algfaasid ${\varphi }_1$ ja ${\varphi }_2$ , siis faasivahe kahe laine vahel on $\delta ={\varphi }_2-{\varphi }_1$ ja täisnurksest kolmnurgast $OAB$ saame

Faas ${\varphi }_{\Sigma }$ on leitav seosest

Teisenduste mõttes kõige efektiivsem laine esitusviis on kompleksesitus, Jn 2.5. Tasandil, mille horisontaalteljeks on kompleksarvu reaalosa $Re$ ja vertikaalteljeks on imaginaarosa  $Im$, on kompleksarv $z=a+ib$  vektor, mille moodul on $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ja faasinurga saame seosest $\tan \varphi =b/a$. Kuna $a$ ja $b$ on joonise täisnurkse kolmnurga kaatetid, siis

Eksponentfunktsiooni  $\exp \left(i\varphi \right)$ seob koosinus- ja siinusfunktsiooniga Euleri valem $\exp \left(i\varphi \right)=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)$ (vt M 2.2),  seega

(v 2.17)

$z=|z|\exp \left(i\varphi \right)$

kusjuures $Re\left(z\right)=|z|\cos \varphi$, $Im\left(z\right)=|z|\sin \varphi$, $\varphi =\arctan \frac{Im\left(z\right)}{Re\left(z\right)}$ ning  $z{z}^{\ast }=|z{|}^2$.

Eksponentfunktsiooni tuletise ja integraali leidmine on väga lihtne. Kui $f\left(x\right)=\exp \left(ax\right)$, siis $f^{\prime }\left(x\right)=af\left(ax\right)$ ja $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{a}f\left(x\right)+C$ 

Kuna $\exp (-i\varphi )=\cos \left(i\varphi \right)-i\sin \left(\varphi \right))$, siis on lihtne leida kaks väga olulist seost

(v 2.18 a)

$\cos \phi =\frac{\exp \left(i\phi \right)+\exp (-i\phi )}{2}$

(v 2.18 b)

$\sin \phi =\frac{\exp \left(i\phi \right)-\exp (-i\phi )}{2i}$

Kui me kasutame edaspidi mingi probleemi lahendamiseks lainefunktsiooni komplekskuju, tuleb lõpptulemus ikkagi  esitada reaalkujul.

Keskkonnas murdumisnäitajaga $n$ z-telje positiivses suunas leviva harmoonilise laine lainefunktsiooni võib komplekskujul kirja panna mitmel erineval viisil, nt

(v 2.19)

$E=E_{00}\exp \left[i\right(\omega t-kz\left)\right]=E_{00}\exp \left[i\omega \right(t-\frac{kz}{\omega }\left)\right]=E_{00}\exp \left[i\omega \right(t-\frac{n}{c}z\left)\right]$

Sellise kirjapaneku puhul me omistame füüsikalise tähenduse (tegelik väli antud punktis ja antud ajal) vaid avaldise reaalosale ja imaginaarosa on "ballastiks" kaasas.

Avaldises v 2.19 on $E_{00}$ on vastavalt amplituudi tavadefinitsioonile positiivne suurus. Kui nüüd tähistada $kz=-\delta$, saame

$E=E_{00}\exp \left[i\delta \right]\exp \left[i\omega t\right]$

ja lugedes amplituudiks $E_0$ lainefunktsiooni ajast sõltumatut osa

$E_0=E_{00}\exp \left[i\delta \right]$

näeme, et sellise amplituudi mõiste üldistuse puhul on amplituud üldjuhul kompleksne. Erijuhul, kui $\delta =\pi$, siis

(v 2.20)

$\cos \pi +i\sin \pi =-1$

st selle laine amplituud on negatiivne, $-E_{00}$. Füüsikaliselt tähendab see seda, et laine amplituudiga $-E_{00}$ on vastasfaasis lainega, mille amplituud on $E_{00}$.

Kasutades harmoonilise laine kompleksesitust on lihtne leida, kuidas on omavahel seotud $E$ ja $H$ hetkväärtused. Kuna mõlema välja faas on $\left[i\right(\omega t-kz\left)\right]$, siis seos v 2.8 omandab kuju

$-ikE=-i\omega \mu {\mu }_{0}H$

ja kuna $\omega /k=v=(\epsilon {\epsilon }_0\mu {\mu }_0{)}^{-1/2}$, saame

(v 2.21)

$\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H$

See tulemus sisaldab kaht olulist teabekildu vabas ruumis leviva laine ($\equiv$ kulgev laine) kohta: esiteks on elektromagnetlaines $E$ ja $H$ hetkväärtused üks-üheselt seotud ja teiseks, kui $\epsilon$ ja $\mu$ on reaalsed, siis elektri- ja magnetväli muutuvad faasis, Jn 2.5. Samasugust pilti näeksime, kui fikseeriksime ruumipunkti ja jälgiksime muutusi ajas.

Elektromagnetlaine levikul vaakumis on elektri- ja magnetväli võrdväärsed partnerid, ilma üheta poleks teist. Samas  on aga laine elektri- ja magnetkomponendi mõju ainele kõvasti erinev. Näitamaks seda, leiame esmalt, kuidas on elektromagnetlaines seotud $E$ ja $B$.  Kuna $B=\mu {\mu }_{0}H$, siis v 2.21 saab kuju 

$\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0}E=\frac{1}{\sqrt{\mu {\mu }_0}}B$

ehk faasikiiruse $v$ vahendusel (vt v 2.10) $E=vB$ ja vaakumis $E=cB$.

EMLi vastasmõju ainega on määratud jõuga

$F=q[E+u\times B]$

kus $u$ on laengukandja kiirus, asendas $B$ suhtega $E/c$ saame jõu mooduli maksimumväärtuse jaoks vaakumis

$F=q[1+u/c]E$

kus esimene liige nurksulgudes väljendab elektrivälja ja teine magnetvälja mõju laengukandjale $q$ . Seni kuni $u/c\ll 1$, on EML-i mõju ainele määratud elektriväljaga. See on põhjus, miks pöörame peatähelepanu elektriväljale.

Kuna $E$ ja $H$ on elektromagnetlaines omavahel üks-üheselt seotud, siis reeglina teeme teisendused vaid elektrivälja tugevusega $E$, ka joonistel esitame eelistatult $E$.

Näide N 2.2

Hinda, kas lähendus $u/c\approx 0$ peab paika, kui modelleerime aatomit Bohri mudeliga.

Lahendus

Kontrollimaks lähenduse $u/c\approx 0$ õigustatust, hindame Bohri aatomi mudeli järgi ümber tuuma tiirleva elektroni kiirust $u$. Kui on tegemist vesiniku aatomiga, siis elektroni kaugus tuumast on $r_{\text{H}}\approx 5\times {10}^{-11}m$ ja elektronile mõjub tuuma poolt jõud

$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_{\text{H}}^2}$

mis põhjustab kesktõmbekiirenduse $a=F/m_e$. Kuna kiirendus avaldub elektroni joonkiiruse kaudu

$a=\frac{u^2}{r_{\text{H}}}$

siis

$\begin{array}{cc}u& =\sqrt{a{r}_{\text{H}}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{m_e}\frac{e^2}{r_{\text{H}}^2}{r}_{\text{H}})}\\ & =e\sqrt{\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}\sqrt{\frac{1}{m_e{r}_{\text{H}}}}\\ & =1,6\times {10}^{-19}\times 3\times {10}^3\times 4,55\times {10}^{20}\\ & \approx 2,2\times {10}^{5}m\cdot s^{-1}\end{array}$

ehk elektroni kiirus orbiidil on rohkem kui kolm suurusjärku väiksem valguse kiirusest vaakumis.

Olgu pinnatükk pindalaga $A$ risti z-teljega, mille suunas leviva tasalaine kiirus on $v$. Leidmaks energiat, mis läbib aja $dt$ jooksul pinnatükki, ehitame pinnatükile ristküliku, mille z-telje sihiliste külgede pikkused on $vdt$. Ruumalas $V=Avdt$ salvestunud energia on summa elektri- ja magnetvälja energiast.

Elektromagnetismi kursusest on teada, et elektrivälja ja magnetvälja energiatihedused on

ja 

Kuna

siis elektromagnetlaine energiatihedus on